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확률의 공리

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목차

1. 개요

확률의 공리는 확률 이론의 기초를 다지는 일련의 규칙으로, 확률 공간을 정의하고 확률 측도의 성질을 규정한다. 확률의 공리는 안드레이 콜모고로프에 의해 정립되었으며, 비음성, 정규화, 가산 가법성의 세 가지 공리로 구성된다. 이러한 공리들을 통해 공집합의 확률, 여사건의 확률, 포함-배제 원리, 확률의 덧셈 정리 등 다양한 확률 관련 성질들을 유도할 수 있다. 확률의 공리는 표본 공간, 사건 공간, 확률 측도로 구성된 확률 공간을 정의하며, 동전 던지기와 같은 간단한 예시를 통해 이해를 돕는다.

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확률의 공리

2. 콜모고로프 공리

콜모고로프 공리는 현대 확률론의 수학적 기초를 제공하는 세 가지 공리이다. 이 공리들은 확률을 측정 가능한 공간에서 정의된 함수로 규정하며, 확률이 가져야 할 기본적인 성질들을 명시한다.

콜모고로프(Андрей Николаевич Колмогоров)는 확률 공간을 정의하기 위해 다음과 같은 공리계를 제시했다.[13]

확률 공간 (\Omega, \mathfrak{F}, P)는 다음과 같이 정의된다.


  • \Omega는 근원사건의 집합이다.
  • \mathfrak{F}는 \Omega의 부분 집합으로 구성된 족(family)이며, 사건이라고 불린다.
  • P는 \mathfrak{F} 상의 집합 함수이다.


이때, 다음의 5가지 공리를 만족해야 한다.

1. \mathfrak{F}는 유한 개의 요소에 의한 합집합, 차집합, 교집합에 대해 닫혀 있다.[14]

2. \mathfrak{F}는 \Omega를 포함한다. 즉, \Omega \in \mathfrak{F}.[15]

3. P는 비음의 실수 값을 취한다. 즉, P:\mathfrak{F} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}

4. P(\Omega) = 1.

5. A, B \in \mathfrak{F}가 상호 배타적인 집합(Disjoint sets)이라면, P(A \cup B) =P(A) + P(B)이다. (유한 가법성)

\Omega가 무한 집합일 경우에는 다음의 연속성 공리가 추가된다.[16]

6. \mathfrak{F}의 감소열 A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset \cdots가, \textstyle\bigcap\limits_{n=1}^\infty A_n =\emptyset를 만족한다면, \lim_{n\to\infty} P(A_n) =0.

공리 5와 6으로부터 일반화 가법 정리(완전 가법성)가 유도된다.[18]
일반화 가법 정리: 집합열 \{ A_n \}_{n\in \mathbb{N}}가 상호 배타적이며, \textstyle\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathfrak{F}라면,

::P\bigl( \textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i \bigr) = \sum\limits_{i=1}^\infty P(A_i).

일반화 가법 정리를 만족하는 P는 \mathfrak{F}가 생성하는 완전 가법족(σ-대수) 상의 비음이며 완전 가법적인 집합 함수로 유일하게 확장 가능하다.[19]

현대에는 이 논의를 바탕으로 확률 측도의 세 가지 조건을 다음과 같이 요약한다.[20]

: \Omega는 임의의 집합, \mathfrak{F}는 \Omega 위의 완전 가법족 (σ-집합체) (또는 유한 가법족), P는 \mathfrak{F} 위의 집합 함수이다. P가 다음 3가지 조건을 만족할 때(하위 섹션 참조), P는 (\Omega, \mathfrak{F}) 위의 확률 측도가 되며, \Omega는 표본 공간, \mathfrak{F}는 사상 공간이라고 불린다.

2. 1. 제1공리 (비음성)

모든 사건의 확률은 음수가 아닌 실수이다.[13][14][15][16][17][18][19][20]

:P(E)\in\mathbb{R}, P(E)\geq 0 \qquad \forall E \in F (F는 사건 공간)

이에 따라 P(E)는 일반 측도론에서 다루는 일부 대상과는 달리 반드시 유한해야 한다. 음의 확률을 할당하는 이론은 이 공리를 완화한다.

2. 2. 제2공리 (정규화)

전체 표본 공간의 확률(적어도 하나의 근원사건이 발생할 확률)은 1이다.[13][14][15][16][17][18][19][20]

:P(\Omega) = 1.

이는 단위 측도의 가정으로, 전체 표본 공간에서 적어도 하나의 기본 사건이 발생할 확률은 1이라는 것이다.

예를 들어, 선거에서 모든 후보의 득표율을 합하면 100%가 되고, 여론조사에서 모든 응답의 비율을 합해도 100%가 되는 것과 같다.

2. 3. 제3공리 (가산 가법성)

시그마 가법성에 관한 공리이다.

서로소 집합(상호 배타적인 사건들)의 가산 열 E_1, E_2, \ldots은 항상 다음을 만족한다.

::P\left(\bigcup_{i = 1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty P(E_i).

이는 σ-가산성의 가정이다. 가산 수열의 상호 배타적 사건 (''상호 배타적 사건''과 같음) E_1, E_2, \ldots는 다음을 만족한다.

::P\left(\bigcup_{i = 1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty P(E_i).

현대에는 다음과 같이 요약한다.[20]

\Omega는 임의의 집합, \mathfrak{F}는 \Omega 위의 완전 가법족 (σ-집합체) (또는 유한 가법족), P는 \mathfrak{F} 위의 집합 함수이다. P가 다음 3가지 조건을 만족할 때, P는 (\Omega, \mathfrak{F}) 위의 확률 측도가 되며, \Omega는 표본 공간, \mathfrak{F}는 사상 공간이라고 불린다.

σ-가법성의 가정에서 상호 배타적인 집합 (Disjoint sets)의 임의의 가산개의 열 (Mutual exclusivity|상호 배타영어와 동의어) E_1, E_2, \cdots \in \mathfrak{F}는 다음을 만족한다.

::P \Bigl( \textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty E_i \Big) = \sum\limits_{i=1}^\infty P(E_i).

3. 공리로부터 유도되는 성질

콜모고로프의 공리로부터 확률을 연구하는 데 유용한 다른 법칙들을 도출할 수 있다. 이러한 법칙들의 증명[6][7][8]은 제3공리의 강력함과 앞선 두 공리와의 상호작용을 보여주는 매우 통찰력 있는 절차이다.

아래는 공리로부터 유도되는 주요 성질들이다. (각 성질에 대한 자세한 설명은 해당 하위 섹션 참조)


  • 공집합의 확률: 공집합의 확률은 0이다.
  • 여사건의 확률: 어떤 사건이 일어나지 않을 확률은 1에서 그 사건이 일어날 확률을 뺀 값과 같다.
  • 포함-배제 원리: 확률의 덧셈 법칙을 임의의 개수의 집합으로 확장한 것이다.
  • 단조성: A가 B의 부분집합이면 A의 확률은 B의 확률보다 작거나 같다.
  • 확률의 덧셈 정리: 두 사건의 합집합의 확률은 각 사건의 확률의 합에서 두 사건의 교집합의 확률을 뺀 값과 같다.

3. 1. 공집합의 확률

콜모고로프 공리로부터 확률을 연구하는 데 유용한 다른 규칙들을 도출할 수 있다. 이 규칙들의 증명[6][7][8]은 세 번째 공리의 강력함과 앞선 두 공리와의 상호작용을 보여주는 매우 통찰력 있는 절차이다.

:P(\varnothing)=0.

대부분의 경우, \varnothing는 확률이 0인 유일한 사건이 아니다.

P(\varnothing \cup \varnothing) = P(\varnothing)인데, 그 이유는 \varnothing \cup \varnothing = \varnothing이기 때문이다. 셋째 공리를 좌변에 적용하면, P(\varnothing)+P(\varnothing) = P(\varnothing)이 된다(참고로 \varnothing은 자기 자신과 서로소이다). 따라서 P(\varnothing)을 방정식의 각 변에서 빼면 P(\varnothing) = 0이다.

사건이 비가산적인 경우, 반대로 확률이 0이라도 사건이 \varnothing일 필요는 없다. 이전 증명에서 P(\varnothing)=0이 증명되었다. 단, 이 결론은 귀류법으로 증명된다.

:P(B)=P(A)+P(B\setminus A)+\sum_{i=3}^\infty P(E_i)는 수렴하므로, P(\varnothing)=:a라고 하면,

:\sum_{i=3}^\infty P(E_i)=\sum_{i=3}^\infty P(\varnothing)=\sum_{i=3}^\infty a = \begin{cases}

0 &(a=0) \\

\infty &(a>0)

\end{cases}도 수렴한다.

a>0이라고 가정하면, 우변은 발산하여 모순되므로, a= P(\varnothing) =0이 된다.

3. 2. 여사건의 확률

어떤 사건이 일어나지 않을 확률은 1에서 그 사건이 일어날 확률을 뺀 값과 같다.

:P\left(A^{c}\right) = P(\Omega-A) = 1 - P(A)

:A와 A^{c}가 상호 배타적이며 A \cup A^c = \Omega 일 때:

:P(A \cup A^c)=P(A)+P(A^c) ''... (공리 3에 의해)''

:그리고, P(A \cup A^c)=P(\Omega)=1 ... ''(공리 2에 의해)''

: \Rightarrow P(A)+P(A^c)=1

:\therefore P(A^c)=1-P(A)[6][7][8][22][23][24]

3. 3. 포함-배제 원리

확률의 덧셈 법칙을 임의의 개수의 집합으로 확장한 것이 포함-배제 원리이다.[6][7][8][22][23][24]

3. 4. 단조성

만약 A\subseteq B이면 P(A)\leq P(B)이다.

A가 B의 부분집합이거나 B와 같다면, A의 확률은 B의 확률보다 작거나 같다.[6][7][8]

단조성으로부터 다음이 즉시 도출된다.

:0\leq P(E)\leq 1\qquad \forall E\in F.

이는 여집합 규칙 P(E^c)=1-P(E) 와 '공리 1' P(E^c)\geq0이 주어지면,

1-P(E) \geq 0

\Rightarrow 1 \geq P(E)

\therefore 0\leq P(E)\leq 1

와 같이 증명되며, \varnothing \subset E \subset \Omega에 단조성의 성질을 사용하면, P(\varnothing)=0이므로,

:0\leq P(E)\leq 1 이 성립한다.

3. 5. 확률의 덧셈 정리

두 사건 A와 B의 합집합의 확률은 각 사건의 확률의 합에서 두 사건의 교집합의 확률을 뺀 값과 같다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.[6][7][8]

:P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).

이를 확률의 덧셈 법칙 또는 합 규칙이라고 한다. 즉, 사건 ''A'' ''또는'' ''B''가 발생할 확률은 사건 ''A''의 확률과 사건 ''B''의 확률의 합에서 ''A'' ''그리고'' ''B'' 모두에 속하는 사건의 확률을 뺀 값이다.

이에 대한 증명은 다음과 같다. 먼저,

:P(A\cup B) = P(A) + P(B\setminus A) (공리 3에 의해)

따라서,

:P(A \cup B) = P(A) + P(B\setminus (A \cap B)) (B \setminus A = B\setminus (A \cap B)에 의해).

또한,

:P(B) = P(B\setminus (A \cap B)) + P(A \cap B)

두 식에서 P(B\setminus (A \cap B))을 소거하면 원하는 결과를 얻을 수 있다.

덧셈 법칙을 임의의 개수의 집합으로 확장한 것이 포함-배제 원리이다.

4. 추가 설명

주어진 원본 소스에 '추가 설명' 섹션에 해당하는 내용이 없으므로, 작성할 내용이 없습니다.

4. 1. 확률 공간

(\Omega, F, P)를 P(E)가 어떤 사건 E의 확률인 측도 공간이라고 하고, P(\Omega) = 1이라고 하자. 그러면 (\Omega, F, P)는 표본 공간 \Omega, 사건 공간 F 및 확률 측도 P를 갖는 확률 공간이다.

콜모고로프는 확률 공간을 정의하기 위해 다음과 같은 공리계를 제시했다.[13]

:\Omega는 근원사건의 집합, \mathfrak{F}는 \Omega의 부분 집합으로 구성된 족(family)이며, 그 요소는 사건이다. P는 \mathfrak{F} 상의 집합 함수이다. 다음 5개의 공리를 만족하는 계 (\Omega, \mathfrak{F}, P)를 확률 공간이라고 부른다.

:1. \mathfrak{F}는 유한 개의 요소에 의한 합집합, 차집합, 교집합에 대해 닫혀 있다.[14]

:2. \mathfrak{F}는 \Omega를 포함한다. 즉, \Omega \in \mathfrak{F}.[15]

:3. P는 비음의 실수 값을 취한다. 즉, P:\mathfrak{F} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}

:4. P(\Omega) = 1.

:5. A, B \in \mathfrak{F}가 상호 배타적인 집합이면, P(A \cup B) =P(A) + P(B). (유한 가법성)

\Omega가 무한 집합인 경우에는 다음의 연속성 공리를 추가한다.[16]

:6. \mathfrak{F}의 감소열 A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset \cdots가, \textstyle\bigcap\limits_{n=1}^\infty A_n =\emptyset를 만족한다면, \lim_{n\to\infty} P(A_n) =0.

공리 5와 6으로부터, 다음의 일반화 가법 정리(완전 가법성)가 유도된다.[18]

; 일반화 가법 정리

: 집합열 \{ A_n \}_{n\in \mathbb{N}}는 상호 배타적이며, \textstyle\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n \in \mathfrak{F}라면,

:: P\bigl( \textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i \bigr) = \sum\limits_{i=1}^\infty P(A_i).

일반화 가법 정리를 만족하는 P는 \mathfrak{F}가 생성하는 완전 가법족(σ-대수) 상의 비음이며 완전 가법적인 집합 함수로 유일하게 확장 가능하다.[19]

4. 1. 1. 표본 공간

표본 공간은 실험에서 발생할 수 있는 모든 가능한 결과들의 집합이다.[1]

4. 1. 2. 사건 공간

사건 공간 F는 표본 공간 \Omega의 부분 집합들로 구성된 족(family)이며, 그 요소는 사건이라고 불린다.[13] 사건 공간은 다음의 성질을 만족해야 한다.

:1. F는 유한 개의 요소에 의한 합집합, 차집합, 교집합에 대해 닫혀 있다.[14]

:2. F는 \Omega를 포함한다. 즉, \Omega \in F.[15]

4. 1. 3. 확률 측도

(\Omega, \mathfrak{F}, P)를 P(E)가 어떤 사건 E의 확률인 측도 공간이라고 하고, P(\Omega) = 1이라고 하면, (\Omega, \mathfrak{F}, P)는 표본 공간 \Omega, 사건 공간 F 및 확률 측도 P를 갖는 확률 공간이다.[13]

\Omega는 임의의 집합, \mathfrak{F}는 \Omega 위의 완전 가법족 (σ-집합체) (또는 유한 가법족), P는 \mathfrak{F} 위의 집합 함수이다. P가 다음 3가지 조건을 만족할 때, P는 (\Omega, \mathfrak{F}) 위의 확률 측도가 되며, \Omega는 표본 공간, \mathfrak{F}는 사상 공간이라고 불린다.[20]

5. 간단한 예시: 동전 던지기

한 번의 동전 던지기를 생각해 보자. 동전은 앞면(H) 또는 뒷면(T) 중 하나로 떨어지며, 둘 다 동시에 나올 수는 없다. 동전이 공정한지에 대한 가정은 하지 않는다.[9]

이 경우, 다음과 같이 정의할 수 있다.

:\Omega = \{H,T\}

:F = \{\varnothing, \{H\}, \{T\}, \{H,T\}\}

콜모고로프 공리에 따르면 다음이 성립한다.

:P(\varnothing) = 0

:앞면도 뒷면도 나오지 않을 확률은 0이다.

:P(\{H,T\}^c) = 0

:앞면 또는 뒷면이 나올 확률은 1이다.

:P(\{H\}) + P(\{T\}) = 1

:앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률의 합은 1이다.

6. 같이 보기

참조

[1] 서적 Foundations of the theory of probability https://archive.org/[...] Chelsea Publishing Company
[2] 웹사이트 What is the significance of the Kolmogorov axioms? https://www.stat.ber[...] 2019-11-19
[3] 간행물 Probability, Frequency and Reasonable Expectation
[4] 서적 The Algebra of Probable Inference Johns Hopkins University Press
[5] 웹사이트 Interpretations of Probability https://plato.stanfo[...] 2019-11-17
[6] 서적 A first course in probability
[7] 웹사이트 Proofs from axioms https://dcgerard.git[...] 2019-11-20
[8] 웹사이트 Probability (Lecture Notes - Week 3) http://www.maths.qmu[...] 2019-11-20
[9] 간행물 Dynamical Bias in the Coin Toss https://statweb.stan[...] 2024-01-05
[10] harvnb
[11] 웹사이트 What is the significance of the Kolmogorov axioms? https://www.stat.ber[...] 2019-11-19
[12] 간행물 Cox's Theorem and the Jaynesian Interpretation of Probability https://archive.org/[...]
[13] harvnb
[14] 문서 コルモゴロフはこのような系を「集合体」と呼んでいるが、これだけの条件では[[補集合]]について閉じていることは言えないので、現代の意味での[[有限加法族|集合体]]とは異なる。
[15] 문서 この条件を加えることにより、\mathfrak{F} は、現代の意味での[[有限加法族|集合体]]になる。
[16] harvnb
[17] URL extension-th.pdf https://home.hiroshi[...] 若木宏文（広島大学大学院先進理工系科学研究科）
[18] harvnb
[19] harvnb
[20] harv
[21] 웹사이트 Interpretations of Probability https://plato.stanfo[...] 2019-11-17
[22] 서적 A first course in probability
[23] 웹사이트 Proofs from axioms https://dcgerard.git[...] 2019-11-20
[24] 웹사이트 Probability (Lecture Notes - Week 3) http://www.maths.qmu[...] 2019-11-20


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