직관주의
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1. 개요
직관주의는 수학적 개념의 존재는 구성에 의해 증명되어야 한다는 철학적 입장을 말한다. 20세기 초 L. E. J. 브라우어르가 주창했으며, 칸토어의 초한수와 프레게의 논리주의에 대한 반발로 시작되었다. 직관주의는 무한 집합에서 배중률을 거부하고, 수학적 명제의 참을 주관적인 정신적 구성으로 보며, 고전 논리와 다른 부정과 논리 연산자를 사용한다. 직관주의 논리는 수학기초론, 컴퓨터 과학에 영향을 미쳤으며, 직관 논리, 직관 산술, 직관적 유형 이론, 직관적 집합론, 직관적 해석학 등의 분과를 가진다.
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| 직관주의 | |
|---|---|
| 기본 정보 | |
| 분야 | 수학의 철학, 논리학 |
| 관련 주제 | 구성주의, 유한주의, 반실재론 |
| 주요 인물 | 렌더르트 브라우어르 아렌트 헤이팅 페르 마틴뢰프 |
| 역사적 맥락 | |
| 기원 | 20세기 초, 형식주의와 논리주의에 대한 반발로 시작 |
| 핵심 원리 | |
| 진리 | 증명 가능성에 기반하며, 증명되지 않은 명제는 참 또는 거짓으로 간주될 수 없음 |
| 존재 | 구성 가능성에 기반하며, 구성할 수 없는 대상은 존재하지 않음 |
| 배중률 거부 | "A 또는 not A"가 항상 참이라는 원칙을 거부함 |
| 수학적 특징 | |
| 구성적 증명 | 수학적 대상의 존재를 증명하기 위해 실제로 그 대상을 구성하는 방법을 제시해야 함 |
| 무한 | 잠재적 무한만을 인정하며, 실무한의 개념을 거부함 |
| 논리 | 직관 논리를 사용하며, 고전 논리의 일부 추론 규칙을 인정하지 않음 |
| 철학적 함의 | |
| 반실재론적 입장 | 수학적 대상은 인간의 정신적 구성물이며, 독립적으로 존재하는 실체가 아님 |
| 주관주의적 경향 | 수학적 지식은 개인의 직관과 구성 능력에 의존함 |
| 영향 | |
| 컴퓨터 과학 | 프로그램 검증 및 형식 검증 분야에 영향 |
| 철학 | 반실재론 및 구성주의 철학에 영향 |
| 비판 | |
| 수학적 실용성 제한 | 고전 수학의 많은 결과를 사용할 수 없기 때문에 수학적 연구의 폭이 좁아질 수 있다는 비판 존재 |
| 복잡성 | 직관주의적 증명이 고전적 증명보다 더 복잡하고 어려울 수 있다는 비판 존재 |
2. 역사적 배경
직관주의의 역사는 19세기 말 게오르크 칸토어의 초한수와 버트런드 러셀의 러셀의 역설을 통해 촉발된 두 가지 주요 수학 논쟁에서 기원을 찾을 수 있다. 칸토어의 초한수는 그의 스승 레오폴트 크로네커를 포함한 다수의 수학자들에게 거부당했고, 프레게의 논리주의는 러셀의 역설로 인해 좌절되었다.
이러한 논쟁은 칸토어와 러셀이 사용한 논리적 방법이 본질적으로 동일하다는 점에서 서로 연결된다. 따라서 러셀의 역설 해결 방법은 칸토어의 초한수 지위에 직접적인 영향을 미친다.
20세기 초, L. E. J. 브라우어르는 직관주의를, 다비트 힐베르트는 형식주의를 대표했다. 쿠르트 괴델은 플라톤주의적 입장을, 앨런 튜링은 비구성적 논리 체계를 제시했다.
니콜라 기신은 양자 불확정성, 정보 이론, 시간의 물리학을 재해석하기 위해 직관주의 수학을 채택하고 있다.
크로네커나 푸앵카레도 칸토어의 집합론에 반대했지만, 네덜란드의 위상수학자브라우어르가 가장 명확하게 직관주의를 표명했다. 브라우어르는 수학적 개념이 수학자의 정신에서 구성되어야 존재한다고 보았으며, 무한 집합에서 귀류법을 통한 존재 증명을 인정하지 않았다. 그는 무한 집합에서 배중률(어떤 명제는 참이거나 거짓)을 버려야 한다고 주장하며 힐베르트와 논쟁을 벌였다.
2. 1. 칸토어의 초한수와 크로네커의 유한주의
게오르크 칸토어는 초한수를 발명하였으나, 그의 스승인 레오폴트 크로네커를 포함한 다수의 저명한 수학자들은 이를 거부하였다. 크로네커는 확고한 유한론자였다.2. 2. 프레게의 논리주의와 러셀의 역설
고틀로프 프레게는 집합론을 통해 모든 수학을 논리학적 형식으로 축소하려는 시도를 했다. 그러나 버트런드 러셀은 러셀의 역설을 발견했다. 프레게는 3권으로 된 저서를 계획했지만, 2권이 출판될 무렵 러셀이 프레게에게 편지를 보내 자신의 역설을 설명했고, 이는 프레게의 자기 참조 규칙 중 하나가 자기 모순임을 보여주었다.이 문제로 프레게는 우울증에 빠졌고 계획했던 세 번째 책을 출판하지 않았다고 한다.
2. 3. 브라우어르, 힐베르트, 괴델, 튜링
20세기 초, L. E. J. 브라우어르는 직관주의를 주창했고, 다비트 힐베르트는 형식주의를 대표했다.[2] 쿠르트 괴델은 플라톤주의적 입장을, 앨런 튜링은 비구성적 논리 체계를 제시하며 수학기초론 논쟁을 벌였다.2. 4. 직관주의 논리의 정립
브라우어르의 직관주의는 초기에는 다소 모호하고 이해하기 어려운 측면이 있었다.[2] 그러나 이후 하이팅 등에 의해 정비되고 형식화되어, 고전 논리에서 배중률을 제거한 형태로 오늘날 직관주의 논리로 받아들여지고 있다.3. 주요 특징
직관주의 수학의 가장 두드러진 특징은 수학적 진리에 대한 독특한 해석이다. 직관주의는 직관주의 논리를 사용하는데, 이는 고전 논리와 다르게 부정을 해석하고 배중률의 적용을 제한한다.
직관주의 논리는 추상적 진리를 구성 가능성으로 대체한다. 이는 논리적 계산이 변환을 통해 파생된 명제를 산출할 때 진리가 아닌 정당성을 보존한다는 것을 의미한다. 이러한 특징은 마이클 더밋의 반실재론과 같은 철학 학파에 영향을 주었다.
직관주의 수학은 기존 수학보다 더 엄격한 기준을 적용한다. 예를 들어, 직관주의에서는 ''ab'' = 0에서 ''a'' = 0 또는 ''b'' = 0을 바로 결론 내릴 수 없다. "''a'' = 0 또는 ''b'' = 0"을 증명하려면, "''a'' = 0"을 증명하거나 "''b'' = 0"을 증명해야 하기 때문이다. 또한, 바이어슈트라스의 실수체의 임의의 유계인 부분 집합은 상한을 가진다는 정리는 직관주의에서 증명되지 않는다.
이러한 제한에도 불구하고, 직관주의는 수학 기초론과 컴퓨터 과학에 큰 영향을 미치고 있다.
3. 1. 구성주의적 진리관
브라우어르의 원래 직관주의에서 어떤 명제가 참이라는 것은, 그 명제에 해당하는 정신적 구성을 실제로 할 수 있음을 의미한다. 클리니는 현실주의적 입장에서 직관주의적 참을 형식적으로 정의했지만, 브라우어르는 현실주의/플라톤주의적 입장을 거부했기 때문에 이러한 형식화를 무의미하다고 여겼을 것이다. 직관주의적 참은 다소 불분명하게 남아 있지만, 고전 수학의 참 개념보다 더 제한적이기 때문에, 직관주의자는 자신이 증명하는 모든 것이 실제로 직관주의적으로 참임을 보장하기 위해 고전 논리의 몇 가지 가정을 거부해야 한다. 이것이 직관주의 논리를 낳는다.직관주의자에게 특정 속성을 가진 객체의 존재에 대한 주장은 그러한 속성을 가진 객체를 구성할 수 있다는 주장이다. 모든 수학적 객체는 마음의 구성의 산물로 간주되므로 객체의 존재는 그 구성의 가능성과 동등하다. 이것은 고전적 접근 방식과 대조되는데, 고전적 접근 방식은 객체의 존재가 그 비존재를 반증함으로써 증명될 수 있다고 말한다. 직관주의자에게 이것은 유효하지 않다. 비존재의 반증은 객체의 존재를 주장하기 위해 필요한 것처럼, 가상의 객체에 대한 구성을 찾을 수 있다는 것을 의미하지 않기 때문이다.
3. 2. 부정의 해석
고전 논리와 직관주의 논리에서 부정의 해석은 다르다. 고전 논리에서 명제의 부정은 그 명제가 '거짓'임을 주장한다. 하지만 직관주의에서 명제의 부정은 그 명제가 '반박 가능'하다는 것을 의미한다.따라서 직관주의에서는 긍정적 명제와 부정적 명제 사이에 비대칭성이 존재한다. 어떤 명제 ''P''가 증명 가능하다면, ''P''는 분명히 반박될 수 없다. 그러나 ''P''가 반박될 수 없다는 것을 보여주더라도, 이것이 곧 ''P''의 증명을 구성하는 것은 아니다. 따라서 ''P''는 ''not-not-P''보다 더 강력한 명제이다.
3. 3. 배중률의 제한적 적용
직관주의 논리에서 배중률("''A'' 또는 not ''A''")은 무제한적으로 받아들여지지 않는다. 어떤 명제 ''A''에 대해 아직 증명도 반증도 되지 않은 경우, "''A'' 또는 not ''A''"를 참으로 간주할 수 없다.[2] 예를 들어, ''A''가 직관주의자가 아직 증명하거나 반증하지 못한 어떤 수학적 명제라면, 그 직관주의자는 "''A'' 또는 not ''A''"의 참을 주장하지 않을 것이다. 그러나 직관주의자는 "''A'' and not ''A''"가 참일 수 없다는 것은 받아들인다.크로네커나 푸앵카레도 칸토어의 집합론에 대해 비슷한 주장을 했지만, 가장 명확하게 이를 표명한 것은 네덜란드의 위상수학자브라우어르였다. 브라우어르는 무한 집합에서 귀류법에 의한 비존재의 모순으로부터 존재를 나타내는 증명을 인정하지 않았다. 따라서 무한 집합에서는 배중률, 즉 어떤 명제는 참이거나 거짓이거나 둘 중 하나라는 추론 법칙을 버려야 한다고 주장했다.
브라우어는 "A이거나 A가 아님을 알 수 없는 경우도 있다"는 것을 설명하는 예시로 "원주율의 무한 소수 안에 0이 100개 연속되는 부분이 있는지 알 수 없다"는 것을 제시했다. 어떤 학회에서 브라우어가 이 이야기를 했을 때, "하지만 신이라면 100개 연속되는 부분이 있는지 알 수 있지 않습니까?"라는 질문을 받았는데, 브라우어는 이에 대해 "유감스럽게도 우리는 신과 교신하는 방법을 모릅니다"라고 대답했다.
3. 4. 무한에 대한 관점
브라우어는 실제적 무한은 인정하지 않았지만, 잠재적 무한은 인정했다.[1]4. 직관주의 수학의 분과
직관주의 수학은 여러 분야로 확장되었다.
- 직관 논리: 고전 논리에서 배중률 등을 제외하고 구성주의적 관점에 맞게 재구성한 논리 체계이다.
- 직관 산술: 직관 논리에 기초하여 산술 체계를 구성한다.
- 직관적 유형 이론: 버트런드 러셀의 유형 이론을 직관주의적 관점에서 재구성한 것이다.
- 직관적 집합론: 게오르크 칸토어의 집합론을 직관주의적 관점에서 재구성한 것이다.
- 직관적 해석학: 실수, 함수 등 해석학의 대상을 직관주의적으로 다룬다.
4. 1. 직관 논리
직관 논리는 고전 논리에서 배중률 등을 제외하고 구성주의적 관점에 맞게 재구성한 논리 체계이다. 네덜란드의 위상수학자브라우어르는 수학적 개념이 수학자의 정신의 산물이며, 그 존재는 구성에 의해 보여져야 한다는 입장에서 무한 집합에서 귀류법에 의한 비존재의 모순으로부터 존재를 나타내는 증명을 인정하지 않았다. 따라서 무한 집합에서 "배중률", 즉 어떤 명제가 참이거나 거짓이거나 둘 중 하나라는 추론 법칙을 버려야 한다고 주장했다.[2]브라우어르의 주장은 난해했지만, 이후 하이팅 등에 의해 정비되어 고전 논리에서 배중률을 제거한 형태로 형식화되었고, 이것이 오늘날 직관주의 논리로 받아들여지고 있다. 현대에는 직관주의 논리가 수학의 증명이 모두 구성적으로 이루어져야 한다는 수학적 구성주의와 관련이 깊다고 여겨진다.
직관주의 논리에 기초한 수학은 고전 논리에 기초한 수학에 비해 제한적이다. 예를 들어, ''ab'' = 0에서 ''a'' = 0 또는 ''b'' = 0을 바로 결론 내릴 수 없다. 직관주의에서는 "''a'' = 0 또는 ''b'' = 0"을 증명하는 것은 "''a'' = 0"을 증명하거나, 또는 "''b'' = 0"을 증명할 수 있다는 것을 의미하기 때문이다. 또한, 바이어슈트라스의 실수체의 임의의 유계인 부분 집합은 상한을 가진다는 정리가 증명되지 않는다.
하지만, 직관주의는 단순한 사상을 넘어 수학 기초론이나 컴퓨터 과학에 다양한 영향을 미치고 있다.
4. 2. 직관 산술
직관 논리에 기초하여 산술 체계를 구성한다.4. 3. 직관적 유형 이론
버트런드 러셀의 유형 이론을 직관주의적 관점에서 재구성한 것이다.4. 4. 직관적 집합론
직관적 집합론은 게오르크 칸토어의 집합론을 직관주의적 관점에서 재구성한 것이다.4. 5. 직관적 해석학
직관 논리, 직관 산술, 직관적 유형 이론, 직관적 집합론과 같이 실수, 함수 등 해석학의 대상을 직관주의적으로 다룬다.5. 영향 및 평가
크로네커나 푸앵카레 등은 칸토어의 집합론에 반대하는 주장을 펼쳤지만, 브라우어르가 직관주의를 가장 명확하게 제시하였다.[2] 브라우어르는 수학적 개념은 수학자의 정신에서 구성되어야 하며, 무한 집합에서 귀류법을 통한 존재 증명을 인정하지 않았다. 그는 배중률을 부정하고 힐베르트와 논쟁을 벌였다.
브라우어르의 주장은 난해했지만, 하이팅 등에 의해 정비되어 직관주의 논리로 형식화되었다. 현대에는 직관주의 논리가 수학의 증명이 구성적으로 이루어져야 한다는 수학적 구성주의와 관련이 깊다고 여겨진다.
직관주의는 수학 기초론과 컴퓨터 과학에 큰 영향을 주었다.
5. 1. 수학기초론 및 컴퓨터 과학에의 영향
크로네커나 푸앵카레 등은 칸토어의 집합론에 반대하는 주장을 펼쳤지만, 브라우어르가 직관주의를 가장 명확하게 제시하였다.[2] 브라우어르는 수학적 개념은 수학자의 정신에서 구성되어야 하며, 무한 집합에서 귀류법을 통한 존재 증명을 인정하지 않았다. 그는 배중률을 부정하고 힐베르트와 논쟁을 벌였다.브라우어르의 주장은 난해했지만, 하이팅 등에 의해 정비되어 직관주의 논리로 형식화되었다. 현대에는 직관주의 논리가 수학의 증명이 구성적으로 이루어져야 한다는 수학적 구성주의와 관련이 깊다고 여겨진다.
직관주의 논리에 기초한 수학은 고전 논리에 비해 제한적이다. 예를 들어, ''ab'' = 0에서 ''a'' = 0 또는 ''b'' = 0을 바로 결론 내릴 수 없다. 또한, 바이어슈트라스의 실수체의 유계인 부분 집합이 상한을 가진다는 정리가 증명되지 않는다.
그러나 직관주의는 수학 기초론과 컴퓨터 과학에 큰 영향을 주었다.
5. 2. 한계점
직관주의 논리에 기초한 수학은 고전 논리에 기초한 수학에 비해 제한적인 성과를 낼 수밖에 없다. 예를 들어, ''ab'' = 0일 때, ''a'' = 0 또는 ''b'' = 0이라고 바로 결론 내릴 수 없다. 직관주의에서는 "''a'' = 0 또는 ''b'' = 0"을 증명하려면, "''a'' = 0"을 증명하거나 "''b'' = 0"을 증명해야 하기 때문이다. 또한, 바이어슈트라스의 실수체에 관한 정리, 즉 임의의 유계인 부분 집합은 상한을 가진다는 정리를 증명할 수 없다.[2]6. 주요 기여자
크로네커나 푸앵카레도 칸토어의 집합론에 대항하는 형태로 이와 유사한 주장을 제기했지만, 가장 명확하게 표명한 것은 네덜란드의 위상수학자브라우어르이다. 푸앵카레 등의 입장은 브라우어르의 입장과 구분하여 전 직관주의라고 불리기도 한다.[2]
브라우어르의 주장은 감각적이고 이해하기 어려웠지만, 이후 하이팅 등에 의해 정비되었다.[2]
7. 일화
브라우어는 "A이거나 A가 아님을 알 수 없는 경우도 있다"는 것을 설명하기 위해 "원주율의 무한 소수 안에 0이 100개 연속되는 부분이 있는지 알 수 없다"는 예시를 제시했다.[1]
어떤 학회에서 브라우어가 이 이야기를 했을 때, "하지만 신이라면 100개 연속되는 부분이 있는지 알 수 있지 않습니까?"라는 질문을 받았다. 브라우어는 이에 대해 "유감스럽게도 우리는 신과 교신하는 방법을 모릅니다"라고 대답했다.[1]
참조
[1]
문서
explained at Cardinality of the continuum
[2]
서적
ゲーデル 不完全性定理
岩波書店
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