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마법진 (수학)

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1. 개요

마법진은 숫자들을 특정 규칙에 따라 배열한 것으로, 가로, 세로, 대각선 등의 합이나 곱이 동일한 값을 갖도록 구성된다. 마법진에는 마방진, 곱마방진, 범마방진, 마육각진, 지수귀문도, 양휘의 동심원 마법진 등 다양한 형태가 있으며, 차원에 따라 2차원, 3차원의 입체마방진, 4차원 이상의 초입방체 마방진으로 확장될 수 있다.

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마법진 (수학)

2. 마법진의 특성

마법진은 특정 규칙에 따라 숫자나 기호를 배열한 도형이나 구조를 의미한다. 마법진의 가장 핵심적인 특징 중 하나는 특정 방향이나 경로(예: 가로줄, 세로줄, 대각선 등)에 놓인 수들의 합이나 곱 등의 연산 결과가 항상 일정한 값을 갖는다는 점이다. 이 일정한 값을 마법 상수라고 부른다.

마법진은 차원(2차원 평면, 3차원 입체 등), 형태(사각형, 육각형, 원형 등), 사용된 연산(덧셈, 곱셈 등)에 따라 다양한 종류로 나뉘며, 각 종류마다 고유한 규칙과 특성을 지닌다. 이러한 특성들은 조합론, 정수론, 그래프 이론 등 다양한 수학 분야와 연관되어 연구된다.

2. 1. 마법 상수

마법진에서는 다양한 기준으로 마법 상수가 존재한다. 마법진의 종류나 계산 방식(합, 곱 등)에 따라 마법 상수를 정의하는 기준이 달라질 수 있다.

2. 1. 1. 합 마법 상수

마법진에서는 다양한 기준으로 마법 상수가 존재한다.

마방진에서는 가로줄, 세로줄, 그리고 두 대각선에 있는 수들의 합이 마법 상수로 같다. 아래 예시 마방진의 마법 상수는 15이다.

3x3 마방진 예시. 가로, 세로, 대각선의 합은 15이다.


곱마방진에서는 가로줄, 세로줄, 그리고 두 대각선에 있는 수들의 곱이 마법 상수로 같다.[1] 아래 예시 곱마방진의 마법 상수는 216이다.

곱마방진 예시 (마법 상수 216)
12118
964
2363



범마방진에서는 가로줄, 세로줄, 두 대각선뿐만 아니라 범대각선에 있는 수들의 합도 마법 상수로 같다. 아래는 마법 상수가 34인 범마방진의 예시이다.

범마방진 예시 (마법 상수 34)
310156
138112
211147
16549



마육각진에서는 세 가지 방향의 각 줄에 있는 수들의 합이 마법 상수로 같다. 아래 예시 마육각진의 마법 상수는 38이다.

3차 마육각진 예시. 각 줄의 합은 38이다.


지수귀문도에서는 각 육각형의 둘레에 있는 수들의 합이 마법 상수로 같다. 아래 예시 지수귀문도의 마법 상수는 93이다.

지수귀문도 예시. 각 육각형 둘레의 합은 93이다.


양휘의 동심원 마법진에서는 각 반지름과 각 원주 위에 있는 수들의 합이 마법 상수로 같다.

양휘의 동심원 마법진 예시.


준완벽 입체마방진에서는 가로줄, 세로줄, 높이줄, 그리고 4개의 입체대각선에 있는 수들의 합이 마법 상수로 같다. 아래 예시 입체마방진의 마법 상수는 42이다.

준완벽 입체마방진 예시. 가로, 세로, 높이, 4개의 입체대각선 합은 42이다.

2. 1. 2. 곱 마법 상수

곱마방진에서는 가로줄, 세로줄, 그리고 두 대각선의 곱이 마법 상수로 같다.[1] 아래는 마법 상수가 216인 곱마방진의 예시이다.

12118
964
2363


3. 마법진의 예시

마법진은 전통적으로 2차원 평면 위에 숫자를 배열하는 형태가 잘 알려져 있지만, 3차원 이상의 다차원 공간으로 확장될 수도 있다. 각 차원별로 다양한 종류의 마법진이 존재하며, 대표적인 예시는 아래 하위 문단에서 확인할 수 있다.

3. 1. 2차원 마법진

3. 2. 다차원 마법진

마법진은 2차원 평면뿐만 아니라 더 높은 차원의 공간에서도 정의될 수 있다. 대표적인 다차원 마법진으로는 다음과 같은 것들이 있다.

  • 입체마방진: 3차원 공간에서 정육면체 형태로 숫자를 배열하여, 가로, 세로, 높이 및 입체 대각선 방향의 합이 모두 같도록 만든 마법진이다.
  • 초입방체 마방진: 4차원 이상의 초입방체 형태로 숫자를 배열하여 만든 마법진이다.


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