북의 모양 듣기

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1. 개요

"북의 모양 듣기"는 고정된 경계를 가진 탄성 막의 수학적 특성을 연구하는 문제로, 주어진 북의 진동수를 통해 북의 모양을 유추할 수 있는지에 대한 질문을 다룬다. 이는 라플라시안 연산자의 고유값 문제와 관련되며, 고유값이 같은 두 영역을 "동음"이라고 부른다. 이 문제는 1960년대 존 밀너의 연구를 통해 16차원 토러스에서 반례가 발견되면서 북의 모양을 완전히 들을 수 없다는 것을 보였다. 이후 캐롤린 고든, 데이비드 웹, 스콧 월퍼트는 오목 다각형을 이용하여 2차원 평면에서도 반례를 제시했다. 바일의 공식은 고유값 분포를 통해 면적과 둘레를 추정하는 데 사용되며, 베리의 추측은 불규칙한 경계의 고유값 분포에 대한 수정 항을 제안했지만, 이후 반증되었다.

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북의 모양 듣기
일반 정보
심벌즈와 베이스 드럼
분류	타악기
연주 방식	손, 채 또는 다양한 진동 도구를 사용하여 표면을 치거나 두드려서 연주
기원	고대
관련 악기	실로폰, 마림바, 팀파니, 톰톰, 스네어드럼, 봉고, 콩가, 카혼, 젬베, 타블라, 북채, 심벌즈
소리	진동
구조 및 재료
주요 재료	나무, 금속, 플라스틱, 피혁 등
형태	원통형, 사각형, 구형 등 다양한 형태 존재
공명	속이 비어있거나 특정 재료로 채워진 구조를 통해 소리 공명
역사 및 문화
역사	고대 문명부터 현대 음악까지 다양한 시대와 문화권에서 사용
용도	의식, 종교, 신호, 음악 연주 등 다양한 목적
문화적 의미	각 문화권마다 고유한 상징적 의미와 역할 부여
음향학적 특성
음색	재료, 크기, 형태에 따라 다양한 음색 생성
음높이	조율 가능 여부와 범위가 악기 종류에 따라 다름
울림	공명 구조와 재료에 따라 울림의 길이와 특성 변화
연주 기법
타법	손, 채, 브러쉬 등 다양한 도구 사용
주법	단타, 연타, 롤, 플램 등 다양한 주법 구사
테크닉	악기 종류에 따라 고유한 연주 기술 요구
현대 음악에서의 활용
장르	클래식 음악, 재즈, 록, 팝, 민속 음악 등 다양한 장르에서 활용
역할	리듬, 멜로디, 화성, 효과음 등 다양한 역할 수행
발전	전자 드럼, 샘플링 등 새로운 기술을 통해 끊임없이 발전
기타 정보
참고 자료	악기, 타악기, 음악
관련 인물	유명 드러머, 타악기 연주자, 작곡가 등

2. 공식적 진술

보다 공식적으로 북은 경계가 고정된 탄성 막으로 본다. 이는 평면의 영역 ''D''로 표현된다. ''λ''_''n''을 ''D''에 대한 디리클레 고유값으로 표시한다. 즉, 라플라시안에 대한 디리클레 문제의 고유값이다.

: $\begin{cases}\Delta u + \lambda u = 0\\u|_{\partial D} = 0\end{cases}$

두 영역이 동일한 고유값을 가지면 동음 (또는 등고유값)이라고 한다. "동음"이라는 용어는 디리클레 고유값이 북이 생성할 수 있는 기본 톤과 정확히 일치하기 때문에 정당화된다. 이는 고정된 경계를 가진 파동 방정식의 해에서 푸리에 급수의 푸리에 계수로 자연스럽게 나타난다.

따라서 이 질문은 다음과 같이 재구성할 수 있다. ''λ''_''n''의 값만 알고 있을 경우 ''D''에 대해 무엇을 추론할 수 있는가? 또는 더 구체적으로: 등고유값을 갖는 두 개의 서로 다른 영역이 존재하는가?

관련 문제는 더 높은 차원의 영역 또는 리만 다양체에서 라플라시안에 대한 디리클레 문제뿐만 아니라 코시-리만 방정식 또는 디랙 연산자와 같은 다른 타원형 미분 연산자에 대해서도 공식화될 수 있다. 노이만 경계 조건과 같은 디리클레 조건 외에 다른 경계 조건을 부과할 수 있다. 관련 기사로 스펙트럼 기하학 및 등고유값을 참조하라.

2. 1. 기본 개념

보다 공식적으로 북은 경계가 고정된 탄성 막으로 본다. 이는 수학적으로 평면에서 영역 ''

D

''이다. ''

D

''에 대한 디리클레 고유값을

\lambda_n

으로 표시한다. 즉, 라플라스 연산자에 대한 디르클레 문제의 고유값이다.

:

\begin{cases}\Delta u + \lambda u = 0\\u|_{\partial D} = 0\end{cases}

두 영역이 동일한 고유값들을 갖는 경우 아이소스펙트럼(또는 동음성)이라고 한다. "동음"이라는 용어는 디리클레 고유값이 정확하게 북이 생성할 수 있는 기본 음이기 때문에 정당화된다. 이는 경계가 고정된 해 파동 방정식에서 푸리에 급수의 푸리에 계수로 자연스럽게 나타난다.

따라서 질문은 다음과 같이 다시 공식화될 수 있다.

\lambda_n

값만 알면 ''

D

''에 대해 무엇을 추론할 수 있는가? 또는 더 구체적으로 말하면, 스펙트럼이 같은 두 개의 서로 다른 영역이 있는가?

관련 문제는 더 높은 차원의 영역이나 리만 다양체의 라플라스 연산자에 대한 디리클레 문제뿐만 아니라 코시-리만 연산자 또는 디랙 연산자와 같은 기타 타원 미분 연산자에 대해 공식화될 수 있다. 디르클레 조건 외에 노이만 경계 조건과 같은 다른 경계 조건을 적용할 수 있다. 스펙트럼 기하학 참조

2. 2. 디리클레 문제와 고유값

보다 공식적으로 북은 경계가 고정된 탄성 막으로 본다. 이는 수학적으로 평면에서 영역 ''

D

''이다. ''

D

''에 대한 디리클레 고유값을

\lambda_n

으로 표시한다. 즉, 라플라스 연산자에 대한 디르클레 문제의 고유값이다.

:

\begin{cases}\Delta u + \lambda u = 0\\u|_{\partial D} = 0\end{cases}

두 영역이 동일한 고유값들을 갖는 경우 아이소스펙트럼(또는 동음성)이라고 한다. "동음"이라는 용어는 디리클레 고유값이 정확하게 북이 생성할 수 있는 기본 음이기 때문에 정당화된다. 이는 경계가 고정된 해 파동 방정식에서 푸리에 급수의 푸리에 계수로 자연스럽게 나타난다.

따라서 질문은 다음과 같이 다시 공식화될 수 있다.

\lambda_n

값만 알면 ''

D

''에 대해 무엇을 추론할 수 있는가? 또는 더 구체적으로 말하면, 스펙트럼이 같은 두 개의 서로 다른 영역이 있는가?

관련 문제는 더 높은 차원의 영역이나 리만 다양체의 라플라스 연산자에 대한 디리클레 문제뿐만 아니라 코시-리만 연산자 또는 디랙 연산자와 같은 기타 타원 미분 연산자에 대해 공식화될 수 있다. 디르클레 조건 외에 노이만 경계 조건과 같은 다른 경계 조건을 적용할 수 있다. 스펙트럼 기하학 참조

2. 3. 아이소스펙트럼 (동음성)

서로 다른 모양의 북(영역)이 동일한 고유값(진동수) 집합을 가질 수 있는지, 즉 동일한 소리를 낼 수 있는지 묻는다.

보다 공식적으로 북은 경계가 고정된 탄성 막으로 본다. 이는 수학적으로 평면에서 영역 ''D''이다. ''D''에 대한 디리클레 고유값을

\lambda_n

으로 표시한다. 즉, 라플라스 연산자에 대한 디르클레 문제의 고유값이다.

두 영역이 동일한 고유값들을 갖는 경우 아이소스펙트럼(또는 동음성)이라고 한다. "동음"이라는 용어는 디리클레 고유값이 정확하게 북이 생성할 수 있는 기본 음이기 때문에 정당화된다. 이는 경계가 고정된 해 파동 방정식에서 푸리에 급수의 푸리에 계수로 자연스럽게 나타난다.

따라서 질문은 다음과 같이 다시 공식화될 수 있다.

\lambda_n

값만 알면 ''D''에 대해 무엇을 추론할 수 있는가? 또는 더 구체적으로 말하면, 스펙트럼이 같은 두 개의 서로 다른 영역이 있는가?

관련 문제는 더 높은 차원의 영역이나 리만 다양체의 라플라스 연산자에 대한 디리클레 문제뿐만 아니라 코시-리만 연산자 또는 디랙 연산자와 같은 기타 타원 미분 연산자에 대해 공식화될 수 있다. 디르클레 조건 외에 노이만 경계 조건과 같은 다른 경계 조건을 적용할 수 있다. 스펙트럼 기하학 참조

3. 문제의 해결

1964년, 존 밀너는 에른스트 비트의 격자 이론에 대한 정리가 동일한 고유값을 갖지만 모양이 다른 16차원 평면 토러스 쌍의 존재를 암시한다는 것을 관찰했다. 그러나 1992년 캐롤린 S. 고든, 데이비드 웹, 스콧 A. 월퍼트는 스나다 방법을 기반으로 모양은 다르지만 동일한 고유값을 갖는 평면의 영역 쌍을 구성했다. 이 영역은 오목 다각형이다. 두 영역이 동일한 고유값을 갖는다는 증명에는 라플라스 연산자의 대칭성이 사용된다. 이 아이디어는 부서, 콘웨이, 도일, 셈러에 의해 일반화되어 수많은 유사한 예가 구성되었다. 따라서 카츠의 질문에 대한 대답은, 많은 모양의 경우 드럼의 모양을 ''완전히'' 들을 수 없다는 것이다. 그러나 일부 정보는 추론할 수 있다.

반면, 스티브 젤디치는 해석적 함수 경계를 가진 특정 볼록 평면 영역에 제한을 가하면 카츠의 질문에 대한 답이 긍정적이라고 증명했다. 두 개의 비볼록 해석적 영역이 동일한 고유값을 가질 수 있는지 여부는 알려져 있지 않다. 주어진 영역과 등면적인 영역 집합은 C^∞ 위상에서 콤팩트하다는 것이 알려져 있다. 또한, 청의 고유값 비교 정리에 의해 구(예: 구)는 스펙트럼적으로 강성이다. 또한, 오스굿, 필립스 및 사르낙의 결과에 따르면 주어진 종수의 리만 곡면의 모듈 공간은 어떤 지점을 통해서도 연속적인 등면 흐름을 허용하지 않으며, 프레셰-슈바르츠 위상에서 콤팩트하다는 것도 알려져 있다.

3. 1. 밀너의 반례 (1964)

존 밀너는 에른스트 비트가 제시한 격자에 관한 정리를 바탕으로, 16차원 평면 원환체(torus)에서 서로 다른 모양이지만 동일한 고유값을 갖는 쌍을 발견했다. 이를 통해 고차원에서는 북의 모양을 완벽하게 들을 수 없음을 보였다.

3. 2. 고든, 웹, 볼퍼트의 반례 (1992)

1964년 존 밀너는 에른스트 비트가 제시한 격자에 관한 정리가 고유값들은 동일하지만 모양이 다른 한 쌍의 16차원 평면 토러스의 존재를 암시한다는 사실을 발견했다. 그러나 2차원 문제는 1992년 캐롤린 S. 고든, 데이비드 웹, 스콧 A. 월퍼트가 스나다 방법을 기반으로 평면에서 모양은 다르지만 고유값은 동일한 한 쌍의 영역을 구성할 때까지 남아 있었다. 이 영역은 오목 다각형이다. 두 영역이 동일한 고유값을 갖는다는 증명은 라플라스 연산자의 대칭성을 사용한다. 이 아이디어는 Buser, 콘웨이, 도일 및 Semmler에 의해 일반화되어 수많은 비슷한 사례를 구성하였다.

따라서, 많은 모양들에 대해 북 모양을 ''완전히'' 들을 수 없다. 그러나 일부 정보는 추론할 수 있다.

3. 3. 젤디치의 결과 (2000)

스티브 젤디치는 경계가 해석적으로 주어지는 볼록 영역의 경우, 고유값 스펙트럼이 모양을 완전히 결정한다는 것을 증명했다. 이는 특정한 조건에서는 북의 모양을 들을 수 있음을 보여준다. 두 개의 볼록하지 않은 해석적 영역이 동일한 고유값을 가질 수 있는지 여부는 알려져 있지 않다. 주어진 영역과 스펙트럼이 같은 영역들의 집합은

C^{\infty}

위상에서 콤팩트하다는 것이 알려져 있다.

3. 4. 추가 연구

1964년, 존 밀너는 에른스트 비트가 제시한 격자에 관한 정리가 고유값들은 동일하지만 모양이 다른 한 쌍의 16차원 평면 원환체의 존재를 암시한다는 사실을 발견했다. 그러나 2차원 문제는 1992년 캐롤린 S. 고든, 데이비드 웹, 스콧 A. 월퍼트가 스나다 방법을 기반으로 평면에서 모양은 다르지만 고유값은 동일한 한 쌍의 영역을 구성할 때까지 남아 있었다. 이 영역은 오목한 다각형이며, 두 영역이 동일한 고유값을 갖는다는 증명은 라플라스 연산자의 대칭성을 사용한다. 이 아이디어는 Buser, 콘웨이, 도일 및 Semmler에 의해 일반화되어 수많은 비슷한 사례를 구성하였다. 따라서, 많은 모양들에 대해 북 모양을 ''완전히'' 들을 수 없지만, 일부 정보는 추론할 수 있다.

반면, 스티브 젤디치는 평면에서 해석적 경계가 있는 특정 볼록 영역으로 제한하면 Kac의 질문에 대한 대답이 긍정적이라는 것을 증명했다. 두 개의 볼록하지 않은 해석적 영역이 동일한 고유값을 가질 수 있는지 여부는 알려져 있지 않다. 주어진 영역과 스펙트럼이 같은 영역들의 집합은

C^{\infty}

위상에서 콤팩트하다는 것이 알려져 있다. 더욱이, (예를 들어)구는 쳉의 고유치 비교 정리에 의해 스펙트럼적으로 고정되어 있다. 오스굿, 필립스 및 사르낙의 결과에 따르면 주어진 종수의 리만 곡면의 모듈라이 공간은 어떤 점에서도 연속적인 아이소스펙트럼 흐름을 허용하지 않으며 프레셰-슈바르츠 위상에서 콤팩트하다는 것이 알려져 있다.

4. 바일의 공식

바일의 공식에 따르면 고윳값( $\lambda_n$ )이 얼마나 빠르게 증가하는지 계산하여 북의 면적 ''A''를 추론할 수 있다. ''N''(''R'')을 ''R''보다 작은 고유값의 개수로 정의하면 다음과 같다.

: $A = \omega_d^{-1}(2\pi)^d \lim_{R\to\infty}\frac{N(R)}{R^{d/2}}$

여기서 ''d''는 차원이며, $\omega_d$ 는 ''d''차원 단위 구의 부피이다. 바일은 또한 근사식의 다음 항이 ''D''의 둘레를 제공할 것이라고 추측했다. 즉, ''L''이 둘레의 길이(또는 고차원에서는 표면적)를 나타낸다면, 다음이 성립해야 한다.

: $N(R) = (2\pi)^{-d}\omega_d AR^{d/2} \mp \frac{1}{4}(2\pi)^{-d+1}\omega_{d-1} LR^{(d-1)/2} + o(R^{(d-1)/2}).$

매끄러운 경계의 경우, 이는 1980년에 빅토르 이브리에 의해 증명되었다. 또한 다양체는 구에서 처럼 주기적인 측지선의 2개 매개변수 족을 가질 수 없다.

4. 1. 바일의 공식과 면적 추정

바일의 공식에 따르면 고윳값(

\lambda_n

)이 얼마나 빠르게 증가하는지 계산하여 북의 면적 ''A''를 추론할 수 있다. ''N''(''R'')을 ''R''보다 작은 고유값의 개수로 정의하면 다음과 같다.

:

A = \omega_d^{-1}(2\pi)^d \lim_{R\to\infty}\frac{N(R)}{R^{d/2}}

여기서 ''d''는 차원이며,

\omega_d

는 ''d''차원 단위 구의 부피이다. 바일은 또한 근사식의 다음 항이 ''D''의 둘레를 제공할 것이라고 추측했다. 즉, ''L''이 둘레의 길이(또는 고차원에서는 표면적)를 나타낸다면, 다음이 성립해야 한다.

:

N(R) = (2\pi)^{-d}\omega_d AR^{d/2} \mp \frac{1}{4}(2\pi)^{-d+1}\omega_{d-1} LR^{(d-1)/2} + o(R^{(d-1)/2}).

매끄러운 경계의 경우, 이는 1980년에 빅토르 이브리에 의해 증명되었다. 또한 다양체는 구에서 처럼 주기적인 측지선의 2개 매개변수 족을 가질 수 없다.

4. 2. 바일의 추측과 둘레 추정

바일은 바일의 공식을 통해 북의 면적 ''A''를 추론할 수 있다고 하였고, 근사식의 다음 항이 ''D''의 둘레를 제공할 것이라고 추측했다. 즉, ''L''이 둘레의 길이(또는 고차원에서는 표면적)를 나타낸다면, 다음이 성립해야 한다.

:

N(R) = (2\pi)^{-d}\omega_d AR^{d/2} \mp \frac{1}{4}(2\pi)^{-d+1}\omega_{d-1} LR^{(d-1)/2} + o(R^{(d-1)/2}).

매끄러운 경계의 경우, 이 추측은 1980년에 빅토르 이브리에 의해 증명되었다. 또한 다양체는 구에서 처럼 주기적인 측지선의 2개 매개변수 족을 가질 수 없다.

5. 바일-베리 추측

마이클 베리는 1979년에 매끄럽지 않은 경계의 경우 고유값 분포의 수정된 항이 경계의 하우스도르프 차원 ''D''를 사용하여 $R^{D/2}$ 의 순서로 이루어져야 한다고 추측했다. 그러나 이 추측은 브로사르와 카르모나에 의해 반증되었으며, 그들은 하우스도르프 차원을 상위 상자 차원으로 대체해야 한다고 제안했다. 평면에서는 경계에 1차원이 있는지 여부가 증명되었지만(1993), 더 높은 차원에 대해서는 대부분 반증되었다(1996). 두 결과 모두 라피두스와 포머란스에 의한 것이다.

5. 1. 베리의 추측

마이클 베리는 1979년에 매끄럽지 않은 경계의 경우 고유값 분포의 수정된 항이 경계의 하우스도르프 차원 ''D''를 사용하여

R^{D/2}

의 순서로 이루어져야 한다고 추측했다. 그러나 이 추측은 브로사르와 카르모나에 의해 반증되었으며, 그들은 하우스도르프 차원을 상위 상자 차원으로 대체해야 한다고 제안했다. 평면에서는 경계에 1차원이 있는지 여부가 증명되었지만(1993), 더 높은 차원에 대해서는 대부분 반증되었다(1996). 두 결과 모두 라피두스와 포머란스에 의한 것이다.

5. 2. 반증과 수정

마이클 베리는 1979년에 매끄럽지 않은 경계의 경우 보정값이 R^D/2의 순서로 이루어져야 한다고 추측했다. 여기서 ''D''는 경계의 하우스도르프 차원을 의미한다. 그러나 이 추측은 브로사르와 카르모나에 의해 반증되었으며, 그들은 하우스도르프 차원을 상위 상자 차원으로 대체해야 한다고 제안했다. 평면에서는 경계에 1차원이 있는지 여부가 증명되었지만(1993), 더 높은 차원에 대해서는 대부분 반증되었다(1996). 두 결과 모두 라피두스와 포머란스에 의한 것이다.

5. 3. 라피두스와 포머란스의 연구

마이클 베리는 매끄럽지 않은 경계의 경우 보정값이 R^D/2 (D는 경계의 하우스도르프 차원)의 순서일 것이라고 추측했다. 그러나 이는 브로사르와 카르모나에 의해 반증되었고, 그들은 하우스도르프 차원을 상자 차원으로 대체해야 한다고 제안했다. 라피두스와 포머란스는 평면에서 경계의 차원이 1인 경우 수정된 추측이 성립함을 증명했지만(1993년), 고차원에서는 대부분 반증됨을 보였다(1996년).

6. 한국의 관련 연구 동향 (추가)

6. 1. 양자 혼돈 및 파동 현상 연구

6. 2. 나노 기술 및 비파괴 검사

참조

_[1] 웹사이트 Mathematicians Are Trying to 'Hear' Shapes—And Reach Higher Dimensions https://www.scientif[...] 2022-06-28
_[2] 웹사이트 Can One Hear the Shape of a Drum? | Mathematical Association of America http://www.maa.org/p[...]
_[3] 논문 Can One Hear the Shape of a Drum? http://www.maa.org/s[...] 1966-04
_[4] 웹인용 Mathematicians Are Trying to 'Hear' Shapes—And Reach Higher Dimensions https://www.scientif[...] 2022-06-28
_[5] 웹인용 Can One Hear the Shape of a Drum? | Mathematical Association of America http://www.maa.org/p[...] 2023-11-24
_[6] 간행물 Can One Hear the Shape of a Drum? http://www.maa.org/s[...] 1966-04
_[7] 서적 Can you hear the fractal dimension of a drum?

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