마요라나 방정식

3. 주요 개념

마요라나 방정식은 디랙 방정식과 유사하게 4성분 스피너, 감마 행렬, 질량 항을 포함하지만, 전하 켤레 $\backslash psi\_c$를 스피너 $\backslash psi$에 포함한다. 반면, 바일 방정식은 질량이 없는 2성분 스피너에 대한 것이다. 마요라나 방정식의 해는 자기 자신의 반입자인 전기적으로 중성인 입자로 해석될 수 있다. 관례적으로, 전하 켤레 연산자는 입자를 반입자로 변환하므로, 마요라나 스피너는 $\backslash psi=\backslash psi\_c$인 해로 정의된다. 즉, 마요라나 스피너는 "자신의 반입자"이다. 전하 켤레가 전하를 가진 입자를 반대 전하를 가진 반입자로 변환하는 한, 마요라나 스피너는 전기적으로 중성이라는 결론을 내려야 한다.

마요라나 방정식은 로렌츠 공변이며, 여러 로렌츠 스칼라가 스피너로부터 구성될 수 있다. 이를 통해 마요라나 장에 대해 여러 개의 서로 다른 라그랑지안을 구성할 수 있다. 라그랑지안이 2성분 좌/우 손지기 스피너로 표현될 때, 좌/우 마요라나 질량 항과 디랙 질량 항, 세 개의 서로 다른 질량 항을 포함할 수 있다. 이는 두 개의 서로 다른 질량으로 물리적으로 나타난다. 이것은 시소 메커니즘의 핵심 아이디어로, 표준 모형에 왼쪽 손지기 결합을 가진 저질량 중성미자를 설명하며, 오른쪽 손지기 성분은 GUT 규모 질량을 가진 스텔러 중성미자에 해당한다.

C, P, T 켤레의 이산 대칭성은 전하 켤레 연산자에 자유롭게 선택된 위상 인자에 의해 밀접하게 제어된다. 이는 질량 항에 서로 다른 복소 위상으로 나타난다. 이를 통해 CP 대칭 및 CP 위반 라그랑지안을 쓸 수 있다. 마요라나 장은 CPT 불변이지만, 불변성은 전하를 가진 입자에 비해 어떤 의미에서 "더 자유롭다". 전하는 본질적으로 로렌츠 불변 속성이며, 따라서 전하를 가진 장에 대해 제약이 있기 때문이다. 중성 마요라나 장은 이러한 방식으로 제약되지 않으며 혼합될 수 있다.

4. 2성분 마요라나 방정식

마요라나 방정식은 실수 4성분 스피너와 복소수 2성분 스피너를 사용하여 쓸 수 있다. 이 둘은 모두 적절한 로렌츠 공변 질량 항을 추가하여 바일 방정식으로부터 구성할 수 있다.^[7]

== 바일 방정식 ==

바일 방정식은 질량이 없는 복소수 값의 2성분 스피너의 시간 진화를 설명한다.^[8][9][10] 일반적으로 다음과 같이 작성된다.

:$\backslash sigma^\backslash mu\backslash partial\_\backslash mu\; \backslash psi\; =\; 0$

명시적으로 작성하면 다음과 같다.

:$I\_2\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; \backslash sigma\_x\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\}\{\backslash partial\; x\}\; +\; \backslash sigma\_y\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\}\{\backslash partial\; y\}\; +\; \backslash sigma\_z\backslash frac\{\backslash partial\; \backslash psi\}\{\backslash partial\; z\}\; =\; 0$

파울리 4-벡터는

:

이다. 즉, ''μ'' = 0인 경우 2 × 2 단위 행렬 $I\_2$이고 ''μ'' = 1, 2, 3인 경우 파울리 행렬인 벡터이다. 패리티 변환 $\backslash vec\; x\backslash to\; \{\backslash vec\; x\}^\backslash prime\; =\; -\backslash vec\; x$ 하에서 이중 방정식을 얻는다.

:$\backslash bar\{\backslash sigma\}^\backslash mu\backslash partial\_\backslash mu\; \backslash psi\; =\; 0$

여기서 이다. 이것들은 바일 방정식의 두 가지 별개의 형태이며, 그 해 역시 별개이다. 이 해는 좌수 및 우수 헬리시티를 가지며, 따라서 카이랄성을 갖는다. 이 두 가지 별개의 형태를 명시적으로 표기하는 것이 일반적이며, 다음과 같다.

:$$

\sigma^\mu\partial_\mu \psi_{\rm R} = 0 \qquad

\bar{\sigma}^\mu\partial_\mu \psi_{\rm L} = 0~.



== 로렌츠 불변성 ==

바일 방정식은 질량이 없는 입자를 설명하며, 마요라나 방정식은 질량 항을 추가한다. 질량은 로렌츠 불변성 방식으로 도입되어야 한다. 이는 특수선형군 $\backslash operatorname\{SL\}(2,\backslash mathbb\{C\})$가 동형 사상 $\backslash operatorname\{Sp\}(2,\; \backslash mathbb\{C\})$와 심플렉틱 군이라는 것을 관찰함으로써 달성된다. 이 두 군은 모두 로렌츠 군 $\backslash operatorname\{SO\}(1,3)$의 이중 덮개이다. 미분 항(바일 방정식에서 유래)의 로렌츠 불변성은 통상적으로 스피너에 대한 $\backslash operatorname\{SL\}(2,\; \backslash mathbb\{C\})$ 군의 작용으로 표현되는 반면, 질량 항의 로렌츠 불변성은 심플렉틱 군에 대한 정의 관계를 필요로 한다.

로렌츠 군의 이중 덮개는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash overline\{\backslash sigma\}\_\backslash mu\; \{\backslash Lambda^\backslash mu\}\_\backslash nu\; =\; S\; \backslash overline\{\backslash sigma\}\_\backslash nu\; S^\backslash dagger$

여기서 $\backslash Lambda\; \backslash in\; \backslash operatorname\{SO\}(1,3)$이고 $S\; \backslash in\; \backslash operatorname\{SL\}(2,\; \backslash mathbb\{C\})$이며 $S^\backslash dagger$는 에르미트 전치이다. 이는 로렌츠 변환 $x\; \backslash mapsto\; x^\backslash prime\; =\; \backslash Lambda\; x$ 하에서 미분의 변환 속성을 스피너의 변환 속성과 관련시키는 데 사용된다.

심플렉틱 군 $\backslash operatorname\{Sp\}(2,\; \backslash mathbb\{C\})$는 다음을 만족하는 모든 복소수 2×2 행렬 $S$의 집합으로 정의된다.

:$\backslash omega^\{-1\}\; S^\backslash textsf\{T\}\; \backslash omega\; =\; S^\{-1\}$

여기서

:

는 왜곡 대칭 행렬이다. 이는 $\backslash mathbb\{C\}^2.$에 대한 심플렉틱 쌍선형 형식을 정의하는 데 사용된다. 임의의 두 벡터 $u,\; v\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}^2$를

:$$

u = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} \qquad

v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}



로 쓰면, 심플렉틱 곱은 다음과 같다.

:$\backslash langle\; u,\; v\backslash rangle\; =\; -\backslash langle\; v,\; u\backslash rangle\; =\; u\_1\; v\_2\; -\; u\_2\; v\_1\; =\; u^\backslash textsf\{T\}\; \backslash omega\; v$

여기서 $u^\backslash textsf\{T\}$는 $u~.$의 전치이다. 이 형식은 로렌츠 변환에 대해 불변이며, 이는

:$\backslash langle\; u,\; v\backslash rangle\; =\; \backslash langle\; Su,\; Sv\backslash rangle$

이다.

왜곡 행렬은 파울리 행렬을 그들의 전치의 마이너스로 취한다.

:$\backslash omega\; \backslash sigma\_k\; \backslash omega^\{-1\}\; =\; -\backslash sigma\_k^\backslash textsf\{T\}$

여기서 $k\; =\; 1,\; 2,\; 3.$이다. 이 왜곡 행렬은 두 스피너에 작용하는 패리티 변환과 전치의 곱으로 해석될 수 있다. 그러나, 나중 섹션에서 강조하겠지만, 이는 또한 전하 켤레 연산자의 구성 요소 중 하나로 해석될 수 있으며, 다른 구성 요소는 복소수 켤레이다. 이를 로렌츠 변환에 적용하면

:$\backslash sigma\_\backslash mu\; \{\backslash Lambda^\backslash mu\}\_\backslash nu\; =\; \backslash left(S^\{-1\}\backslash right)^\backslash dagger\; \backslash sigma\_\backslash nu\; S^\{-1\}$

이다.

이 두 가지 변형은 각각 왼쪽 및 오른쪽 스피너에 작용하는 미분의 공변성을 설명한다.

== 미분 ==

로렌츠 변환 $x\; \backslash mapsto\; x^\backslash prime\; =\; \backslash Lambda\; x$ 하에서 미분 항은 다음과 같이 변환된다.

:$\backslash sigma^\backslash mu\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^\backslash mu\}\; \backslash psi\_\{\backslash rm\; R\}(x)$

\mapsto

\sigma^\mu\frac{\partial}{\partial x^{\prime\mu}} \psi_{\rm R}(x^\prime)

= \left(S^{-1}\right)^\dagger \sigma^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu} \psi_{\rm R}(x)



오른손 필드가 $\backslash psi\_\{\backslash rm\; R\}(x)\; \backslash mapsto\; \backslash psi^\backslash prime\_\{\backslash rm\; R\}(x^\backslash prime)=\; S\backslash psi\_\{\backslash rm\; R\}(x)$ 와 같이 변환될 경우, 유사하게 왼손 미분은 다음과 같이 변환된다.

:$\backslash overline\{\backslash sigma\}^\backslash mu\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^\backslash mu\}\; \backslash psi\_\{\backslash rm\; L\}(x)$

\mapsto

\overline{\sigma}^\mu\frac{\partial}{\partial x^{\prime\mu}} \psi_{\rm L}(x^\prime)

= S \overline{\sigma}^\mu\frac{\partial}{\partial x^\mu} \psi_{\rm L}(x)



왼손 스피너가 $\backslash psi\_\{\backslash rm\; L\}(x)\; \backslash mapsto\; \backslash psi^\backslash prime\_\{\backslash rm\; L\}(x^\backslash prime)=\; \backslash left(S^\backslash dagger\backslash right)^\{-1\}\backslash psi\_\{\backslash rm\; L\}(x)$ 와 같이 변환될 경우이다. 이러한 변환 속성은 "명백"하지 않으므로, 알 수 없는 $R\; \backslash in\; \backslash mathrm\{SL\}(2,\backslash mathbb\{C\})$에 대해 $\backslash psi\_\{\backslash rm\; R\}(x)\; \backslash mapsto\; \backslash psi^\backslash prime\_\{\backslash rm\; R\}(x^\backslash prime)\; =\; R\backslash psi\_\{\backslash rm\; R\}(x)$ 형식으로 시작하여 신중한 유도가 필요하다. 로렌츠 변환은 좌표에서 $x^\{\backslash prime\backslash mu\}\; =\; \{\backslash Lambda^\backslash mu\}\_\backslash nu\; x^\backslash nu$ 또는 $x^\backslash nu\; =\; \{\backslash left(\backslash Lambda^\{-1\}\backslash right)^\backslash nu\}\_\backslash mu\; x^\{\backslash prime\backslash mu\}$ 이고, 다음으로 이어진다.

:$\backslash begin\{align\}$

&\sigma^\mu \partial^\prime_\mu \psi_{\rm R}(x^\prime) \\

{}={} &\sigma^\mu \frac{\partial}{\partial x^{\prime\mu}} \psi_{\rm R}(x^\prime) \\

{}={} &\sigma^\mu \frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\prime\mu}} \frac{\partial}{\partial x^\nu} R \psi_{\rm R}(x) \\

{}={} &\sigma^\mu {\left(\Lambda^{-1}\right)^\nu}_\mu \frac{\partial}{\partial x^\nu} R\psi_{\rm R}(x) \\

{}={} &\sigma^\mu {\left(\Lambda^{-1}\right)^\nu}_\mu \partial_\nu R\psi_{\rm R}(x)

\end{align}

바이어 맵을 사용하기 위해 $\backslash sigma\_\backslash mu\; \{\backslash Lambda^\backslash mu\}\_\backslash nu\; =\; \backslash left(S^\{-1\}\backslash right)^\backslash dagger\; \backslash sigma\_\backslash nu\; S^\{-1\}$ 몇몇 인덱스를 올리고 내려야 한다. 평면 공간 민코프스키 계량 $\backslash eta\; =\; \backslash operatorname\{diag\}(+1,\; -1,\; -1,\; -1)$를 사용하며, 위의 식은 $\backslash Lambda\; \backslash in\; \backslash operatorname\{SO\}(1,3).$ 요소를 정의하는 데 사용된다. 전치를 취하면 $\{\backslash left(\backslash Lambda^\{-1\}\backslash right)^\backslash nu\}\_\backslash mu\; =\; \{\backslash left(\backslash Lambda^\{-1T\}\backslash right)\_\backslash mu\}^\backslash nu$ 이고, 다음과 같이 정리할수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$

&\sigma^\mu {\left(\Lambda^{-1}\right)^\nu}_\mu \partial_\nu R\psi_{\rm R}(x) \\

{}={} &\sigma^\mu {\left(\Lambda^{-1T}\right)_\mu}^\nu \partial_\nu R\psi_{\rm R}(x) \\

{}={} &\sigma_\mu {\Lambda^\mu}_\nu \partial^\nu R\psi_{\rm R}(x) \\

{}={} &\left(S^{-1}\right)^\dagger \sigma_\mu \partial^\mu S^{-1} R\psi_{\rm R}(x)

\end{align}

따라서 $S^\{-1\}R\; =\; 1,$ 즉, $R\; =\; S.$인 경우 원래 형식을 되찾는다. 왼손 방정식에 대해 동일한 조작을 수행하면 $\backslash psi\_\{\backslash rm\; L\}(x)\; \backslash mapsto\; \backslash psi^\backslash prime\_\{\backslash rm\; L\}(x^\backslash prime)\; =\; L\backslash psi\_\{\backslash rm\; L\}(x)$ 에서 $L\; =\; \backslash left(S^\backslash dagger\backslash right)^\{-1\}.$로 결론을 내릴 수 있다.

== 질량 항 ==

오른쪽 스피너 장의 복소 켤레는 $\backslash psi^*\_\{\backslash rm\; R\}(x)\; \backslash mapsto\; \backslash psi^\{\backslash prime\; *\}\_\{\backslash rm\; R\}(x^\backslash prime)\; =\; S^*\backslash psi^*\_\{\backslash rm\; R\}(x)$와 같이 변환된다. $\backslash operatorname\{Sp\}(2,\; \backslash mathbb\{C\})$에 대한 정의 관계는 $\backslash omega\; S^*\; =\; \backslash left(S^\backslash dagger\backslash right)^\{-1\}\; \backslash omega\backslash ,.$로 다시 쓸 수 있다. 이로부터, 꼬인 복소장(skew-complex field)은 $m\backslash omega\backslash psi^*\_\{\backslash rm\; R\}(x)\; \backslash mapsto\; m\backslash omega\backslash psi^\{\backslash prime\; *\}\_\{\backslash rm\; R\}(x^\backslash prime)\; =\; \backslash left(S^\backslash dagger\backslash right)^\{-1\}\; m\backslash omega\backslash psi^*\_\{\backslash rm\; R\}(x)$와 같이 변환된다는 것을 알 수 있다.

이는 미분의 공변성(covariance property)과 완전히 일치한다. $\backslash eta\; =\; e^\{i\backslash phi\}$를 임의의 복소 위상 인자로 놓으면, 선형 결합 $i\backslash sigma^\backslash mu\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash psi\_\{\backslash rm\; R\}(x)\; +\; \backslash eta\; m\backslash omega\backslash psi^*\_\{\backslash rm\; R\}(x)$는 공변적인 방식으로 변환된다. 이를 0으로 설정하면 오른쪽-손 스피너 장에 대한 복소 2성분 마요라나 방정식이 얻어진다. 마찬가지로, 왼쪽-손 마요라나 방정식(임의의 위상 인자 $\backslash zeta$ 포함)은 $i\backslash overline\{\backslash sigma\}^\backslash mu\; \backslash partial\_\backslash mu\; \backslash psi\_\{\backslash rm\; L\}(x)\; +\; \backslash zeta\; m\backslash omega\backslash psi^*\_\{\backslash rm\; L\}(x)\; =\; 0$이다.

왼쪽 및 오른쪽 손 버전은 패리티 변환에 의해 관련된다. $\backslash eta\; =\; \backslash zeta.$인 경우에만 클라인-고든 연산자의 제곱이 된다. 꼬인 복소 켤레 $\backslash omega\backslash psi^*\; =\; i\backslash sigma^2\backslash psi$는 $\backslash psi~\; ;$의 전하 켤레 형태로 인식될 수 있다. 따라서, 마요라나 방정식은 스피너와 그 전하-켤레 형태를 연결하는 방정식으로 해석될 수 있다.

== 좌-우 마요라나 연산자 ==

다음과 같은 연산자 쌍을 정의한다. 마요라나 연산자/Majorana operator^영어

:$\backslash begin\{align\}$

\mathrm{D}_{\rm L} &= i\overline{\sigma}^\mu \partial_\mu + \zeta m\omega K &

\mathrm{D}_{\rm R} &= i\sigma^\mu \partial_\mu + \eta m\omega K

\end{align}

여기서 $K$는 복소 켤레를 취하라는 약식 표기이다. 로렌츠 변환 하에서 이들은 다음과 같이 변환한다.

:$\backslash begin\{align\}$

\mathrm{D}_{\rm L} \mapsto \mathrm{D}^\prime_{\rm L} &= S \mathrm{D}_{\rm L} S^\dagger &

\mathrm{D}_{\rm R} \mapsto \mathrm{D}^\prime_{\rm R} &= \left(S^\dagger\right)^{-1} \mathrm{D}_{\rm R} S^{-1}

\end{align}

반면에 바일 스피너는 다음과 같이 변환한다.

:$\backslash begin\{align\}$

\psi_{\rm L} \mapsto \psi^\prime_{\rm L} &= \left(S^\dagger\right)^{-1} \psi_{\rm L} &

\psi_{\rm R} \mapsto \psi^\prime_{\rm R} &= S \psi_{\rm R}

\end{align}

위에 제시된 것과 같이. 따라서 이러한 조합은 로렌츠 공변적이며, 다음을 취할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$

\mathrm{D}_{\rm L} \psi_{\rm L} &= 0 &

\mathrm{D}_{\rm R} \psi_{\rm R} &= 0

\end{align}

복소 2-스피너 마요라나 방정식 쌍으로.

곱 $\backslash mathrm\{D\}\_\{\backslash rm\; L\}\; \backslash mathrm\{D\}\_\{\backslash rm\; R\}$ 과 $\backslash mathrm\{D\}\_\{\backslash rm\; R\}\; \backslash mathrm\{D\}\_\{\backslash rm\; L\}$은 모두 로렌츠 공변적이다. 곱은 명시적으로 다음과 같다.

:$$

\mathrm{D}_{\rm R} \mathrm{D}_{\rm L}

= \left(i\sigma^\mu \partial_\mu + \eta m\omega K\right) \left(i\overline{\sigma}^\mu \partial_\mu + \zeta m\omega K\right)

= - \left(\partial_t^2 - \vec\nabla \cdot \vec\nabla + \eta\zeta^* m^2\right)

= - \left(\square + \eta\zeta^* m^2\right)



이것을 확인하려면 $\backslash omega^2\; =\; -1$ 이고 $Ki\; =\; -iK~.$ 임을 명심해야 한다. 우변은 $\backslash eta\backslash zeta^*\; =\; 1$ 즉, $\backslash eta\; =\; \backslash zeta~.$일 때 클라인-고든 연산자로 축소된다. 따라서 이 두 마요라나 연산자는 클라인-고든 연산자의 "제곱근"이다.

4. 1. 바일 방정식

4. 2. 로렌츠 불변성

4. 3. 미분

4. 4. 질량 항

4. 5. 좌-우 마요라나 연산자

5. 4성분 마요라나 방정식

마요라나 방정식의 실수 4성분 버전은 복소수 2성분 방정식으로부터 구성될 수 있다. $\backslash mathrm\{D\}\_\{\backslash rm\; L\}\; \backslash psi\_\{\backslash rm\; L\}\; =\; 0$을 만족하는 복소수 장 $\backslash psi\_\{\backslash rm\; L\}$이 주어지면, $\backslash chi\_\{\backslash rm\; R\}\; \backslash equiv\; -\backslash eta\; \backslash omega\; \backslash psi^*\_\{\backslash rm\; L\}$를 정의할 수 있다. 이를 통해 $\backslash left(i\; \backslash sigma^\backslash mu\; \backslash partial\_\backslash mu\; -\; \backslash eta\; m\backslash omega\; K\backslash right)\backslash chi\_\{\backslash rm\; R\}\; =\; 0$ 임을 보일 수 있다.

켤레 연산자 $\backslash delta\_\{\backslash rm\; R\}\; =\; i\; \backslash sigma^\backslash mu\; \backslash partial\_\backslash mu\; -\; \backslash eta\; m\backslash omega\; K$를 정의하면, 4성분 마요라나 방정식은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash left(\backslash mathrm\{D\}\_\{\backslash rm\; L\}\; \backslash oplus\; \backslash delta\_\{\backslash rm\; R\}\; \backslash right)\backslash left(\backslash psi\_\{\backslash rm\; L\}\; \backslash oplus\; \backslash chi\_\{\backslash rm\; R\}\backslash right)\; =\; 0$

이를 자세히 풀어서 를 왼쪽에 곱하면, 감마 행렬을 사용하여 다음과 같은 행렬 형태로 나타낼 수 있다.

:$$

\beta \left(\mathrm{D}_{\rm L} \oplus \delta_{\rm R}\right) =

i\gamma^\mu \partial_\mu - m \begin{bmatrix} 0 & \eta \omega K \\ -\eta \omega K & 0 \end{bmatrix}



4-스피너 $\backslash psi\_\{\backslash rm\; L\}\; \backslash oplus\; \backslash chi\_\{\backslash rm\; R\}$

= \begin{pmatrix} \psi_{\rm L} \\ \chi_{\rm R} \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} \psi_{\rm L} \\ -\eta\omega\psi^*_{\rm L} \end{pmatrix} 에 적용하고, $\backslash omega^2\; =\; -1$임을 상기하면, 이 스피너는 질량 항의 고유 상태임을 알 수 있다.

:$$

\begin{bmatrix} 0 & \eta \omega K \\ -\eta \omega K & 0 \end{bmatrix}

\begin{pmatrix} \psi_{\rm L} \\ -\eta\omega\psi^*_{\rm L} \end{pmatrix} =

\begin{pmatrix} \psi_{\rm L} \\ -\eta\omega\psi^*_{\rm L} \end{pmatrix}



따라서 이 스피너에 대해 4성분 마요라나 방정식은 디랙 방정식으로 축소된다.

:$\backslash left(i\backslash gamma^\backslash mu\; \backslash partial\_\backslash mu\; -\; m\backslash right)\; \backslash begin\{pmatrix\}$

\psi_{\rm L} \\

• \eta\omega\psi^*_{\rm L}

6. 전하 켤레와 패리티

전하 켤레 연산자는 마요라나 방정식의 4성분 형태에 직접 나타나며, 스피너 장이 자기 자신의 전하 켤레($\backslash psi^c\; =\; \backslash psi$)일 때 마요라나 방정식은 디랙 방정식으로 축소된다.^[11] 전하 켤레 연산자는 두 개의 구별되는 고유 상태를 가지는데, 그 중 하나는 ELKO 스피너이다. 4성분 스피너에 대한 전하 켤레 연산자 $\backslash mathsf\{C\}$는 $\backslash mathsf\{C\}\backslash psi\; =\; \backslash psi\_c\; =\; \backslash eta\; C\backslash left(\backslash overline\; \backslash psi\backslash right)^\backslash textsf\{T\}$로 정의된다. 이 연산자의 전기 전하 측면에서의 물리적 해석은 전하 켤레 문서에, 추가적인 논의는 Bjorken & Drell^[11] 또는 Itzykson & Zuber에 제공되어 있다. 마요라나 장은 전기적으로 중성이며, 두 개의 마요라나 장을 조합하면 전기적으로 하전된 디랙 장으로 해석될 수 있다.

$\backslash mathsf\{C\}$는 4×4 행렬로, 감마 행렬 문서에 제공되어 있으며, 그 명시적인 형태는 표현에 의존한다. $\backslash mathsf\{C\}$는 $\backslash psi$의 복소 공액을 취하므로, 4×4 행렬로 쓸 수 없지만, $\backslash psi$를 순수하게 실수 8-성분 스피너로 쓰면 실수 8×8 행렬로 쓸 수 있다. $K$를 복소 공액을 나타내는 것으로 하면, 4-성분 스피너에 대해 $\backslash mathsf\{C\}\; =\; -\backslash eta\; \backslash gamma^0\; CK$이다.

$\backslash mathsf\{C\}^2\; =\; 1$이고 $\backslash mathsf\{C\}\backslash gamma^\backslash mu\; \backslash mathsf\{C\}\; =\; -\backslash gamma^\backslash mu~.$이다. $\backslash mathsf\{C\}$는 두 개의 고유값을 가지며, $\backslash mathsf\{C\}\backslash psi^\{(\backslash pm)\}\; =\; \backslash pm\; \backslash psi^\{(\backslash pm)\}$로 쓸 수 있다. 고유 벡터는 바일 기저에서 쉽게 찾아지며, 이 기저에서 $\backslash mathsf\{C\}$는 다음과 같다.

:

따라서

:$\backslash psi^\{(\backslash pm)\}\_\backslash text\{Weyl\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; \backslash psi\_\{\backslash rm\; L\}\; \backslash \backslash \; \backslash mp\backslash eta\; \backslash omega\backslash psi\_\{\backslash rm\; L\}^*\; \backslash end\{pmatrix\}$

두 고유 벡터 모두 마요라나 방정식의 해이다. 그러나 양의 고유 벡터만이 디랙 방정식의 해이다.

:$0\; =\; \backslash left(i\backslash gamma^\backslash mu\; \backslash partial\_\backslash mu\; -\; m\backslash mathsf\{C\}\backslash right)\backslash psi^\{(+)\}\; =\; \backslash left(i\backslash gamma^\backslash mu\; \backslash partial\_\backslash mu\; -\; m\backslash right)\backslash psi^\{(+)\}$

음의 고유 벡터는 ELKO 스피너라고 한다.

패리티 변환 하에서, 왼손 스피너는 오른손 스피너로 변환된다. 전하 켤레 연산자의 두 고유 벡터는 바일 기저에서 다음과 같다.

:$\backslash psi^\{(\backslash pm)\}\_\{\backslash rm\{R\},\; \backslash text\{Weyl\}\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}\; \backslash pm\; \backslash eta\backslash omega\backslash psi\_\{\backslash rm\; R\}^*\; \backslash \backslash \; \backslash psi\_\{\backslash rm\; R\}\; \backslash end\{pmatrix\}$

둘 다 4성분 마요라나 방정식을 풀지만, 단 하나만 디랙 방정식 또한 푼다. 이는 패리티 이중 4성분 방정식을 구성하여 보일 수 있다. 마요라나 방정식은 네 개의 비등가, 선형 독립 해 $\backslash psi^\{(\backslash pm)\}\_\{\backslash rm\; L,R\}.$를 가지며, 이 중 $\backslash psi^\{(+)\}\_\{\backslash rm\; L\}$와 $\backslash psi^\{(-)\}\_\{\backslash rm\; R\}~\; .$ 두 개만 디랙 방정식의 해이다.

7. 해

7. 1. 스핀 고유 상태

7. 2. 운동량 고유 상태

8. 전하

마요라나 방정식에서 \(\psi\)와 \(\psi_c\)가 모두 나타나는 것은 입자가 자체 반입자와 반대 전하를 띠기 때문에 전하 보존을 위반하지 않고서는 장 \(\psi\)가 전하를 띤 전자기장과 결합될 수 없음을 의미한다. 이러한 제약을 충족시키기 위해 \(\psi\)는 전기적으로 중성으로 간주해야 한다.^[12][13]

디랙 방정식은 감마 행렬이 마요라나 표현으로 취해질 때 순수하게 실수 형식으로 작성될 수 있다. 이 경우 방정식에 대한 순수 실수 해를 찾을 수 있으며, 이것이 마요라나 스피너이다. 로렌츠 변환의 작용 하에서, 이는 (순수하게 실수) 스핀 군 \(\operatorname{Spin}(1, 3)\)에 따라 변환된다. 이는 복소화된 스핀 군 \(\operatorname{Spin}^\mathbb{C}(1,3)\)의 작용 하에서만 공변하는 디랙 스피너와 대조된다. 복소화된 스핀 군이 전자기적 포텐셜을 인코딩하는 반면, 실수 스핀 군은 그렇지 않다는 것이다.^[12]

디랙 방정식과 디랙 스피너는 전자기적 상호작용을 자연스럽게 인코딩하기에 충분한 게이지 자유도를 포함한다. 마요라나 제약 \(\psi=\psi_c\)의 적용은 이러한 추가 자유도를 제거한다. 일단 제거되면 전자기적 포텐셜과의 결합이 있을 수 없으므로, 마요라나 스피너는 필연적으로 전기적으로 중성이다.

\( (p,q) \) 공간 차원에서 복소화된 스핀 군 \(\operatorname{Spin}^\mathbb{C}(p,q)\)는 \(\operatorname{SO}(p, q)\times S^1\)에 의해 이중 커버를 가지며 \(S^1\cong U(1)\)는 원이다. \(\operatorname{SO}(p, q)\)가 일반화된 로렌츠 변환을 인코딩하는 반면, 원은 전하에 대한 게이지 군의 \(\mathrm{U}(1)\) 작용과 동일시될 수 있다. 디랙 스피너에 대한 복소화된 스핀 군의 게이지-군 작용은 순수하게 실수 로렌츠 부분과 전자기 부분으로 분리될 수 있다. 마요라나의 경우, 마요라나 스피너에 작용하는 로렌츠 변환만 존재하며 복소화는 아무런 역할을 하지 않는다.^[13]

9. 마요라나 입자

표준 모형에 포함된 모든 페르미온은 전하가 0이 아니므로 스스로의 반입자가 될 수 없기 때문에 마요라나 페르미온으로 제외되었으며, 중성미자는 예외이다(중성미자는 중성임).^[14]

이론적으로 중성미자는 이 패턴의 가능한 예외이다. 만약 그렇다면, 중성미자 없는 이중 베타 붕괴뿐만 아니라 일련의 렙톤 수를 위반하는 중간자 및 전하를 띤 렙톤 붕괴가 가능하다. 현재 중성미자가 마요라나 입자인지 여부를 조사하는 여러 실험이 진행 중이다.^[14]

참조

_[1] 논문 Teoria Simmetrica Dell' Elettrone E Del Positrone http://fisica.unipv.[...]
_[2] 학술지 A direct road to Majorana fields
_[3] 학술지 Dirac, Majorana, and Weyl fermions
_[4] 학술지 On the Majorana equation: Relations between its complex two-component and real four-component eigenfunctions
_[5] 학술지 A new route to the Majorana equation https://www.research[...]
_[6] 서적 Quantum Field Theory MacGraw-Hill
_[7] 간행물 A Direct Road to Majorana Fields
_[8] 서적 Quantum Mechanics Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc
_[9] 서적 The Cambridge Handbook of Physics Formulas Cambridge University Press
_[10] 서적 An Introduction to Quantum Field Theory https://books.google[...] Addison-Wesley
_[11] 간행물 Relativistic Quantum Mechanics McGraw-Hill
_[12] 간행물 Riemannian geometry and Geometric Analysis (3rd edition) Springer Universitext
_[13] 간행물 Gauge Theory and Variational Principles Addison-Wesley
_[14] 서적 Are There Really Neutrinos?: An Evidential History Westview Press
_[15] 서적 Are there really neutrinos?: an evidential history Westview Press
_[16] 서적 Are there really neutrinos?: an evidential history Westview Press