확정성

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1. 개요
2. 철학적 논의
3. 확실성의 정도
- 3.1. 과학적 확실성
- 3.2. 법적 확실성
4. 수학의 기초 위기
5. 한국 사회와 확실성
참조

1. 개요

확정성은 철학, 과학, 수학, 법학 등 다양한 분야에서 사용되는 개념으로, 어떤 명제나 주장의 진실성 또는 타당성에 대한 확신 정도를 의미한다. 철학적 논의에서 고대 회의주의는 아카탈렙시아를 통해 판단을 유보하며 확정성을 부정했고, 데카르트는 방법론적 회의를 거쳐 "나는 생각한다, 고로 존재한다"는 명제를 확립하며 확정성을 추구했다. 비트겐슈타인은 언어의 맥락과 사회적 합의를 통해 확정성을 설명했다. 확실성의 정도는 분야에 따라 다르게 적용되며, 과학에서는 귀납적 추론, 확률 해석, 통계학 등을 통해 객관성을 확보하려 하고, 법적 증명 책임은 다양한 수준의 증거 기준을 요구한다. 수학에서는 20세기 초 수학의 기초 위기로 인해 확정성에 대한 의문이 제기되었으나, 괴델의 불완전성 정리와 ZFC 집합론을 통해 모순을 해결하고 현대 수학의 일관성을 확보하려는 노력이 이루어졌다.

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확정성

2. 철학적 논의

확실성(Certainty^영어)에 대한 철학적 탐구는 오랜 역사를 지닌다. 고대 그리스의 회의주의자들은 인간 지식의 확실성에 근본적인 의문을 제기하며 섣부른 판단을 유보하는 태도를 강조했다. 근대에 이르러 르네 데카르트는 방법론적 회의를 통해 흔들리지 않는 지식의 기초를 세우고자 했다. 현대 철학에서는 루트비히 비트겐슈타인 등이 언어와 맥락 속에서 확실성의 문제를 탐구하며 인식론 논의를 이어갔다. 이처럼 확실성은 시대에 따라 다양한 관점에서 다루어져 온 인식론의 핵심 주제이다.

2. 1. 고대 회의주의

피론은 최초의 회의주의 철학자로 평가된다. 피론 사상의 핵심 원리는 acatalepsia|아카탈렙시아^lat로 요약될 수 있다. 아카탈렙시아는 어떤 것의 진리에 대해 섣부른 독단적 판단을 내리지 않고 유보하는 능력을 의미하며, 반박될 가능성이 있는 주장에 대해서는 동의하지 않고 지적으로 신중한 태도를 유지하는 것이다. 피론의 제자였던 티몬의 말처럼, 때로는 어떤 것에 대해 판단하지 않는 것이 더 나을 수도 있다는 관점을 견지했다.

2. 2. 데카르트의 방법론적 회의

르네 데카르트는 《제1철학에 관한 성찰》에서 확실하지 않은 모든 믿음을 버리고, 완전히 확실하게 알 수 있는 지식의 토대를 세우고자 했다. 이를 위해 그는 모든 것을 의심하는 방법론적 회의를 사용했다. 흔히 "코기토 에르고 숨"(Cogito, ergo sum|코기토, 에르고 숨^lat)이라는 유명한 구절이 《성찰》에서 처음 등장했다고 알려져 있지만, 실제로는 《방법 서설》에서 먼저 사용되었다. 데카르트는 이 명제가 생각하는 행위로부터 존재라는 결론을 이끌어내는 함축성을 더 명확히 하기 위해 "나는 생각한다. 그러므로 나는 존재한다"(ego cogito, ergo sum|에고 코기토, 에르고 숨^lat)로 표현을 다듬었다. 이 명제는 데카르트 철학의 제1 원리가 되었다.

2. 3. 비트겐슈타인의 언어철학

루트비히 비트겐슈타인은 그의 저서 《확실성에 관하여》(On Certainty)에서 인식론의 문제를 다루었다. 이 책은 비트겐슈타인이 사망하기 직전에 작성한 메모들을 엮은 것이다. 비트겐슈타인은 이 책에서 반-기초주의적 관점을 제시하며, 모든 주장은 원칙적으로 의심될 수 있지만 특정 틀 또는 맥락 안에서는 확실성이 가능하다고 주장했다.^[3] 그는 "명제가 언어에서 수행하는 기능은 경험적 명제가 의미를 가질 수 있는 일종의 틀 역할을 하는 것"이라고 설명했다.^[3]

비트겐슈타인은 의심조차도 어떤 확실성을 전제로 한다고 보았다.

: "만약 당신이 모든 것을 의심하려 한다면, 당신은 어떤 것도 의심하는 데까지 이르지 못할 것이다. 의심하는 행위 자체도 확실성을 전제한다."

: — 루트비히 비트겐슈타인, 《확실성에 관하여》, #115

이는 언어 게임과 삶의 형식 속에서 특정 명제들이 의심의 대상이 되지 않고 당연하게 받아들여지는 배경 역할을 한다는 것을 의미한다. 즉, 절대적인 의미의 확실성은 부정하지만, 우리가 사용하는 언어와 실천의 맥락 속에서는 의심할 수 없는 확실한 것들이 존재한다는 것이다.

3. 확실성의 정도

확실성은 절대적인 개념이 아니라 다양한 수준, 즉 '정도'의 문제로 이해될 수 있다. 물리학자 로렌스 크라우스는 정책 결정이나 과학 이해 등에서 확실성의 정도를 구별하는 것이 중요하다고 강조했다.^[4] 철학자 루돌프 카르납은 이를 객관적으로 측정 가능한 '확실성의 정도'로 보았고, 베이즈 분석은 주관적인 신념의 척도로 해석하기도 한다. 또한 법적 확실성의 정도와 같이, 요구되는 증거 수준에 따라 확실성을 단계적으로 나누는 기준도 존재한다. 만약 지식이 절대적인 확실성을 요구한다면, 지식 획득은 거의 불가능할 수 있다.

3. 1. 과학적 확실성

물리학자 로렌스 크라우스는 정책 결정이나 과학을 이해하는 데 있어 다양한 수준의 확실성을 구분하는 것이 중요하지만, 이러한 필요성이 종종 간과된다고 지적한다.^[4] 그는 서로 다른 목표를 위해서는 서로 다른 정도의 확실성이 요구되는데, 정치인들이 현재 다루고 있는 문제의 확실성 수준을 제대로 인지하지 못하거나 명확하게 밝히지 않는 경우가 많다고 비판한다.^[4]

루돌프 카르납과 같은 철학자는 확실성을 객관적으로 측정 가능한 '확실성의 정도' 문제로 보았다. 이 관점에서 정도 1은 완전한 확실성을 의미한다. 반면, 베이즈 분석은 주관적인 심리적 믿음의 척도로서 확실성의 정도를 해석하는 방식을 제공한다.

법적인 맥락에서는 법적 확실성의 정도라는 기준을 사용하기도 한다. 이는 증거의 신뢰도에 따라 단계적으로 나뉜다. 신뢰할 만한 증거가 전혀 없는 상태부터 시작하여, 약간의 신뢰할 수 있는 증거, 증거의 우위, 명확하고 설득력 있는 증거, 합리적 의심의 여지가 없는 경우, 그리고 마지막으로 (사실상 충족하기 불가능하다고 여겨지는) 의심의 여지가 전혀 없는 경우까지 단계가 올라간다.

만약 지식이 절대적인 확실성을 요구한다면, 우리의 믿음이 틀릴 수 있다는 명백한 사실에서 알 수 있듯이, 지식을 얻는 것은 거의 불가능해질 것이다.

3. 2. 법적 확실성

법적 확실성의 정도를 기준으로 확실성을 판단할 수도 있다. 이러한 증거 기준은 요구되는 확실성의 수준에 따라 다음과 같이 점차 높아진다.

신뢰할 수 있는 증거 없음
약간의 신뢰할 수 있는 증거
증거의 우위
명확하고 설득력 있는 증거
합리적 의심의 여지가 없는 경우
의심의 여지가 없는 경우 (사실상 충족하기 불가능한 기준으로 여겨짐)

4. 수학의 기초 위기

'수학의 기초 위기'는 20세기 초, 수학의 적절한 기초를 탐구하는 과정에서 발생한 논쟁과 불확실성을 일컫는 용어이다. 이 시기 수학자들은 수학의 근본적인 토대를 확립하려 했으나, 러셀의 역설과 같은 여러 역설과 모순들이 발견되면서 수학의 확실성에 대한 믿음이 흔들리기 시작했다.

이러한 위기 상황 속에서 여러 수학 철학 학파들이 등장하여 각자의 해법을 제시하며 대립했다. 대표적으로 다비트 힐베르트가 이끈 형식주의 학파는 힐베르트의 프로그램을 통해 수학 전체를 모순 없는 형식 체계로 구축하고자 했다. 반면, L.E.J. 브라우어르를 중심으로 한 직관주의 학파는 형식주의를 의미 없는 기호 조작으로 비판하며 수학적 대상의 직관적 구성을 강조했다.^[5] 이들의 대립은 매우 치열했으며, 1920년 힐베르트는 브라우어를 당시 최고의 수학 저널인 ''수학 연보'' 편집 위원회에서 제거하기도 했다.

그러나 1931년 쿠르트 괴델이 발표한 괴델의 불완전성 정리는 힐베르트 프로그램의 목표, 즉 수학의 완전하고 모순 없는 형식 체계를 구축하려는 시도가 근본적으로 불가능함을 증명했다. 괴델은 산술의 기본 이론을 포함할 만큼 충분히 강력하고 일관된 형식 체계 내에는 참이지만 그 체계의 규칙만으로는 증명할 수 없는 명제가 반드시 존재하며, 더 나아가 그러한 체계는 자기 자신의 무모순성을 스스로 증명할 수 없음을 보였다. 이는 수학적 진리가 순수한 형식 체계로 완전히 환원될 수 없음을 명확히 했고, 수학의 절대적 확실성에 대한 기대에 큰 충격을 주었다. 특히 현대 수학의 기초로 널리 사용되는 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)과 같은 시스템의 무모순성조차 증명할 수 없다는 사실이 밝혀졌다.

비록 괴델의 정리로 인해 절대적인 기초를 확립하려는 초기 목표는 좌절되었지만, 현대 수학은 ZFC와 같은 공리계를 바탕으로 안정적으로 발전하고 있다. ZFC의 무모순성은 증명될 수 없지만, 실제 연구 과정에서 모순이 발견되지 않았고, 초기에 발견되었던 논리적 역설들을 해결하거나 회피하는 방법을 마련했으며, 강제법 등을 통해 상대적인 무모순성을 증명하는 등 실질적인 안정성을 확보했다. 예를 들어, ZFC가 일관성이 있다면 연속체 가설이나 그 부정을 추가한 이론들도 모두 일관성이 있다는 것이 증명되었다. 이러한 과정을 통해 20세기 초의 '수학의 기초 위기'는 절대적 확실성 대신 실용적이고 안정적인 토대를 마련하는 방향으로 해결되었다고 평가받는다.

4. 1. 형식주의와 직관주의의 대립

20세기 초 수학계는 수학의 기초를 어떻게 세울 것인가를 두고 심각한 고민에 빠졌다. 여러 수학 철학 학파들이 등장하며 논쟁을 벌였는데, 특히 형식주의와 직관주의의 대립이 두드러졌다.

다비트 힐베르트가 이끈 형식주의 학파는 수학의 기초를 형식 체계의 공리화를 통해 확고히 다지려 했다. 이는 힐베르트의 프로그램으로 구체화되었으며, 수학적 증명을 형식적인 규칙에 따라 엄밀하게 진행하는 것을 목표로 삼았다.

이에 맞서 L.E.J. 브라우어르를 중심으로 한 직관주의 학파는 형식주의적 접근법을 강하게 비판했다. 그들은 형식주의가 수학적 대상의 본질적인 의미를 간과하고 '의미 없는 기호 놀이'에 불과하다고 주장했다.^[5] 직관주의자들은 수학적 대상이란 인간의 직관을 통해 구성될 수 있어야 한다고 보았다.

두 학파 사이의 논쟁은 매우 격렬했다. 1920년에는 힐베르트가 당시 최고의 수학 저널이었던 ''수학 연보'' 편집 위원회에서 브라우어를 제거하는 데 성공하기도 했다.^[5] 이는 수학의 방향을 둘러싼 두 진영의 첨예한 대립을 보여주는 사건이었다.

4. 2. 괴델의 불완전성 정리

20세기 초 수학계는 수학의 확실한 기초를 세우려는 과정에서 러셀의 역설과 같은 여러 역설에 부딪히며 '수학 기초의 위기'를 겪었다. 이 문제를 해결하기 위해 여러 수학 철학 학파가 등장했는데, 그중 다비트 힐베르트가 주도한 형식주의는 힐베르트의 프로그램을 통해 수학의 모든 명제를 모순 없이 증명할 수 있는 완벽한 형식 체계를 구축하고자 했다. 힐베르트는 유한주의적 메타수학 방법으로 형식 체계의 무모순성을 증명하여 수학의 기초를 확립하려 했다. 당시 L.E.J. 브라우어르가 이끄는 직관주의 학파는 형식주의를 의미 없는 기호 놀이로 간주하며 강하게 대립했다.^[5]

그러나 1931년 쿠르트 괴델이 발표한 괴델의 불완전성 정리는 이러한 힐베르트 프로그램의 목표 달성이 불가능함을 보여주었다. 괴델의 첫 번째 불완전성 정리는, 기본적인 산술을 포함할 만큼 충분히 강력하고 모순이 없는, 유한한 공리로 정의될 수 있는 형식 체계 안에는, 참이지만 그 체계의 규칙만으로는 증명할 수 없는 명제가 반드시 존재함을 증명했다. 이는 수학적 진리가 힐베르트가 생각했던 것처럼 순수한 형식 체계만으로는 완전히 포착될 수 없음을 의미했다.

괴델의 두 번째 불완전성 정리는 더 나아가, 그러한 형식 체계는 자기 자신의 무모순성을 스스로 증명할 수 없다는 것을 밝혔다. 이는 기본 산술의 공리화를 포함하는 어떤 시스템도, 심지어 현대 수학의 기초로 널리 사용되는 체르멜로-프렝켈 집합론(ZFC)조차도 그 자체의 무모순성을 증명할 수 없다는 것을 의미한다.

이러한 결과는 힐베르트 프로그램의 핵심 목표 달성이 불가능함을 명확히 했지만, 현대 수학의 실제적인 토대를 무너뜨리지는 않았다. ZFC에서 모순이 발견된 적은 없으며, 만약 발견된다 하더라도 대부분의 수학자들은 ZFC의 공리를 약간 수정하여 해결할 수 있을 것이라고 확신한다. 또한, 강제법과 같은 방법을 통해 어떤 이론이 무모순이라는 가정 하에 다른 이론의 무모순성을 증명하는 '상대적 무모순성 증명'은 가능하다. 예를 들어, ZFC가 무모순이라면, 연속체 가설을 추가하거나 그 부정을 추가한 이론들도 모두 무모순이라는 것이 증명되었다. 이는 현대 수학의 무모순성이 우리가 선택한 공리 체계에 의존한다는 것을 보여준다. 결과적으로 괴델의 정리는 수학의 절대적인 확실성에 대한 기존의 관념에 도전했지만, 수학적 탐구의 가능성을 닫지는 않았다.

4. 3. 현대 수학의 확실성

현대 수학의 일반적인 기초로는 체르멜로-프렝켈 집합론 (ZFC)이 널리 받아들여지고 있다. 그러나 1931년 쿠르트 괴델이 증명한 괴델의 불완전성 정리, 특히 두 번째 정리에 따르면, ZFC와 같이 산술의 기본 이론을 포함할 만큼 충분히 강력하고 일관된 형식 체계는 스스로의 무모순성(일관성)을 증명할 수 없다.^[5] 이는 ZFC가 모순이 없다는 것을 수학적으로 완벽하게 증명할 방법이 없음을 의미한다.

만약 ZFC에 모순이 존재한다면, 이론 내에서 어떤 명제와 그 부정 명제를 동시에 증명할 수 있게 되어 모든 명제가 참이자 거짓이 되는 심각한 문제가 발생한다. 하지만 오랜 시간 동안 수많은 수학 분야에서 ZFC를 사용해왔음에도 불구하고 아직까지 그러한 모순은 발견되지 않았다. 이는 ZFC에 기반한 현대 수학의 결과들이 실질적으로 상당한 확실성을 가지고 있음을 시사한다. 많은 수학자들은 만약 미래에 모순이 발견되더라도, ZFC의 공리를 약간 수정하여 문제를 해결할 수 있을 것이라고 확신한다.

더 나아가, 강제법과 같은 기법을 사용하면 ZFC의 '상대적 무모순성'을 보일 수 있다. 이는 ZFC 자체의 절대적 무모순성을 증명하는 대신, ZFC가 무모순이라는 가정 하에 다른 공리(예: 연속체 가설 또는 그 부정)를 추가한 새로운 이론 체계 역시 무모순임을 증명하는 방식이다. 예를 들어, ZFC가 무모순이라면, 연속체 가설을 ZFC에 추가한 이론도, 연속체 가설의 부정을 ZFC에 추가한 이론도 모두 무모순이라는 것이 증명되었다. 이는 연속체 가설이 ZFC 공리계 내에서는 증명될 수도 반증될 수도 없는 독립적인 명제임을 보여준다. 이러한 상대적 일관성 증명의 존재는 현대 수학의 일관성이 수학이 구축된 공리에 대한 특정 선택에 의존함을 의미한다.

결론적으로, ZFC의 무모순성은 증명될 수 없지만, 러셀의 역설과 같이 초기에 발견되었던 논리적 역설들은 ZFC 체계 내에서 해결되거나 회피되었다. 또한 ZFC를 기반으로 한 방대한 수학적 결과들에서 모순이 발견되지 않았다는 경험적 사실과 상대적 무모순성 증명들은 현대 수학의 일관성에 대한 실질적인 신뢰를 제공한다. 이런 의미에서 20세기 초 수학 기초에 대한 위기는 절대적 확실성 확보라는 목표는 달성하지 못했지만, 안정적인 수학 연구를 위한 기반을 마련함으로써 어느 정도 해결되었다고 볼 수 있다.

5. 한국 사회와 확실성

한국 사회는 짧은 기간 동안 압축적인 경제 성장과 민주화를 경험하며 매우 빠르게 변화해왔다. 이러한 급격한 변화는 사회 구성원들의 삶의 방식을 바꾸고 다양한 가치관을 등장시켰다. 과거 권위주의 시대의 획일적인 가치관에서 벗어나 개인의 자유와 다양성이 존중되는 사회로 나아가는 긍정적인 측면도 있었지만, 다른 한편으로는 여러 가치관이 충돌하면서 사회적 혼란과 불확실성이 커지는 결과를 낳기도 했다.

특히 세대 갈등, 이념 대립, 젠더 갈등 등 다양한 사회적 갈등이 심화되면서 미래에 대한 불안감이 높아지고 있다. 급변하는 사회 환경 속에서 안정적인 삶의 기반을 찾기 어려워지면서, 사람들은 점차 예측 가능하고 명확한 것, 즉 '확실성'을 강하게 요구하게 되었다. 이는 복잡하고 불안정한 현실에서 벗어나 심리적 안정을 찾으려는 경향으로 해석될 수 있다. 사회 전반적으로 높아진 불확실성은 정치, 경제, 사회 등 여러 영역에서 확실하고 안정적인 대안을 선호하는 현상으로 이어지기도 한다.

참조

_[1] 웹사이트 Certainty https://plato.stanfo[...] 2020-07-12
_[2] 웹사이트 Certainty https://plato.stanfo[...] 2022-07-22
_[3] 웹사이트 On Certainty http://www.sparknote[...] SparkNotes
_[4] 웹사이트 question center, SHAs – cognitive tools http://www.edge.org/[...] edge.com 2011-03-03
_[5] 서적 Mathematics and Mind Oxford University Press
_[6] 서적 http://www.nap.edu/c[...]
_[7] 웹인용 edge.org http://www.edge.org/[...] 2016-11-13
_[8] 웹인용 On Certainty http://www.sparknote[...]

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