가가가속도

1. 개요

가가가속도는 가속도의 시간 미분으로 정의되며, 위치 벡터를 시간에 대해 4번 미분한 값이다. 속도, 가속도, 가가속도와 함께 운동학 연구에 사용되며, 우주공학, 교통공학, 지진, 심리학, 음향학 등 다양한 분야에서 활용된다. 가가가속도는 Snap이라고도 불리며, Crackle, Pop과 같은 고차 미분 단위도 존재한다.

2. 정의

수학적으로 가가가속도는 가가속도를 시간으로 미분한 것으로 정의된다.

:$\backslash vec\; s\; =\backslash frac\; \{d\; \backslash vec\; j\}\; \{dt\}=\backslash frac\; \{d^2\; \backslash vec\; a\}\; \{dt^2\}=\backslash frac\; \{d^3\; \backslash vec\; v\}\; \{dt^3\}=\backslash frac\; \{d^4\; \backslash vec\; r\}\; \{dt^4\}$

여기서

이다.

3. 시간 미분과 운동학

시간 t의 함수인 위치 벡터 r에 대해, 시간 미분은 t에 관해 영원히 계산할 수 있다. 이러한 파생은 운동학, 제어 이론, 공학 및 다른 과학의 연구에서 응용 역학의 단위로 유용하게 사용된다. 위치 벡터의 1차 미분은 속도, 2차 미분은 가속도, 3차 미분은 가가속도이다.

3.1. 속도

{{lang는 시간에 대한 위치의 변화율로 정의된다.

3.2. 가속도

acceleration^영어는 시간에 따라 속도가 변하는 정도를 나타내는 벡터 물리량이다. 가속도의 SI 단위는 m/s²이다.

:$\backslash mathbf\{a\}=\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{v\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}=\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^2\backslash mathbf\{r\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t^2\}$

3.3. 가가속도 (Jerk)

수학적으로 가가가속도는 가가속도를 시간으로 미분한 것으로 정의된다.

:$\backslash vec\; s\; =\backslash frac\; \{d\; \backslash vec\; j\}\; \{dt\}=\backslash frac\; \{d^2\; \backslash vec\; a\}\; \{dt^2\}=\backslash frac\; \{d^3\; \backslash vec\; v\}\; \{dt^3\}=\backslash frac\; \{d^4\; \backslash vec\; r\}\; \{dt^4\}$

여기서 각 기호는 다음을 나타낸다.

:$\backslash mathbf\{j\}=\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\backslash mathbf\{a\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t\}=\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^2\backslash mathbf\{v\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t^2\}=\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}^3\backslash mathbf\{r\}\}\{\backslash mathrm\{d\}t^3\}$

위치 벡터의 1차 미분, 2차 미분, 3차 미분에 대한 이러한 이름(속도, 가속도, 가가속도)은 일반적으로 널리 사용된다.

이러한 고차원 단위는 유사한 방식으로 계산 가능하며, 연구에서 벡터량의 시간 변위의 근사를 개선할 수 있다.

4. 가가가속도 (Snap)

가가가속도는 영어로 "Snap"이라고 불린다. 특히 가가가속도가 상수 s인 경우에는 다음 식이 성립한다

:$\backslash vec\; s\; =\; \backslash frac\{d\; \backslash ,\backslash vec\; \backslash jmath\}\{dt\}\; =\; \backslash frac\{d^2\; \backslash vec\; a\}\{dt^2\}\; =\; \backslash frac\{d^3\; \backslash vec\; v\}\{dt^3\}\; =\; \backslash frac\{d^4\; \backslash vec\; r\}\{dt^4\}$
:$\backslash vec\; \backslash jmath\; =\; \backslash vec\; \backslash jmath\_0\; +\; \backslash vec\; s\; t,$
:$\backslash vec\; a\; =\; \backslash vec\; a\_0\; +\; \backslash vec\; \backslash jmath\_0\; t\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash vec\; s\; t^2,$
:$\backslash vec\; v\; =\; \backslash vec\; v\_0\; +\; \backslash vec\; a\_0\; t\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash vec\; \backslash jmath\_0\; t^2\; +\; \backslash frac\{1\}\{6\}\; \backslash vec\; s\; t^3,$
:$\backslash vec\; r\; =\; \backslash vec\; r\_0\; +\; \backslash vec\; v\_0\; t\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash vec\; a\_0\; t^2\; +\; \backslash frac\{1\}\{6\}\; \backslash vec\; \backslash jmath\_0\; t^3\; +\; \backslash frac\{1\}\{24\}\; \backslash vec\; s\; t^4,$

여기서 각 기호는 다음을 나타낸다.

가가속도의 표기 $\backslash vec\; s$는 비저 등이 논문에서 사용한 표기인데, 일반적으로 같은 표기가 사용되는 변위 벡터와 같으므로 혼동하지 않도록 주의해야 한다.

가가속도의 차원은 L/T⁴이다. 국제단위계에서는 m/s⁴, 또는 m・s^-4가 사용되며, CGS 단위계에서는 100Gal/s² 혹은 100G・s⁻²에 해당한다.

5. 응용 분야

가가가속도는 정밀한 우주공학, 교통공학 분야에서 검증에 사용되며, 지진, 심리학, 음향학 등 인간에게 미치는 영향을 연구하는 분야에서도 사용된다.

* 공학계나 역학계에 확립되어 있다. 국제 단위계의 단위이지만, 가가가속도라는 표현보다는 영문 명칭인 "Snap"으로 표기되는 경우가 많다.
* 멀미 방지나, 이용객의 구토 중추에 과도한 자극을 주지 않는 롤러코스터 등의 개발 및 연구 단계에서 약도와 함께 G의 변화율을 그래프로 나타낼 때 사용된다.
* 자동차나 악기 제조 회사 등에서도 활용 사례가 있다.
* 가가가속도(약도의 변화율, Snap) 이상까지 측정이 가능한 운전자용 앱 『G-Bowl』이 App Store에서 판매 중이다.

6. 고차 미분 (Crackle, Pop, Lock, Drop, Shot, Put)

위치 벡터의 5계 미분 이상은 문헌에서도 거의 드물게 나타난다。 가가가속도, 가가속도, 가속도, 속도, 위치까지는 특허 문헌에서 사용된 예가 보인다。

시간 함수로서의 가가가속도와 위치의 4, 5, 6계 미분은 "때때로 매우 약간의 익살스러움을 포함하여" Snap(가가가속도), Crackle(크래클), Pop(팝)이라고 불린다。 이러한 명칭은 켈로그의 콘 시리얼 광고 캐릭터에서 영감을 받은 것이다。

영어권에서는 Pop 이상의 단위도 존재하며, Lock(락), Drop(드롭), Shot(샷), Put(풋)이라고 불린다。

6.1. Crackle (크래클)

Crackle(단위)은 위치 벡터를 시간으로 5번 미분한, 가가가속도의 시간당 변화율이다. 상수 c, 시간을 상수 t로 놓으면 다음 식이 성립한다。

:$\backslash vec\; c\; =\backslash frac\; \{d\; \backslash vec\; s\}\; \{dt\}=\backslash frac\; \{d^2\; \backslash vec\; \backslash jmath\}\; \{dt^2\}=\backslash frac\; \{d^3\; \backslash vec\; a\}\; \{dt^3\}=\backslash frac\; \{d^4\; \backslash vec\; v\}\; \{dt^4\}=\backslash frac\; \{d^5\; \backslash vec\; r\}\; \{dt^5\}$
:$\backslash vec\; s\; =\; \backslash vec\; s\_0\; +\; \backslash vec\; c\; \backslash ,t$
:$\backslash vec\; \backslash jmath\; =\; \backslash vec\; \backslash jmath\_0\; +\; \backslash vec\; s\_0\; \backslash ,t\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; \backslash vec\; c\; \backslash ,t^2$
:$\backslash vec\; a\; =\; \backslash vec\; a\_0\; +\; \backslash vec\; \backslash jmath\_0\; \backslash ,t\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; \backslash vec\; s\_0\; \backslash ,t^2\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{6\}\; \backslash vec\; c\; \backslash ,t^3$
:$\backslash vec\; v\; =\; \backslash vec\; v\_0\; +\; \backslash vec\; a\_0\; \backslash ,t\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; \backslash vec\; \backslash jmath\_0\; \backslash ,t^2\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{6\}\; \backslash vec\; s\_0\; \backslash ,t^3\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{24\}\; \backslash vec\; c\; \backslash ,t^4$
:$\backslash vec\; r\; =\; \backslash vec\; r\_0\; +\; \backslash vec\; v\_0\; \backslash ,t\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; \backslash vec\; a\_0\; \backslash ,t^2\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{6\}\; \backslash vec\; \backslash jmath\_0\; \backslash ,t^3\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{24\}\; \backslash vec\; s\_0\; \backslash ,t^4\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{120\}\; \backslash vec\; c\; \backslash ,t^5$

이때, 각 기호의 의미는 다음과 같다.

이 단위의 변화율의 차원은 L/T⁻⁵로 나타낼 수 있다. 이것은 1m/s⁵(미터 매 초 매 초 매 초 매 초 매 초) 또는 100 G/s³(100갈 매 초 매 초 매 초)로 표기된다.

6.2. Pop (팝)

Pop은 위치 벡터를 시간으로 6번 미분한 값이다. 가가가속도/시간²이 상수 p와 시간을 상수 t로 놓았을 때, 아래의 등식이 성립한다。

:$\backslash vec\; p\; =\backslash frac\; \{d\; \backslash vec\; c\}\; \{dt\}=\backslash frac\; \{d^2\; \backslash vec\; s\}\; \{dt^2\}=\backslash frac\; \{d^3\; \backslash vec\; \backslash jmath\}\; \{dt^3\}=\backslash frac\; \{d^4\; \backslash vec\; a\}\; \{dt^4\}=\backslash frac\; \{d^5\; \backslash vec\; v\}\; \{dt^5\}=\backslash frac\; \{d^6\; \backslash vec\; r\}\; \{dt^6\}$
:$\backslash vec\; p\; =\; \backslash vec\; c\_0\; +\; \backslash vec\; p\; \backslash ,t$
:$\backslash vec\; s\; =\; \backslash vec\; s\_0\; +\; \backslash vec\; c\_0\; \backslash ,t\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; \backslash vec\; p\; \backslash ,t^2$
:$\backslash vec\; \backslash jmath\; =\; \backslash vec\; \backslash jmath\_0\; +\; \backslash vec\; s\_0\; \backslash ,t\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; \backslash vec\; c\_0\; \backslash ,t^2\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{6\}\; \backslash vec\; p\; \backslash ,t^3$
:$\backslash vec\; a\; =\; \backslash vec\; a\_0\; +\; \backslash vec\; \backslash jmath\_0\; \backslash ,t\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; \backslash vec\; s\_0\; \backslash ,t^2\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{6\}\; \backslash vec\; c\_0\; \backslash ,t^3\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{24\}\; \backslash vec\; p\; \backslash ,t^4$
:$\backslash vec\; v\; =\; \backslash vec\; v\_0\; +\; \backslash vec\; a\_0\; \backslash ,t\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; \backslash vec\; \backslash jmath\_0\; \backslash ,t^2\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{6\}\; \backslash vec\; s\_0\; \backslash ,t^3\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{24\}\; \backslash vec\; c\_0\; \backslash ,t^4\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{120\}\; \backslash vec\; p\; \backslash ,t^5$
:$\backslash vec\; r\; =\; \backslash vec\; r\_0\; +\; \backslash vec\; v\_0\; \backslash ,t\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; \backslash vec\; a\_0\; \backslash ,t^2\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{6\}\; \backslash vec\; \backslash jmath\_0\; \backslash ,t^3\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{24\}\; \backslash vec\; s\_0\; \backslash ,t^4\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{120\}\; \backslash vec\; c\_0\; \backslash ,t^5\; +\; \backslash tfrac\{1\}\{720\}\; \backslash vec\; p\; \backslash ,t^6$

Pop의 차원은 LT⁻⁶이다. 단위는 m/s⁶, 혹은 100G/s⁴이다.

6.3. Lock (락), Drop (드롭), Shot (샷), Put (풋)

영어권에서는 그 이상의 단위가 존재하며, Lock(시간당 pop의 변화도), Drop(시간당 lock의 변화도), Shot(단위 시간당 Drop의 변화도), Put(단위 시간당 Shot의 변화도)이라고 불린다。

7. 3차원 이상의 공간에서의 일반화

위치 벡터의 단위 시간당 도함수의 차원은 일반적인 수(음이 아닌 정수)에 대해 정의되며, 국제단위계에서의 단위 차원은 L/T¹¹, L/T¹²로 증가하지만, 2021년 9월 현재, 응용역학에서의 공식적인 3차원 이상의 일반화는 이루어지지 않았다.