후생경제학의 기본 정리

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1. 개요

후생경제학의 기본 정리는 경제학에서 자원 배분과 시장 효율성을 설명하는 핵심 이론이다. 이 정리는 완전 경쟁 시장에서 개인이 자신의 이익을 추구하는 과정이 사회 전체의 효율성을 증진시킨다는 '보이지 않는 손'의 개념을 수학적으로 정립한 것이다. 제1정리는 시장 균형이 파레토 효율적임을, 제2정리는 파레토 효율적인 자원 배분이 초기 자원 배분을 조절하여 시장 균형을 통해 달성될 수 있음을 보여준다. 이러한 정리는 시장의 자율성을 옹호하는 근거가 되지만, 불완전 경쟁, 외부 효과, 정보 비대칭 등의 현실적인 제약으로 인해 한계를 갖는다.

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후생경제학의 기본 정리
기본 정보
유형	경제 이론
분야	후생경제학
관련 개념	파레토 효율성 애로우의 불가능성 정리 일반 균형 시장 실패 사회후생함수
내용
제1정리	모든 완전 경쟁 시장 균형은 파레토 최적이다.
제2정리	적절한 조건 하에서, 모든 파레토 최적 배분은 경쟁 균형으로 달성될 수 있다.
중요성
시사점	시장 경제의 효율성 가능성 지지 정부 개입의 필요성 (시장 실패 시) 소득 재분배 정책의 정당성
가정
공통 가정	완전 경쟁 시장 정보의 완전성 외부 효과의 부재 충분한 재화의 수
제1정리 추가 가정	모든 소비자와 생산자는 가격 수용자이다.
제2정리 추가 가정	볼록 선호 체계와 볼록 생산 집합
비판
현실 적용의 어려움	완전 경쟁 시장의 현실적 존재 어려움 정보 비대칭 문제 외부 효과 존재 불완전한 정보와 불확실성
공정성 문제	파레토 효율성이 공정한 분배를 보장하지 않음
참고 문헌
주요 학자	케네스 애로우 제라르 드브뢰 아르투르 피구
같이 보기
관련 주제	후생경제학 시장 실패 공공경제학

2. 역사

후생경제학의 기본정리는 오랜 역사를 거쳐 발전해 왔다.

애덤 스미스는 저서 "국부론"에서 '보이지 않는 손' 개념을 통해 각 개인이 자신의 이익을 추구하면 사회 전체의 이익도 증가한다고 주장했다.^[4] 레옹 발라스는 자유 경쟁 하에서 모든 시장 참여자들이 균일한 가격으로 거래하면 최대 만족을 얻을 수 있음을 보였다.^[6] 에지워스는 생산이 없는 순수 교환 경제를 연구하면서 제1 기본 정리에 한 걸음 더 다가섰다.^[7]

빌프레도 파레토는 저서 ''Manuale''(1906)와 프랑스어 개정판 ''Manuel''(1909)에서 제1 기본 정리를 더 엄밀하게 제시했다.^[10] 그는 집단 구성원들이 특정 위치에서 최대 오펠리미티(효용)를 누린다고 정의했는데, 이는 작은 단계를 옮겨도 일부 개인의 효용은 증가하지만 다른 개인의 효용은 감소하는 상태를 의미한다.^[13] 크누트 빅셀은 파레토의 정의에 대해, 자유 경쟁 하에서 이러한 최대값이 얻어지는 것은 거의 자명하다고 언급했다.^[15] 파레토는 또한 분배 문제를 제기하며, 집단주의 사회가 구성원들의 오펠리미티를 극대화하기 위해 재화를 어떻게 분배하고 생산을 조직해야 하는지 질문했다.^[20]

바로네는 파레토의 동료로, 완전 경쟁의 최적성 속성을 증명했다.^[21] 아바 러너는 생산가능곡선 개념을 도입하여 생산과 교환의 최적성 조건을 제시했다.^[24] 오스카 랑게는 논문 "후생 경제학의 기초"에서 시장과 분배를 다루는 두 가지 정리를 제시했다.^[28] 아브람 버그슨과 폴 새뮤얼슨은 랑게의 제2 후생 정리를 거의 현대적인 형태로 제시했다.^[30] 케네스 애로와 제라르 드브뢰는 랑게의 첫 번째 정리에 대한 엄밀성을 개선하고자 각자 논문을 작성하여 거의 동시에 출판했다.^[32]

브루스 그린월드와 조지프 스티글리츠는 1986년 논문에서 불완전 시장이나 불완전 정보가 있는 경우 후생경제학의 기본 정리가 성립하지 않는다는 것을 보였다.^[33]

2. 1. 애덤 스미스 (1776)

애덤 스미스는 저서 "국부론"에서 '보이지 않는 손'이라는 개념을 통해 시장 경제의 효율성을 강조했다. 그는 각 개인이 자신의 이익을 추구하는 과정에서 사회 전체의 이익이 증진된다고 주장했다.^[4]

> 각 개인은 필연적으로 사회의 연간 수입을 가능한 한 크게 만들려고 노력한다... 그는 이 과정에서, 다른 많은 경우와 마찬가지로, 자신의 의도와는 전혀 다른 목적을 달성하도록 보이지 않는 손에 이끌린다... 자신의 이익을 추구함으로써, 그는 실제로 사회의 이익을 증진하려는 의도를 가질 때보다 더 효과적으로 사회의 이익을 증진하는 경우가 많다.

스미스의 이러한 주장은 후생경제학의 탄생과 발전에 큰 영향을 미쳤다.^[5]

2. 2. 레옹 발라스 (1870)

레옹 발라스는 자유 경쟁 하에서 모든 시장 참여자들이 균일한 가격으로 사고 파는 것을 전제로 최대 만족을 얻을 수 있음을 보였다.^[6]

2. 3. F. Y. 에지워스 (1881)

에지워스는 생산이 없는 순수 교환 경제를 연구하며, 그의 저서 『수리 심리학』에서 제1 기본 정리를 향해 한 걸음 다가섰다. 그는 자신의 분석에 불완전 경쟁을 포함시켰다.^[7] 그의 균형에 대한 정의는 파레토의 나중의 최적성 정의와 거의 동일하다. 즉, 다음과 같다.

> ''어떤 방향으로'' 매우 작은 단계를 밟더라도, ''P''와 Π[구매자와 판매자의 효용]는 함께 증가하지 않으며, 하나가 증가하는 동안 다른 하나는 감소한다.^[8]

에지워스는 균형이 파레토 최적이라고 결론짓는 대신, 균형이 당사자들의 효용의 합을 극대화한다고 결론지었다. 이는 파레토 효율성의 특수한 경우이다.

> 이 특수한 경우에 적용된 일반적인 역학적 원리에 따라, 계약자들의 총 쾌락 에너지가 상대적으로 최대이거나 조건에 따라 최대일 때 균형이 달성되는 것으로 보인다...^[9]

2. 4. 빌프레도 파레토 (1906/9)

빌프레도 파레토는 그의 저서 ''Manuale''(1906)와 프랑스어 개정판 ''Manuel''(1909)에서 제1 기본 정리를 더욱 엄밀하게 제시했다.^[10] 그는 자신의 기준에 따라 최적성을 주장하거나 설득력 있는 논거로 이 주장을 뒷받침한 최초의 인물이었다.

그는 외부 압력이 없는 상태에서 영원히 유지될 균형을 에지워스보다 더 추상적으로 정의했으며,^[11] 교환 경제에서 이는 당사자들의 무차별 곡선에 대한 공통 접선이 부존점을 통과하는 지점임을 보여준다.^[12]

그의 최적성에 대한 정의는 6장에서 다음과 같이 제시된다.

> 우리는 집단의 구성원들이 특정 위치에서 "최대 오펠리미티" [즉, 효용]를 누린다고 말할 것이다. 이는 집단의 각 개인의 오펠리미티가 증가하거나 감소하도록 작은 단계를 옮기는 것이 불가능할 때이다. [그는 이전에 개인 오펠리미티의 증가는 더 높은 무차별 곡선으로 이동하는 것으로 정의했다.] 즉, 작은 단계라도 일부 개인의 오펠리미티를 증가시키면서 다른 개인의 오펠리미티를 감소시킬 것이다.^[13]

다음 단락은 우리에게 정리를 제시한다.

> 유형 I 현상 [즉, 완전 경쟁]의 경우, 무차별 곡선의 접점에서 균형이 이루어질 때, 집단의 구성원은 최대 오펠리미티를 누린다.

그는 '수학의 도움 없이는 엄밀한 증명을 제시할 수 없다'고 덧붙이고 자신의 부록을 언급했다.^[14]

크누트 빅셀은 그의 최적성 정의에 대해 다음과 같이 언급했다.

> 그러한 정의에 따르면, 이러한 소위 최대값이 자유 경쟁 하에서 얻어진다는 것은 거의 자명하다. 왜냐하면 교환이 이루어진 후, 일련의 직접적 또는 간접적 교환을 통해 참가자들에게 추가적인 욕구 만족을 제공하는 것이 가능하다면, 그러한 지속적인 교환은 의심할 여지 없이 일어났을 것이고, 원래의 위치는 최종 균형 상태가 될 수 없었을 것이기 때문이다.^[15]

파레토는 그것을 그렇게 간단하게 생각하지 않았다. 그는 자신의 텍스트에서 교환에만 적용되는 도표적 논증을 제시했고,^[16] 부록에서는 32페이지에 달하는 수학적 논증을 제시했는데, 이는 폴 새뮤얼슨이 '따라가기 쉽지 않다'고 평가했다.^[18] 파레토는 그의 협력자였던 엔리코 바론의 일부 개발 덕분인 생산 가능 곡선의 개념이 없다는 점에 제약을 받았다.^[19] 그의 '장애물에 대한 무차별 곡선'은 잘못된 길이었던 것으로 보인다.

첫 번째 기본 정리를 진술한 직후, 파레토는 분배에 대한 질문을 던진다.

> 구성원들의 오펠리미티를 극대화하려는 집단주의 사회를 생각해 보자. 이 문제는 두 부분으로 나뉜다. 첫째, 사회 내에서 재화를 구성원 간에 어떻게 분배해야 하는가 하는 분배의 문제가 있다. 그리고 둘째, 재화가 그렇게 분배될 때 사회 구성원들이 최대 오펠리미티를 얻을 수 있도록 생산을 어떻게 조직해야 하는가?

그의 답변은 두 번째 정리에 대한 비공식적인 선구자이다.

> 첫 번째 문제에 대한 답변에 따라 재화를 분배한 후, 국가는 집단 구성원들이 두 번째 분배를 수행하거나, 스스로 수행하도록 허용해야 하며, 어느 경우든 자유 경쟁의 작동 방식에 따라 수행되도록 해야 한다.^[20]

2. 5. 엔리코 바론 (1908)

바로네는 파레토의 동료로, 완전 경쟁의 최적성 속성을 증명했다.^[21] 그는 외생적 가격을 가정할 때, 생산 활동으로부터 얻는 수익의 금전적 가치를 극대화한다고 설명했다. 이 수익은 여가, 저축, 소비재의 가치를 모두 원하는 비율로 합산한 것이다.^[22] 그러나 바로네는 시장에서 선택된 가격 자체가 최적이라는 주장을 하지는 않았다.

그의 논문은 1935년까지 영어로 번역되지 않았다. 폴 새뮤얼슨은 이 논문에 대한 긍정적인 요약을 제시했지만, 이 논문이 현재의 후생 정리 발전에 영향을 미치지는 못한 것으로 보인다.^[23]

2. 6. 아바 러너 (1934)

아바 러너는 생산가능곡선 개념을 도입하여 생산과 교환의 최적성 조건을 제시했다. 그는 무차별 곡선이 접선으로 만나야 한다는 교환 조건을 다시 언급하며, 이를 최적성 속성으로 제시했다. 그는 생산에 대해서도 생산가능곡선이 공동체의 무차별 곡선과 접해야 한다는 유사한 조건을 제시했다.^[24] 그는 두 주장이 동일한 용어로 제시될 수 있음을 보여주었는데, 생산가능곡선이 에지워스 상자에서 거울 이미지 무차별 곡선과 동일한 역할을 하기 때문이다. 또한 그는 곡선이 미분 가능할 필요가 없으며, 뾰족한 모서리에서 만나는 경우에도 동일한 결과를 얻을 수 있다고 언급했다.

그의 최적성에 대한 정의는 파레토의 정의와 동일했다.

> 만약... 다른 개인을 더 나쁜 위치로 이동시키지 않고 한 개인을 선호하는 위치로 이동시키는 것이 가능하다면... 우리는 상대적 최적에 도달하지 못했다고 말할 수 있다...

생산에 대한 최적성 조건은 (i) 가격이 한계 비용과 같아야 하고 (ii) (i)을 전제로 산출량이 최대화되어야 한다는 두 가지 요구 사항과 동일하다. 따라서 러너는 최적성을 생산과 교환 모두에 대한 접점으로 축소했지만, 생산가능곡선 상의 암시된 점이 자유 시장의 균형 조건이 되어야 하는 이유는 언급하지 않았다. 아마도 그는 그것이 이미 충분히 잘 확립되어 있다고 생각했을 것이다.^[25]

러너는 그의 런던 정경대 동료 빅터 에델버그에게 무차별 곡선 사용을 제안한 공로를 돌렸다. 새뮤얼슨은 러너가 파레토의 연구와는 별개로 자신의 결과를 얻었다고 추측했다.^[26]

2. 7. 오스카 랑게 (1942)

오스카 랑게는 그의 논문 "후생 경제학의 기초"에서 시장을 다루는 정리와 분배를 다루는 정리, 이렇게 두 가지 정리를 제시했다. 그는 라이오넬 로빈스가 개인 간 효용 비교를 거부한 것을 참고하여, 첫 번째 정리에 대한 파레토 최적 정의를 정당화했다.^[28] 또한, 민주적으로 선출된 의회의 판결처럼 두 번째 정리를 위해 개인 간 비교를 다시 도입하는 다양한 방법을 제시했다. 랑게는 그러한 의회가 자본가와 비슷하게 행동할 수 있다고 보았다. 즉, 가격 벡터를 설정하여 효율성과 사회적 평등을 모두 달성하는 최적의 생산 계획을 세울 수 있다고 생각했다.^[29]

랑게의 추론은 아바 러너의 도식적 주장을 라그랑주 승수를 이용해 수학적으로 번역한 것이다. 제2 기본 정리는 랑게의 논문에서는 일반적인 형태를 취하지 않는다. 대신 그는 진정한 사회 후생 함수의 최적화 조건이 파레토 최적성의 최적화 조건과 유사하다는 것을 보여주었다.

2. 8. 아브람 버그슨과 폴 새뮤얼슨 (1947)

폴 새뮤얼슨은 아브람 버그슨에게서 아이디어를 얻어 랑게의 제2 후생 정리를 거의 현대적인 형태로 제시했다.^[30] 그는 파레토 최적을 위해 필요한 일련의 방정식을 도출하는 데 있어 랑게의 방식을 따랐고, 경제가 진정한 사회 후생 함수를 충족해야 하는 경우 어떤 추가적인 제약이 발생하는지 고려했다. 그 결과, '주어진 윤리적 ''요구''를 달성하는 데 필요한 모든 조치는 ''일시불 세금 또는 보조금''의 형태를 취할 수 있다'는 추가적인 일련의 방정식을 발견했다.^[31]

2. 9. 케네스 애로와 제라르 드브뢰 (1951)

케네스 애로와 제라르 드브뢰는 랑게의 첫 번째 정리에 대한 엄밀성을 개선하고자 각자 논문을 작성하였으며, 이 두 논문은 거의 동시에 출판되었다.^[32] 이들의 설명은 (단기) 생산과 교환을 모두 언급하며, 두 조건 모두를 선형 함수를 통해 표현한다.

생산 균형은 제조업체의 순생산량 가치, 즉 제조업체의 생산 벡터와 가격 벡터의 내적이 제조업체의 생산 집합에서 최대화되어야 한다는 제약 조건으로 표현된다. 이는 이윤 극대화로 해석된다.

교환 균형은 개인의 효용이 교환을 통해 재산으로부터 얻을 수 있는 위치, 즉 할당 가치가 그의 재산 가치보다 크지 않은 위치에서 최대화되어야 한다는 것을 의미한다. 여기서 할당 가치는 가격 벡터와의 내적이다.

애로는 증명을 공간 가장자리에서의 균형까지 확장해야 할 필요성을 언급하며 논문에 대한 동기를 부여했고, 드브뢰는 무차별 곡선이 미분 가능하지 않을 가능성을 언급하며 동기를 부여했다. 현대 텍스트는 이들의 증명 방식을 따른다.

2. 10. 그린월드-스티글리츠 정리

브루스 그린월드와 조지프 스티글리츠는 1986년 논문 "불완전 정보 및 불완전 시장이 있는 경제의 외부효과"에서 불완전 시장이나 불완전 정보가 있는 경우 후생경제학의 기본 정리가 성립하지 않는다는 것을 보였다.^[33] 이 논문은 비대칭 정보가 있는 경제의 경쟁 균형이 일반적으로 제약된 파레토 효율적조차 않다는 것을 밝힌다. 경제 내 개인과 동일한 정보 제약을 받는 정부는 그럼에도 불구하고 파레토 개선 정책 개입을 찾을 수 있다.^[34]

그린월드와 스티글리츠는 도덕적 해이가 상황을 비효율적으로 만들 수 있다는 점 등 몇 가지 관련 상황에 주목했다. (예: 알코올세는 자동차 사고를 줄이므로 파레토 개선이 될 수 있음)^[35]

3. 제1정리의 의미와 한계

완전 경쟁 시장에서 수요법칙에 따라 가격 메커니즘을 통해 파레토 효율적인 자원 배분이 실현된다는 것이 '''후생경제학의 제1정리'''에 대한 유력한 견해이다. 이 정리는 애덤 스미스의 '보이지 않는 손'을 자원 배분 측면에서 현대적으로 재구성한 것으로 평가받는다. 이상적인 시장 제도가 갖추어져 있다면, 사익(私益)을 추구하는 행위가 공익(公益)에 부합한다는 것이다. 이는 시장의 힘에 대한 신뢰를 정당화하는 이론적 근거가 된다.

이러한 견해에 따라 파레토 최적을 달성하기 위해 정부가 경제에 개입해서는 안 된다는 주장이 제기되기도 한다. 그러나 이러한 주장은 완전 경쟁의 가정, 사유재산권 확립 여부, 경쟁 균형의 존재 조건 등 여러 요인을 고려해야 한다는 비판을 받는다. 특히, 외부성이나 공공재가 존재하는 경우에는 제1정리의 전제가 성립하지 않아 경쟁 균형이 파레토 최적을 보장하지 못한다^[40]는 점에 유의해야 한다.

3. 1. 제1정리의 가정

후생경제학의 제1정리가 성립하기 위해서는 다음과 같은 가정이 필요하다.

각 소비자 i에 대해 선호 관계 $\geq_i$ 는 국지적 불포화성을 만족한다.
주체(소비자 및 생산 경제의 경우 기업)는 가격을 주어진 것으로 간주한다.
시장은 완전하다.
완전 정보가 제공된다.
주체는 합리적으로 행동한다.
외부성이 존재하지 않는다.^[40]

3. 2. 제1정리의 한계와 비판

후생경제학의 제1정리는 완전 경쟁 시장에서 가격 메커니즘을 통해 파레토 효율적인 자원 배분이 실현된다는 내용을 담고 있다. 이는 애덤 스미스의 '보이지 않는 손'을 현대적으로 재해석한 것으로, 사익 추구가 공익에 부합할 수 있다는 시장의 힘을 보여준다.

하지만 이러한 견해를 바탕으로 정부의 경제 개입을 반대하는 주장은 몇 가지 한계점을 가지고 있다. 우선, 현실 경제에서 완전 경쟁이 실제로 존재하는지 의문이 제기된다. 또한, 사유재산권이 명확하게 확립되어 있는지, 시장이 제대로 작동하고 있는지, 경쟁 균형이 존재하기 위한 조건들이 충족되는지 등을 고려해야 한다.

특히, 외부성이나 공공재가 존재하는 경우, 제1정리의 전제가 성립하지 않아 경쟁 균형이 파레토 효율성을 보장하지 못한다. 이러한 상황을 시장의 실패라고 부른다.^[40]

4. 제2정리의 의미와 한계

제2정리는 볼록성을 가진 사람의 선호체계에서 제1정리의 역이 성립할 수 있다는 점을 보여준다.^[1] 이는 재분배 정책의 이론적 근거가 되며, 재분배 정책의 목표인 공평성이 시장의 효율성을 해치지 않고 달성될 수 있음을 시사한다. 또한 가격체계에 인위적인 조작을 가하면 오히려 비효율성이 발생할 수 있다는 점을 통해 정부 개입의 근거와 준칙을 제시한다고 평가할 수 있다.

4. 1. 제2정리의 가정

제2정리가 성립하기 위해서는 제1정리의 가정에 더해 다음과 같은 추가적인 가정이 필요하다.^[1]

첫 번째 정리의 모든 가정에 더하여, 추가적으로 다음의 사항을 만족해야 한다.
선호 관계 $\geq_i$ 는 각 소비자 i에 대해 국소적 불포화이고 볼록해야 한다.^[1]
생산 집합 $Y_j$ 는 각 기업 j에 대해 볼록해야 한다.^[1]
가격 준 평형에서 이전을 통한 가격 평형으로의 단계: 각 에이전트의 초기 부존은 엄격하게 양수여야 한다.^[1]

4. 2. 제2정리의 의미와 한계

제2정리는 볼록성을 가진 사람의 선호체계에서는 제1정리의 역이 성립할 수도 있다는 것이다. 재분배 정책에 대한 이론적인 근거가 되기도 한다. 재분배 정책의 목표인 공평성이 시장의 효율성을 해치지 않고도 달성할 수 있고, 오히려 가격체계에 인위적인 손질을 하면 비효율성이 유발될 수도 있음을 나타내고 있다. 이러한 의미에서 제2정리는 정부 개입의 근거와 준칙을 제시하고 있다고 평가할 수 있다.

5. 제1정리와 제2정리의 증명

후생경제학의 기본 정리는 일반적인 조건에서 수학적으로 증명할 수 있다.

제1정리는 선호가 국소적 비포화성을 만족하면, 가격 균형에서의 할당이 파레토 최적임을 보인다.^[38] 즉, 어떤 소비자도 다른 소비자의 효용을 감소시키지 않고서는 자신의 효용을 증가시킬 수 없는 상태를 의미한다.

제2정리는 볼록성을 가진 선호체계에서, 모든 생산 집합이 볼록 집합이고 모든 선호 관계가 볼록하며 국소적 비포화성을 만족하면, 임의의 파레토 효율적인 할당은 이전을 통해 가격 '준'-균형으로 지원될 수 있음을 보인다.^[38] 이는 적절한 소득 분배를 통해 시장 균형을 달성할 수 있다는 것을 뜻한다.

5. 1. 제1정리의 증명 (요약)

선호가 국소적으로 비포화적이고,

(\mathbf{X^*},\mathbf{Y^*}, \mathbf{p})

가 가격 균형이라면, 할당

(\mathbf{X^*},\mathbf{Y^*})

는 파레토 최적이다.^[38] 증명 과정은 다음과 같다.

재화의 유형 집합

G

가 주어지면,

G

위의 실수 벡터 공간인

\mathbb{R}^{G}

에서 작업하며, 벡터 값 변수에는 굵은 글씨체를 사용한다. 소비자 ''i''가 부

w_i

를 가지고 있고,

\Sigma_i w_i = \mathbf{p} \cdot \mathbf{e} + \Sigma _j \mathbf{p} \cdot \mathbf{y^*_j}

를 만족한다고 가정한다. 여기서

\mathbf{e}

는 재화의 총 부존량이고

\mathbf{y^*_j}

는 기업 ''j''의 생산량이다.

선호 극대화는 다음을 함축한다(소비자 ''i''의 선호 관계를 나타내기 위해

>_i

사용):

::

\mathbf{x_i} >_i \mathbf{x^*_i}

이면

\mathbf{p} \cdot \mathbf{x_i} > \mathbf{w_i}

즉, 재화 묶음이

\mathbf{x^*_i}

보다 엄격하게 선호된다면, 가격

\mathbf{p}

에서 감당할 수 없어야 한다. 국소적 비포화성은 추가적으로 다음을 함축한다:

::

\mathbf{x_i} \geq _i \mathbf{x^*_i}

이면

\mathbf{p} \cdot \mathbf{x_i} \geq \mathbf{w_i}

이제

(\mathbf{X^*}, Y^*)

를 파레토 지배하는 할당

(\mathbf{X},\mathbf{Y})

을 고려해 보자. 이는 모든 ''i''에 대해

\mathbf{x_i} \geq _i \mathbf{x^*_i}

이고, 일부 ''i''에 대해

\mathbf{x_i} >_i \mathbf{x^*_i}

임을 의미한다. 위에서 모든 ''i''에 대해

\mathbf{p} \cdot \mathbf{x_i} \geq w_i

이고, 일부 ''i''에 대해

\mathbf{p} \cdot \mathbf{x_i} > w_i

임을 알고 있다. 합하면, 다음을 얻는다.

::

\Sigma _i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x_i} > \Sigma _i w_i =  \Sigma _j \mathbf{p} \cdot \mathbf{y^*_j}

.

\mathbf{Y^*}

는 이윤 극대화이므로,

\Sigma _j \mathbf{p} \cdot y^*_j \geq \Sigma _j p \cdot y_j

임을 알고 있으므로,

\Sigma _i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x_i} >  \Sigma _j \mathbf{p} \cdot \mathbf{y_j}

이다. 그러나 재화는 보존되어야 하므로,

\Sigma _i \mathbf{x_i} >  \Sigma _j \mathbf{y_j}

이다. 따라서,

(\mathbf{X},\mathbf{Y})

는 실행 가능하지 않다. 모든 파레토 지배 할당이 실행 가능하지 않으므로,

(\mathbf{X^*},\mathbf{Y^*})

자체는 파레토 최적이어야 한다.^[38]

5. 2. 제2정리의 증명 (요약)

볼록성을 가진 선호체계에서, 모든 생산 집합

Y_j

가 볼록 집합이고 모든 선호 관계

\geq _i

가 볼록하고 국소적 비포화성을 만족하면, 임의의 파레토 효율적 할당은 이체(transfer)가 있는 가격 ''준''-균형으로 지원될 수 있다.^[38] 이를 가격 균형으로 증명하기 위해서는 추가적인 가정이 필요하다.

증명은 두 단계로 진행된다. 먼저, 파레토 효율적 할당이 이체가 있는 가격 준-균형으로 지원될 수 있음을 보인다. 그 다음, 가격 준-균형이 가격 균형이 되는 조건을 제시한다.

이체가 있는 가격 준-균형은 할당

(x^*,y^*)

, 가격 벡터 ''p'', 그리고 부 수준의 벡터 ''w'' (일괄 이체로 달성됨)로 정의되며,

\Sigma _i w_i = p \cdot \omega + \Sigma _j p \cdot y^*_j

가 성립한다. (

\omega

는 재화의 총 부존량,

y^*_j

는 기업 ''j''의 생산량)^[38]

다음 조건들이 만족된다:

모든 $y_j \in Y_j$ 에 대해 $p \cdot y_j \leq p \cdot y_j^*$ (기업은 $y_j^*$ 를 생산하여 이윤 극대화)
모든 ''i''에 대해, $x_i >_i x_i^*$ 이면 $p \cdot x_i \geq w_i$ (만약 $x_i$ 가 $x_i^*$ 보다 엄격하게 선호된다면 $x_i^*$ 보다 적게 들 수 없음)
$\Sigma_i x_i^* = \omega + \Sigma _j y_j^*$ (예산 제약 만족)

가격 준-균형과 가격 균형의 차이는 조건 (''ii'')의 부등식(

p \cdot x_i \geq w_i

)이 약하다는 것이다.

V_i

를 소비자 ''i''가

x_i^*

보다 엄격하게 선호하는 모든 소비 묶음 집합, ''V''를 모든

V_i

의 합으로 정의한다.

V_i

와 ''V''는 선호 관계와 생산 집합의 볼록성으로 인해 볼록하다. ''V''와

Y + \{\omega\}

(모든 생산 집합과 총 부존량의 합)는 교집합이 비어 있어야 한다. 그렇지 않으면

(x^*,y^*)

의 파레토 최적성에 모순된다.

분리 초평면 정리에 의해, 가격 벡터

p \neq 0

와 숫자 ''r''이 존재하여, 모든

z \in V

에 대해

p \cdot z \geq r

이고 모든

z \in Y + \{\omega\}

에 대해

p \cdot z \leq r

이다.

국소적 비포화성에 의해, 모든 ''i''에 대해

x_i \geq _i x_i^*

이면

p \cdot (\Sigma _i x_i) \geq r

이다. 따라서

p \cdot (\Sigma _i x_i^*) = r

이고,

(x^*,y^*,p)

는 이체가 있는 가격 준-균형의 조건을 만족한다.

가격 준-균형이 가격 균형이 되려면, 소비 집합

X_i

가 볼록하고 선호 관계

\geq _i

가 연속 함수여야 하며, "더 저렴한" 소비 묶음

x'_i

가 존재해야 한다. 이는 모든 소비자 ''i''의 부 수준

w_i

가 엄격하게 양수이면 보장된다.^[38]

참조

_[1] PDF https://web.stanford[...] 2022-03-01
_[2] 서적 Whither Socialism? MIT Press 1994-01-01
_[3] 문서
_[4] 문서
_[5] 간행물 Welfare Economics https://doi.org/10.1[...] Palgrave Macmillan UK 2021-11-12
_[6] 문서
_[7] 문서
_[8] 문서
_[9] 문서
_[10] 문서
_[11] 문서
_[12] 문서
_[13] 문서
_[14] 문서
_[15] 문서
_[16] 문서
_[17] 문서
_[18] 문서
_[19] 문서
_[20] 문서
_[21] 문서
_[22] 문서
_[23] 문서
_[24] 문서
_[25] 문서
_[26] 문서
_[27] 문서
_[28] 문서
_[29] 문서 Welfare Economics https://doi.org/10.1[...] Palgrave Macmillan UK 2021-11-12
_[30] 문서
_[31] 문서
_[32] 문서
_[33] 논문 Externalities in Economies with Imperfect Information and Incomplete Markets 1986-01-01
_[34] 문서
_[35] 문서
_[36] 서적 Microeconomic theory Oxford Univ. Press 1995
_[37] 서적 Introduction to modern economic growth Princeton University Press 2009
_[38] 서적 Microeconomic Theory https://archive.org/[...] Oxford University Press
_[39] 서적 미시경제학
_[40] 문서 이런 상태를 [[시장 실패]]라고 한다.

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