임계점 (수학)

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

임계점 (수학)은 미분가능 함수에서 도함수가 0이거나 미분 불가능한 점을 의미하며, 함수의 그래프에서 수평 접선을 갖거나 첨점을 이루는 지점이다. 임계점은 함수의 극댓값, 극솟값, 또는 안장점을 결정하는 데 중요한 역할을 하며, 페르마의 임계점 정리에 따라 연속 함수의 최대 또는 최소점은 임계점에서 발생한다. 임계점은 다변수 함수의 최적화 문제, 곡선 스케치, 위상수학 연구 등 다양한 분야에 응용되며, 가우스-루카스 정리, 사드의 정리 등 관련 정리가 존재한다.

더 읽어볼만한 페이지

특이점 이론 - 특이점 (대수기하학)
특이점은 스킴의 각 점에서의 줄기 국소환이 정칙 국소환이 되지 못하는 점으로, 대수적으로 닫힌 체 위의 정칙 스킴인 비특이 대수다양체는 초곡면의 편미분이 동시에 소멸되는 점으로 정의되며 야코비 행렬의 계수로 판별된다.
특이점 이론 - 파국 이론
파국 이론은 포텐셜 함수의 퇴화 임계점을 분석하여 시스템의 급격한 변화를 설명하며, 톰은 특정 조건 하에 일곱 가지 기본 파국 구조를 제시했고, 빛의 굴절, 중력 렌즈 효과, 과학 및 사회 현상 모델링, 특히 커스틱 패턴 설명에 응용된다.
다변수 미적분학 - 음함수와 양함수
음함수와 양함수는 함수의 표현 방식에 따른 분류로, 독립변수와 종속변수의 관계가 명시적으로 나타나는 경우를 양함수, 관계식이 한 식 안에 포함된 경우를 음함수라 하며, 음함수는 양함수로 표현하기 어렵거나 불가능한 경우가 있고, 음함수 미분법, 음함수 정리 등을 통해 여러 분야에서 활용된다.
다변수 미적분학 - 편평도
편평도는 아직 내용이 없어 정의를 내릴 수 없는 위키백과 페이지이다.

임계점 (수학)
정의
설명	미분 가능한 함수의 도함수가 0이 되는 점. 더 일반적으로, 함수의 도함수가 정의되지 않거나 함수가 미분 가능하지 않은 정의역의 점.
임계값	임계점에서 함수 값.
단변수 함수의 임계점
정의	실변수 함수의 임계점은 함수의 도함수가 0이거나 정의되지 않은 정의역의 값.
예시	함수 f(x) = x^2는 x = 0에서 임계점을 가짐 (도함수 f'(x) = 2x는 x = 0에서 0). 함수 x는 x = 0에서 임계점을 가짐 (도함수가 x = 0에서 정의되지 않음).
다변수 함수의 임계점
정의	실다변수 함수의 임계점은 모든 편도함수가 0인 정의역의 점.
조건	함수가 미분 가능하려면 모든 편도함수가 존재해야 하지만, 그 역은 참이 아님.
필요충분조건	다변수 함수의 임계점은 기울기가 0인 점.
대수 곡선의 임계점
정의	평면 대수 곡선의 임계점은 곡선의 접선이 좌표축 중 하나와 평행한 점.
설명	f(x, y) = 0으로 정의된 곡선의 임계점은 편도함수 ∂f/∂y가 0인 점 (접선이 x축과 평행). 유사하게, ∂f/∂x = 0인 점은 접선이 y축과 평행한 점.
특이점	곡선의 특이점은 두 편도함수가 모두 0인 점.

2. 정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 1차 미분 가능 실함수 $f\colon M\to\mathbb R$ 의 '''임계점'''은 다음이 성립하는 점 $x_0\in M$ 이다. 임의의 좌표계 $\{x^i\}$ 에서,

: $\left|\frac{\partial f}{\partial x^i}\right|_{x_0}=0$

이 경우, 값 $f(x_0)$ 를 '''임계값'''(critical value^영어)이라고 한다.

실수 실변수 함수의 임계점은 함수가 미분가능하지 않거나 도함수가 0인 점이다. 임계값은 임계점에서의 함수의 함숫값이다.

미분가능 함수의 경우, 임계점은 정지점과 같다.

함수의 임계점 개념은 곡선의 특정 방향에서의 임계점 개념과 혼동해서는 안 된다. 미분가능 함수 $f(x)$ 가 임계값 $y_0$ 을 갖는 임계점 $x_0$ 을 가질 때, $(x_0, y_0)$ 는 동일한 임계값 $y_0$ 을 갖는 $x$ -축에 평행한 투영에 대한 그래프의 임계점이며, 그 역 또한 성립한다. 만약 $f$ 가 $x_0$ 에서 미분 불가능하여 접선이 $y$ -축에 평행하면, $x_0$ 은 $f$ 의 임계점이지만, $(x_0, y_0)$ 는 $y$ -축에 평행한 투영에 대한 그래프의 임계점이다.

예를 들어, 방정식 $x^2 + y^2 - 1 = 0$ 의 단위 원의 임계점은 $x$ -축에 평행한 투영에 대해 (1, 0)과 (-1, 0)이며, $y$ -축에 평행한 방향에 대한 임계점은 (0, 1)과 (0, -1)이다.

2. 1. 한 변수 함수의 임계점

실수 실변수 함수

f(x)

의 '''임계점'''은

f

가 미분가능하지 않거나 도함수가 0인

f

의 정의역에 있는 값

x_0

이다.(즉,

f'(x_0) = 0

).^[1] '''임계값'''은 임계점에서의

f

의 함숫값이다. 이러한 개념은

f

의 그래프를 통해 시각화할 수 있으며, 임계점에서 그래프는 가능한 경우 수평 접선을 가진다.

미분가능 함수의 경우, '''임계점'''은 정지점과 같다는 것을 알 수 있다.

예를 들어, 방정식

x^2 + y^2 - 1 = 0

의 단위 원의 상반원을 함수

f(x)= \sqrt{1-x^2}

의 그래프로 간주한다면,

x = 0

은 도함수가 0이므로 임계값 1을 가지는 임계점이며,

x = ±1

은 도함수가 정의되지 않으므로 임계값 0을 가지는 임계점이다.

함수 $f(x) = x^{2} + 2x + 3$ 는 모든 점에서 미분 가능하며, 도함수는 $f'(x) = 2x + 2$ 이다. 이 함수는 단 하나의 임계점 −1을 가지는데, 이는 $2x_0 + 2 = 0$ 을 만족하는 유일한 수 $x_0$ 이기 때문이다. 이 점에서 $f$ 는 (전역) 최솟값을 갖는다. 해당 임계값은 $f(-1) = 2$ 이다. $f$ 의 그래프는 아래로 볼록한 포물선이며, 임계점은 꼭짓점의 x좌표이고, 여기서 접선은 수평이며, 임계값은 꼭짓점의 y좌표로 이 접선과 $y$ 축과의 교점으로 나타낼 수 있다.
함수 $f(x) = x^{2/3}$ 는 모든 $x$ 에 대해 정의되며, $x ≠ 0$ 에 대해 미분 가능하고, 미분은 $f'(x) = 2x^{-1/3}/3$ 이다. $x ≠ 0$ 에 대해 $f'(x) ≠ 0$ 이므로, $f$ 의 임계점은 $x = 0$ 뿐이다. 함수 $f$ 의 그래프는 이 점에서 수직 접선을 갖는 뾰족점을 갖는다. 해당 임계값은 $f(0) = 0$ 이다.
함수 $f(x) = x^3 − 3x + 1$ 는 모든 점에서 미분 가능하며, 미분은 $f'(x) = 3x^2 − 3$ 이다. $x = -1$ 과 $x = 1$ 에서 두 개의 임계점을 갖는다. 해당 임계값은, $f$ 의 극대값인 $f(-1) = 3$ 과, 극소값인 $f(1) = -1$ 이다. 이 함수는 전역적인 최댓값도 최솟값도 갖지 않는다. $f(2) = 3$ 이므로, 임계값은 비임계점에서도 얻을 수 있음을 알 수 있다. 기하학적으로, 이는 한 점 ( $x = -1$ )에서의 그래프의 수평 접선이 다른 점 ( $x = 2$ )에서 예각으로 그래프와 교차할 수 있음을 의미한다.
함수 $f(x) = 1/x$ 는 임계점을 갖지 않는다. 점 $x = 0$ 은 함수의 정의 구역에 포함되지 않으므로 임계점으로 간주하지 않는다.

2. 2. 다변수 함수의 임계점

미분가능 함수의 경우, '''임계점'''은 정지점과 같다.

여러 실변수 함수에 대해, 점 (즉, 입력 변수의 값의 집합으로 의 점으로 간주)는 기울기가 0이거나 정의되지 않은 점이면 '''임계점'''이라고 한다.^[4] 임계값은 임계점에서 함수의 값이다.

미분 가능한 임계점은 극대점, 극소점 또는 안장점일 수 있다. 함수가 적어도 두 번 연속적으로 미분 가능하다면, 서로 다른 경우는 헤세 행렬의 고유값을 고려하여 구별할 수 있다.

헤세 행렬이 비특이 행렬인 임계점을 ''비퇴화''라고 하며, 헤세 행렬의 고유값의 부호는 함수의 국소적인 거동을 결정한다. 개의 변수를 갖는 함수에 대해, 임계점에서 헤세 행렬의 음의 고유값의 개수를 임계점의 ''지수''라고 한다. 비퇴화 임계점은 지수가 일 때, 또는 동등하게 헤세 행렬이 음의 정부호일 때 극대점이고, 지수가 0일 때, 또는 동등하게 헤세 행렬이 양의 정부호일 때 극소점이다. 다른 지수 값의 경우, 비퇴화 임계점은 안장점이며, 즉 어떤 방향에서는 극대점이고 다른 방향에서는 극소점인 점이다.

2. 3. 미분가능 사상의 임계점

야코비 행렬의 계수가 최대가 아닌 점을 말한다.^[12] 임계점에 의한 상은 임계값이라고 한다. 임계값 집합의 여집합에 있는 점은 '''정칙값'''이라고 한다. 사드의 정리는 매끄러운 사상의 임계값 집합이 측도 영 집합임을 명시한다.

일부 저자는 약간 다른 정의를 제시한다. 즉,

\R^m \to \R^n

의 '''임계점'''은

\R^m

의 점들 중

f

의 야코비 행렬의 계수가

n

보다 작은 점이다.^[13] 이 정의에 따르면,

m < n

일 때 모든 점이 임계점이다.

이러한 정의는 미분 다양체 사이의 미분 사상으로 확장할 수 있다.

f: M \to N

를

m

차원 다양체

M

에서

n

차원 다양체

N

으로의 미분 가능 사상이라고 하자.

M

의 점

p

와

f(p)

의 근방에서, 좌표계는 미분 동형 사상

\varphi: V \to \R^m

과

\psi: W \to \R^n

이다. 점

p

는

\varphi(p)

가

\psi \circ f \circ \varphi^{-1}

에 대해 임계점일 때

f

에 대해 '''임계점'''이다. 이 정의는 좌표계의 선택에 의존하지 않는데, 왜냐하면 변환 사상은 미분 동형 사상이므로, 그들의 야코비 행렬은 가역적이며, 그것들을 곱하는 것은

\psi \circ f \circ \varphi^{-1}

의 야코비 행렬의 계수를 변경하지 않기 때문이다. 만약

M

이 힐베르트 다양체(필수적으로 유한 차원이 아님)이고

f

가 실수 값을 갖는 함수라면,

f

가

p

에서 침강이 ''아닐'' 경우

p

가

f

의 임계점이라고 말한다.^[14]

3. 분류

리만 다양체 $(M,g)$ 위의 2차 미분 가능 실함수 $f\colon M\to\mathbb R$ 의 임계점 $x_0\in M$ 은 헤세 행렬

: $(Hf|_{x_0})_{ij}=\nabla_i\partial_jf$

에 따라서 극댓값, 극솟값, 안장점으로 분류된다.

임계점의 종류는 이계 도함수(헤세 행렬)를 통해 판별할 수 있다.

헤세 행렬이 양의 준정부호이면 (모든 고윳값이 음수가 아니라면), $x_0$ 는 '''극대점'''이다.
* 헤세 행렬이 양의 정부호이면 (모든 고윳값이 양수라면), $x_0$ 는 '''엄격한 극대점'''(strict local maximum^영어)이다.
헤세 행렬이 음의 정부호이면 (모든 고윳값이 양수가 아니라면), $x_0$ 는 '''극소점'''이다.
* 헤세 행렬이 양의 정부호이면 (모든 고윳값이 음수라면), $x_0$ 는 '''엄격한 극소점'''(strict local minimum^영어)이다.
헤세 행렬이 양의 정부호도, 음의 정부호도 아니면, $x_0$ 는 '''안장점'''이다.

미분가능 함수에서, '''임계점'''은 정지점과 같다.

헤세 행렬이 비특이 행렬인 임계점을 ''비퇴화 임계점''이라고 하며, 비가역 행렬인 임계점을 ''퇴화 임계점''이라고 한다.

3. 1. 극값

리만 다양체

(M,g)

위의 2차 미분 가능 실함수

f\colon M\to\mathbb R

의 임계점

x_0\in M

은 헤세 행렬

:

(Hf|_{x_0})_{ij}=\nabla_i\partial_jf

에 따라서 극댓값, 극솟값, 안장점으로 분류된다.

여러 개의 변수를 갖는 함수에서, 점 (입력 변수 값의 집합으로

\R^n

의 점으로 간주)이 기울기가 0이거나 정의되지 않은 점이면 '임계점'이라고 한다.^[4] 임계값은 임계점에서의 함수의 값이다.

미분 가능한 함수의 임계점은 극댓값, 극솟값 또는 안장점일 수 있다. 함수가 적어도 두 번 연속적으로 미분 가능하다면, 헤세 행렬의 고윳값을 고려하여 구별할 수 있다.

페르마의 정리에 따르면, 미분 가능한 함수의 모든 극값은 임계점에서 발생한다. 따라서 극값을 구하려면 이론적으로 기울기의 영점과 이 영점에서 헤세 행렬의 고유값을 계산하면 된다.

3. 1. 1. 극대점

헤세 행렬이 음의 정부호이면, 엄격한 극대점( strict local maximum^영어)이다.^[4]

3. 1. 2. 극소점

헤세 행렬이 음의 정부호라면 (모든 고윳값이 양수가 아니라면),

x_0

는 '''극소점'''이다.^[4] 만약 헤세 행렬이 양의 정부호라면 (모든 고윳값이 음수라면),

x_0

는 '''엄격한 극소점'''(strict local minimum^영어)이다.

3. 2. 안장점

리만 다양체 위의 2차 미분 가능 실함수에서, 헤세 행렬이 양의 정부호도, 음의 정부호도 아닌 경우의 임계점을 '''안장점'''이라고 한다. 안장점은 어떤 방향에서는 극댓값을 갖고, 다른 방향에서는 극솟값을 갖는 점이다.^[4]

3. 3. 퇴화 임계점

헤세 행렬이 비가역 행렬인 임계점을 '퇴화 임계점'이라고 한다.

3. 4. 비퇴화 임계점

헤세 행렬이 비특이 행렬인 임계점을 ''비퇴화 임계점''이라고 하며, 헤세 행렬의 고윳값의 부호는 함수의 국소적인 거동을 결정한다. 단일 변수 함수의 경우, 헤세 행렬은 단순히 이계 도함수로 1×1 행렬로 간주되며, 0이 아닌 경우에만 비특이하다. 이 경우, 비퇴화 임계점은 이계 도함수의 부호에 따라 극소점 또는 극대점이며, 극소점의 경우 양수이고 극대점의 경우 음수이다. 이계 도함수가 0이면 임계점은 일반적으로 변곡점이지만 요동점일 수도 있으며, 이는 극소점 또는 극대점일 수 있다.

개의 변수를 갖는 함수에 대해, 임계점에서 헤세 행렬의 음의 고유값의 개수를 임계점의 ''지수''라고 한다. 비퇴화 임계점은 지수가 일 때, 또는 동등하게 헤세 행렬이 음의 정부호일 때 극대점이고, 지수가 0일 때, 또는 동등하게 헤세 행렬이 양의 정부호일 때 극소점이다. 다른 지수 값의 경우, 비퇴화 임계점은 안장점이며, 즉 어떤 방향에서는 극대점이고 다른 방향에서는 극소점인 점이다.

4. 성질

페르마의 임계점 정리에 따르면, 연속함수의 최대점 또는 최소점이 존재한다면, 그 점은 미분 불가능하거나 도함수가 0인 정의역의 값, 즉 임계점이다.^[1] 미분가능 함수의 경우, 임계점은 정지점과 같다.

4. 1. 페르마의 임계점 정리

Fermat’s theorem on critical points|페르마의 임계점 정리^영어에 따르면, 연속함수

f\to M

의 최대점 또는 최소점

x_0\in M

이 존재한다면, 다음 둘 가운데 하나가 성립한다.^[1]

#

f

는

x_0

에서 미분 불가능하다.

#

f

는

x_0

에서 미분 가능하며, 임계점을 이룬다.

미분가능 함수의 경우, '''임계점'''은 정지점과 같다.

실수 실변수 함수

f(x)

의 '''임계점'''은

f

가 미분가능하지 않거나 도함수가 0인

f

의 정의역에 있는 값

x_0

이다. (즉,

f'(x_0) = 0

이다.)

5. 예시

함수 `f(x) = x^2 + 2x + 3`은 모든 곳에서 미분 가능하며, 도함수는 `f'(x)=2x+2`이다. 이 함수는 `2x+2=0`을 만족하는 유일한 숫자 `x=-1` 이므로, 고유한 임계점 −1을 갖는다. 이 점은 ''f''의 전역 최솟값이다. 해당하는 임계값은 `f(-1) = 2`이다. ''f''의 그래프는 위로 볼록한 포물선이며, 임계점은 접선이 수평인 꼭짓점의 가로 좌표이고, 임계값은 꼭짓점의 세로 좌표이며 이 접선과 y축의 교차점으로 나타낼 수 있다.
함수 `f(x) = x^{2/3}`는 모든 x에 대해 정의되며, `x ≠ 0`에 대해 미분 가능하며, 도함수는 `f'(x) = \tfrac{2x^{-1/3}}{3}`이다. f는 `x = 0`에서 미분 가능하지 않고, 그렇지 않으면 `f'(x)≠ 0`이므로, `x = 0`이 유일한 임계점이다. 함수 f의 그래프는 이 점에서 수직 접선을 가진 첨점을 갖는다. 해당하는 임계값은 `f(0)=0`이다.

5. 1. 다항함수

함수

f(x) = x^3 - 3x + 1

는 모든 점에서 미분 가능하며, 미분은

f'(x) = 3x^2 - 3

이다. 이 함수는

x = -1

과

x = 1

에서 두 개의 임계점을 갖는다. 해당 임계값은

f(-1) = 3

(극댓값)과

f(1) = -1

(극솟값)이다. 이 함수는 전역적인 최댓값이나 최솟값을 갖지 않는다.

f(2) = 3

이므로, 임계값은 비임계점에서도 얻을 수 있다. 기하학적으로, 이는 한 점 (

x = -1

)에서의 그래프의 수평 접선이 다른 점 (

x = 2

)에서 예각으로 그래프와 교차할 수 있음을 의미한다.

5. 2. 유리함수

f(x) = \frac{1}{x}

는 임계점을 가지지 않는다.

x = 0

은 함수의 정의역에 포함되지 않으므로 임계점이 아니다.

5. 3. 절댓값 함수

절댓값 함수

f(x) = |x|

는

x=0

을 제외한 모든 곳에서 미분 가능하며,

x=0

에서 전역 최솟값을 갖는 임계점을 가진다. 이때 임계값은 0이다.

6. 응용

임계점은 최적화 문제, 평면 곡선 연구, 다양체와 실대수적 다양체의 위상수학 연구 등 다양한 분야에서 응용된다.^[8]

6. 1. 최적화 문제

페르마의 정리에 따르면, 연속 함수의 모든 국소 극대점과 극소점은 임계점에서 발생한다. 따라서 미분 가능한 함수의 국소 극대점과 극소점을 찾기 위해서는 이론적으로 기울기의 영점과 이러한 영점에서 헤세 행렬의 고윳값을 계산하는 것으로 충분하다. 이는 연립 방정식의 해를 필요로 하며, 이는 어려운 작업일 수 있다. 일반적인 수치 알고리즘은 국소 극값을 찾는 데 훨씬 더 효율적이지만, 모든 극값을 찾았다는 것을 보증할 수는 없다.^[1] 특히, 전역 최적화에서 이러한 방법은 출력이 실제로 전역 최적해임을 보증할 수 없다.

최소화할 함수가 다변수 다항식인 경우, 임계점과 임계값은 다항식 방정식의 연립 방정식의 해이며, 이러한 시스템을 해결하기 위한 현대적인 알고리즘은 전역 최솟값을 찾기 위한 경쟁력 있는 인증된 방법을 제공한다.

6. 2. 곡선 스케치

임계점은 음함수 방정식으로 정의된 평면 곡선 연구, 특히 그들의 과 위상 결정을 위해 중요한 역할을 한다.^[2] 이 절에서 사용되는 임계점의 개념은 앞 절의 그것과 다르게 보일 수 있으나, 사실은 이하에서 주어지는 임계점의 일반적인 개념의 단순한 경우에 대한 특수화이다.^[2]

6. 3. 위상수학

임계점은 다양체와 실대수적 다양체의 위상수학을 연구하는 데 기본이 된다.^[8] 특히, 모스 이론과 파국 이론의 기본적인 도구이다.

임계점과 위상수학 간의 연관성은 이미 더 낮은 수준의 추상화에서 나타난다. 예를 들어,

V

가

\mathbb R^n

의 부분다양체이고,

P

가

V

밖에 있는 점이라고 하자.

V

의 점과

P

사이의 거리의 제곱은 미분 가능한 사상이며,

V

의 각 연결 성분은 거리가 최소인 임계점을 적어도 하나 포함한다. 따라서

V

의 연결 성분 개수는 임계점 개수의 상한으로 제한된다.

실대수적 다양체의 경우, 이러한 관찰은 베주의 정리와 관련되어 다양체를 정의하는 다항식의 차수에 대한 함수로 연결 성분의 개수를 제한할 수 있게 해준다.

7. 역사

(요약 및 참조할 원본 소스가 제공되지 않았으므로, '역사' 섹션에 대한 내용은 작성할 수 없습니다.)

8. 관련 정리

(관련 정리 섹션은 주어진 원본 소스가 없으므로 내용을 작성할 수 없습니다.)

8. 1. 가우스-루카스 정리

가우스-루카스 정리는 복소 평면에서 다항식 함수의 임계점은 모두 함수의 근의 볼록 껍질 안에 있다는 정리이다. 따라서 실근만 가지는 다항식 함수에 대해 모든 임계점은 실수이며, 최댓값과 최솟값 사이의 구간에 있다.

센도프 추측은 함수의 모든 영점이 복소 평면의 단위 원판 안에 있다면, 임의의 주어진 영점으로부터 단위 거리 내에 적어도 하나의 임계점이 있다는 주장이다.

8. 2. 센도프 추측

센도프 추측(en:Sendov's conjecture)은 복소 평면에서 단위 원판 안에 모든 근이 있는 다항식 함수는 임의의 주어진 근으로부터 단위 거리 내에 적어도 하나의 임계점을 가진다는 추측이다.

8. 3. 사드의 정리

사드의 정리는 매끄러운 사상의 임계값 집합이 measure zero^영어(측도 0)임을 명시하는 정리이다.^[12]

9. 음함수의 임계점

음함수로 정의된 곡선에서 접선이 y축에 평행한 점을 의미한다.^[1] 이는 곡선의 접선이 y축에 평행하고, 이 점에서 함수가 x에서 y로의 음함수를 정의하지 않음을 뜻한다. (음함수 정리 참조)

예를 들어, 방정식 $x^2 + y^2 - 1 = 0$ 으로 정의되는 단위 원에서 y축에 평행한 투영에 대한 임계점은 (0, 1)과 (0, -1)이다.^[1]

판별식은 음함수로 정의된 곡선의 임계점을 계산하는 데 유용한 도구이다. 곡선이 대수적인 경우, 즉 이변수 다항식으로 정의될 때 판별식을 사용하여 임계점을 계산할 수 있다. $\operatorname{Disc}_y(f)$ 를 y의 다항식으로 간주되는 f의 판별식이라고 하면, 이 판별식은 x의 다항식이며, 이 다항식의 근은 y축에 평행한 투영의 임계값이다.

참조

_[1] 서적 Problems in mathematical analysis Moskva 1964
_[2] 서적 Calculus : early transcendentals https://archive.org/[...] Thomson Brooks/Cole 2008
_[3] 서적 Calculus Brooks/Cole, Cengage Learning 2010
_[4] 서적 Calculus: A Complete Course https://archive.org/[...] Pearson Prentice Hall 2009
_[5] 서적 Differential geometry of curves and surfaces Prentice-Hall 1976
_[6] 서적 An Introduction to Differential Manifolds Springer International Publishing 2015
_[7] 서적 Fundamentals of Differential Geometry
_[8] 서적 Morse Theory Princeton University Press 1963
_[9] 서적 Calculus: Early Transcendentals Brooks/Cole 2008
_[10] 서적 Calculus Brooks/Cole 2009
_[11] 서적 Calculus: A Complete Course Pearson Prentice Hall 2009
_[12] 서적 Differential geometry of curves and surfaces Prentice-Hall 1976
_[13] 서적 An Introduction to Differential Manifolds Springer International Publishing 2015
_[14] 서적 Fundamentals of Differential Geometry

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com