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힐베르트 다양체

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목차

1. 개요

힐베르트 다양체는 분해 가능 하우스도르프 공간과 분해 가능 무한 차원 실수 힐베르트 공간을 사용하여 정의되며, 매끄러운 함수를 통해 연결된 열린 덮개와 단사 연속 함수로 구성된다. 힐베르트 다양체는 위상 힐베르트 공간 위에 유일한 매끄러움 구조를 가지며, 호모토피 동치, 위상 동형, 미분 동형이 서로 동치이다. 힐베르트 다양체는 힐베르트 공간의 열린 집합과 미분 동형이며, 평행화 가능하고, 힐베르트 공간의 열린 부분 집합으로 매끄럽게 임베딩될 수 있다. 힐베르트 다양체의 접공간과 유한 여차원 부분 다양체의 관상 근방과 같은 다양한 구성이 가능하다. 힐베르트 공간의 열린 집합과 소볼레프 공간은 힐베르트 다양체의 예시이다.

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힐베르트 다양체

2. 정의

힐베르트 다양체는 다음 데이터로 주어진다.



이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

  • 임의의 i,j\in I에 대하여, 만약 U_i\cap U_j\ne\varnothing이라면, \phi_j\circ\phi_i^{-1}\colon \phi_i^{-1}(U_i\cap U_j) \to \mathcal H는 매끄러운 함수이다.


여기서, 함수 f\colon U\to \mathcal H, U\subseteq\mathcal H가 ‘매끄러운 함수’라는 것은 임의의 k\in\mathbb Z^+에 대하여

:f(x+\Delta x) = f(x) + D_1(\Delta x) + D_2(\Delta x,\Delta x)

+\dotsb + D_k(\Delta x,\dotsc,\Delta x) + o(\|\Delta x\|^k)

가 되는 유계 작용소들

:D_i \colon \mathcal H^{\oplus i} \to \mathcal H\qquad(1\le i\le k)

이 존재함을 뜻한다.

3. 분류

모든 위상 힐베르트 공간 위에는 유일한 매끄러움 구조가 존재한다. 즉, 주어진 위상 공간 위의 매끄러운 힐베르트 공간 구조는 만약 존재한다면 유일하다.

두 힐베르트 다양체 X, Y에 대하여, 다음 세 조건은 서로 동치이다.



또한, 두 힐베르트 다양체 사이의 임의의 위상 동형은 (위상 동형을 통하여) 미분 동형과 아이소토픽하다. 서로 호모토픽한 두 위상 동형은 아이소토픽하다.

임의의 힐베르트 다양체 X는 \mathcal H의 열린집합과 미분 동형이다.

4. 성질


  • '''쿠이퍼의 정리''': 콤팩트 공간이거나 CW 복합체의 호모토피 유형을 가지는 X 위의 모든 (실수 또는 복소수) 힐베르트 공간 벡터 다발은 자명하다. 특히 모든 힐베르트 다양체는 평행화 가능하다.
  • 모든 매끄러운 힐베르트 다양체는 모델 힐베르트 공간의 열린 부분 집합으로 매끄럽게 임베딩될 수 있다.
  • 두 힐베르트 다양체 사이의 모든 호모토피 동치는 미분 동형 사상에 호모토픽하다. 특히 두 호모토피 동치인 힐베르트 다양체는 이미 미분 동형이다. 이는 렌즈 공간과 이국적인 구와 대조적인데, 유한 차원 상황에서 다양체의 호모토피 동치, 위상 동형 및 미분 동형이 서로 다른 성질임을 보여주기 때문이다.
  • 사드의 정리가 일반적으로 성립하지 않지만, 힐베르트 다양체에서 f : X \to \R^n로 가는 모든 연속 맵은 임계점이 없는 매끄러운 맵 g : X \to \R^n에 의해 임의로 가깝게 근사될 수 있다.

4. 1. 접공간과 부분 다양체

힐베르트 다양체의 접공간이나 유한 여차원 부분 다양체의 관상 근방과 같은 다양체 이론의 많은 기본적인 구성은 유한 차원 상황에서 힐베르트 설정으로 거의 변경 없이 적용된다. 그러나 다양체 간의 맵과 관련된 명제에서는 종종 모든 점에서 미분이 프레드홀름인 맵, 즉 ''프레드홀름 맵''으로 고려를 제한해야 한다. 이는 사드의 보조정리가 프레드홀름 맵에 대해서는 성립하지만, 일반적인 경우에는 성립하지 않기 때문이다.

5. 예

분해 가능 무한 차원 힐베르트 공간의 임의의 열린집합은 힐베르트 다양체이다. 임의의 힐베르트 공간 H는 H에 대한 항등 함수로 주어지는 단일 전역 차트를 갖는 힐베르트 다양체이다. H는 벡터 공간이므로, 임의의 점 p \in H에서 H에 대한 접선 공간 \operatorname{T}_p H는 H 자체와 자연스럽게 동형이며, 따라서 자연적인 내적을 가지며, 이는 H에 있는 내적과 "같다". 따라서 H는 다음과 같은 메트릭을 가진 리만 다양체의 구조를 가질 수 있다.

:g(v, w)(p) := \langle v, w \rangle_H \text{ for } v, w \in \mathrm{T}_p H,

여기서 \langle \,\cdot, \cdot\, \rangle_H는 H에서의 내적을 나타낸다.

마찬가지로, 힐베르트 공간의 모든 열린 집합은 전체 공간에 적용되는 것과 동일한 구조에서 힐베르트 다양체이자 리만 다양체이다.

5. 1. 사상 공간

(유한 차원) 콤팩트 리만 다양체 M과 (유한 차원) 매끄러운 다양체 N이 주어졌을 때, 소볼레프 공간 \operatorname W^{n,2}(M,N)을 생각할 수 있다. 이는 그 원소의 n차 미분의 L2 노름이 유한한 함수들의 공간이다. 만약

:2n > \dim M

이라면, 이 공간은 (매끄러운) 힐베르트 다양체를 이룬다.[1]

특히, 매끄러운 함수 f\in\mathcal C^\infty(M,N)에 대하여 f의 접공간은 표준적으로 힐베르트 공간인 소볼레프 공간

:\operatorname W^{n,2}(f^*\mathrm TN)

이다.

예를 들어, M=\mathbb S^1 (원)인 경우, 힐베르트 다양체를 이루는 고리 공간

:\operatorname W^{1,2}(\mathbb S^1,N)

을 생각할 수 있다. 이 경우, 소볼레프 조건은 고리 \gamma\colon\mathbb S^1\to N의 에너지

:\frac12\oint \dot\gamma^2\,\mathrm dt

가 유한함을 의미한다.

단위 원 \mathbf{S}^1에서 다양체 M으로 가는 모든 H^1 사상의 공간 \operatorname{L} M (즉, M의 자유 루프 공간의 부분 공간)은 콤팩트 열린 위상을 통해 위상화될 수 있다. 소볼레프 종류의 사상 공간 \operatorname{L} M는 자유 루프 공간과 호모토피 동치이다. 이는 스트링 위상수학에서 자유 루프 공간의 대수적 위상수학 연구에 적합하다. 루프 공간에 대해 유사한 소볼레프 구성을 수행하여 \operatorname{L} M의 코차원 d 힐베르트 부분 다양체 (여기서 d는 M의 차원)를 만들 수 있다.


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