파동 함수

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1. 개요

파동 함수는 양자역학에서 입자의 상태를 나타내는 수학적 함수이다. 1920년대에 루이 드 브로이, 에르빈 슈뢰딩거, 베르너 하이젠베르크 등에 의해 양자역학이 발전하면서 파동 함수의 개념이 정립되었다. 파동 함수는 물질파의 파동성을 설명하며, 슈뢰딩거 방정식의 해로 얻어진다. 막스 보른은 파동 함수의 절댓값 제곱이 입자의 존재 확률 밀도를 나타낸다고 해석하여, 양자역학의 확률적 해석을 확립했다. 파동 함수는 시간의 변화에 따라 슈뢰딩거 방정식에 의해 변화하며, 측정 시에는 파동 함수의 수축이 일어난다. 파동 함수의 해석에 대해서는 코펜하겐 해석, 다세계 해석 등 다양한 견해가 존재하며, 파동 함수는 위치, 운동량, 스핀 등 다양한 표현으로 나타낼 수 있다.

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파동 함수
지도
기본 정보
유형	양자역학 개념
표기	ψ 또는 $Ψ$
사용 분야	양자역학
설명	입자 또는 시스템의 양자 상태를 나타내는 수학적 표현
특징
시간 의존성	슈뢰딩거 방정식에 따라 시간에 따라 변화
확률 밀도	크기의 제곱은 입자를 특정 위치에서 발견할 확률 밀도를 제공
규격화	전체 공간에서 적분하면 1이 됨
중첩	여러 양자 상태의 중첩을 나타낼 수 있음
수학적 표현
입자	위치 공간에서 복소 함수 ψ(x, y, z)
스핀 1/2 입자	$2 × 1$ 복소수 벡터 (스피너)
역사
초기 개념	에르빈 슈뢰딩거가 파동역학에서 도입
확률 해석	막스 보른이 보른 규칙을 통해 확률적 해석 도입
추가 정보
관련 개념	양자 상태, 양자 연산자, 슈뢰딩거 방정식
중요성	양자역학의 기본 개념 중 하나

2. 역사

루이 드 브로이가 물질파 가설을 제시한 이후, 베르너 하이젠베르크, 에르빈 슈뢰딩거, 폴 디랙, 막스 보른 등에 의해 양자역학 이론이 발전하였다. 파동 함수의 정확한 의미에 대한 논쟁이 있었는데, 드 브로이는 파동 함수의 진폭을 입자의 밀도로 해석했지만, 보른은 파동 함수 진폭의 절댓값 제곱을 입자가 해당 위치에 존재할 확률 밀도로 해석하여 논란을 종식시켰다.

1900년 막스 플랑크는 광자의 진동수와 에너지 사이의 관계를, 1916년에는 광자의 운동량과 파장 사이의 관계를 제시했다. 1923년 드 브로이는 로렌츠 불변성을 단서로 드 브로이 관계가 질량을 가진 입자에도 성립한다고 제안했는데, 이는 양자역학 발전의 출발점으로 평가받는다.

1920년대와 1930년대에 양자역학은 미적분과 선형 대수학을 사용하여 발전했다. 드 브로이, 슈뢰딩거 등은 미적분 기법을 통해 "파동 역학"을 개발했고, 하이젠베르크, 보른 등은 선형 대수학을 통해 "행렬 역학"을 개발했다. 슈뢰딩거는 두 접근 방식이 동등함을 보였다.

1926년 슈뢰딩거는 슈뢰딩거 방정식을 발표했지만, 그 해석에 대해서는 명확하지 않았다. 슈뢰딩거는 파동 함수가 큰 곳에 입자가 퍼져 존재한다고 생각했지만, 이는 입자의 탄성 산란과 양립할 수 없었다. 같은 해 보른은 확률 진폭의 관점을 제공하여 양자역학 계산을 확률적 실험 관찰과 연결시켰다.^[6]^[7]

1927년 하트리와 포크는 ''N''-체 파동 함수를 풀기 위해 ''자기 일관성 순환''을 개발했는데, 이는 하트리-포크 방법으로 알려져 있다.

슈뢰딩거는 상대론적 에너지 보존을 만족하는 파동 함수 방정식을 발견했지만, 음의 확률과 에너지를 예측하여 버렸다. 1927년 클라인, 고든, 포크는 전자기적 상호작용을 통합하고 로렌츠 불변임을 증명한 클라인-고든 방정식을 발견했다.

1927년 파울리는 전자기장에서 스핀-1/2 입자를 기술하는 파울리 방정식을 발견했다. 1928년 디랙은 전자에 적용되는 특수 상대성 이론과 양자역학을 통합한 디랙 방정식을 발견했는데, 여기서 파동 함수는 ''스피너''로 표현된다.

보른의 규칙에 따르면, 파동 함수의 절댓값의 제곱은 그 파동 함수의 기저가 되는 고유 상태를 찾는 확률 또는 확률 밀도 함수와 대응된다.

알베르트 아인슈타인은 막스 보른의 확률 해석에 불만을 가졌다.^[6] 그는 양자역학이 불완전하며, 보다 완전한 이론이 존재한다고 믿었다.

2. 1. 드 브로이의 물질파 가설

루이 드 브로이는 모든 물체가 경우에 따라 물질파라는 파동처럼 행동할 수 있으며, 이에 따른 파장과 진동수를 제시하였다. 이 가설은 이후 베르너 하이젠베르크, 에르빈 슈뢰딩거, 폴 디랙, 막스 보른 등에 의해 양자역학이라는 이론으로 발전하였다. 역사적으로, 파동 함수가 정확하게 무엇을 의미하는지 드 브로이를 비롯한 많은 물리학자들이 논쟁을 벌였다. 물질파를 주창한 드 브로이는 파동 함수의 진폭을 입자의 밀도로 해석하였으나, 막스 보른은 파동 함수의 진폭의 절댓값을 입자가 해당 위치에 존재할 확률 밀도로 해석하였다. 많은 논란을 거친 후 막스 보른의 생각이 정당하다는 사실이 밝혀졌다.

드 브로이는 전자의 궤적을 안내하는 어떤 파동이 존재한다고 주장했다. 전자가 핵 주위를 돌 때 그것이 따라가야 하는 길을 잡아주는 파동이 드브로이가 주장하는 파동이다. 이 파동은 드브로이의 물질파에 관한 식에서 볼 수 있듯이 전자의 질량과 속도에 의해 결정된다. 만약 전자가 이러한 파동에 의해 이끌어진다면 공간에 있는 보통 입자들 역시 파동에 의해 이끌어 질것이며, 따라서 모든 물질은 이러한 파동을 가진다고 보았다.

2. 2. 슈뢰딩거 방정식과 파동 함수

에르빈 슈뢰딩거는 루이 드 브로이가 제안한 물질의 파동성을 접하고서 물리적 사물들이 일종의 거품일 뿐이라고 해석하였다. 그는 파동성이 물질의 실체적 속성이고 입자성은 단지 부수적 현상에 불과하다고 생각했다. 물리적 사건들은 근본적으로 파동현상이고 따라서 물리학은 파동현상을 기술하고, 그것을 지배하는 법칙을 발견하는데 치중해야 한다고 보았다.^[3]

이런 동기에서 슈뢰딩거는 파동 현상들이 따르는 법칙을 탐구하기 시작했고 1926년에 물질파의 거동을 지배하는 방정식을 발견하게 되는데 이것이 바로 슈뢰딩거 방정식이다. 이것은 파동성을 지닌 물질의 운동방정식으로써 슈뢰딩거 방정식을 풀면 파동성을 지닌 물질의 파동적 성격을 기술해 주는 함수를 얻을 수 있고 이것을 파동 함수라고 한다. 슈뢰딩거의 방정식에서 미지항은 파동 함수이고 이 방정식을 풀면 파동 함수를 얻을 수 있다.^[3]

슈뢰딩거는 뒤에 파동 함수가 3차원 실제 공간에서 펄럭이는 함수가 아니라 짜임새 공간에서 펄럭이며 움직이는 함수라고 주장하였다. 이것은 물리적 사물들이 시공간 속에서 이리저리 움직인다는 관념 자체를 포기하는 것이고 이는 우리의 사유 방식 속에서 거의 불가능하다고 생각했다.^[3]

그는 네 번째 논문에 시간 의존 슈뢰딩거 방정식을 수록하였다. 이는 시간에 따라 변화하는 계의 파동 함수가 만족해야 하는 방정식이다. 슈뢰딩거는 이 논문에서 파동 함수가 본질적으로 복소수 값을 가진 함수임을 증명하였다.^[3]

복소수값을 가진 파동 함수를 해석하는 가장 쉬운 방법은 파동 함수의 절댓값의 제곱

|\psi|^2

이 무엇을 가리키는지 해석하는 것이다. 그 이유는 파동 함수의 절댓값에 제곱을 하면 허수부분이 사라지기 때문이다. 파동 함수의 절댓값의 제곱은 공간 전체에 퍼져있고, 시간이 진행됨에 따라 펄럭이면서 파동처럼 넓게 퍼져나간다. 슈뢰딩거는 파동 함수의 절댓값의 제곱

|\psi|^2

을 전자의 전하밀도로 해석했다. 그러나 전자는 거의 하나의 점처럼 공간의 매우 좁은 영역을 차지하고 있다고 생각되며, 따라서 입자가 공간 전역에 퍼져 있다는 것을 쉽게 납득할 수 없었고, 슈뢰딩거 역시 자신의 해석에 만족할 수 없었다.^[3]

2. 3. 보른의 확률 해석

막스 보른은 파동 함수의 절댓값 제곱(

|\psi|^2

)이 전하 밀도가 아니라 확률 밀도라고 주장했다.^[30] 그의 해석에 따르면,

|\psi|^2

은 특정 위치에서 입자가 발견될 확률 밀도를 나타낸다. 비록 에르빈 슈뢰딩거는 이 해석을 받아들이지 않았지만, 보른의 해석은 괴팅겐과 코펜하겐의 양자 물리학자들에게 압도적인 지지를 얻었다. 이러한 보른의 해석으로 인해

|\psi|^2

은 확률 밀도 함수라고 불리게 되었다.

보른의 해석은 물리학을 이해하는 데 근본적인 변혁을 가져왔다. 보른의 해석을 기점으로 물리학은 근본적인 차원에서 확률 개념을 도입해야 했다. 파동 함수와 물리적 실재 사이의 본질적 연결은 어디에도 찾아볼 수 없으며, 파동 함수는 관찰 가능한 현상들의 개연성과 연관되어 있을 뿐이다.

보른의 규칙에 따르면, 어떤 상태 |ψ⟩에서 물리량(가측량) A의 측정(이상적 측정)을 했을 때, 측정값의 확률 분포는 물리량 A에 의해 표시된 파동 함수 ψ(a)=⟨a|ψ⟩의 절댓값의 제곱이 된다. 이와 같이 (절댓값) 제곱이 확률을 주는 것을 '''확률 진폭'''이라고 한다.

:P(a) =⟨ψ|a⟩⟨a|ψ⟩ = |ψ(a)|²

예를 들어, 어떤 상태 |ψ⟩에서 운동량 p의 측정을 여러 번 했을 때, 측정값이 「운동량을 나타내는 에르미트 연산자

\hat{p}

의 고유값 중 하나

p_1

」인 빈도는

:P(p₁) = |ψ(p₁)|²

에 수렴한다.

또한, 파동 함수

\Psi(x,t)

의 절댓값 제곱은 위치 측정을 했을 경우의 측정값의 확률 분포를 준다. 좀 더 정확히는, 위치

\hat{x}

의 고유값이 이산적인 경우, 「상태

|\Psi\rangle

에서 시간

t

에서 위치

\hat{x}

의 이상적 측정을 했을 때, 측정값의 분포를 나타내는 확률 분포가

P(x,t)=|\Psi(x,t)|^2

이다.」

하지만, 그러기 위해서는, 전체 공간의 어딘가에서 관측될 확률은 1(100%)이라는 점에서,

:

\sum_i P(x_i,t)=1

처럼 정규화된다. 위치의 관측량이 연속적으로 주어지는 경우, 「측정값이 어떤 한 점

x

인 확률

P(x,t)

」은 의미를 갖지 않는다. 그러한 경우,

P(x,t)

는 확률이 아니라, 「구간

[x,x+\delta x]

안에서 관측되는 확률 밀도」로 취급되고, 정규화 조건도 합에서 적분으로 바뀐다.

:

\int_{V}P(x,t)dx=1

적분 변수가 위치

x

이고, 길이의 차원을 갖는다는 것에서 알 수 있듯이, 물리량의 고유값이 연속적으로 존재하는 경우(연속 스펙트럼), 대응하는 확률 분포의 차원은 무차원이 아니고, 물리량의 역의 차원, 이 경우 「

L^{-1}

(길이의 역수)」이 된다. 이때,

P(x,t)

는 「단위 길이당 확률」, 즉 확률 밀도로 해석된다.

참고로, 파동 함수의 절댓값 제곱이 「존재 확률」이라고 불리기도 하지만, 정확하지 않다. 확률 해석에서는, 보른의 규칙은 「이상적 측정을 했을 경우의 측정 결과의 확률 분포」이고, 측정을 하지 않은 경우의 「존재」나 「확률」에 대해 무언가를 말하고 있는 것은 아니다.

2. 4. 아인슈타인과 보른의 논쟁

알베르트 아인슈타인은 막스 보른의 확률 해석에 불만을 가졌다.^[6] 아인슈타인은 1926년 보른에게 보낸 편지에서 "양자역학은 주목할 만하지만, 내 예감으로는 그것이 여전히 진실이 아닌 것 같다. 그 이론은 많은 성과를 내었지만, 과거의 비밀에 결코 더 가까이 접근한 것 같지는 않다. 어쨌든 나는 신은 주사위 놀이를 하지 않는다고 확신한다."라고 하였다.

이는 양자역학의 확률적 특성에 대한 아인슈타인의 유명한 비판이다. 1948년 무렵 보른에게 보낸 또 다른 편지에서는 "우리는 정반대의 과학적 목표를 지향하고 있다. 당신은 주사위 놀이를 하는 신을 믿고 있고, 나는 사물의 세계 안에 실제 대상으로서 존재하는 완벽한 법칙을 믿고 있다. 나는 그것을 포착하기 위해 대단히 노력하고 있다."라고 하였다.

이처럼 아인슈타인은 양자역학이 불완전하며, 보다 완전한 이론이 존재한다고 믿었다. 그는 양자론과 일반상대성이론을 통합하여 이러한 완전한 법칙을 찾고자 노력했지만, 양자역학이 포착하지 못하는 영역을 다룰 만한 이론은 아직 개발되지 않고 있다.

3. 파동 함수의 수학적 정의와 의미

파동은 파동 함수로 표현할 수 있다. 음파의 경우 파동 함수 p(x,t)는 x방향으로 진행하는 음파의 시간 t에 따른 압력 변화를 나타낸다. 줄을 잡고 흔들었을 때 줄에 생기는 파동에 대한 파동 함수 y(x, t)는 어떤 시간 t에서 원점으로부터 x만큼 떨어진 곳의 변위를 나타낸다. 이처럼 파동을 시간과 공간의 좌표점으로 표시할 수 있다. 드브로이의 물질파 역시 파동 함수로 나타낼 수 있으며, 기호 ψ로 나타낸다. 공간의 한 점에서의 파동 함수는 그 시간에 그 좌표에서 물체를 발견할 가능성과 관계가 있지만, 그 자체만으로는 물리적 의미를 갖지 못한다.^[11]

양자역학에서 파동함수는 일반적으로 복소함수이며, 그 절댓값의 제곱 $|\psi|^2$ 이 확률 밀도를 나타낸다.^[11]

비상대론적 양자역학에서, 시간에 따른 슈뢰딩거 파동 방정식을 사용하면 다음 방정식이 성립함을 보일 수 있다.

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf J = 0$

여기서 $\rho(\mathbf x,t) = | \psi(\mathbf x,t)|^2$ 는 확률 밀도이고, $\mathbf J(\mathbf x,t) = \frac{\hbar}{2im}(\psi^* \nabla\psi-\psi\nabla\psi^*) = \frac{\hbar}{m} \text{Im}(\psi^* \nabla\psi)$ 는 확률 유속이다.^[17]

$\psi(\mathbf x,t)= \sqrt{\rho(\mathbf x,t)}\exp{\frac{iS(\mathbf x,t )}{\hbar}}$

: $\mathbf J(\mathbf x,t) = \frac{\rho \nabla S}{m}$

여기서 $\rho(\mathbf x,t) = | \psi(\mathbf x,t)|^2$ 는 확률 밀도이고, $S(\mathbf x,t)$ 는 파동 함수의 위상이다. 위 식에 따라 위상의 공간적 변화는 확률 유속을 특징짓는다.

고전역학에서 $\mathbf J = \rho \mathbf v$ 이므로, $\frac{\nabla S}{m}$ 는 속도와 유사하다. 불확정성 원리에 따라 속도와 위치를 동시에 결정할 수 없으므로, $\frac{\nabla S}{m}$ 을 문자 그대로 속도로 해석하는 것은 아니다.^[17] 슈뢰딩거 방정식에 파동 함수의 형태를 대입하고, 고전적 한계 $\hbar |\nabla^2 S| \ll |\nabla S|^2$ 를 취하면:

$\frac{1}{2m} |\nabla S(\mathbf x, t)|^2 + V(\mathbf x) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0$

이는 고전 역학의 해밀턴-야코비 방정식과 유사하다. 이 해석은 해밀턴-야코비 이론과 일치하는데, 여기서 $\mathbf{P}_{\text{class.}} = \nabla S$ 이고, ''''는 해밀턴의 주함수이다.^[17]

어떤 가측량을 나타내는 에르미트 연산자 $\hat{A}$ 를 생각하고, 그 고유값 $a_n$ 이 이산적이라고 하자. 에르미트 연산자 $\hat{A}$ 의 성질에 의해, 모든 고유 벡터의 집합 $\{ | a_n \rangle \}$ 은 완전계를 이루므로, 임의의 상태 벡터 $| \psi \rangle$ 는 $\{ | a_n \rangle \}$ 의 선형 결합(중첩)으로 나타낼 수 있다.

: $| \psi \rangle = \sum_n \psi(a_n)| a_n \rangle$

여기서 전개 계수 $\psi(a_n)$ 를 「'''기저 $\{ | a_n \rangle \}$ 표시에서의 파동 함수'''」라고 부른다.

에르미트 연산자의 고유 벡터는 서로 직교한다(선택할 수 있다). $\{ | a_n \rangle \}$ 이 정규 직교 기저를 이룬다고 하면, 위 식과 $| a_n \rangle$ 과의 내적을 통해 $| a_n \rangle$ 에 걸리는 전개 계수를 얻을 수 있다.

: $\langle a_n | \psi \rangle = \psi(a_n)$

이와 같이 기저를 정하면, 상태 벡터와 파동 함수는 어느 한쪽이 알려지면 다른 한쪽을 구할 수 있고, 일대일 대응 관계가 된다. 따라서 파동 함수는 그 변수가 결정될 때 상태 벡터와 등가이므로 양자 상태를 나타내는 함수로 사용할 수 있다.

보른의 규칙에 따르면, 어떤 상태 |ψ⟩에서 물리량(가측량) A의 측정(이상적 측정)을 했을 때, 측정값의 확률 분포는 물리량 A에 의해 표시된 파동 함수 ψ(a)=⟨a|ψ⟩의 절댓값 제곱이 된다. 이와 같이 절댓값 제곱이 확률을 주는 것을 '''확률 진폭'''이라고 한다.

:P(a) =⟨ψ|a⟩⟨a|ψ⟩ = |ψ(a)|²

예를 들어, 어떤 상태 |ψ⟩에서 운동량 p의 측정을 여러 번 했을 때, 측정값이 「운동량을 나타내는 에르미트 연산자 $\hat{p}$ 의 고유값 중 하나 $p_1$ 」인 빈도는

:P(p₁) = |ψ(p₁)|²

에 수렴한다.

파동 함수는 다음 조건을 만족해야 한다.^[25]

$\psi$ 는 일가함수여야 한다. 특정 시간과 장소에서 확률은 하나의 값을 가져야 하기 때문이다.
연속적이어야 한다.
미분가능해야 하며, 편미분 $\frac{ \partial \psi }{ \partial x }, \frac{ \partial \psi }{ \partial y }, \frac{ \partial \psi }{ \partial z }$ 도 유한하고, 연속이어야 하며 일가함수여야 한다.
파동 함수는 규격화할 수 있어야 한다.

3. 1. 파동 함수의 형태

파동 함수 ψ(x,y,z,t) 자체는 직접적인 물리적 의미를 갖지 않는다. 그러나 특정 위치와 시간에 대해 파동 함수의 절댓값 제곱(

|\psi|^2

)은 그 위치, 그 순간에 물체를 발견할 확률을 나타낸다. 파동 함수는 실수로만 표현되지 않고, 실수부와 허수부를 모두 갖는 복소함수일 수 있다. 따라서 파동 함수는 다음과 같은 형태로 표현할 수 있다.

:

\psi = A + iB

(여기서 A와 B는 실수 함수)

\psi

의 켤레복소수

\psi^{ *}

는 다음과 같다.

:

\psi^{ *} = A - iB

(여기서 A와 B는 실수 함수)

위 식을 이용하여 파동 함수의 절댓값을 계산하면 다음과 같다.

:

|\psi|^2 = \psi \psi^{*} = A^{2} - i^{2}B^{2} = A^{2} + B^{2}

따라서 계산 결과는 항상 양의 실수가 된다.

현재는 상대론적이지 않은 단일 입자( 스핀 없음)가 1차원 공간에 있는 간단한 경우를 고려한다. 더 일반적인 경우는 아래에서 논의한다.

양자역학의 가정에 따르면, 고정된 시간

t

에서 물리적 시스템의 상태는 분리 가능 복소 힐베르트 공간에 속하는 파동 함수로 주어진다.^[11] 따라서, 두 파동 함수

\Psi_1

및

\Psi_2

의 내적은 (시간

t

에서) 복소수로 정의될 수 있다.

:

( \Psi_1 , \Psi_2 ) = \int_{-\infty}^\infty \, \Psi_1^*(x, t)\Psi_2(x, t)\,dx < \infty

.

더 자세한 내용은 아래에 나와 있다. 그러나 파동 함수

\Psi

의 자기 내적,

:

(\Psi,\Psi) = \|\Psi\|^2

,

은 항상 양의 실수이다. 수

\|\Psi\|

(

\|\Psi\|^2

가 아님)는 파동 함수

\Psi

의 '''노름'''이라고 한다.

이러한 입자의 상태는 파동 함수

\Psi(x,t)

로 완전히 기술되며, 여기서

x

는 위치이고

t

는 시간이다. 이것은 두 개의 실수 변수

x

와

t

의 복소함수이다.

1차원에서 스핀이 없는 입자 하나의 경우, 파동 함수가 확률 진폭으로 해석된다면, 파동 함수의 제곱 모듈러스, 즉 양의 실수

\left|\Psi(x, t)\right|^2 = \Psi^*(x, t)\Psi(x, t) = \rho(x),

는 주어진 시간

t

에서 입자의 위치 측정에 대한 확률 밀도로 해석된다. 별표는 복소 공액을 나타낸다. 입자의 위치가 측정되면, 그 위치는 파동 함수로부터 결정될 수 없지만, 확률 분포로 기술된다.

여기서는 양자 상태를 나타내는 상태 벡터에서 파동 함수를 정의한다. 단, 상태 벡터와 파동 함수는 등가이므로(후술), 다루는 문제에 따라 상태 벡터와 파동 함수에 의한 표현을 서로 바꿔 사용할 수 있다.

어떤 가측량을 나타내는 에르미트 연산자

\hat{A}

를 생각하고, 그 고유값

a_n

이 이산적이라고 하자. 에르미트 연산자

\hat{A}

의 성질로서, 모든 고유 벡터의 집합

\{ | a_n \rangle \}

은 완전계를 이루므로, 임의의 상태 벡터

| \psi \rangle

는

\{ | a_n \rangle \}

의 선형 결합(중첩)으로 나타낼 수 있다.

:

| \psi \rangle = \sum_n \psi(a_n)| a_n \rangle

상기의 전개 계수

\psi(a_n)

를 「'''기저

\{ | a_n \rangle \}

표시에서의 파동 함수'''」라고 부른다.

또한 에르미트 연산자의 고유 벡터는 서로 직교한다(선택할 수 있다).

\{ | a_n \rangle \}

이 정규 직교 기저를 이룬다고 하면, 이 식과

| a_n \rangle

과의 내적을 취함으로써

| a_n \rangle

에 걸리는 전개 계수를 얻을 수 있다.

:

\langle a_n | \psi \rangle = \psi(a_n)

이와 같이 기저를 하나 정하면, 상태 벡터와 파동 함수는 어느 한쪽이 알려지면 다른 한쪽을 구할 수 있고, 일대일 대응의 관계가 된다. 따라서 파동 함수는 그 변수가 결정될 때 상태 벡터와 등가이다. 이 때문에 파동 함수는 양자 상태를 나타내는 함수로 사용할 수 있다.

일반적으로 양자 상태는 복소 힐베르트 공간 위의 벡터로 표현되므로, 파동 함수는 일반적으로 복소수 함수이다.

3. 2. 규격화

파동 함수

\psi

의 절댓값의 제곱

|\psi|^2

은 물체를 발견할 확률 밀도와 같다. 모든 공간에 대해 적분했을 때, 입자는 어디엔가 존재해야 하므로 다음이 성립한다.

:

\int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2\, dV = 1 \quad

.

위 식을 만족시키는 파동 함수를 '''규격화'''되었다고 한다. 모든 의미있는 파동 함수는 적당한 상수를 곱함으로써 항상 규격화할 수 있다.

입자의 위치가 구간

a \le x \le b

에 있을 확률은 이 구간에 대한 확률 밀도의 적분이다.

:

P_{a\le x\le b} (t) = \int_a^b \,|\Psi(x,t)|^2 dx

여기서

t

는 입자를 측정한 시간이다. 이는 '''규격화 조건'''으로 이어진다.

:

\int_{-\infty}^\infty \, |\Psi(x,t)|^2dx  = 1\,,

입자를 측정하면 어딘가에 있을 확률이 100%이기 때문이다.

보른의 규칙에 따르면, 파동 함수

\Psi(x,t)

의 절댓값 제곱은 위치 측정을 했을 경우 측정값의 확률 분포를 준다. 좀 더 정확히는, 위치

\hat{x}

의 고유값이 이산적인 경우, 「상태

|\Psi\rangle

에서 시간

t

에서 위치

\hat{x}

의 측정을 했을 때, 측정값의 분포를 나타내는 확률 분포가

P(x,t)=|\Psi(x,t)|^2

이다.」

전체 공간의 어딘가에서 관측될 확률은 1(100%)이라는 점에서, 다음과 같이 정규화된다.

:

\sum_i P(x_i,t)=1

위치의 관측량이 연속적으로 주어지는 경우,

P(x,t)

는 「구간

[x,x+\delta x]

안에서 관측되는 확률 밀도」로 취급되고, 정규화 조건은 적분으로 바뀐다.

:

\int_{V}P(x,t)dx=1

이때,

P(x,t)

는 「단위 길이당 확률」, 즉 확률 밀도로 해석된다.

3. 3. 파동 함수가 갖추어야 할 조건

\psi

는 일가함수여야 한다. 왜냐하면 특정한 시간과 장소에서 확률(P)은 하나의 값을 가져야 하기 때문이다. 또한, 연속적이어야 한다. 운동량을 고려하면 편미분

\frac{ \partial \psi }{ \partial x }, \frac{ \partial \psi }{ \partial y }, \frac{ \partial \psi }{ \partial z }

도 유한하고, 연속이어야 하며 일가함수여야 한다. 이러한 성질을 모두 갖춘 파동 함수만이 실제 계산에 사용되었을 때 물리적으로 의미 있는 결과를 준다. 그러므로 이런 조건을 갖춘 함수들만이 실제 물체에 대한 수학적 표현으로 받아들일 수 있다. 요약하면 다음과 같다.

#

\psi

는 연속 미분 가능 함수이다. 즉, 파동 함수

\psi(x)

는 모든 곳에서 연속이고 미분 가능한 일가함수이며, 파동 함수의 도함수

\partial\psi/\partial x

,

\partial\psi/\partial y

,

\partial\psi/\partial z

모두 모든 곳에서 연속인 일가함수이다. (다만, 파동 함수의 도함수는 미분 가능할 필요는 없다.)

# 파동 함수는 규격화할 수 있어야 한다. 즉, 파동 함수

\psi

의 절댓값의 제곱의 적분

\int|\psi|^2\,dx

은 유한해야 한다 (square-integrable^영어). 이에 따라, 모든 공간에 걸쳐서

\mathbf{P} = \int |\psi|^2 \, dV

가 유한하기 위해,

x \to \pm \infty

,

y \to \pm \infty

,

z \to \pm \infty

인 극한에서

\psi

는 0으로 수렴해야 한다.

이 조건 가운데 일부는 근사적인 모형에서 성립하지 않을 수도 있다. 예를 들어, 무한히 높은 네모 퍼텐셜 우물에 갇힌 입자의 경우, 우물 밖에는

\psi=0

이므로 이 경우 파동 함수의 미분이 연속적이지 않다. 그러나 현실에서는 무한히 높은 네모 퍼텐셜 우물이 존재하지 않는다. 퍼텐셜 함수

V(x)

는 항상 연속적이므로, 우물 벽에서

\psi

가 급격하게 변하지 않으며, 따라서 미분은 연속적이다. 이와 같이, 우리가 알고 있는 모든 현실적인 상황에서는 파동 함수는 항상 연속 미분 가능 함수이다.^[25]

4. 현대 물리학에서의 파동 함수

현대 물리학에서 파동 함수는 여러 이론에서 중요한 역할을 한다. 슈뢰딩거 방정식과 파울리 방정식은 많은 경우 상대론적 방정식의 좋은 근사치이며, 실제로 문제를 풀 때 더 쉽다.

클라인-고르돈 방정식과 디랙 방정식은 상대론적이지만, 양자역학과 특수상대성이론을 완전히 조화시키지는 못한다. 이러한 방정식을 다루는 상대론적 양자역학은 성공적인 부분도 있지만, 램 이동과 같은 한계와 디랙 바다와 같은 개념적 문제를 안고 있다.

양자장론에서는 상태의 힐베르트 공간에 대한 연산자인 "장 연산자"가 주된 관심 대상이다. 하지만 원래의 상대론적 파동 방정식과 그 해는 여전히 힐베르트 공간을 구성하는 데 필요하다. 상호작용이 없을 때, ''자유 장 연산자''는 많은 경우 장(파동 함수)과 같은 방정식을 (형식적으로) 만족한다.

이러한 관점에서 클라인-고르돈 방정식(스핀 0)과 디랙 방정식(스핀 1/2)은 이론에 남아 있다. 더 높은 스핀을 가진 방정식에는 프로카 방정식(스핀 1), 라리타-슈빙거 방정식(스핀 3/2), 그리고 더 일반적인 바르그만-위그너 방정식이 있다. ''무질량'' 자유장의 두 가지 예로는 자유장 맥스웰 방정식(스핀 1)과 자유장 아인슈타인 방정식(스핀 2)이 있으며, 이들은 모두 로렌츠 불변성의 직접적인 결과이다.^[9] 그 해는 로렌츠 군의 표현에 따라 변환되어야 하며, 클러스터 분해 성질^[10]과 같은 몇 가지 요구 사항과 함께 인과율에 대한 함의는 방정식을 고정하기에 충분하다.

끈 이론에서도 상황은 유사하다. 예를 들어, 운동량 공간의 파동 함수는 운동량이 뚜렷하게 정의되지 않은 입자(끈)의 일반적인 상태에서 푸리에 급수 계수의 역할을 한다.

어떤 가측량을 나타내는 에르미트 연산자 $\hat{A}$ 를 생각하고, 그 고유값 $a_n$ 이 이산적이라고 하자. 에르미트 연산자 $\hat{A}$ 의 성질로서, 모든 고유 벡터의 집합 $\{ | a_n \rangle \}$ 은 완전계를 이루므로, 임의의 상태 벡터 $| \psi \rangle$ 는 $\{ | a_n \rangle \}$ 의 선형 결합(중첩)으로 나타낼 수 있다.

: $| \psi \rangle = \sum_n \psi(a_n)| a_n \rangle$

위 식의 전개 계수 $\psi(a_n)$ 를 「기저 $\{ | a_n \rangle \}$ 표시에서의 파동 함수」라고 부른다.

또한 에르미트 연산자의 고유 벡터는 서로 직교한다(선택할 수 있다). $\{ | a_n \rangle \}$ 이 정규 직교 기저를 이룬다고 하면, $| a_n \rangle$ 과의 내적을 취함으로써 $| a_n \rangle$ 에 걸리는 전개 계수를 얻을 수 있다.

: $\langle a_n | \psi \rangle = \psi(a_n)$

이와 같이 기저를 하나 정하면, 상태 벡터와 파동 함수는 어느 한쪽이 알려지면 다른 한쪽을 구할 수 있고, 일대일 대응의 관계가 된다. 따라서 파동 함수는 그 변수가 결정될 때 상태 벡터와 등가이며, 양자 상태를 나타내는 함수로 사용할 수 있다.

일반적으로 양자 상태는 복소 힐베르트 공간 위의 벡터로 표현되므로, 파동 함수는 일반적으로 복소수 함수이다.

4. 1. 위치 공간과 운동량 공간 표현

입자는 운동량 공간에서도 파동 함수를 갖는데, 이를 Φ(''p'', ''t'')로 나타낸다.^[14] 여기서 ''p''는 1차원 운동량으로, -∞부터 +∞까지의 값을 가질 수 있으며, ''t''는 시간이다.

두 운동량 공간 파동 함수 Φ₁(''p'', ''t'')와 Φ₂(''p'', ''t'')의 내적은 다음과 같이 정의된다.

:(Φ₁, Φ₂) = ∫_-∞^∞ Φ₁^*(''p'', ''t'')Φ₂(''p'', ''t'') ''dp''

시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식의 특정 해는 다음과 같은 평면파 형태를 가진다.

:Ψ_''p''(''x'') = ''e''^''ipx''/ħ

이는 운동량 연산자의 고유함수이므로, 정확히 ''p''의 운동량을 갖는 입자를 기술하는 데 사용될 수 있다. 그러나 이 함수들은 정규화될 수 없기 때문에(제곱적분가능하지 않다), 실제로는 물리적 힐베르트 공간의 원소가 아니다.

집합 {Ψ_''p''(''x'', ''t''), -∞ ≤ ''p'' ≤ ∞}는 운동량 기저라고 불린다. 이 "기저"는 함수가 정규화될 수 없다는 점(대신 델타 함수로 정규화됨)과, 힐베르트 공간의 기저가 되기에는 너무 많은 함수가 있다는 점에서 일반적인 수학적 의미의 기저는 아니다.^[14]

: (Ψ_''p'',Ψ_''p''′) = δ(''p'' - ''p''′).

그럼에도 불구하고 푸리에 변환을 사용하여 힐베르트 공간 안의 모든 함수를 나타낼 수 있다.

''x''와 ''p'' 표현은 다음과 같다.

: |Ψ〉 = ∫ Ψ(''x'') |''x''〉''dx''

: |Ψ〉 = ∫ Φ(''p'') |''p''〉''dp''

위 식들을 이용해 운동량 고유함수에 대한 상태 Ψ의 사영을 취하면,

:∫ Ψ(''x'') 〈''p''|''x''〉 ''dx'' = ∫ Φ(''p''') 〈''p''|''p''′〉 ''dp''′ = ∫ Φ(''p''') δ(''p''-''p''′) ''dp''′ = Φ(''p'')

를 얻는다. 여기에 위치 표현에서 자유 슈뢰딩거 방정식 해의 정규화된 운동량 고유 상태 표현을 이용하면,

:〈''x'' | ''p''〉 = ''p''(''x'') = 1/√2πħ e^{(''i''/ħ)''px''} ⇒ 〈''p'' | ''x''〉 = 1/√2πħ e^{-(''i''/ħ)''px''}

이므로,

:Φ(''p'') = 1/√2πħ ∫ Ψ(''x'')e^{-(''i''/ħ)''px''}''dx''

가 된다. 마찬가지로 위치의 고유함수를 사용하면,

:Ψ(''x'') = 1/√2πħ ∫ Φ(''p'')e^{(''i''/ħ)''px''}''dp''

를 얻는다. 따라서 위치 공간과 운동량 공간의 파동 함수는 서로 푸리에 변환 관계에 있음을 알 수 있다. 이들은 같은 상태의 두 가지 표현이며, 같은 정보를 포함하고 있으므로, 어느 하나만으로도 입자의 성질을 계산할 수 있다.

위치 표현에서의 파동함수 ψ(''x'')는 좌표 표시에서의 파동 함수 또는 슈뢰딩거의 파동 함수라고도 불린다. 일반적으로 위치는 연속적인 값을 가지므로 상태 벡터는 다음과 같이 적분 형태로 표현된다.

: | ψ 〉 = ∫ ψ(''x'')| ''x'' 〉 ''dx''

파동 함수 ψ(''x'')를 정의하면 | ψ 〉는 유일하게 결정되므로, | ψ 〉 대신 ψ(''x'')를 사용해도 상태를 나타낼 수 있다.

운동량 표현에서의 파동함수는 다음과 같이 표현된다.

: | ψ 〉 = ∫ ψ(''p'')| ''p'' 〉 ''dp''

여기서 위치 표현과 같은 문자 ψ를 사용했지만, 함수 형태는 완전히 다르다는 점에 주의해야 한다.

조화 진동자의 경우, ''x''와 ''p''가 대칭적으로 들어가므로 어떤 표현을 사용하든 상관없이 같은 방정식(상수를 제외하고)이 나타난다. 따라서 조화 진동자의 파동 방정식에 대한 해는 ''L''²에서 푸리에 변환의 고유 함수임을 알 수 있다.^[15]

5. 파동 함수의 다양한 표현

양자역학에서 물리적 시스템의 상태는 힐베르트 공간에 속하는 파동 함수로 주어진다. 파동 함수는 다양한 물리적 상황에 따라 다르게 표현될 수 있다.

1차원 공간에서 스핀이 없는 단일 입자의 경우, 파동 함수는 $\Psi(x,t)$ 로 표현되며, 여기서 ''x''는 위치, ''t''는 시간이다. 이 함수의 제곱 절댓값 $|\Psi(x, t)|^2$ 은 해당 시간 ''t''에서 입자가 위치 ''x''에 존재할 확률 밀도를 나타낸다.^[11]

3차원 공간으로 확장하면, 스핀이 없는 단일 입자의 파동 함수는 $\Psi(\mathbf{r},t)$ 로 표현된다. 여기서 ''r''은 3차원 공간에서의 위치 벡터를 나타낸다. 스핀을 가진 입자의 경우, 파동 함수는 스핀만의 함수 $\xi(s_z,t)$ 로 표현될 수 있으며, 여기서 ''s_z''는 스핀 투영 양자수를 나타낸다. 이산 변수와 연속 변수를 모두 포함하는 일반적인 경우, 파동 함수는 $\Psi(\mathbf{r},s_z,t)$ 로 표현된다.

다입자계의 경우, 파동 함수는 각 입자의 위치와 스핀을 모두 포함하여 $\Psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2 \cdots \mathbf{r}_N, s_{z\,1}, s_{z\,2} \cdots s_{z\,N}, t)$ 로 표현된다. 동일 입자의 경우, 파동 함수는 입자 교환에 대해 특정한 대칭성 또는 반대칭성을 가져야 한다. 보손의 경우 파동 함수는 대칭적이며, 페르미온의 경우 반대칭적이다. 이러한 반대칭성은 파울리 배타 원리로 이어진다.^[11]

유한 차원 힐베르트 공간에서 파동 함수는 기저 벡터들의 선형 결합으로 표현될 수 있으며, 각 기저 벡터에 대한 계수의 제곱은 해당 상태를 측정할 확률을 나타낸다. s-스핀 입자의 스핀 고유 상태는 2s+1 차원 힐베르트 공간을 형성하며, 이 경우 파동 함수는 열 벡터로 표현될 수 있다.

5. 1. 유한 차원 힐베르트 공간

힐베르트 공간은 유한 차원의 완비 내적 공간도 포함한다. 물리학에서는 이를 "유한 차원 힐베르트 공간"이라고 부르기도 한다.^[16] 이러한 공간에는 전체 공간을 생성하는 직교 기저 켓이 존재한다.

N-차원 집합

\{ |\phi_i\rangle \}

이 직교하면, 이 상태들에 대한 투영 연산자는 다음과 같다.

:

P = \sum_i |\phi_i\rangle\langle \phi_i | = I

여기서 투영은

\{ |\phi_i\rangle \}

이 전체 공간을 생성하므로 항등 연산자와 같아, 임의의 벡터를 변경하지 않는다. 이를 유한 차원 힐베르트 공간의 완전성 관계라고도 한다.

파동 함수는 다음과 같이 표현된다.

:

|\psi\rangle = I|\psi\rangle = \sum_i |\phi_i\rangle\langle \phi_i |\psi\rangle

여기서

\{ \langle \phi_i |\psi\rangle \}

는 파동 함수를 구성하는 복소수 집합이다.

집합

\{ |\phi_i\rangle \}

가 축퇴되지 않은 관측량의 고유벡터이고 고유값이

\lambda_i

라면, 양자역학의 기본 가정에 따라 관측량이

\lambda_i

로 측정될 확률은 보른 규칙에 의해 다음과 같다.

:

P_\psi(\lambda_i) = |\langle \phi_i|\psi \rangle|^2

어떤 관측량에 대해 축퇴되지 않은

\{ |\phi_i\rangle \}

의 고유값

\lambda

가

\{ |\lambda^{(j)}\rangle \}

로 표시되는 고유벡터의 부분집합을 가지면, 관측량이

\lambda

로 측정될 확률은 다음과 같다.

:

P_\psi(\lambda) =\sum_j |\langle \lambda^{(j)}|\psi \rangle|^2 = |\widehat P_\lambda |\psi \rangle |^2

여기서

\widehat P_\lambda =\sum_j|\lambda^{(j)}\rangle\langle\lambda^{(j)}|

는

\{ |\lambda^{(j)}\rangle \}

에 의해 생성된 부분 공간으로의 상태 투영 연산자이다.

\{ |\phi_i\rangle \}

의 직교성 때문에 등식이 성립한다.

따라서,

\{ \langle \phi_i |\psi\rangle \}

의 크기의 제곱은 각각의

|\phi_i\rangle

상태를 측정할 확률을 나타낸다.

상대적 위상은 실험에서 관측 가능하지만, 계의 전체 위상은 구분할 수 없다. 예를 들어, 두 상태의 중첩 상태에 있는 입자의 경우, 상대적 위상은 관측 가능한 값의 기댓값에 영향을 줄 수 있다.

계의 전체 위상은 임의적이지만, 중첩 상태에 있는 준비된 상태의 각 상태

|\phi_i\rangle

에 대한 상대적 위상은 물리적 의미와 대칭성을 바탕으로 결정될 수 있다.

유한 차원 힐베르트 공간의 예는 s-스핀 입자의 스핀 고유 상태를 사용하여 구성할 수 있으며, 2s+1 차원 힐베르트 공간을 형성한다. 일반적인 파동 함수는 입자의 위치나 운동량과 관련된 힐베르트 공간과의 텐서곱을 포함하므로 항상 무한 차원이다. 그러나 유한 차원 힐베르트 공간에 대해 개발된 기법은 독립적으로 처리하거나 텐서곱의 선형성을 고려하여 처리할 수 있으므로 유용하다.

s-스핀 입자에 대한 스핀 연산자는 2s+1개의 독립적인 스핀 벡터 성분에 작용하는 (2s+1)² 행렬로 표현될 수 있다. 따라서 행렬/열/행 표기법을 사용하여 스핀 성분을 나타내는 것이 일반적이다.

예를 들어, 각

|s_z\rangle

는 열 벡터로 표현된다.

:

|s\rangle \leftrightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \,, \quad |s-1\rangle \leftrightarrow \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \,, \ldots \,, \quad |-(s-1)\rangle \leftrightarrow \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \,,\quad |-s\rangle \leftrightarrow  \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}

하지만 이는 케트

|s_z\rangle

가 열 벡터와 같지 않기 때문에 표기법의 오용이다. 열 벡터는 스핀 성분을 표현하는 방법을 제공한다.

이 표기법에 따라 z-성분 스핀 연산자는 다음과 같다.

:

\frac{1}{\hbar}\hat{S}_z = \begin{bmatrix} s & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & s-1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -(s-1) & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & -s \end{bmatrix}

z-성분 스핀 연산자의 고유 벡터는 위의 열 벡터이며, 고유값은 해당 스핀 양자수이다.

이 표기법에 따라 유한 차원 힐베르트 공간의 벡터는 다음과 같이 표현된다.

:

|\phi\rangle  =  \begin{bmatrix} \langle s| \phi\rangle \\ \langle s-1| \phi\rangle \\ \vdots \\ \langle -(s-1)| \phi\rangle \\ \langle -s| \phi\rangle \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \varepsilon_s \\  \varepsilon_{s-1}\\ \vdots \\ \varepsilon_{-s+1} \\ \varepsilon_{-s} \\ \end{bmatrix}

여기서

\{ \varepsilon_i \}

는 복소수이다.

스핀을 포함하는 논의에서 완전한 파동 함수는 유한 차원 힐베르트 공간의 스핀 상태와 이전에 개발된 파동 함수의 텐서곱으로 간주된다. 따라서 이 힐베르트 공간의 기저는

|\mathbf{r}, s_z\rangle   = |\mathbf{r}\rangle |s_z\rangle

로 간주된다.

양자 상태를 나타내는 상태 벡터에서 파동 함수를 정의한다. 상태 벡터와 파동 함수는 등가이므로, 문제에 따라 표현을 바꿔 사용할 수 있다.

가측량을 나타내는 에르미트 연산자

\hat{A}

를 생각하고, 그 고유값

a_n

이 이산적이라고 하자. 에르미트 연산자

\hat{A}

의 성질로서, 모든 고유 벡터의 집합

\{ | a_n \rangle \}

은 완전계를 이루므로, 임의의 상태 벡터

| \psi \rangle

는

\{ | a_n \rangle \}

의 선형 결합(중첩)으로 나타낼 수 있다.

:

| \psi \rangle = \sum_n \psi(a_n)| a_n \rangle

전개 계수

\psi(a_n)

를 「'''기저

\{ | a_n \rangle \}

표시에서의 파동 함수'''」라고 부른다.

에르미트 연산자의 고유 벡터는 서로 직교한다.

\{ | a_n \rangle \}

이 정규 직교 기저를 이룬다고 하면,

| a_n \rangle

과의 내적을 취함으로써

| a_n \rangle

에 걸리는 전개 계수를 얻을 수 있다.

:

\langle a_n | \psi \rangle = \psi(a_n)

기저를 정하면 상태 벡터와 파동 함수는 일대일 대응 관계가 된다. 따라서 파동 함수는 양자 상태를 나타내는 함수로 사용할 수 있다.

양자 상태는 복소 힐베르트 공간 위의 벡터로 표현되므로, 파동 함수는 복소수 함수이다.

5. 2. 3차원 위치 공간에서의 단일 입자 상태

3차원 위치 공간에서 스핀이 없는 단일 입자의 파동 함수는 1차원 공간의 경우와 유사하다.

:

\Psi(\mathbf{r},t)

여기서

\mathbf{r}

은 3차원 공간의 위치 벡터이고,

t

는 시간이다.

\Psi(\mathbf{r},t)

는 항상 실수 변수의 복소수 값 함수이다. 디랙 표기법에서 단일 벡터로서

:

|\Psi(t)\rangle = \int d^3\! \mathbf{r}\, \Psi(\mathbf{r},t) \,|\mathbf{r}\rangle

로 표현된다. 내적, 운동량 공간 파동 함수, 푸리에 변환 등에 대한 이전의 모든 설명은 고차원으로 확장된다.

스핀을 가진 입자의 경우, 위치 자유도를 무시하면 파동 함수는 스핀만의 함수이다(시간은 매개변수임).

:

\xi(s_z,t)

여기서

s_z

는

z

축을 따르는 스핀 투영 양자수이다. (

z

축은 임의로 선택할 수 있다. 파동 함수가 적절하게 변환되면 다른 축을 대신 사용할 수 있다.)

s_z

매개변수는

\mathbf{r}

및

t

와 달리 이산 변수이다. 예를 들어, 스핀-1/2 입자의 경우

s_z

는

+1/2

또는

-1/2

일 수 있으며 다른 값은 될 수 없다. (일반적으로 스핀

s

에 대해

s_z

는

s, s - 1, ..., -s + 1, -s

일 수 있다). 각 양자수를 삽입하면 공간과 시간의 복소수 값 함수가 주어지며, 그 수는

2s + 1

개이다. 이것들은 열 벡터로 배열할 수 있다.

:

\xi = \begin{bmatrix} \xi(s,t) \\ \xi(s-1,t) \\ \vdots \\ \xi(-(s-1),t) \\ \xi(-s,t) \\ \end{bmatrix} = \xi(s,t) \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + \xi(s-1,t)\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + \cdots + \xi(-(s-1),t) \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + \xi(-s,t) \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}

브라-켓 표기법에서 이것들은 벡터의 성분으로 쉽게 정렬된다.

:

|\xi (t)\rangle = \sum_{s_z=-s}^s \xi(s_z,t) \,| s_z \rangle

전체 벡터

\xi

는 슈뢰딩거 방정식(적절한 해밀토니안을 사용하여)의 해이며,

2s + 1

개의 상미분 방정식의 결합 시스템으로 전개되며, 해는

\xi(s, t), \xi(s - 1, t), ..., \xi(-s, t)

이다. 일부 저자는 "파동 함수" 대신 "스핀 함수"라는 용어를 사용하는데, 이는 위치 공간 파동 함수에 대한 해와 대조된다. 위치 좌표는 연속적인 자유도이기 때문에 슈뢰딩거 방정식은 파동 방정식의 형태를 취한다.

더 일반적으로, 임의의 스핀을 가진 3차원 입자의 경우, 파동 함수는 "위치-스핀 공간"에서 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\Psi(\mathbf{r},s_z,t)

이것들은 열 벡터로 배열할 수도 있다.

:

\Psi(\mathbf{r},t) = \begin{bmatrix} \Psi(\mathbf{r},s,t) \\ \Psi(\mathbf{r},s-1,t) \\ \vdots \\ \Psi(\mathbf{r},-(s-1),t) \\ \Psi(\mathbf{r},-s,t) \\ \end{bmatrix}

여기서 스핀 의존성은 항목의 색인에 배치되고, 파동 함수는 공간과 시간만의 복소 벡터 값 함수이다.

이산 변수뿐만 아니라 연속 변수에 대한 파동 함수의 모든 값도 단일 벡터로 수집된다.

:

|\Psi(t)\rangle =\sum_{s_z}\int d^3\!\mathbf{r} \,\Psi(\mathbf{r},s_z,t)\, |\mathbf{r}, s_z\rangle

단일 입자의 경우, 그 위치 상태 벡터

|\psi(t)\rangle

와 스핀 상태 벡터

|\xi(t)\rangle

의 텐서 곱

\otimes

는 복합 위치-스핀 상태 벡터를 제공한다.

:

|\psi(t)\rangle\! \otimes\! |\xi(t)\rangle =\sum_{s_z}\int d^3\! \mathbf{r}\, \psi(\mathbf{r},t)\,\xi(s_z,t) \,|\mathbf{r}\rangle \!\otimes\! |s_z\rangle

다음과 같은 식별을 사용한다.

:

|\Psi (t)\rangle = |\psi(t)\rangle\!\otimes\!|\xi(t)\rangle

:

\Psi(\mathbf{r},s_z,t) = \psi(\mathbf{r},t)\,\xi(s_z,t)

:

|\mathbf{r},s_z \rangle= |\mathbf{r}\rangle \!\otimes\! |s_z\rangle

입자의 궤도 및 스핀 각운동량이 시스템의 역학을 기반으로 하는 해밀토니안 연산자에서 분리될 수 있는 경우(즉, 해밀토니안이 궤도 및 스핀 항의 합으로 분리될 수 있는 경우) 에너지 고유 상태의 텐서 곱 인수분해는 항상 가능하다. 시간 의존성은 어느 요소에도 배치할 수 있으며 각 요소의 시간 진화를 별도로 연구할 수 있다. 이러한 해밀토니안 하에서, 임의의 텐서 곱 상태는 다른 텐서 곱 상태로 진화하며, 이는 본질적으로 임의의 얽히지 않은 상태가 시간 진화 하에서 얽히지 않은 상태로 남아 있음을 의미한다. 텐서 곱의 상태 사이에 물리적 상호 작용이 없을 때 이것이 발생한다고 한다. 분리할 수 없는 해밀토니안의 경우, 에너지 고유 상태는 이러한 상태의 선형 결합으로, 인수분해될 필요가 없다. 예로는 자기장 내의 입자와 스핀-궤도 결합이 있다.

5. 3. 3차원 위치 공간에서의 다입자 상태

3차원 위치 공간에서 스핀을 고려한 다입자계의 파동 함수는 다음과 같이 표현된다.

N개 입자의 위치 공간 파동 함수

:

\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2 \cdots \mathbf{r}_N,t)

::여기서

\mathbf{r}_i

는 3차원 공간에서 i번째 입자의 위치이고, t는 시간이다.

각각 스핀을 가진 N개의 입자에 대한 파동 함수

:

\Psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2 \cdots \mathbf{r}_N, s_{z\,1}, s_{z\,2} \cdots s_{z\,N}, t)

양자역학에서는 '동일 입자'와 '구별 가능한' 입자 사이에 근본적인 차이가 있다. N개의 동일 입자계의 파동 함수는 다음과 같은 대칭성/반대칭성 요구 조건을 만족해야 한다.

:

\Psi \left ( \ldots \mathbf{r}_a, \ldots , \mathbf{r}_b, \ldots \right ) = \pm \Psi \left ( \ldots \mathbf{r}_b, \ldots , \mathbf{r}_a, \ldots \right )

:여기서 + 부호는 입자가 모두 '보손'일 때, - 부호는 입자가 모두 '페르미온'일 때 나타난다. 즉, 파동 함수는 보손의 위치에 대해서는 완전히 대칭적이거나, 페르미온의 위치에 대해서는 완전히 반대칭적이다.^[11] 입자의 물리적 교환은 파동 함수의 인수를 수학적으로 바꾸는 것에 해당한다. 페르미온 파동 함수의 반대칭 특징은 파울리 배타 원리로 이어진다.

반면, N개의 '구별 가능한' 입자의 경우, 파동 함수가 대칭적이거나 반대칭적일 필요는 없다. 동일 입자와 구별 가능한 입자들이 섞여 있는 경우, 파동 함수는 동일 입자 좌표

\mathbf{r}_i

에 대해서만 대칭 또는 반대칭이다.

6. 파동 함수의 시간 변화와 측정

슈뢰딩거 방정식을 통해 파동 함수의 시간 변화를 설명할 수 있다. 시간에 무관한 퍼텐셜을 가진 계의 경우, 파동 함수는 항상 자유도의 함수에 시간 의존 위상 인자를 곱한 형태로 쓸 수 있으며, 그 형태는 슈뢰딩거 방정식에 의해 주어진다. 이러한 형태의 파동 함수를 정상 상태라고 한다.

N개의 입자를 고려하고 다른 자유도는 무시하면 위치만 고려하여,

$\Psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_N,t) = e^{-i Et/\hbar} \,\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\ldots,\mathbf{r}_N)\,,$

여기서 E는 고유 상태 Ψ에 해당하는 계의 에너지 고유값이다.

양자 상태와 연산자의 시간 의존성은 연산자와 상태에 대한 유니터리 변환에 따라 결정될 수 있다. 슈뢰딩거 묘사에서는 Ψ(t)가 슈뢰딩거 방정식에 따라 시간에 따라 변하는 반면 O는 일정하다. 하이젠베르크 묘사에서는 그 반대이다. Ψ는 일정하고 O(t)는 운동 방정식에 따라 시간에 따라 진화한다. 디랙(또는 상호작용) 묘사는 중간적인 그림으로, 시간 의존성은 운동 방정식에 따라 진화하는 연산자와 상태 모두에 존재한다. 이 그림은 주로 S-행렬 원소를 계산하는 데 유용하다.^[18]

파동 함수 ψ로 표현되는 양자 상태에 대해 물리량 Â의 측정(이상적인 측정)을 수행했다고 하면, 보른의 법칙에 따르면, Â의 고유값 중 하나가 측정값으로 얻어진다. 측정값이 a_i였다면, 측정 후의 (측정 결과를 조건으로 한) 양자 상태는 고유값 a_i에 대응하는 고유 상태가 되며(투영 가설), 측정 후의 양자 상태를 나타내는 파동 함수는 측정 전의 ψ와 크게 다를 수 있다.

이를 "파동 함수의 수축"이라고 한다. 이러한 측정에 따른 파동 함수의 변화(혹은 갱신)는, 슈뢰딩거 방정식으로 표현되는 것과는 다르다.

파동 함수의 시간에 따른 변화는 다음 식을 따른다.

$i\hbar\frac{d}{dt} \psi(x,t) = \hat{H} \psi(x,t)$

여기서 ħ는 환산 플랑크 상수, Ĥ는 해밀토니안이다. 이 식은 '''시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식'''이라고 불린다. 이 시간 변화는 유니터리 변환이며, 시간이 변해도 확률이 보존된다.

7. 파동 함수의 해석 문제

막스 보른은 1926년에 확률 진폭의 관점을 제공하여, 코펜하겐 해석의 일부로 받아들여졌다.^[6]^[7] 이에 따르면 파동 함수의 절댓값의 제곱은 그 파동 함수의 기저가 되는 고유 상태를 찾는 확률 또는 확률 밀도 함수와 대응된다고 알려져 있다.^[6]^[7]

파동 함수가 실제로 존재하는지, 그리고 그것이 무엇을 나타내는지는 양자역학의 해석에서 중요한 질문이다. 에르빈 슈뢰딩거, 알베르트 아인슈타인, 닐스 보어 등 이전 세대의 많은 유명한 물리학자들이 이 문제에 대해 고심했다. 코펜하겐 해석(보어, 유진 위그너, 존 폰 노이만 등)을 지지하는 사람들도 있는 반면, 존 아치볼드 휠러나 에드윈 톰슨 제인스와 같이 파동 함수를 관찰자의 마음 속 정보, 즉 현실에 대한 지식의 척도로 간주하는 보다 고전적인 접근 방식을 취하는 사람들도 있다. 슈뢰딩거, 데이비드 보옴, 휴 에버렛 3세 등은 파동 함수가 객관적이고 물리적인 실체를 가져야 한다고 주장했다. 아인슈타인은 물리적 실체에 대한 완전한 설명은 추상적인 수학적 공간이 아닌 물리적 공간과 시간을 직접적으로 참조해야 한다고 생각했다.

파동 함수가 전자기장과 같은 물리적 실체를 수반하는 것이라고 생각하면, "파동 함수의 수축" 해석에 어려움이 따른다. 예를 들어 EPR 역설에서 지적된 것처럼, (양자역학 이론상) 측정에 수반하여 광속을 초과하여 (상대성이론에 부합하지 않는) "수축"이 발생하는 것처럼 보이는 계에 대해, 그러한 "수축"이 발생할 수 없음을 설명해야 한다.

확률적인 행동과 중첩에 관련하여, 양자계와 고전계가 상호 작용하는 계에서는 "슈뢰딩거의 고양이"와 같은 미묘한 상태가 존재할 수 있다. "슈뢰딩거의 고양이" 사고 실험에서 더 나아가, "위그너의 친구"와 같은 계를 생각해 볼 수도 있다.

파동 함수에 의해 시사되는 "현상"에 대한 해석을 둘러싸고 여러 제안이 이루어지고 있다. 코펜하겐 해석, 다세계 해석, 봄 해석 등이 잘 알려진 예시이다.

전형적인 코펜하겐 해석에서는 파동 함수가 객관적인 실체가 아니라 관측자의 주관에 의해 정해진다고 본다. 따라서 코펜하겐 해석 하에서는 "파동 함수의 수축"은 비물리적인 현상이며, 상대론을 위배하는 것이 아니라고 생각한다.

다세계 해석에서는 "파동 함수의 수축"이 발생하지 않고, 양자계는 슈뢰딩거 방정식에 따라 연속적으로 (유니터리) 시간 발전을 한다고 본다.

8. 파동 함수와 함수 공간

양자역학의 가정에 따르면, 고정된 시간 $t$ 에서 물리적 시스템의 상태는 분리 가능한 복소 힐베르트 공간에 속하는 파동 함수로 주어진다.^[11] 따라서, 두 파동 함수 및 의 내적은 (시간 에서) 복소수로 정의될 수 있다.

파동 함수 의 자기 내적은 항상 양의 실수이며, (가 아님)는 파동 함수 의 '''노름'''이라고 한다.

분리 가능 힐베르트 공간은 무한 차원이다.^[12] 즉, 모든 가능한 제곱 적분 가능 함수를 생성하기 위해 다양한 조합으로 더할 수 있는 유한한 제곱 적분 가능 함수 집합이 없다.

특정 시간에 파동 함수 의 모든 값은 벡터의 성분이며, 브라-켓 표기법에서 이 벡터는 다음과 같이 표기된다.

: $|\Psi(t)\rangle = \int\Psi(x,t) |x\rangle dx$

이것은 "양자 상태 벡터" 또는 간단히 "양자 상태"라고 한다.

파동 함수를 추상적인 벡터 공간의 원소로 이해하면 선형 대수학의 도구를 사용하여 파동 함수를 조작하고 이해할 수 있다. 예를 들어 기저를 통해 위치 공간의 파동 함수와 운동량 공간의 파동 함수 사이의 관계를 설명 할 수 있다.

파동 함수에 대한 논의에서 함수 공간의 개념은 자연스럽게 등장한다. 함수 공간은 함수들의 집합이며, 일반적으로 함수들에 대한 특정 조건(이 경우 제곱 적분 가능 함수)이 정의되어 있고, 때로는 집합에 대한 대수 구조(이 경우 내적을 갖는 벡터 공간 구조)를 갖는다. 파동 함수의 함수 공간이 힐베르트 공간이며, 이 관찰은 양자역학의 주요 수학적 공식화의 기초가 된다.

파동 함수는 다음과 같은 특징을 갖는 함수 공간의 원소이다.

슈뢰딩거 방정식은 선형적이다. 즉, 슈뢰딩거 방정식의 해인 파동 함수는 더하거나 스칼라를 곱하여 새로운 해를 만들 수 있다. 슈뢰딩거 방정식의 해들의 집합은 벡터 공간이다.
양자역학의 중첩 원리. 만약 와 가 양자역학적 시스템의 '''상태'''의 추상적인 공간에 있는 두 상태이고, 와 가 임의의 두 복소수라면, 또한 유효한 상태이다. 허용 가능한 상태들의 집합은 벡터 공간이다.

기본 상태는 양자수 집합으로 특징지어지며, 이는 서로 교환하는 물리량의 '''극대 집합'''의 고유값 집합이다. 물리적 물리량은 벡터 공간 위의 선형 연산자, 즉 물리량으로 나타낸다.

물리계의 물리적으로 관측 가능한 양, 예를 들어 위치, 운동량 또는 스핀은 상태 공간 위의 선형 에르미트 연산자로 표현된다는 것이 양자역학의 가정이다. 그 양의 측정 가능한 결과는 연산자의 고유값이다.
물리적 해석은 이러한 집합이 이론적으로 임의의 정밀도로 동시에 측정될 수 있는 것을 나타낸다는 것이다. 하이젠베르크의 불확정성 원리는 두 개의 비교환 물리량을 동시에 정확하게 측정하는 것을 금지한다.

추상 상태 공간에 대해 교환하는 물리량의 극대 집합을 선택할 때마다, 파동 함수의 함수 공간과 연관된 해당 표현이 있다. 이러한 다양한 함수 공간과 추상 상태 공간 사이에는 일대일 대응 관계가 있다(여기서는 정규화와 관측 불가능한 위상 인자는 무시한다). 여기서 공통 분모는 특정 추상 상태이다. 예를 들어, 같은 상태를 설명하는 운동량과 위치 공간 파동 함수 사이의 관계는 푸리에 변환이다.

각 표현의 선택은 해당 표현의 선택에 해당하는 파동 함수가 존재하는 고유한 함수 공간을 지정하는 것으로 생각해야 한다.

파동 함수의 벡터 공간과 추상적인 상태 공간에는 추가적인 대수적 구조가 존재한다.

물리적으로, 서로 다른 파동 함수는 어느 정도 중첩된다고 해석된다. 상태 에 있는 시스템이 상태 와 중첩되지 않는다면, 측정 시 상태 에 있는 것으로 발견될 수 없다.
수학적으로, 특정 포텐셜에 대한 슈뢰딩거 방정식의 해는 어떤 방식으로 '''직교'''한다. 이는 표현으로 넘어갈 때 위의 수학적 관찰과 호환되는 추상적인 양자 상태의 벡터 공간에 내적을 도입하는 것을 유도한다. 이는 로 표시되거나, 브라-켓 표기법에서는 로 표시된다. 이것은 복소수를 생성한다. 내적을 사용하면 함수 공간은 내적 공간이 된다.

양자 역학의 물리적 해석의 상당 부분은 보른 규칙에서 비롯된다. 이 규칙은 시스템이 상태 에 있을 때 측정을 통해 상태 를 발견할 확률 이 다음과 같다는 것을 명시한다.

:

p = |(\Phi, \Psi)|^2,

여기서 와 는 정규화되었다고 가정한다.

함수 공간에 대한 추가적인 기술적 요구사항이 있는데, 바로 완비성이다. 이는 함수 공간에서 수열의 극한을 취할 수 있게 하고, 만약 극한이 존재한다면 그 극한이 함수 공간의 원소임을 보장한다. 완비 내적 공간을 힐베르트 공간이라고 한다. 완비성은 양자역학의 고급 이론과 응용에서 매우 중요하다. 예를 들어, 투영 연산자 또는 '''직교 투영'''의 존재는 공간의 완비성에 의존한다.

공간은 힐베르트 공간이며, 그림의 예에서 함수 공간은 의 부분 공간이다. 힐베르트 공간의 부분 공간은 닫혀 있으면 힐베르트 공간이다.

요약하자면, 특정 기저를 선택한 시스템에 대한 모든 가능한 정규화 가능한 파동 함수의 집합과 영벡터는 힐베르트 공간을 구성한다.

모든 관심 있는 함수가 와 같은 힐베르트 공간의 원소인 것은 아니다. 가장 두드러진 예는 함수 집합이다. 이들은 정규화할 수 없으므로 에 속하지 않는, 자유 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 평면파 해이다. 그러나 이들은 그럼에도 불구하고 설명에 있어 기본적이다.

해의 공간 전체는 힐베르트 공간이지만, 구성 요소로서 일반적으로 나타나는 다른 많은 힐베르트 공간들이 있다.

구간 에서 정의역이 복소수인 제곱적분가능 함수. 집합 }는 힐베르트 공간 기저, 즉 최대 직교 집합이다.
푸리에 변환은 위 공간의 함수를 , 즉 제곱합 가능 함수 의 원소로 변환한다. 후자의 공간은 힐베르트 공간이며, 푸리에 변환은 힐베르트 공간의 동형 사상이다.^[24]
가장 기본적인 예로, 구간 에서 제곱적분가능 함수의 공간에서 르장드르 다항식은 힐베르트 공간 기저(완전 직교 집합)이다.
단위구 에서의 제곱적분가능 함수는 힐베르트 공간이다. 이 경우 기저 함수는 구면 조화 함수이다. 르장드르 다항식은 구면 조화 함수의 구성 요소이다.
연관 라게르 다항식은 구면 조화 함수를 인수 분해한 후 수소 원자 파동 함수 문제에 나타난다. 이것들은 반무한 구간 에서 제곱적분가능 함수의 힐베르트 공간을 생성한다.

보다 일반적으로, 힐베르트 공간의 설정에서 슈투름-리우빌 방정식에 대한 모든 2차 다항식 해의 통합된 처리를 고려할 수 있다. 여기에는 르장드르 다항식과 라게르 다항식뿐만 아니라 체비셰프 다항식, 야코비 다항식 및 에르미트 다항식이 포함된다.

유한 차원 힐베르트 공간도 존재한다. 공간 은 차원 의 힐베르트 공간이다. 내적은 이러한 공간에서의 표준 내적이다. 여기에는 단일 입자 파동 함수의 "스핀 부분"이 있다.

전자의 비상대론적 기술에서 이고 전체 파동 함수는 파울리 방정식의 해이다.
해당 상대론적 처리에서 이고 파동 함수는 디랙 방정식을 만족한다.

입자가 더 많으면 상황이 더 복잡해진다. 텐서 곱을 사용하고 관련된 대칭 군(각각 회전 군과 로렌츠 군)의 표현 이론을 사용하여 텐서 곱에서 (총) 스핀 파동 함수가 있는 공간을 추출해야 한다.

어떤 가측량을 나타내는 에르미트 연산자

\hat{A}

를 생각하고, 그 고유값

a_n

이 이산적이라고 하자. 에르미트 연산자

\hat{A}

의 성질로서, 모든 고유 벡터의 집합

\{ | a_n \rangle \}

은 완전계를 이루므로, 임의의 상태 벡터

| \psi \rangle

는

\{ | a_n \rangle \}

의 선형 결합(중첩)으로 나타낼 수 있다.

:

| \psi \rangle = \sum_n \psi(a_n)| a_n \rangle

상기의 전개 계수

\psi(a_n)

를 「'''기저

\{ | a_n \rangle \}

표시에서의 파동 함수'''」라고 부른다.

또한 에르미트 연산자의 고유 벡터는 서로 직교한다(선택할 수 있다).

\{ | a_n \rangle \}

이 정규 직교 기저를 이룬다고 하면, 다음과 같이 표현 가능하다.

:

\langle a_n | \psi \rangle = \psi(a_n)

이와 같이 기저를 하나 정하면, 상태 벡터와 파동 함수는 어느 한쪽이 알려지면 다른 한쪽을 구할 수 있고, 일대일 대응의 관계가 된다. 따라서 파동 함수는 그 변수가 결정될 때 상태 벡터와 등가이다. 이 때문에 파동 함수는 양자 상태를 나타내는 함수로 사용할 수 있다.

일반적으로 양자 상태는 복소 힐베르트 공간 위의 벡터로 표현되므로, 파동 함수는 일반적으로 복소수 함수이다.

9. 비상대론적 예시

입자의 상태는 파동 함수 $\Psi(x,t)\,,$ 로 완전히 기술된다. 여기서 $x$ 는 위치이고 $t$ 는 시간이다. 이 함수는 두 개의 실수 변수 $x$ 와 $t$ 의 복소함수이다.

스핀이 없는 입자가 1차원에 있을 경우, 파동 함수는 확률 진폭으로 해석될 수 있다. 파동 함수의 제곱 모듈러스는 다음과 같은 양의 실수를 갖는다.

$\left|\Psi(x, t)\right|^2 = \Psi^*(x, t)\Psi(x, t) = \rho(x),$

이 값은 주어진 시간 $t$ 에서 입자의 위치를 측정했을 때의 확률 밀도로 해석된다. 여기서 별표(*)는 복소 공액을 의미한다. 입자의 위치를 측정할 때, 그 위치는 파동 함수로 정확히 결정되지 않고 확률 분포로만 기술된다.

다음은 상대론적이지 않고 스핀이 없는 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 해를 나타낸다.

'''유한 퍼텐셜 장벽''': 고전 역학적으로는 입자가 접근할 수 없는 높은 퍼텐셜 장벽을 통과할 수 있는 양자 터널링 현상을 보여준다.
'''양자 조화 진동자''': 파동 함수는 에르미트 다항식으로 표현된다.
'''수소 원자''': 파동 함수는 구면 조화 함수와 일반화된 라게르 다항식으로 표현된다. 슈뢰딩거 방정식을 정확하게 풀 수 있는 유일한 원자이다.^[19]

9. 1. 유한 퍼텐셜 장벽

높이 인 유한 퍼텐셜 장벽에서의 산란. 왼쪽 및 오른쪽으로 이동하는 파동의 진폭과 방향이 표시되어 있습니다. 빨간색은 반사 및 투과 진폭의 유도에 사용된 파동입니다. 이 그림에서는 입니다.

파동 역학의 가장 두드러진 특징 중 하나는 입자가 고전 역학적으로는 접근할 수 없는 위치(퍼텐셜이 높은 위치)에 도달할 수 있다는 것이다. 일반적인 모델은 "퍼텐셜 장벽"이며, 1차원 경우 퍼텐셜은 다음과 같다.

V(x)=\begin{cases}V_0 & |x|

그리고 파동 방정식에 대한 정상 상태 해는 (일정한 에 대해) 다음과 같은 형태를 갖는다.

\Psi (x) = \begin{cases}A_{\mathrm{r}}e^{ikx}+A_{\mathrm{l}}e^{-ikx} & x<-a, \\B_{\mathrm{r}}e^{\kappa x}+B_{\mathrm{l}}e^{-\kappa x} & |x|\le a, \\C_{\mathrm{r}}e^{ikx}+C_{\mathrm{l}}e^{-ikx} & x>a.\end{cases}

이러한 파동 함수는 정규화되지 않았다. 자세한 내용은 산란 이론을 참조한다.

이것에 대한 표준 해석은 입자의 흐름이 왼쪽(음의 방향)에서 계단으로 발사되는 것이다. 로 설정하면 입자가 하나씩 발사되는 것에 해당한다. 및 을 포함하는 항은 오른쪽으로의 운동을 나타내는 반면, 및 은 왼쪽으로의 운동을 나타낸다. 이 빔 해석에 따라 오른쪽에서 입자가 오지 않으므로 으로 둔다. 경계에서 파동 함수와 그 도함수의 연속성을 적용하여 위의 상수를 결정할 수 있다.

양자점 내의 3차원적으로 구속된 전자 파동 함수. 여기에는 직사각형과 삼각형 모양의 양자점이 표시되어 있습니다. 직사각형 양자점의 에너지 준위는 더욱 ''s형'' 및 ''p형''입니다. 그러나 삼각형 양자점에서는 구속 대칭으로 인해 파동 함수가 혼합됩니다. (애니메이션을 보려면 클릭)

반도체 결정자의 반지름이 엑시톤의 보어 반지름보다 작은 경우, 엑시톤이 압축되어 양자 구속이 발생한다. 그러면 에너지 준위를 서로 다른 상태의 에너지가 상자의 길이에 따라 달라지는 상자 속의 입자 모델을 사용하여 모델링할 수 있다.

9. 2. 양자 조화 진동자

양자 조화 진동자의 파동 함수는 에르미트 다항식

H_n

으로 표현할 수 있으며, 다음과 같다.

\Psi_n(x) = \sqrt{\frac{1}{2^n\,n!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot e^{

\frac{m\omega x^2}{2 \hbar}} \cdot H_n{\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right)}

여기서

n = 0, 1, 2, ...

이다.

수소 원자 전자의 처음 몇 가지 궤도함수에 대한 전자 확률 밀도를 단면으로 보여준다. 이러한 궤도함수는 전자의 파동 함수에 대한 직교 기저를 형성한다. 서로 다른 궤도함수는 서로 다른 비율로 묘사된다.

9. 3. 수소 원자

수소 원자의 전자 파동 함수는 구면 조화 함수와 일반화된 라게르 다항식으로 표현된다.^[19] 구면 좌표계를 사용하면 파동 함수를 각 좌표의 함수로 분리할 수 있다.

:

\Psi_{n\ell m}(r,\theta,\phi) = R(r)\,\,Y_\ell^m\!(\theta, \phi)

여기서

R(r)

은 방사 함수이고,

Y_\ell^m\!(\theta, \phi)

는 차수

\ell

및 위수

m

의 구면 조화 함수이다. 슈뢰딩거 방정식이 정확하게 풀린 유일한 원자가 수소 원자이며, 다전자 원자는 근사적인 방법이 필요하다. 해의 집합은 다음과 같다.

:

\Psi_{n\ell m}(r,\theta,\phi) = \sqrt {{\left (  \frac{2}{n a_0} \right )}^3\frac{(n-\ell-1)!}{2n[(n+\ell)!]} } e^{- r/na_0} \left(\frac{2r}{na_0}\right)^{\ell} L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}\left(\frac{2r}{na_0}\right) \cdot Y_{\ell}^{m}(\theta, \phi )

여기서

a_0 = 4 \pi \epsilon_0 \hbar^2 / m_e e^2

는 보어 반지름이고,

L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}

은 차수

n-\ell-1

의 일반화된 라게르 다항식이며,

n = 1, 2, ...

은 주 양자수,

\ell = 0, 1, ..., n-1

은 방위 양자수,

m = -\ell, -\ell+1, ..., \ell-1, \ell

은 자기 양자수이다. 수소 유사 원자는 이와 매우 유사한 해를 갖는다. 이 해는 전자의 스핀을 고려하지 않는다.

수소 오비탈 그림에서 각 이미지의 오른쪽 하단에 있는 세 개의 양자수

(n, \ell, m)

는 주 양자수, 궤도 각운동량 양자수, 자기 양자수를 나타낸다.

참조

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_[2] 서적 (제목 없음) 1927/1985/2009
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_[8] 서적 (제목 없음) 2002
_[9] 서적 (제목 없음) 2002
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_[13] 문서 (제목 없음)
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_[15] 문서 (제목 없음)
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_[17] 서적 Modern quantum mechanics Cambridge University Press 2021
_[18] 서적 (제목 없음) 2002
_[19] 서적 Physics for Scientists and Engineers – with Modern Physics Freeman 2008
_[20] 문서 (제목 없음)
_[21] 문서 (제목 없음)
_[22] 문서 (제목 없음)
_[23] 문서 (제목 없음)
_[24] 서적 (제목 없음) 1990
_[25] 문서 (제목 없음)
_[26] 문서 (제목 없음)
_[27] 문서 (제목 없음)
_[28] 문서 (제목 없음)
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_[30] 저널 Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge 1926

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