가우스-쿠즈민-비어징 상수

1. 개요

가우스-쿠즈민-비어징 상수는 가우스 사상의 전달 연산자의 고유값 중 두 번째로 큰 값의 절댓값으로, 약 0.3036630029...이다. 이 상수는 연분수와 관련이 있으며, 연분수 전개에서 정수가 나타날 확률을 나타내는 가우스-쿠즈민 분포와 연관된다. 가우스-쿠즈민-비어징 연산자는 리만 제타 함수와도 관련이 있으며, 해당 연산자의 고유값에 대한 다양한 추측과 연구가 진행되어 왔다. 또한, 가우스 맵은 에르고딕성을 가지며, 엔트로피는 $\backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\backslash ln\; 2\}$이다.

2. 가우스 사상과 연분수

가우스 사상 h(x)는 다음과 같이 정의된다.

:$h(x)=1/x-\backslash lfloor\; 1/x\; \backslash rfloor\; \backslash ,$

여기서 $\backslash lfloor\; 1/x\; \backslash rfloor$는 바닥 함수를 나타낸다. 가우스 함수는 양의 정수 n에 대해 x = 1/n에서 무한히 많은 점프 불연속을 갖는다.

가우스 사상은 연분수에 대한 절단 시프트 작용소로 작용한다. 즉, 0과 1 사이의 어떤 수 x를 연분수로 표현하면

: $x=[0;a\_1,a\_2,a\_3,\backslash dots]\backslash ,$

가 되고, 이 때 가우스 사상을 적용하면

: $h(x)=[0;a\_2,a\_3,\backslash dots]\; \backslash ,$

가 된다.

가우스-쿠즈민-비어징 작용소는 가우스 사상의 전송 작용소이다. 이 작용소는 함수 f에 대해 다음과 같이 작용한다.

:$[Gf](x)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\; \{1\}\{(x+n)^2\}\; f\; \backslash left(\backslash frac\; \{1\}\{x+n\}\backslash right)$

이 작용소의 영차 고유 함수는

:$\backslash frac\; 1\{\backslash ln\; 2\}\backslash \; \backslash frac\; 1\{1+x\}$

이며, 이는 고유값 1에 대응한다. 이 고유 함수는 주어진 정수가 어떤 연분수 전개에 나타날 확률을 나타내며, 가우스-쿠즈민 분포로 알려져 있다. 그 외의 고유값은 수치적으로 계산할 수 있는데, 다음 고유값은 λ₁ = −0.3036630029... 이며, 그 절대값은 가우스-쿠즈민-비어징 상수(Gauss–Kuzmin–Wirsing constant)로 알려져 있다. 그 외의 고유 함수의 해석적인 형태나 고유값이 무리수인지 여부는 알려져 있지 않다.

2.1. 가우스 사상

가우스 함수(사상) h는 다음과 같다.

:h(x)=1/x-⌊1/x⌋

여기서 ⌊1/x⌋는 바닥 함수를 나타낸다.

이 함수는 양의 정수 n에 대해 x = 1/n에서 무한히 많은 점프 불연속을 갖는다. 하나의 매끄러운 다항식으로 근사하기 어렵다.

3. 가우스-쿠즈민-비어징 연산자

가우스-쿠즈민-비어징(GKW) 연산자는 가우스 사상의 전송 작용소이다. 이 작용소는 함수 f에 대해 다음과 같이 작용한다.

:$[Gf](x)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\; \{1\}\{(x+n)^2\}\; f\; \backslash left(\backslash frac\; \{1\}\{x+n\}\backslash right)$

이 연산자는 가우스 맵 하에서 불변인 측도의 밀도인 고정점 $\backslash rho(x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash ln\; 2\; (1+x)\}$를 가지며, 스케일링을 제외하고는 유일하다. 영차 고유 함수는 $\backslash frac\; 1\{\backslash ln\; 2\}\backslash \; \backslash frac\; 1\{1+x\}$이며, 이는 고유값 1에 대응한다. 이 고유 함수는 가우스-쿠즈민 분포로 알려져 있다. 그 외의 고유값은 수치적으로 계산할 수 있다. 다음 고유값 λ₁ = −0.3036630029... 의 절댓값은 가우스-쿠즈민-비어징 상수이다.

가우스 사상이 연분수에 대한 절단 시프트 작용소로 작용하기 때문에 이러한 현상이 나타난다. 즉, 어떤 수 0 < x < 1 의 연분수 표현이 $x=[0;a\_1,a\_2,a\_3,\backslash dots]\backslash ,$ 일 때, 가우스 사상은 $h(x)=[0;a\_2,a\_3,\backslash dots]\; \backslash ,$가 된다.

그 외의 고유 함수의 해석적인 형태나 고유값이 무리수인지 여부는 알려져 있지 않다.

3.1. 연산자의 정의

가우스-쿠즈민-비어징 연산자 $G$는 함수 $f$에 다음과 같이 작용한다.

:$[Gf](x)\; =\; \backslash int\_0^1\; \backslash delta(x-h(y))\; f(y)\; \backslash ,\; dy\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\; \{1\}\{(x+n)^2\}\; f\; \backslash left(\backslash frac\; \{1\}\{x+n\}\backslash right).$

3.2. 고유 함수와 고유값

GKW 연산자의 첫 번째 고유 함수는 $\backslash frac\; 1\{\backslash ln\; 2\}\backslash \; \backslash frac\; 1\{1+x\}$이며, 이는 고유값 λ₁ = 1에 해당한다. 이 고유 함수는 가우스-쿠즈민 분포로 알려져 있으며, 연분수 전개에서 주어진 정수가 발생할 확률을 나타낸다.

추가 고유값은 수치적으로 계산할 수 있다. 두 번째 고유값은 λ₂ = −0.3036630029... (A038517)이며, 그 절댓값은 가우스-쿠즈민-비어징 상수이다. 추가 고유 함수에 대한 해석적 형태나 고유값이 무리수인지 여부는 알려져 있지 않다.

가우스-쿠즈민-비어징 연산자의 고유값을 절댓값에 따라 정렬하면 다음과 같다.

:$1=|\backslash lambda\_1|>\; |\backslash lambda\_2|\backslash geq|\backslash lambda\_3|\backslash geq\backslash cdots.$

1995년 필립 플라졸레와 브리짓 발레는 다음 극한을 추측했다.

:$$
\lim_{n\to\infty} \frac{\lambda_n}{\lambda_{n+1}} = -\varphi^2, \text{ where } \varphi=\frac{1+\sqrt 5} 2.


2018년, 기드리어스 알카우스카스는 이 추측을 개선하여 다음과 같은 명제를 제시했다.

:$$
(-1)^{n+1}\lambda_n=\varphi^{-2n} + C\cdot\frac{\varphi^{-2n}}{\sqrt{n}}+d(n)\cdot\frac{\varphi^{-2n}}{n}


여기서 $C=\backslash frac\{\backslash sqrt[4]\{5\}\backslash cdot\backslash zeta(3/2)\}\{2\backslash sqrt\{\backslash pi\}\}=1.1019785625880999\_\{+\}$이고, $d(n)$은 경계가 있는 함수이며, $\backslash zeta(\backslash star)$는 리만 제타 함수이다.

3.2.1. 가우스-쿠즈민 분포

이 연산자의 첫 번째 고유 함수는 다음과 같다.

:$\backslash frac\; 1\{\backslash ln\; 2\}\backslash \; \backslash frac\; 1\{1+x\}$

이는 λ₁ = 1의 고유값에 해당한다. 이 고유 함수는 연분수 전개에서 주어진 정수가 발생할 확률을 제공하며, 가우스-쿠즈민 분포로 알려져 있다. 이는 가우스 사상이 연분수에 대한 잘림 시프트 연산자로 작용하기 때문이다. 만약

:$x=[0;a\_1,a\_2,a\_3,\backslash dots]$

가 0 < x < 1인 숫자의 연분수 표현이라면, 다음과 같다.

:$h(x)=[0;a\_2,a\_3,\backslash dots].$

$h$가 베르누이 시프트와 켤레이기 때문에, 고유값 $\backslash lambda\_1=1$은 단순하며, 연산자는 가우스-쿠즈민 측도를 불변으로 유지하므로, 해당 연산자는 측도에 대해 에르고딕하다. 이 사실은 힌친 상수의 존재에 대한 간결한 증명을 가능하게 한다.

3.3. 가우스-쿠즈민-비어징 상수 관련 추측

1995년 필립 플라졸레와 브리짓 발레는 다음과 같이 추측했다.

:$$
\lim_{n\to\infty} \frac{\lambda_n}{\lambda_{n+1}} = -\varphi^2, \text{ where } \varphi=\frac{1+\sqrt 5} 2.


2018년, 기드리어스 알카우스카스는 이 추측을 개선하여 다음과 같은 더 강력한 명제를 제시했다.

:$$
\begin{align}
& (-1)^{n+1}\lambda_n=\varphi^{-2n} + C\cdot\frac{\varphi^{-2n}}{\sqrt{n}}+d(n)\cdot\frac{\varphi^{-2n}}{n}, \\[4pt]
& \text{where } C=\frac{\sqrt[4]{5}\cdot\zeta(3/2)}{2\sqrt{\pi}}=1.1019785625880999_{+};
\end{align}


여기서 함수 $d(n)$은 경계가 있으며, $\backslash zeta(\backslash star)$는 리만 제타 함수이다.

3.4. 연속 스펙트럼

고유값은 연산자가 실수선 위의 단위 구간에서 함수에 작용하도록 제한될 때 이산 스펙트럼을 형성한다. 더 넓게 보면, 가우스 맵은 베어 공간 $\backslash mathbb\{N\}^\backslash omega$의 이동 연산자이므로, GKW 연산자는 함수 공간 $\backslash mathbb\{N\}^\backslash omega\backslash to\backslash mathbb\{C\}$에 대한 연산자(기저 함수를 원기둥의 곱 위상에 대한 지시 함수로 간주하는 바나흐 공간)로 볼 수도 있다. 후자의 경우, 복소 평면의 단위 원판 에 고유값을 갖는 연속 스펙트럼을 갖는다. 즉, 원기둥 $C\_n[b]=\; \backslash \{(a\_1,a\_2,\backslash cdots)\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}^\backslash omega\; :\; a\_n\; =\; b\; \backslash \}$가 주어지면, 연산자 G는 이를 왼쪽으로 이동시킨다: $GC\_n[b]\; =\; C\_\{n-1\}[b]$. $r\_\{n,b\}(x)$를 원기둥에서 1( $x\backslash in\; C\_n[b]$일 때)이고 그렇지 않으면 0인 지시 함수라고 하면, $Gr\_\{n,b\}=r\_\{n-1,b\}$가 성립한다.

이때, 다음 급수는

:$f(x)=\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash lambda^\{n-1\}\; r\_\{n,b\}(x)$

고유값 $\backslash lambda$를 갖는 고유 함수이다. 즉, 합계가 수렴할 때, 즉 일 때 $[Gf](x)=\backslash lambda\; f(x)$가 성립한다.

하르 측도를 이동 연산자에 적용하려는 경우, 즉, 이동에 불변인 함수를 고려할 때 특수한 경우가 발생한다. 이는 민코프스키 측도 $?^\backslash prime$로 주어진다. 즉, $G?^\backslash prime\; =\; ?^\backslash prime$이 성립한다.

4. 리만 제타 함수와의 관계

가우스-쿠즈민-비어징 연산자(GKW 연산자)는 리만 제타 함수와 밀접하게 관련되어 있다. 리만 제타 함수는 다음과 같이 표현될 수 있다.

:$\backslash zeta(s)=\backslash frac\{1\}\{s-1\}-s\backslash int\_0^1\; h(x)\; x^\{s-1\}\; \backslash ;\; dx$

위 식은 변수 변환을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash zeta(s)=\backslash frac\{s\}\{s-1\}-s\backslash int\_0^1\; x\; \backslash left[Gx^\{s-1\}\; \backslash right]\backslash ,\; dx$

4.1. 리만 제타 함수의 표현

GKW 연산자를 이용하여 리만 제타 함수를 표현할 수 있다. 리만 제타 함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$\backslash zeta(s)=\backslash frac\{s\}\{s-1\}-s\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; (-1)^n\; \{s-1\; \backslash choose\; n\}\; t\_n$

여기서 $t\_n$는 다음과 같이 주어진다.

:$t\_n=\backslash sum\_\{m=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{G\_\{mn\}\}\; \{(m+1)(m+2)\}.$

이를 계산하면 다음과 같다.

:$t\_n=1-\backslash gamma\; +\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; (-1)^k\; \{n\; \backslash choose\; k\}\; \backslash left[\; \backslash frac\{1\}\{k\}\; -\; \backslash frac\; \{\backslash zeta(k+1)\}\; \{k+1\}\; \backslash right]$

여기서 $\backslash gamma$는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 $t\_n$은 스틸체스 상수와 유사하지만, 하강 계승 확장을 위한 것이다.

:$a\_n=t\_n\; -\; \backslash frac\{1\}\{2(n+1)\}$

라고 하면, a₀ = −0.0772156..., a₁ = −0.00474863... 등을 얻는다. 이 값들은 빠르게 작아지지만 진동한다. 스털링 수 계수를 사용하여 하강 계승을 다항식으로 다시 표현하고 스틸체스 상수와 관련시킬 수 있다.

일반적으로, 리만 제타 함수는 셰퍼 수열 다항식으로 확장하여 표현할 수 있다.

이러한 리만 제타 함수의 전개는 다음 참고 문헌에서 연구되었다. 계수는 다음과 같이 감소한다.

:$\backslash left(\backslash frac\{2n\}\{\backslash pi\}\backslash right)^\{1/4\}e^\{-\backslash sqrt\{4\backslash pi\; n\}\}$
\cos\left(\sqrt{4\pi n}-\frac{5\pi}{8}\right) +
\mathcal{O} \left(\frac{e^{-\sqrt{4\pi n}}}{n^{1/4}}\right).

4.2. 행렬 요소

GKW 연산자의 행렬 요소는 다음과 같이 주어진다.

:$G\_\{mn\}=\backslash sum\_\{k=0\}^n\; (-1)^k\; \{n\; \backslash choose\; k\}\; \{k+m+1\; \backslash choose\; m\}\; \backslash left[\; \backslash zeta\; (k+m+2)-\; 1\backslash right].$

여기서 각 요소는 유한한 rational zeta series^영어이다. 이 연산자는 매우 잘 형성되어 있어서 수치적으로 다루기 매우 쉽다. 가우스-쿠즈민 상수는 상단 왼쪽 n x n 부분의 수치적 대각화를 통해 쉽게 고정밀도로 계산할 수 있다. 이 연산자를 대각화하는 닫힌 형식의 표현식은 알려져 있지 않다. 즉, 고유 벡터에 대해 알려진 닫힌 형식의 표현식은 없다.

4.3. 스틸체스 상수와의 유사성

$t\_n$은 GKW 연산자의 행렬 요소를 이용하여 정의되는데, 이는 스틸체스 상수와 유사한 형태를 가진다. $t\_n$은 다음과 같이 표현된다.

:$t\_n=1-\backslash gamma\; +\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; (-1)^k\; \{n\; \backslash choose\; k\}\; \backslash left[\; \backslash frac\{1\}\{k\}\; -\; \backslash frac\; \{\backslash zeta(k+1)\}\; \{k+1\}\; \backslash right]$

여기서 $\backslash gamma$는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 $t\_n$은 하강 계승 확장을 위한 스틸체스 상수의 유사 항목이다.

:$a\_n=t\_n\; -\; \backslash frac\{1\}\{2(n+1)\}$

와 같이 정의하면, a₀ = -0.0772156..., a₁ = -0.00474863... 등의 값을 얻을 수 있다. 이 값들은 빠르게 작아지지만 진동하는 형태를 보인다. 이러한 값들에 대한 명시적 합을 계산할 수 있으며, 스털링 수 계수를 사용하여 하강 계승을 다항식으로 다시 표현한 다음 스틸체스 상수와 명시적으로 관련시킬 수 있다.

5. 에르고딕성

가우스 맵은 에르고딕성뿐만 아니라 지수적으로 혼합적이라는 성질을 갖는다. 하지만 그 증명은 초등적이지 않다.

임의의 열린 구간 $(a,\; b)\; \backslash subset\; (0,\; 1)$에 대해, 다음 식이 성립한다.

:$$\backslash mu(T^\{-n\}(a,b)\; \backslash cap\; \backslash Delta\_n)\; =\; \backslash mu((a,b))\; \backslash mu(\backslash Delta\_n)\; \backslash underbrace\{\backslash left(\backslash frac\{q\_n(q\_n\; +\; q\_\{n-1\})\}\{(q\_n\; +\; q\_\{n-1\}b)(q\_n\; +\; q\_\{n-1\}a)\; \}\; \backslash right)\}\_\{\backslash geq\; 1/2\}$$

이는 표준 연분수 이론을 통해 증명할 수 있다.

가우스 맵의 에르고딕성은 다음 증명을 통해 확인할 수 있다. $([0;a\_1,\; \backslash dots,\; a\_n],\; [0;a\_1,\; \backslash dots,\; a\_n+1])$ 형태의 모든 열린 구간을 모은 집합 $\backslash mathcal\; C$는 덮개족(covering family)을 이룬다. $T$에 불변이고 양의 측도를 갖는 집합 $B$를 가정하면, 르베그 측도의 외부 정규성에 의해 $B$와 매우 가까운 열린 집합 $B\_0$가 존재한다. $B$의 불변성과 위의 보조 정리를 이용하고 극한을 취하면, Knopp의 보조정리에 의해 $B$는 전체 측도를 갖게 된다. 따라서 가우스 맵은 에르고딕하다.

5.1. 엔트로피

가우스 맵은 가우스 측도에 대해 엔트로피 $\backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\backslash ln\; 2\}$를 갖는다. 이는 엔트로피에 대한 로흐린 공식을 사용하여 증명할 수 있다. 그런 다음 섀넌-맥밀런-브레이먼 정리와 그 등분할 속성을 사용하여 로흐스 정리를 얻는다.

5.2. 측도론적 예비 사항

덮개족 $\backslash mathcal\; C$는 가측 집합의 집합으로, 모든 열린 집합이 그 안의 집합들의 서로소 합집합이 되도록 한다. 이는 서로소 합집합을 허용하지 않는, 덜 제한적인 위상에서의 기저와 비교해볼 수 있다.

Knopp의 보조정리. $B\; \backslash subset\; [0,\; 1)$가 가측이고, $\backslash mathcal\; C$가 덮개족이며, $\backslash exists\; \backslash gamma\; >\; 0,\; \backslash forall\; A\; \backslash in\; \backslash mathcal\; C,\; \backslash mu(A\; \backslash cap\; B)\; \backslash geq\; \backslash gamma\; \backslash mu(A)$라고 가정하자. 그러면 $\backslash mu(B)\; =\; 1$이다.

증명. 모든 열린 집합은 $\backslash mathcal\; C$ 안의 집합들의 서로소 합집합이므로, 단순히 $\backslash mathcal\; C$ 안의 임의의 집합뿐만 아니라 임의의 열린 집합 $A$에 대해서도 $\backslash mu(A\; \backslash cap\; B)\; \backslash geq\; \backslash gamma\; \backslash mu(A)$가 성립한다.

여집합 $B^c$를 취한다. 르베그 측도는 외부 정규이므로, 대칭 차이가 임의로 작은 측도 를 갖는 $B^c$에 가까운 열린 집합 $B\text{'}$을 취할 수 있다.

극한에서, $\backslash mu(B\text{'}\; \backslash cap\; B)\; \backslash geq\; \backslash gamma\; \backslash mu(B\text{'})$는 $0\; \backslash geq\; \backslash gamma\; \backslash mu(B^c)$가 된다.

5.3. 에르고딕성 증명

보조 정리. 임의의 열린 구간 $(a,\; b)\; \backslash subset\; (0,\; 1)$에 대해, 다음이 성립한다.

:$$\backslash mu(T^\{-n\}(a,b)\; \backslash cap\; \backslash Delta\_n)\; =\; \backslash mu((a,b))\; \backslash mu(\backslash Delta\_n)\; \backslash underbrace\{\backslash left(\backslash frac\{q\_n(q\_n\; +\; q\_\{n-1\})\}\{(q\_n\; +\; q\_\{n-1\}b)(q\_n\; +\; q\_\{n-1\}a)\; \}\; \backslash right)\}\_\{\backslash geq\; 1/2\}$$

증명. 임의의 $t\; \backslash in\; (0,\; 1)$에 대해, 표준 연분수 이론에 의해 $[0;a\_1,\; \backslash dots,\; a\_n\; +\; t]\; =\; \backslash frac\{q\_n\; +\; q\_\{n-1\}t\}\{p\_n\; +\; p\_\{n-1\}t\}$이다. 정의를 확장하면, $T^\{-n\}(a,b)\; \backslash cap\; \backslash Delta\_n$은 $[0;a\_1,\; \backslash dots,\; a\_n\; +\; a],\; [0;a\_1,\; \backslash dots,\; a\_n+\; b]$을 끝점으로 하는 구간이다. 이제 직접 계산한다. 분수가 $\backslash geq\; 1/2$임을 보이기 위해, $q\_n\; \backslash geq\; q\_\{n-1\}$임을 이용한다.

정리. 가우스 맵은 에르고딕하다.

증명. $([0;a\_1,\; \backslash dots,\; a\_n],\; [0;a\_1,\; \backslash dots,\; a\_n+1])$ 형태의 모든 열린 구간의 집합을 고려한다. 이것들을 하나의 패밀리 $\backslash mathcal\; C$로 모은다. 이 $\backslash mathcal\; C$는 덮개 패밀리인데, $a,\; b$가 유리수일 때 임의의 열린 구간 $(a,\; b)\backslash setminus\; \backslash Q$는 $\backslash mathcal\; C$에 있는 유한 개의 집합의 분리된 합집합이기 때문이다.

집합 $B$가 $T$에 불변이고 양의 측도를 갖는다고 가정하자. 임의의 $\backslash Delta\_n\; \backslash in\; \backslash mathcal\; C$를 선택한다. 르베그 측도는 외부 정규이므로, $B$와 만큼만 다른 열린 집합 $B\_0$가 존재한다. $B$가 $T$에 불변이므로, 도 성립한다. 따라서,

:$$\backslash mu(T^\{-n\}B\_0\; \backslash cap\; \backslash Delta\_n)\; \backslash in\; \backslash mu(B\backslash cap\; \backslash Delta\_n)\; \backslash pm\; \backslash epsilon$$

이전 보조 정리에 의해, 다음이 성립한다.

:$$\backslash mu(T^\{-n\}B\_0\; \backslash cap\; \backslash Delta\_n)\; \backslash geq\; \backslash frac\; 12\; \backslash mu(B\_0)\; \backslash mu(\backslash Delta\_n)\; \backslash in\; \backslash frac\; 12\; (\backslash mu(B)\; \backslash pm\; \backslash epsilon)\; \backslash mu(\backslash Delta\_n)$$

$\backslash epsilon\; \backslash to\; 0$ 극한을 취하면, $\backslash mu(B\; \backslash cap\; \backslash Delta\_n)\; \backslash geq\; \backslash frac\; 12\; \backslash mu(B)\; \backslash mu(\backslash Delta\_n)$이 된다. 켑의 보조 정리에 의해, 전체 측도를 갖는다.

6. 참고 문헌

* A. 야. 힌친, 연분수, 1935, 영어 번역 시카고 대학교 출판부, 1961 (15절 참조).
* K. I. 바벤코, 가우스의 문제에 관하여, 소련 수학 보고서 19:136–140 (1978)
* K. I. 바벤코 및 S. P. 유리에프, 가우스 문제의 이산화에 관하여, 소련 수학 보고서 19:731–735 (1978).
* A. 듀너, 가우스-쿠즈민-레비 정리에 관하여. 아르히프 데어 수학 58, 251–256, (1992).
* A. J. 맥클라우드, 가우스-쿠즈민 연분수 문제의 고정밀 수치 값. 컴퓨터 수학 응용 26, 37–44, (1993).
* E. 위르징, 가우스-쿠즈민-레비 정리와 함수 공간에 대한 프로베니우스 유형 정리. 악타 아리트메티카 24, 507–528, (1974).
* Giedrius Alkauskas, [http://arxiv.org/pdf/1210.4083v3.pdf 가우스의 연분수 맵에 대한 전송 연산자. I. 고유값의 구조와 흔적 공식](2013).
* Keith Briggs, [http://keithbriggs.info/documents/wirsing.pdf 가우스-쿠즈민-비어징 상수의 정확한 계산](2003) (매우 광범위한 참고 문헌 모음이 포함되어 있습니다.)
* Philippe Flajolet 및 브리지트 발레, [http://pauillac.inria.fr/algo/flajolet/Publications/gauss-kuzmin.ps 가우스-쿠즈민-비어징 상수](1995).
* Linas Vepstas [http://www.linas.org/math/gkw.pdf 베르누이 연산자, 가우스-쿠즈민-비어징 연산자 및 리만 제타] (2004) (PDF)