라이데마이스터 비틀림

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1. 개요
2. 정의
3. 역사
4. 치거-뮐러 정리
5. 응용
6. 한국 수학계의 기여
참조

1. 개요

라이데마이스터 비틀림은 콤팩트 리만 다양체와 그 위의 벡터 다발에 대한 불변량으로, 해석적 정의와 위상수학적 정의가 존재하며, 두 정의는 치거-뮐러 정리에 의해 일치한다. 라이데마이스터는 1935년 렌즈 공간 분류를 위해 위상수학적 정의를 도입했고, 레이와 싱어는 해석적 정의를 제시했으며, 치거와 뮐러는 두 정의가 같음을 증명했다. 라이데마이스터 비틀림은 천-사이먼스 이론의 섭동 이론적 양자화에 응용된다.

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라이데마이스터 비틀림
개요
유형	위상 불변량
분야	다양체 위상수학
발견자	쿠르트 라이데마이스터 (1935) 조르주 드 람 (1936)
관련 개념	해석적 꼬임 프란츠-밀너 꼬임 아틸리아-싱어 지표 정리
상세 내용
정의	다양체의 호모토피 동치인 다양체를 구별할 수 있는 위상 불변량
라이데마이스터 꼬임	이는 다양체의 위상 불변량으로, 호모토피 동치인 다양체를 구별할 수 있다. 라이데마이스터 꼬임은 1930년대에 쿠르트 라이데마이스터, 조르주 드 람, 볼프강 프란츠에 의해 독립적으로 발견되었다.
해석적 꼬임	해석적 꼬임은 제타 함수 정칙화를 사용하여 정의된 미분 가능 다양체의 스펙트럼 불변량이다. 다니엘 B. 레이와 아이싱어는 리만 다양체에 작용하는 라플라스 연산자의 고유값을 사용하여 해석적 꼬임을 정의했다.
레이-싱어 꼬임	레이-싱어 꼬임은 리만 다양체의 라플라스 연산자의 고유값을 사용하여 정의된 해석적 꼬임의 한 유형이다.
해석적 꼬임과 라이데마이스터 꼬임의 관계	제프 치거와 베르너 뮐러는 해석적 꼬임과 라이데마이스터 꼬임이 동일하다는 것을 독립적으로 증명했다. 즉, 해석적 꼬임은 라이데마이스터 꼬임의 해석적 유사체이다. 이러한 결과는 해석적 방법과 위상수학적 방법을 연결하는 중요한 결과이다.
응용	3차원 다양체 연구 매듭 이론 양자장론 끈 이론
추가 정보
참고 문헌
관련 항목	프란츠 꼬임

2. 정의

라이데마이스터 비틀림은 위상 공간의 구조를 연구하는 데 사용되는 중요한 불변량이다. 이는 주로 두 가지 다른 관점에서 정의되는데, 하나는 미분기하학과 해석학의 도구를 사용하는 해석적 정의이고, 다른 하나는 대수적 위상수학의 개념을 사용하는 위상수학적 정의이다. 두 정의는 서로 다른 수학적 도구와 개념을 바탕으로 하지만, 특정 조건 아래에서는 동일한 불변량을 나타낸다는 것이 알려져 있다.

2. 1. 해석적 정의

다음과 같은 요소들이 주어졌다고 가정한다.

연결되고 콤팩트하며 가향인 리만 다양체 $(M,g)$
$M$ 위의 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$
$E$ 위의 평탄 코쥘 접속 $\nabla\colon \Gamma^\infty(M,E)\to\Gamma^\infty(M,E\otimes_M\mathrm T^*M)$

이때,

E

값을 가지는

k

차 미분 형식의 공간

\Omega^k(M;E)

위에 작용하는 라플라스 연산자

\Delta^{(k)}\colon \Omega^k(M;E)\to\Omega^k(M;E)

를 정의할 수 있다.

M

이 콤팩트하므로, 이 연산자는 이산적인 스펙트럼을 가지며, 그 고윳값들을

(\lambda^{(k)}_i)_{i\in I_k}

라고 표기한다.

충분히 큰 실수부를 가지는 복소수

s

에 대해,

k

차 '''제타 함수'''

\zeta_k(s)

는 0이 아닌 고윳값들을 이용하여 다음과 같이 정의된다.

:

\zeta_k(s) = \sum_{i\in I_k,\;\lambda^{(k)}_i\ne0}(\lambda_i^{(k)})^{-s}\qquad(\operatorname{Re}s\gg0)

이 함수는 복소평면 전체로 해석적 연속을 통해 확장될 수 있다.

제타 함수 조절을 이용하여 라플라스 연산자

\Delta^{(k)}

의 행렬식을 다음과 같이 정의한다.

:

\det(\Delta^{(k)}) = \exp(-\zeta'_k(0))

여기서

\zeta'_k(0)

은

s=0

에서 제타 함수

\zeta_k(s)

의 도함수를 의미한다. 이는 형식적으로 라플라스 연산자의 양의 고윳값들의 곱으로 생각할 수 있다.

이 행렬식 값 자체는 일반적으로 리만 계량

g

나

M

의 매끄러움 구조에 의존한다. 하지만 이 행렬식들을 특정 방식으로 조합하면 이러한 의존성이 사라지는 불변량을 얻을 수 있다.

'''해석적 비틀림'''

T(M,E)

는 이 행렬식들을 이용하여 다음과 같이 정의된다.

:

T(M,E) = \prod_{k=0}^{\dim M}(\det\Delta^{(k)})^{-(-1)^k k/2} = \exp\left(\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\dim M} (-1)^k k \zeta'_k(0)\right)

다른 관점에서,

M

의 기본군

\pi_1(M)

의 표현

\rho:\pi_1(M)\rightarrow\mathop{GL}(E)

를 이용하여 해석적 비틀림을 정의할 수도 있다.

E

값을 갖는

q

-형식의 공간

\Lambda^q(E)

위의 라플라스 연산자

\Delta_q

에 대응하는 제타 함수

\zeta_q(s;\rho)

는 다음과 같이 정의된다.

:

\zeta_q(s;\rho)=\sum_{\lambda_j >0}\lambda_j^{-s}=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0 t^{s-1}\mathop{Tr}(e^{-t\Delta_q} - P_q)dt,\ \ \ \mathrm{Re}(s)>\frac{\dim M}{2}

여기서

\lambda_j

는

\Delta_q

의 양의 고윳값들이고,

P_q

는

\Delta_q

의 핵 공간(kernel)으로의 사영(projection)이다. 로버트 실리(Robert Seeley)는 1967년에 이 제타 함수가 복소평면 전체로 유리형적으로 확장될 수 있으며

s=0

에서 정칙(holomorphic)임을 증명했다.

이 제타 함수를 이용하여 해석적 비틀림은 다음과 같이 표현된다.

:

T_M(\rho;E) = \exp\biggl(\frac{1}{2}\sum^n_{q=0}(-1)^q q \frac{d}{ds}\zeta_q(s;\rho)\biggl|_{s=0}\biggr)

1971년, 데이나 레이(D. B. Ray)와 이사도어 싱어(I. M. Singer)는 해석적 비틀림이 조합론적으로 정의되는 라이데마이스터 비틀림과 같을 것이라고 추측했다(레이-싱어 추측). 이 추측은 1970년대 후반 제프 치거(Jeff Cheeger)와 베르너 뮐러(Werner Müller)에 의해 독립적으로 증명되었다. 이 치거-뮐러 정리는 아티야-싱어 지수 정리의 변형인 아티야-파토디-싱어 지수 정리와 함께 위상 양자장론의 중요한 예시인 천-사이먼스 이론의 수학적 기초를 형성하는 데 기여했다.

2. 2. 위상수학적 정의

라이데마이스터 비틀림은 위상 공간의 중요한 불변량 중 하나로, 특히 CW 복합체와 그 기본군의 표현과 관련하여 정의된다.

다음 요소들이 주어졌다고 가정한다.

$X$ : 연결된 유한 CW 복합체.
$\pi_1(X)$ : $X$ 의 기본군.
${\tilde X}$ : $X$ 의 보편 피복 공간.
$U$ : $\pi_1(X)$ 의 유한 차원 직교 표현. 즉, $U$ 는 내적이 주어진 유한 차원 실수 벡터 공간이며, $\pi_1(X)$ 의 각 원소는 $U$ 위의 직교 변환으로 작용한다.

이를 이용해 실수 계수 사슬 복합체

(D_*, d_*)

를 다음과 같이 정의한다.

:

D_n = U \otimes_{\mathbf{Z}[\pi_1(X)]} C_n({\tilde X})

여기서

C_n({\tilde X})

는

{\tilde X}

의

n

차 세포 사슬 군이며,

\mathbf{Z}[\pi_1(X)]

는

\pi_1(X)

의 정수 계수 군환이다.

d_*

는 이 사슬 복합체의 경계 사상이다.

이 사슬 복합체의 호몰로지는 모든 차수

n

에 대해 0이라고 가정한다.

:

H_n(D_*) = H_n(U \otimes_{\mathbf{Z}[\pi_1(X)]} C_*({\tilde X})) = 0

이는 사슬 복합체

D_*

가 비순환적(acyclic)임을 의미한다.

C_*({\tilde X})

에 대한 세포 기저와

U

에 대한 직교 기저를 선택하면, 각

D_n

은 유한 기저를 갖는 실수 벡터 공간이 된다. 사슬 복합체

D_*

가 비순환적이므로 사슬 축약

\gamma_*: D_* \to D_{*+1}

이 존재한다. 이는 다음 조건을 만족하는 선형 사상들의 모임이다.

:

d_{n+1} \circ \gamma_n + \gamma_{n-1} \circ d_n = \mathrm{id}_{D_n}

(모든

n

에 대해)

여기서

\mathrm{id}_{D_n}

는

D_n

위의 항등 사상이다.

사슬 복합체

D_*

를 짝수 차수 성분들의 직합

D_\text{even} = \bigoplus_{n \, \text{even}} \, D_n

과 홀수 차수 성분들의 직합

D_\text{odd} = \bigoplus_{n \, \text{odd}} \, D_n

으로 분해하자. 경계 사상

d_*

와 사슬 축약

\gamma_*

를 이용해 다음 선형 사상을 정의한다.

:

(d_* + \gamma_*)_\text{odd}: D_\text{odd} \to D_\text{even}

이 사상은

D_\text{odd}

에서

D_\text{even}

으로 가는 벡터 공간 동형사상이다.

선택한 기저들에 대해 동형사상

(d_* + \gamma_*)_\text{odd}

를 행렬

A

로 나타낼 수 있다.

(X, U)

의 '''라이데마이스터 비틀림'''

\rho(X;U)

는 행렬

A

의 행렬식 절댓값의 역수로 정의된다.

:

\rho(X;U) := |\det(A)|^{-1} \in \mathbf{R}^{>0}

이 값은 항상 양의 실수이다.

중요하게도, 이렇게 정의된 라이데마이스터 비틀림

\rho(X;U)

는

C_*({\tilde X})

의 세포 기저,

U

의 직교 기저, 그리고 사슬 축약

\gamma_*

의 선택에 의존하지 않는다. 즉, 라이데마이스터 비틀림은 주어진

X

와 표현

U

에 대한 위상 불변량이다.

2. 3. 두 정의 사이의 관계

연결 콤팩트 리만 다양체

(M,g)

와 그 위의 매끄러운 벡터 다발

E\twoheadrightarrow M

, 그리고

E

위의 평탄 코쥘 접속

\nabla

가 주어졌다고 하자. 이 평탄 접속을 이용하여 임의의 점

x\in M

에서 홀로노미를 정의할 수 있다. 이는

M

의 기본군

\pi_1(M,x)

에서 벡터 공간

E_x

의 일반선형군

\operatorname{GL}(E_x)

으로 가는 군 준동형이다.

:

\operatorname{hol}_E\colon \pi_1(M,x) \to \operatorname{GL}(E_x)

이 홀로노미는 기본군의 유한 차원 표현을 제공한다.

이 홀로노미 표현

\operatorname{hol}_E

을 이용하면 위상수학적 정의에 따른 라이데마이스터 비틀림

\rho(M;\operatorname{hol}_E)

(때로는

\tau_M(\operatorname{hol}_E:\mu)

로 표기됨)을 계산할 수 있다. 한편, 리만 계량과 코쥘 접속의 해석적 성질(예: 라플라스 연산자의 스펙트럼)을 이용하여 정의된 해석적 정의에 따른 라이데마이스터 비틀림

\rho(M;E)

(또는

T(M,E)

)도 존재한다.

이 두 가지 다른 방식으로 정의된 라이데마이스터 비틀림은 실제로는 같은 값을 가진다는 것이 증명되었으며, 이를 '''치거-뮐러 정리'''라고 부른다.

:

\rho(M;\operatorname{hol}_E) = \rho(M;E)

즉, 위상수학적인 방법으로 정의한 비틀림과 미분기하학적인 방법(해석적 방법)으로 정의한 비틀림이 서로 일치한다는 중요한 결과이다.

이 등식은 1971년 D. B. 레이(D. B. Ray)와 I. M. 싱어(I. M. Singer)가 유니타리 표현에 대해 처음 추측하였다 (레이-싱어 추측). 이후 1970년대 후반 제프 치거(Jeff Cheeger)와 베르너 뮐러(Werner Müller)가 각각 독립적으로 증명에 성공하였다. 그들의 증명은 주로 비틀림 값 자체보다는 그 로그 값의 트레이스를 분석하는 방식을 사용했으며, 홀수 차원 다양체의 경우를 먼저 해결하고 이후 기술적으로 더 복잡한 짝수 차원 다양체의 경우를 증명했다. 이후 장미셸 비스무트와 장 웨이핑(zh)은 비텐 변형 등의 기법을 사용하여 임의의 표현에 대한 일반적인 증명을 제시하였다.

치거-뮐러 정리는 아티야-싱어 지표 정리의 경계가 있는 다양체로의 확장인 아티야-파토디-싱어 정리와 함께 양자장론의 일종인 천-사이먼스 이론의 수학적 기초를 형성하는 데 중요한 역할을 하였다.

3. 역사

쿠르트 라이데마이스터(Kurt Werner Friedrich Reidemeister^de)는 1935년 렌즈 공간을 분류하기 위한 목적으로 라이데마이스터 비틀림의 위상수학적 정의를 처음 도입했다.^[2] 초기에 이 정의는 성분별 선형 위상 동형(piecewise linear homeomorphism^영어)에 대해서만 불변인 것으로 여겨졌으나, 1960년 E. J. 브로디(E. J. Brody^영어)가 이 값이 실제로는 모든 위상 동형에 대해 불변임을 증명하여 그 중요성을 높였다.^[3]

1971년에는 대니얼 버릴 레이(Daniel Burrill Ray^영어)와 이저도어 싱어가 라이데마이스터 비틀림의 해석적 정의를 새롭게 제시하였고, 이 정의가 기존의 위상수학적 정의와 동치일 것이라고 추측했다.^[4] 이 추측은 1978년경 제프 치거^[5]^[6]와 베르너 뮐러(Werner Müller^de)^[7]가 각각 독립적으로 증명에 성공하면서 해결되었다 (치거-뮐러 정리).

한편, J. H. C. 화이트헤드(J. H. C. Whitehead)는 유한 복합체 사이의 호모토피 동치에 대한 "비틀림" 개념인 화이트헤드 비틀림을 정의하여 라이데마이스터 비틀림을 일반화했다. 이는 라이데마이스터 등의 개념을 확장한 것으로, 더 정교한 불변량으로 평가받으며 단순 호모토피 유형 연구에 중요한 도구로 사용되었다.

존 밀너는 1960년대 초에 다양체의 비틀림 불변량 사이의 쌍대성 관계를 발견하였으며, 특히 매듭 이론 분야에서 알렉산더 다항식이 3차원 구( $S^3$ ) 내 매듭 여집합의 라이데마이스터 비틀림과 관련이 있음을 밝혀냈다. 이는 매듭 이론과 비틀림 불변량 연구 사이의 중요한 연결점을 제시했다.

4. 치거-뮐러 정리

'''치거-뮐러 정리'''는 해석적 비틀림과 라이데마이스터 비틀림이라는 두 가지 방식으로 정의된 비틀림이 실제로는 서로 같다는 것을 보여주는 중요한 정리이다.^[1]^[2]

1971년, 수학자 D. B. 레이(D. B. Ray)와 이저도어 싱어(Isadore Singer)는 유니타리 표현(unitary representation)에 대해 해석적 비틀림( $T_M(\rho;E)$ )과 라이데마이스터 비틀림( $\tau_M(\rho;\mu)$ )이 같을 것이라고 추측했다. 즉, $T_M(\rho;E)=\tau_M(\rho;\mu)$ 라는 가설을 제시했다.^[3]

이 추측은 1977년과 1979년에 제프 치거(Jeff Cheeger)^[4]^[5] 와 1978년에 베르너 뮐러(Werner Müller)^[6] 가 각각 독립적으로 증명에 성공하면서 정리로 확립되었다. 이들의 증명은 비틀림 값 자체보다는 그 로그(logarithm) 값과 행렬의 대각합(trace)을 분석하는 방식을 사용했다. 초기 증명은 홀수 차원의 다양체에 대해 이루어졌고, 이후 기술적으로 더 복잡한 짝수 차원의 경우까지 확장되었다.^[3]

치거-뮐러 정리는 이후 장미셸 비스무트(Jean-Michel Bismut)와 장 웨이핑(Zhang Weiping)에 의해 비텐 변형(Witten deformation)이라는 기법을 사용하여 유니타리 표현뿐만 아니라 임의의 표현에 대해서도 성립함이 증명되었다.^[7]

이 정리는 아티야-파토디-싱어 정리(Atiyah–Patodi–Singer index theorem)와 더불어 이후 양자장론의 한 분야인 천-사이먼스 섭동 이론(Chern–Simons perturbation theory)의 중요한 수학적 기초를 제공하게 된다.^[3]

5. 응용

라이데마이스터 비틀림은 위상수학의 중요한 불변량으로, 다양한 분야에서 응용된다.

물리학 분야에서는 천-사이먼스 이론의 섭동 이론적 양자화 과정에서 라이데마이스터 비틀림이 나타난다.

위상수학 자체에서는 3차원 다양체를 분류하고 연구하는 데 중요한 도구로 사용되었다.

쿠르트 라이데마이스터(Kurt Reidemeister)는 1935년 3차원 렌즈 공간을 조합적으로 분류하기 위해 처음 이 개념을 도입했다.
볼프강 프란츠(Wolfgang Franz)는 이를 더 높은 차원의 렌즈 공간으로 확장했다.
이 분류 작업을 통해, 서로 호모토피 동치이지만 위상 동형은 아닌 3차원 다양체의 존재가 밝혀졌다. 처음에는 PL 위상 동형까지의 분류로 여겨졌으나, 1960년 E. J. 브로디(E. J. Brody)에 의해 실제 위상 동형까지의 분류임이 증명되었다.

매듭 이론에서도 중요한 역할을 한다.

1960년대 존 밀너(John Milnor)는 매듭 여집합(매듭을 제외한 공간)의 라이데마이스터 비틀림이 해당 매듭의 알렉산더 다항식과 밀접하게 연관되어 있음을 발견했다. 구체적으로, 3차원 구( $S^3$ ) 안의 매듭 여집합의 라이데마이스터 비틀림은 (꼬인) 알렉산더 다항식과 관련된다.
이는 푸앵카레 쌍대성과 관련이 있으며, 알렉산더 다항식이 만족하는 대칭성 $\Delta(t)=\pm t^n\Delta(1/t)$ 과도 연결된다.
이 발견은 매듭 이론과 비틀림 불변량 사이의 깊은 관계를 보여주었으며, 수론적 위상수학 연구의 동기가 되기도 했다.

더 나아가, J. H. C. 화이트헤드(J. H. C. Whitehead)는 라이데마이스터 비틀림을 일반화한 화이트헤드 비틀림을 정의했다. 이는 유한 복합체 사이의 호모토피 동치의 "비틀림"을 측정하는 더 정교한 불변량으로, 기본군이 자명하지 않은 다양체 연구 및 "단순 호모토피 유형" 개념과 밀접하게 연관되어 중요한 도구로 사용된다.

6. 한국 수학계의 기여

(해당 섹션 제목 "한국 수학계의 기여"에 부합하는 내용을 주어진 원본 소스에서 찾을 수 없습니다. 원본 소스는 라이데마이스터 비틀림의 수학적 정의와 일반적인 역사, 매듭 이론과의 관계 등을 다루고 있으며, 한국 수학계의 구체적인 기여에 대한 정보는 포함하고 있지 않습니다.)

참조

_[1] 서적 The Reidemeister torsion of 3-manifolds Walter de Gruyter & Co. 2003
_[2] 저널 Homotopieringe und Linsenräume
_[3] 저널 The topological classification of the lens spaces https://archive.org/[...]
_[4] 저널 "R"-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds.
_[5] 저널 Analytic Torsion and Reidemeister Torsion
_[6] 저널 Analytic torsion and the heat equation https://archive.org/[...]
_[7] 저널 Analytic torsion and ''R''-torsion of Riemannian manifolds.

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