가가가속도

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1. 개요
2. 정의
3. 시간 미분과 운동학
4. 가가가속도 (Snap)
5. 응용 분야
6. 고차 미분 (Crackle, Pop, Lock, Drop, Shot, Put)
7. 3차원 이상의 공간에서의 일반화
참조

1. 개요

가가가속도는 가속도의 시간 미분으로 정의되며, 위치 벡터를 시간에 대해 4번 미분한 값이다. 속도, 가속도, 가가속도와 함께 운동학 연구에 사용되며, 우주공학, 교통공학, 지진, 심리학, 음향학 등 다양한 분야에서 활용된다. 가가가속도는 Snap이라고도 불리며, Crackle, Pop과 같은 고차 미분 단위도 존재한다.

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가속도 - 중력 가속도
중력 가속도는 물체가 중력에 의해 가속되는 정도를 나타내는 값으로, 자유 낙하하는 물체의 가속도와 같으며, 지구의 경우 자전에 의한 원심력으로 인해 적도에서 가장 작고 극에서 가장 크게 나타난다.
가속도 - 중력
중력은 질량을 가진 두 물체 사이에 작용하는 인력으로, 그 크기는 두 물체의 질량의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례하며, 지구에서는 물체를 아래로 떨어뜨리는 힘으로 작용하고, 일반 상대성 이론에서는 시공간의 곡률로 설명되며, 현대 물리학에서는 양자 중력 이론과 중력파 관측을 통해 연구되고 있다.
물리량 - 전위
전위는 전기장 내 단위 전하의 위치 에너지로, 정전기학에서는 기준점에 따라 정의되며 전위차만이 의미를 갖고, 전기장의 음의 기울기로 표현되고, 전기 공학에서는 회로 해석에 활용된다.
물리량 - 전기장
전기장은 공간의 각 지점에서 단위 전하가 받는 힘으로 정의되는 벡터장으로, 전하 또는 시간에 따라 변하는 자기장에 의해 발생하며, 전기력선으로 표현되고 맥스웰 방정식으로 기술되는 전자기장의 한 요소이다.

2. 정의

수학적으로 가가가속도는 가가속도를 시간으로 미분한 것으로 정의된다.

: $\vec s =\frac {d \vec j} {dt}=\frac {d^2 \vec a} {dt^2}=\frac {d^3 \vec v} {dt^3}=\frac {d^4 \vec r} {dt^4}$

여기서

기호	설명
$\mathbf{j}$	가가속도
$\mathbf{a}$	가속도
$\mathbf{v}$	속도
$\mathbf{r}$	변위
$t$	시간

이다.

3. 시간 미분과 운동학

일본어 번역은 도약도, 가가속도부터 앞이 특히 정해져 있지 않지만, 영어로의 호칭은 정해져 있다. 일본어에서는 위에서부터 순서대로 「위치」, 「속도」, 「가속도」, 「도약도(가가속도)」, 「가가가속도」와 「가」가 늘어간다.

시간 ''t''의 함수인 위치 벡터 '''r'''에 대해, 시간 미분은 ''t''에 관해 영원히 계산할 수 있다. 이러한 파생은 운동학, 제어 이론, 공학 및 다른 과학의 연구에서 응용 역학의 단위로 유용하게 사용된다.^[3] 위치 벡터의 1차 미분은 속도, 2차 미분은 가속도, 3차 미분은 가가속도이다.

3. 1. 속도

velocity^영어는 시간에 대한 위치의 변화율로 정의된다.^[1]

3. 2. 가속도

'''acceleration|가속도^영어'''는 시간에 따라 속도가 변하는 정도를 나타내는 벡터 물리량이다. 가속도의 SI 단위는 m/s²이다.

:

\mathbf{a}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^2}

3. 3. 가가속도 (Jerk)

수학적으로 가가가속도는 가가속도를 시간으로 미분한 것으로 정의된다.

:

\vec s =\frac {d \vec j} {dt}=\frac {d^2 \vec a} {dt^2}=\frac {d^3 \vec v} {dt^3}=\frac {d^4 \vec r} {dt^4}

여기서 각 기호는 다음을 나타낸다.

기호	설명
$\mathbf{j}$	가가속도
$\mathbf{a}$	가속도
$\mathbf{v}$	속도
$\mathbf{r}$	변위
$t$	시간

: $\mathbf{j}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2\mathbf{v}}{\mathrm{d}t^2}=\frac{\mathrm{d}^3\mathbf{r}}{\mathrm{d}t^3}$

위치 벡터의 1차 미분, 2차 미분, 3차 미분에 대한 이러한 이름(속도, 가속도, 가가속도)은 일반적으로 널리 사용된다.^[3]

이러한 고차원 단위는 유사한 방식으로 계산 가능하며, 연구에서 벡터량의 시간 변위의 근사를 개선할 수 있다.

4. 가가가속도 (Snap)

가가가속도는 영어로 "Snap"이라고 불린다. 특히 가가가속도가 상수 s인 경우에는 다음 식이 성립한다^[3]^[1]

: $\vec s = \frac{d \,\vec \jmath}{dt} = \frac{d^2 \vec a}{dt^2} = \frac{d^3 \vec v}{dt^3} = \frac{d^4 \vec r}{dt^4}$

: $\vec \jmath = \vec \jmath_0 + \vec s t,$

: $\vec a = \vec a_0 + \vec \jmath_0 t + \frac{1}{2} \vec s t^2,$

: $\vec v = \vec v_0 + \vec a_0 t + \frac{1}{2} \vec \jmath_0 t^2 + \frac{1}{6} \vec s t^3,$

: $\vec r = \vec r_0 + \vec v_0 t + \frac{1}{2} \vec a_0 t^2 + \frac{1}{6} \vec \jmath_0 t^3 + \frac{1}{24} \vec s t^4,$

여기서 각 기호는 다음을 나타낸다.

기호	설명
$\vec s$	가가가속도
$\vec \jmath_0$	초기 가가속도(초약도)
$\vec \jmath$	가속도 변화율(약도)
$\vec a_0$	초기 가속도
$\vec a$	가속도
$\vec v_0$	초기 속도
$\vec v$	속도
$\vec r_0$	초기 위치
$\vec r$	위치
$t$	시간

가가속도의 표기 $\vec s$ 는 비저 등이 논문에서 사용한 표기인데^[1], 일반적으로 같은 표기가 사용되는 변위 벡터와 같으므로 혼동하지 않도록 주의해야 한다.

가가속도의 차원은 L/T⁴이다. 국제단위계에서는 m/s⁴, 또는 m・s^-4가 사용되며, CGS 단위계에서는 100Gal/s² 혹은 100G・s⁻²에 해당한다.

5. 응용 분야

가가가속도는 정밀한 우주공학, 교통공학 분야에서 검증^[6]^[7]에 사용되며, 지진, 심리학, 음향학 등 인간에게 미치는 영향을 연구하는 분야에서도 사용된다.^[8]

공학계나 역학계에 확립되어 있다. 국제 단위계의 단위이지만, 가가가속도라는 표현보다는 영문 명칭인 "Snap"으로 표기되는 경우가 많다.^[9]
멀미 방지나, 이용객의 구토 중추에 과도한 자극을 주지 않는 롤러코스터 등의 개발 및 연구 단계에서 약도와 함께 G의 변화율을 그래프로 나타낼 때 사용된다.^[7]
자동차나 악기 제조 회사 등에서도 활용 사례가 있다.^[2]
가가가속도(약도의 변화율, Snap) 이상까지 측정이 가능한 운전자용 앱 『G-Bowl』이 App Store에서 판매 중이다.^[10]

6. 고차 미분 (Crackle, Pop, Lock, Drop, Shot, Put)

위치 벡터의 5계 미분 이상은 문헌에서도 거의 드물게 나타난다^[3]^[1]^[11]。 가가가속도, 가가속도, 가속도, 속도, 위치까지는 특허 문헌에서 사용된 예가 보인다^[2]。

시간 함수로서의 가가가속도와 위치의 4, 5, 6계 미분은 "'''때때로 매우 약간의 익살스러움을 포함하여'''"^[11] Snap(가가가속도), Crackle(크래클), Pop(팝)이라고 불린다^[1]^[12]。 이러한 명칭은 켈로그의 콘 시리얼 광고 캐릭터에서 영감을 받은 것이다^[1]^[11]。

위치 벡터량의 시간 변위 일람
단위	정식 단위	「가」의 수	영문명
$\mathcal{m}$	위치	0	Position
$\displaystyle {m/s}$	속도	0	Velocity
$\displaystyle {m/s^2}$	가속도	1	Acceleration
$\displaystyle {m/s^3}$	가가가속도(약도)	2	Jerk
${\displaystyle \displaystyle m/s^4}$	가가가속도	3	Snap
$\displaystyle {m/s^5}$	-	-	Crackle
$\displaystyle {m/s^6}$	-	-	Pop
$\displaystyle {m/s^7}$	-	-	Lock
$\displaystyle {m/s^8}$	-	-	Drop
$\displaystyle {m/s^9}$	-	-	Shot
$\displaystyle m/s^{10}$	-	-	Put
$\displaystyle m/s^{11}$	-	-	-

영어권에서는 Pop 이상의 단위도 존재하며, '''Lock'''(락), '''Drop'''(드롭), '''Shot'''(샷), '''Put'''(풋)이라고 불린다^[12]^[11]。

6. 1. Crackle (크래클)

Crackle(단위)은 위치 벡터를 시간으로 5번 미분한, 가가가속도의 시간당 변화율이다. 상수 c, 시간을 상수 t로 놓으면 다음 식이 성립한다^[3]^[1]。

:

\vec c =\frac {d \vec s} {dt}=\frac {d^2 \vec \jmath} {dt^2}=\frac {d^3 \vec a} {dt^3}=\frac {d^4 \vec v} {dt^4}=\frac {d^5 \vec r} {dt^5}

:

\vec s = \vec s_0 + \vec c \,t

:

\vec \jmath = \vec \jmath_0 + \vec s_0 \,t + \tfrac{1}{2} \vec c \,t^2

:

\vec a = \vec a_0 + \vec \jmath_0 \,t + \tfrac{1}{2} \vec s_0 \,t^2 + \tfrac{1}{6} \vec c \,t^3

:

\vec v = \vec v_0 + \vec a_0 \,t + \tfrac{1}{2} \vec \jmath_0 \,t^2 + \tfrac{1}{6} \vec s_0 \,t^3 + \tfrac{1}{24} \vec c \,t^4

:

\vec r = \vec r_0 + \vec v_0 \,t + \tfrac{1}{2} \vec a_0 \,t^2 + \tfrac{1}{6} \vec \jmath_0 \,t^3 + \tfrac{1}{24} \vec s_0 \,t^4 + \tfrac{1}{120} \vec c \,t^5

이때, 각 기호의 의미는 다음과 같다.

기호	설명
$\vec c$	Crackle
$\vec s_0$	초기 가가가속도
$\vec s$	가가가속도
$\vec \jmath_0$	초기 가속도(초기 력도)
$\vec \jmath$	가속도(력도)
$\vec a_0$	초기 가속도
$\vec a$	가속도
$\vec v_0$	초기 속도
$\vec v$	속도
$\vec r_0$	초기 위치
$\vec r$	위치
$t$	시간

이 단위의 변화율의 차원은 L/T⁻⁵로 나타낼 수 있다. 이것은 1m/s⁵(미터 매 초 매 초 매 초 매 초 매 초) 또는 100 G/s³(100갈 매 초 매 초 매 초)로 표기된다.

6. 2. Pop (팝)

Pop은 위치 벡터를 시간으로 6번 미분한 값이다. 가가가속도/시간²이 상수 p와 시간을 상수 t로 놓았을 때, 아래의 등식이 성립한다^[3]^[1]。

:

\vec p =\frac {d \vec c} {dt}=\frac {d^2 \vec s} {dt^2}=\frac {d^3 \vec \jmath} {dt^3}=\frac {d^4 \vec a} {dt^4}=\frac {d^5 \vec v} {dt^5}=\frac {d^6 \vec r} {dt^6}

:

\vec p = \vec c_0 + \vec p \,t

:

\vec s = \vec s_0 + \vec c_0 \,t + \tfrac{1}{2} \vec p \,t^2

:

\vec \jmath = \vec \jmath_0 + \vec s_0 \,t + \tfrac{1}{2} \vec c_0 \,t^2 + \tfrac{1}{6} \vec p \,t^3

:

\vec a = \vec a_0 + \vec \jmath_0 \,t + \tfrac{1}{2} \vec s_0 \,t^2 + \tfrac{1}{6} \vec c_0 \,t^3 + \tfrac{1}{24} \vec p \,t^4

:

\vec v = \vec v_0 + \vec a_0 \,t + \tfrac{1}{2} \vec \jmath_0 \,t^2 + \tfrac{1}{6} \vec s_0 \,t^3 + \tfrac{1}{24} \vec c_0 \,t^4 + \tfrac{1}{120} \vec p \,t^5

:

\vec r = \vec r_0 + \vec v_0 \,t + \tfrac{1}{2} \vec a_0 \,t^2 + \tfrac{1}{6} \vec \jmath_0 \,t^3 + \tfrac{1}{24} \vec s_0 \,t^4 + \tfrac{1}{120} \vec c_0 \,t^5 + \tfrac{1}{720} \vec p \,t^6

변수	설명
$\vec p$	Pop
$\vec c_0$	크래클의 초기값
$\vec c$	크래클
$\vec s_0$	초기 가가가속도
$\vec s$	가가가속도
$\vec \jmath_0$	초기 가속도 (초기 약도)
$\vec \jmath$	가속도 (약도)
$\vec a_0$	초기 가속도
$\vec a$	가속도
$\vec v_0$	초기 속도
$\vec v$	속도
$\vec r_0$	초기 위치
$\vec r$	위치
$t$	시간

Pop의 차원은 LT⁻⁶이다. 단위는 m/s⁶, 혹은 100G/s⁴이다.

6. 3. Lock (락), Drop (드롭), Shot (샷), Put (풋)

영어권에서는 그 이상의 단위가 존재하며, '''Lock'''(시간당 pop의 변화도), '''Drop'''(시간당 lock의 변화도), '''Shot'''(단위 시간당 Drop의 변화도), '''Put'''(단위 시간당 Shot의 변화도)이라고 불린다^[12]^[11]。

7. 3차원 이상의 공간에서의 일반화

위치 벡터의 단위 시간당 도함수의 차원은 일반적인 수(음이 아닌 정수)에 대해 정의되며, 국제단위계에서의 단위 차원은 L/T¹¹, L/T¹²로 증가하지만, 2021년 9월 현재, 응용역학에서의 공식적인 3차원 이상의 일반화는 이루어지지 않았다.^[12]

참조

_[1] 논문 Jerk, Snap, and the Cosmological Equation of State 2004-07-24
_[2] 웹사이트 技術特許第5935252号電子鍵盤楽器 https://www.j-platpa[...] 2022-03-10
_[3] 서적 Calculus Brooks/Cole
_[4] 웹사이트 CiNii Articles 検索 - 「加加加速度」、全文検索 https://ci.nii.ac.jp[...] 2021-09-20
_[5] 웹사이트 詳細検索結果- 「加加加速度」全文中検索 https://www.jstage.j[...] J-STAGE 2021-09-20
_[6] 논문 ロボットマニピュレータの高精度PTP制御のための軌道計画 https://doi.org/10.1[...] 日本機械学会
_[7] 논문 11602 自動車交通事故死者・重傷者の半減に貢献する緩衝装置とRFID技術適用の提案(各種システムの安全性(1),OS.10 各種システムの安全性) https://doi.org/10.1[...] 日本機械学会
_[8] 논문 継続時間の違いによるケーソン式岸壁の振動台実験 https://doi.org/10.1[...] 土木学会
_[9] 논문 ジャーク (加加速度，躍度) の測定法 https://doi.org/10.2[...] 精密工学会
_[10] 웹사이트 G-Bowl https://apps.apple.c[...] App Store 2021-09-17
_[11] 웹사이트 What is the term used for the third derivative of position? https://math.ucr.edu[...] Math Dept., [[カリフォルニア大学リバーサイド校|University of California, Riverside]] 1998-11
_[12] 웹사이트 LOG#053. Derivatives of position. http://www.thespectr[...] amarashiki 2021-09-15

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가가가속도
일반 정보
이름	가가 가속도
영어 이름	Snap
기호	s
차원	L T^-4
단위
SI 단위	미터 매 초⁴ (m/s⁴)
CGS 단위	센티미터 매 초의 네제곱 (cm/s⁴)
특성
종류	벡터의 변화량의 변화량의 변화량
관련 항목
관련 항목	가속도의 변화율

명칭	정의	차원	단위
Lock (락)	위치 벡터를 시간으로 7단계 미분한 단위	LT⁻⁷	1m/s⁷, 혹은 100G/s⁵
Drop (드롭)	위치 벡터를 시간으로 8단계 미분한 단위	LT⁻⁸	1m/s⁸, 혹은 100G/s⁶
Shot (샷)	위치 벡터를 시간으로 9단계 미분한 단위	LT⁻⁹	1m/s⁹, 혹은 100G/s⁷
Put (풋)	위치 벡터를 시간으로 10단계 미분한 단위	LT⁻¹⁰	1m/s¹⁰, 혹은 100G/s⁸