힐베르트 행렬

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1. 개요
2. 역사적 배경
- 2.1. 힐베르트의 연구
3. 특성
4. 성질
5. 응용
- 5.1. 적률법
참조

1. 개요

힐베르트 행렬은 1894년 다비트 힐베르트가 근사 이론 연구에서 처음 소개한 행렬로, 한켈 행렬 및 코시 행렬의 특수한 경우이다. 힐베르트 행렬은 대칭 행렬이자 양의 정부호 행렬이며, 모든 부분 행렬의 행렬식이 양수인 전체 양수 행렬이다. 힐베르트 행렬은 닫힌 형식으로 표현 가능한 행렬식을 가지며, 역행렬 또한 이항 계수를 사용하여 닫힌 형태로 나타낼 수 있다. 힐베르트 행렬은 조건수가 커서 수치 계산에 어려움이 있으며, 적률법을 다항 분포에 적용하는 데 응용된다.

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힐베르트 행렬

2. 역사적 배경

1894년 독일의 수학자 David Hilbert|다비트 힐베르트^de는 근사 이론 문제를 연구하던 중 힐베르트 행렬을 처음 소개했다.^[3]^[4] 힐베르트는 특정 구간에서 정수 계수를 갖는 다항식을 이용한 적분 근사와 관련된 연구를 진행했으며, 그의 논문 "Ein Beitrag zur Theorie des Legendreschen Polynoms"에 힐베르트 행렬이 처음 등장한다.

2. 1. 힐베르트의 연구

David Hilbert|다비트 힐베르트^de는 논문 "Ein Beitrag zur Theorie des Legendreschen Polynoms"^[4]에서 근사 이론의 다음 문제를 연구하기 위해 힐베르트 행렬을 도입했다.^[3]

> 구간

I = [a, b]

가 주어졌을 때, 임의의 작은 양수 ε에 대해 "정수" 계수의 비영 다항식

P

를 적절히 선택하여 적분

> :

\int_{a}^b P(x)^2 \, dx

> 을 ε보다 작게 할 수 있을까?

힐베르트는 힐베르트 행렬의 행렬식의 점근형을 사용하여 구간의 길이

b-a

가 4 미만이면 이것이 가능함을 보였다.^[3]^[4]

힐베르트는

n

차 힐베르트 행렬

H

의 행렬식을 다음과 같은 닫힌 형식으로 구했다.

:

\det(H)=\over {c_{2n}}}

여기서

c_n

은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

c_n = \prod_{i=1}^{n-1} i^{n-i}=\prod_{i=1}^{n-1} i!

힐베르트는 힐베르트 행렬의 행렬식의 역수가 정수이며, 그 정수는 르장드르 다항식과 관련된 어떤 종류의 초기하 다항식의 판별식으로 쓸 수 있다는 점을 지적했다. 이는 다음 항등식에서도 확인할 수 있다.

:

{1 \over \det (H)}=\over {c_n^{\;4}}}=n!\cdot \prod_{i=1}^{2n-1} {i \choose [i/2]}

\log c_n

에 대해 오일러-매클로린 공식을 적용하여 힐베르트는 다음 점근형을 얻었다.

:

\det(H)=4^{-n^2+r_n}

여기서 오차항

r_n

은

o(n^2)

이다. 더 정확한 점근형은 계승에 대한 스털링 공식을 사용하여

:

\det(H)=a_n\, n^{-1/4}(2\pi)^n \,4^{-n^2}

로 얻을 수 있다. 여기서

a_n

은

n\to\infty

일 때 상수

a_\infty=0.6450...

에 수렴한다.

3. 특성

힐베르트 행렬은 한켈 행렬이면서 코시 행렬의 특수한 예이다. 대칭행렬이며 양의 정부호 행렬이고, 모든 부분 행렬의 행렬식이 양수인 전체 양수 행렬이다.^[1]

행렬식은 닫힌 형태로 표현될 수 있는데, 이는 코시 행렬식의 특수한 경우이다. ''n'' × ''n'' 힐베르트 행렬의 행렬식은 다음과 같다.

: $\det(H) = \frac{c_n^4}{c_{2n}},$

여기서

: $c_n = \prod_{i=1}^{n-1} i^{n-i} = \prod_{i=1}^{n-1} i!.$

힐베르트는 힐베르트 행렬의 행렬식이 정수의 역수라는 흥미로운 사실을 이미 언급했다. 이는 다음 항등식에서도 알 수 있다.

: $\frac{1}{\det(H)} = \frac{c_{2n}}{c_n^4} = n! \cdot \prod_{i=1}^{2n-1} \binom{i}{[i/2]}.$

스털링 근사를 사용하면 다음 점근 결과를 얻을 수 있다.

: $\det(H) \sim a_n\, n^{-1/4}(2\pi)^n \,4^{-n^2},$

여기서 ''a''_''n''은 $n \to \infty$ 일 때 상수 $e^{1/4}\, 2^{1/12}\, A^{-3} \approx 0.6450$ 로 수렴하며, 여기서 ''A''는 글레이셔-킨켈린 상수이다.

힐베르트 행렬의 역행렬은 이항 계수를 사용하여 닫힌 형식으로 표현될 수 있으며, 그 요소는 다음과 같다.

: $(H^{-1})_{ij} = (-1)^{i+j}(i + j - 1) \binom{n + i - 1}{n - j} \binom{n + j - 1}{n - i} \binom{i + j - 2}{i - 1}^2,$

여기서 ''n''은 행렬의 차수이다.^[1] 따라서 역행렬의 요소는 모두 정수이고, 부호는 주대각선에서 양수인 체스판 패턴을 형성한다.

''n'' × ''n'' 힐베르트 행렬의 조건수는 $O\left(\left(1 + \sqrt{2}\right)^{4n}/\sqrt{n}\right)$ 으로 증가한다. 힐베르트 행렬은 조건이 나쁜 행렬의 대표적인 예이며, 수치 계산에서 매우 다루기 어렵다. 예를 들어, 2-노름에 의한 조건수를 처음에 제시된 5차 행렬의 예에 대해 계산하면 $4.8\times10^5$ 가 된다. 조건수는 차수 $n\to\infty$ 에 대해 $O(e^{3.5255n}/\sqrt{n})$ 처럼 증가한다.

3. 1. 대칭성

힐베르트 행렬은 대칭 행렬이면서 한켈 행렬이다.^[1]

3. 2. 한켈 행렬

힐베르트 행렬은 한켈 행렬의 한 예이다.^[1] 코시 행렬의 구체적인 예이기도 하다.

3. 3. 코시 행렬

힐베르트 행렬은 코시 행렬의 특수한 예시이다.^[1]

3. 4. 양의 정부호성

대칭 행렬이며 양의 정부호 행렬이다.^[1] 이는 힐베르트 행렬이 선형 시스템에서 안정성을 보장하는 중요한 특성 중 하나임을 시사한다. 또한 모든 부분 행렬의 행렬식이 양수인 전체 양수 행렬이다.^[1]

3. 5. 전체 양수성

힐베르트 행렬은 모든 부분 행렬의 행렬식이 양수인 전체 양수 행렬이다.^[1]

4. 성질

힐베르트 행렬은 대칭 행렬이자 양의 정부호 행렬이다. 또한 모든 부분 행렬의 행렬식이 양수인 전체 양수 행렬이며, 행켈 행렬의 한 예이자 코시 행렬의 구체적인 예시이다. 힐베르트 행렬은 조건이 나쁜 행렬의 대표적인 예로 알려져 있어, 수치 계산에서 다루기 매우 어렵다.

4. 1. 행렬식

힐베르트 행렬의 행렬식은 닫힌 형태로 표현될 수 있으며, 이는 팩토리얼과 이항 계수를 사용하여 계산할 수 있다. n차 힐베르트 행렬의 행렬식은 다음과 같이 주어진다.^[5]

:

\det(H)=\over {c_{2n}}}

:

c_n = \prod_{i=1}^{n-1} i^{n-i}=\prod_{i=1}^{n-1} i!

힐베르트 행렬의 행렬식은 정수의 역수이며, 이는 다음 항등식으로도 표현 가능하다.^[5]

:

{1 \over \det (H)}=\over {c_n^{\;4}}}=n!\cdot \prod_{i=1}^{2n-1} {i \choose [i/2]}

스털링 근사를 이용하면 힐베르트 행렬의 행렬식에 대한 점근적 결과를 얻을 수 있다.

:

\det(H)=a_n\, n^{-1/4}(2\pi)^n \,4^{-n^2}

여기서 a_n은

n\rightarrow\infty

일 때 상수

e^{1/4} 2^{1/12} A^{ - 3} \approx 0.6450

과 같다. 여기서 A는 글레이셔-킨켈린 상수이다.

4. 2. 역행렬

힐베르트 행렬의 역행렬은 이항 계수를 사용하여 닫힌 형태로 표현할 수 있다. 힐베르트 행렬의 역행렬의 각 원소는 다음과 같다.^[1]

:

(H^{-1})_{ij} = (-1)^{i+j}(i + j - 1) \binom{n + i - 1}{n - j} \binom{n + j - 1}{n - i} \binom{i + j - 2}{i - 1}^2,

여기서 ''n''은 행렬의 차수이다.^[6] 역행렬의 원소는 모두 정수이며, 부호는 주대각선에서 양수인 체스판 패턴을 형성한다. 예를 들어, 다음과 같다.

:

\begin{bmatrix}1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\\frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \\\frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} \\\frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9}\end{bmatrix}^{-1} =\left[\begin{array}{rrrrr}25 & -300 & 1050 & -1400 & 630 \\

300 & 4800 & -18900 & 26880 & -12600 \\

1050 & -18900 & 79380 & -117600 & 56700 \\

1400 & 26880 & -117600 & 179200 & -88200 \\

630 & -12600 & 56700 & -88200 & 44100\end{array}\right].

4. 3. 조건수

n × n 힐베르트 행렬의 조건수는

O\left(\left(1 + \sqrt{2}\right)^{4n}/\sqrt{n}\right)

으로 증가한다.^[1] 이는 힐베르트 행렬을 이용한 수치적 계산이 매우 불안정할 수 있음을 의미한다. 예를 들어, 2-노름에 의한 조건수를 5차 힐베르트 행렬에 대해 계산하면

4.8\times10^5

가 된다. 조건수는 차수

n\to\infty

에 대해

O(e^{3.5255n}/\sqrt{n})

처럼 증가한다.

5. 응용

적률법을 다항 분포에 적용하면 한켈 행렬이 생성되는데, 이는 구간 [0, 1]에서 확률 분포를 근사하는 특별한 경우에 힐베르트 행렬이 된다.^[2]

5. 1. 적률법

적률법을 다항 분포에 적용하면 한켈 행렬이 생성되는데, 이는 구간 [0, 1]에서 확률 분포를 근사하는 특별한 경우에 힐베르트 행렬이 된다. 이 행렬은 다항 분포 근사의 가중치 매개변수를 얻기 위해 역행렬로 계산해야 한다.^[2]

참조

_[1] 논문 Tricks or Treats with the Hilbert Matrix 1983
_[2] 논문 Polynomial probability distribution estimation using the method of moments 2017
_[3] 서적 Collected papers
_[4] 간행물 Ein Beitrag zur Theorie des Legendreschen Polynoms 1894
_[5] 문서 OEIS의 A005249
_[6] 논문 Tricks or Treats with the Hilbert Matrix http://www.jstor.org[...] 1983

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