가우스-쿠즈민-비어징 상수

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1. 개요
2. 가우스 사상과 연분수
- 2.1. 가우스 사상
3. 가우스-쿠즈민-비어징 연산자
4. 리만 제타 함수와의 관계
5. 에르고딕성
6. 참고 문헌
참조

1. 개요

가우스-쿠즈민-비어징 상수는 가우스 사상의 전달 연산자의 고유값 중 두 번째로 큰 값의 절댓값으로, 약 0.3036630029...이다. 이 상수는 연분수와 관련이 있으며, 연분수 전개에서 정수가 나타날 확률을 나타내는 가우스-쿠즈민 분포와 연관된다. 가우스-쿠즈민-비어징 연산자는 리만 제타 함수와도 관련이 있으며, 해당 연산자의 고유값에 대한 다양한 추측과 연구가 진행되어 왔다. 또한, 가우스 맵은 에르고딕성을 가지며, 엔트로피는 $\frac{\pi^2}{6\ln 2}$ 이다.

2. 가우스 사상과 연분수

가우스 사상 ''h(x)''는 다음과 같이 정의된다.

:

h(x)=1/x-\lfloor 1/x \rfloor \,

여기서

\lfloor 1/x \rfloor

는 바닥 함수를 나타낸다. 가우스 함수는 양의 정수 ''n''에 대해 ''x'' = 1/''n''에서 무한히 많은 점프 불연속을 갖는다.^[1]

가우스 사상은 연분수에 대한 절단 시프트 작용소로 작용한다. 즉, 0과 1 사이의 어떤 수 ''x''를 연분수로 표현하면

:

x=[0;a_1,a_2,a_3,\dots]\,

가 되고, 이 때 가우스 사상을 적용하면

:

h(x)=[0;a_2,a_3,\dots] \,

가 된다.

가우스-쿠즈민-비어징 작용소는 가우스 사상의 전송 작용소이다. 이 작용소는 함수 ''f''에 대해 다음과 같이 작용한다.

:

[Gf](x) = \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{(x+n)^2} f \left(\frac {1}{x+n}\right)

이 작용소의 영차 고유 함수는

:

\frac 1{\ln 2}\ \frac 1{1+x}

이며, 이는 고유값 1에 대응한다. 이 고유 함수는 주어진 정수가 어떤 연분수 전개에 나타날 확률을 나타내며, 가우스-쿠즈민 분포로 알려져 있다. 그 외의 고유값은 수치적으로 계산할 수 있는데, 다음 고유값은 ''λ''₁ = −0.3036630029... 이며, 그 절대값은 '''가우스-쿠즈민-비어징 상수'''(Gauss–Kuzmin–Wirsing constant)로 알려져 있다. 그 외의 고유 함수의 해석적인 형태나 고유값이 무리수인지 여부는 알려져 있지 않다.^[1]

2. 1. 가우스 사상

가우스 함수(사상) ''h''는 다음과 같다.

:h(x)=1/x-⌊1/x⌋

여기서 ⌊1/x⌋는 바닥 함수를 나타낸다.

이 함수는 양의 정수 ''n''에 대해 ''x'' = 1/''n''에서 무한히 많은 점프 불연속을 갖는다. 하나의 매끄러운 다항식으로 근사하기 어렵다.^[1]

3. 가우스-쿠즈민-비어징 연산자

가우스-쿠즈민-비어징(GKW) 연산자는 가우스 사상의 전송 작용소이다. 이 작용소는 함수 f에 대해 다음과 같이 작용한다.

: $[Gf](x) = \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{(x+n)^2} f \left(\frac {1}{x+n}\right)$

이 연산자는 가우스 맵 하에서 불변인 측도의 밀도인 고정점 $\rho(x) = \frac{1}{\ln 2 (1+x)}$ 를 가지며, 스케일링을 제외하고는 유일하다. 영차 고유 함수는 $\frac 1{\ln 2}\ \frac 1{1+x}$ 이며, 이는 고유값 1에 대응한다. 이 고유 함수는 가우스-쿠즈민 분포로 알려져 있다. 그 외의 고유값은 수치적으로 계산할 수 있다. 다음 고유값 ''λ''₁ = −0.3036630029... 의 절댓값은 '''가우스-쿠즈민-비어징 상수'''이다.

가우스 사상이 연분수에 대한 절단 시프트 작용소로 작용하기 때문에 이러한 현상이 나타난다. 즉, 어떤 수 0 < ''x'' < 1 의 연분수 표현이 $x=[0;a_1,a_2,a_3,\dots]\,$ 일 때, 가우스 사상은 $h(x)=[0;a_2,a_3,\dots] \,$ 가 된다.

그 외의 고유 함수의 해석적인 형태나 고유값이 무리수인지 여부는 알려져 있지 않다.

3. 1. 연산자의 정의

가우스-쿠즈민-비어징 연산자

G

는 함수

f

에 다음과 같이 작용한다.

:

[Gf](x) = \int_0^1 \delta(x-h(y)) f(y) \, dy  = \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{(x+n)^2} f \left(\frac {1}{x+n}\right).

3. 2. 고유 함수와 고유값

GKW 연산자의 첫 번째 고유 함수는

\frac 1{\ln 2}\ \frac 1{1+x}

이며, 이는 고유값 ''λ''₁ = 1에 해당한다. 이 고유 함수는 가우스-쿠즈민 분포로 알려져 있으며, 연분수 전개에서 주어진 정수가 발생할 확률을 나타낸다.

추가 고유값은 수치적으로 계산할 수 있다. 두 번째 고유값은 ''λ''₂ = −0.3036630029... (A038517)이며, 그 절댓값은 '''가우스-쿠즈민-비어징 상수'''이다. 추가 고유 함수에 대한 해석적 형태나 고유값이 무리수인지 여부는 알려져 있지 않다.

가우스-쿠즈민-비어징 연산자의 고유값을 절댓값에 따라 정렬하면 다음과 같다.

:

1=|\lambda_1|> |\lambda_2|\geq|\lambda_3|\geq\cdots.

1995년 필립 플라졸레와 브리짓 발레는 다음 극한을 추측했다.

:

\lim_{n\to\infty} \frac{\lambda_n}{\lambda_{n+1}} = -\varphi^2, \text{ where } \varphi=\frac{1+\sqrt 5} 2.

2018년, 기드리어스 알카우스카스는 이 추측을 개선하여 다음과 같은 명제를 제시했다.^[2]

:

(-1)^{n+1}\lambda_n=\varphi^{-2n} + C\cdot\frac{\varphi^{-2n}}{\sqrt{n}}+d(n)\cdot\frac{\varphi^{-2n}}{n}

여기서

C=\frac{\sqrt[4]{5}\cdot\zeta(3/2)}{2\sqrt{\pi}}=1.1019785625880999_{+}

이고,

d(n)

은 경계가 있는 함수이며,

\zeta(\star)

는 리만 제타 함수이다.

3. 2. 1. 가우스-쿠즈민 분포

이 연산자의 첫 번째 고유 함수는 다음과 같다.

:

\frac 1{\ln 2}\ \frac 1{1+x}

이는 ''λ''₁ = 1의 고유값에 해당한다. 이 고유 함수는 연분수 전개에서 주어진 정수가 발생할 확률을 제공하며, 가우스-쿠즈민 분포로 알려져 있다. 이는 가우스 사상이 연분수에 대한 잘림 시프트 연산자로 작용하기 때문이다. 만약

:

x=[0;a_1,a_2,a_3,\dots]

가 0 < ''x'' < 1인 숫자의 연분수 표현이라면, 다음과 같다.

:

h(x)=[0;a_2,a_3,\dots].

h

가 베르누이 시프트와 켤레이기 때문에, 고유값

\lambda_1=1

은 단순하며, 연산자는 가우스-쿠즈민 측도를 불변으로 유지하므로, 해당 연산자는 측도에 대해 에르고딕하다. 이 사실은 힌친 상수의 존재에 대한 간결한 증명을 가능하게 한다.

3. 3. 가우스-쿠즈민-비어징 상수 관련 추측

1995년 필립 플라졸레와 브리짓 발레는 다음과 같이 추측했다.^[2]

:

\lim_{n\to\infty} \frac{\lambda_n}{\lambda_{n+1}} = -\varphi^2, \text{ where } \varphi=\frac{1+\sqrt 5} 2.

2018년, 기드리어스 알카우스카스는 이 추측을 개선하여 다음과 같은 더 강력한 명제를 제시했다.^[2]

:

\begin{align}& (-1)^{n+1}\lambda_n=\varphi^{-2n} + C\cdot\frac{\varphi^{-2n}}{\sqrt{n}}+d(n)\cdot\frac{\varphi^{-2n}}{n}, \\[4pt]& \text{where } C=\frac{\sqrt[4]{5}\cdot\zeta(3/2)}{2\sqrt{\pi}}=1.1019785625880999_{+};\end{align}

여기서 함수

d(n)

은 경계가 있으며,

\zeta(\star)

는 리만 제타 함수이다.

3. 4. 연속 스펙트럼

고유값은 연산자가 실수선 위의 단위 구간에서 함수에 작용하도록 제한될 때 이산 스펙트럼을 형성한다. 더 넓게 보면, 가우스 맵은 베어 공간

\mathbb{N}^\omega

의 이동 연산자이므로, GKW 연산자는 함수 공간

\mathbb{N}^\omega\to\mathbb{C}

에 대한 연산자(기저 함수를 원기둥의 곱 위상에 대한 지시 함수로 간주하는 바나흐 공간)로 볼 수도 있다. 후자의 경우, 복소 평면의 단위 원판

|\lambda|<1

에 고유값을 갖는 연속 스펙트럼을 갖는다. 즉, 원기둥

C_n[b]= \{(a_1,a_2,\cdots) \in \mathbb{N}^\omega : a_n = b \}

가 주어지면, 연산자 G는 이를 왼쪽으로 이동시킨다:

GC_n[b] = C_{n-1}[b]

.

r_{n,b}(x)

를 원기둥에서 1(

x\in C_n[b]

일 때)이고 그렇지 않으면 0인 지시 함수라고 하면,

Gr_{n,b}=r_{n-1,b}

가 성립한다.

이때, 다음 급수는

:

f(x)=\sum_{n=1}^\infty \lambda^{n-1} r_{n,b}(x)

고유값

\lambda

를 갖는 고유 함수이다. 즉, 합계가 수렴할 때, 즉

|\lambda|<1

일 때

[Gf](x)=\lambda f(x)

가 성립한다.

하르 측도를 이동 연산자에 적용하려는 경우, 즉, 이동에 불변인 함수를 고려할 때 특수한 경우가 발생한다. 이는 민코프스키 측도

?^\prime

로 주어진다. 즉,

G?^\prime = ?^\prime

이 성립한다.^[3]

4. 리만 제타 함수와의 관계

가우스-쿠즈민-비어징 연산자(GKW 연산자)는 리만 제타 함수와 밀접하게 관련되어 있다. 리만 제타 함수는 다음과 같이 표현될 수 있다.^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]

: $\zeta(s)=\frac{1}{s-1}-s\int_0^1 h(x) x^{s-1} \; dx$

위 식은 변수 변환을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $\zeta(s)=\frac{s}{s-1}-s\int_0^1 x \left[Gx^{s-1} \right]\, dx$

4. 1. 리만 제타 함수의 표현

GKW 연산자를 이용하여 리만 제타 함수를 표현할 수 있다. 리만 제타 함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]

:

\zeta(s)=\frac{s}{s-1}-s \sum_{n=0}^\infty (-1)^n {s-1 \choose n} t_n

여기서

t_n

는 다음과 같이 주어진다.

:

t_n=\sum_{m=0}^\infty \frac{G_{mn}} {(m+1)(m+2)}.

이를 계산하면 다음과 같다.

:

t_n=1-\gamma + \sum_{k=1}^n (-1)^k {n \choose k} \left[ \frac{1}{k} - \frac {\zeta(k+1)} {k+1} \right]

여기서

\gamma

는 오일러-마스케로니 상수이다. 이

t_n

은 스틸체스 상수와 유사하지만, 하강 계승 확장을 위한 것이다.

:

a_n=t_n - \frac{1}{2(n+1)}

라고 하면, ''a''₀ = −0.0772156..., ''a''₁ = −0.00474863... 등을 얻는다. 이 값들은 빠르게 작아지지만 진동한다. 스털링 수 계수를 사용하여 하강 계승을 다항식으로 다시 표현하고 스틸체스 상수와 관련시킬 수 있다.

일반적으로, 리만 제타 함수는 셰퍼 수열 다항식으로 확장하여 표현할 수 있다.

이러한 리만 제타 함수의 전개는 다음 참고 문헌에서 연구되었다.^[12]^[13]^[14]^[15]^[16] 계수는 다음과 같이 감소한다.

:

\left(\frac{2n}{\pi}\right)^{1/4}e^{-\sqrt{4\pi n}}\cos\left(\sqrt{4\pi n}-\frac{5\pi}{8}\right) +\mathcal{O} \left(\frac{e^{-\sqrt{4\pi n}}}{n^{1/4}}\right).

4. 2. 행렬 요소

GKW 연산자의 행렬 요소는 다음과 같이 주어진다.

:

G_{mn}=\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} {k+m+1 \choose m} \left[ \zeta (k+m+2)- 1\right].

여기서 각 요소는 유한한 rational zeta series|유리 제타 급수^영어이다. 이 연산자는 매우 잘 형성되어 있어서 수치적으로 다루기 매우 쉽다. 가우스-쿠즈민 상수는 상단 왼쪽 ''n'' x ''n'' 부분의 수치적 대각화를 통해 쉽게 고정밀도로 계산할 수 있다. 이 연산자를 대각화하는 닫힌 형식의 표현식은 알려져 있지 않다. 즉, 고유 벡터에 대해 알려진 닫힌 형식의 표현식은 없다.

4. 3. 스틸체스 상수와의 유사성

t_n

은 GKW 연산자의 행렬 요소를 이용하여 정의되는데, 이는 스틸체스 상수와 유사한 형태를 가진다.

t_n

은 다음과 같이 표현된다.^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]

:

t_n=1-\gamma + \sum_{k=1}^n (-1)^k {n \choose k} \left[ \frac{1}{k} - \frac {\zeta(k+1)} {k+1} \right]

여기서

\gamma

는 오일러-마스케로니 상수이다. 이

t_n

은 하강 계승 확장을 위한 스틸체스 상수의 유사 항목이다.

:

a_n=t_n - \frac{1}{2(n+1)}

와 같이 정의하면, ''a''₀ = -0.0772156..., ''a''₁ = -0.00474863... 등의 값을 얻을 수 있다. 이 값들은 빠르게 작아지지만 진동하는 형태를 보인다. 이러한 값들에 대한 명시적 합을 계산할 수 있으며, 스털링 수 계수를 사용하여 하강 계승을 다항식으로 다시 표현한 다음 스틸체스 상수와 명시적으로 관련시킬 수 있다.^[12]^[13]^[14]^[15]^[16]

5. 에르고딕성

가우스 맵은 에르고딕성뿐만 아니라 지수적으로 혼합적이라는 성질을 갖는다.^[4]^[5] 하지만 그 증명은 초등적이지 않다.

임의의 열린 구간 $(a, b) \subset (0, 1)$ 에 대해, 다음 식이 성립한다.

: $\mu(T^{-n}(a,b) \cap \Delta_n) = \mu((a,b)) \mu(\Delta_n) \underbrace{\left(\frac{q_n(q_n + q_{n-1})}{(q_n + q_{n-1}b)(q_n + q_{n-1}a) } \right)}_{\geq 1/2}$

이는 표준 연분수 이론을 통해 증명할 수 있다.

가우스 맵의 에르고딕성은 다음 증명을 통해 확인할 수 있다. $([0;a_1, \dots, a_n], [0;a_1, \dots, a_n+1])$ 형태의 모든 열린 구간을 모은 집합 $\mathcal C$ 는 덮개족(covering family)을 이룬다. $T$ 에 불변이고 양의 측도를 갖는 집합 $B$ 를 가정하면, 르베그 측도의 외부 정규성에 의해 $B$ 와 매우 가까운 열린 집합 $B_0$ 가 존재한다. $B$ 의 불변성과 위의 보조 정리를 이용하고 극한을 취하면, Knopp의 보조정리에 의해 $B$ 는 전체 측도를 갖게 된다. 따라서 가우스 맵은 에르고딕하다.

5. 1. 엔트로피

가우스 맵은 가우스 측도에 대해 엔트로피

\frac{\pi^2}{6\ln 2}

를 갖는다. 이는 엔트로피에 대한 로흐린 공식을 사용하여 증명할 수 있다. 그런 다음 섀넌-맥밀런-브레이먼 정리와 그 등분할 속성을 사용하여 로흐스 정리를 얻는다.^[6]

5. 2. 측도론적 예비 사항

덮개족

\mathcal C

는 가측 집합의 집합으로, 모든 열린 집합이 그 안의 집합들의 ''서로소'' 합집합이 되도록 한다. 이는 서로소 합집합을 허용하지 않는, 덜 제한적인 위상에서의 기저와 비교해볼 수 있다.

'''Knopp의 보조정리.'''

B \subset [0, 1)

가 가측이고,

\mathcal C

가 덮개족이며,

\exists \gamma > 0, \forall A \in \mathcal C, \mu(A \cap B) \geq \gamma \mu(A)

라고 가정하자. 그러면

\mu(B) = 1

이다.

'''증명.''' 모든 열린 집합은

\mathcal C

안의 집합들의 서로소 합집합이므로, 단순히

\mathcal C

안의 임의의 집합뿐만 아니라 임의의 열린 집합

A

에 대해서도

\mu(A \cap B) \geq \gamma \mu(A)

가 성립한다.

여집합

B^c

를 취한다. 르베그 측도는 외부 정규이므로, 대칭 차이가 임의로 작은 측도

\mu(B' \Delta B^c) < \epsilon

를 갖는

B^c

에 가까운 열린 집합

B'

을 취할 수 있다.

극한에서,

\mu(B' \cap B) \geq \gamma \mu(B')

는

0 \geq \gamma \mu(B^c)

가 된다.

5. 3. 에르고딕성 증명

'''보조 정리.''' 임의의 열린 구간

(a, b) \subset (0, 1)

에 대해, 다음이 성립한다.

:

\mu(T^{-n}(a,b) \cap \Delta_n) = \mu((a,b)) \mu(\Delta_n) \underbrace{\left(\frac{q_n(q_n + q_{n-1})}{(q_n + q_{n-1}b)(q_n + q_{n-1}a) } \right)}_{\geq 1/2}

'''증명.''' 임의의

t \in (0, 1)

에 대해, 표준 연분수 이론에 의해

[0;a_1, \dots, a_n + t] = \frac{q_n + q_{n-1}t}{p_n + p_{n-1}t}

이다. 정의를 확장하면,

T^{-n}(a,b) \cap \Delta_n

은

[0;a_1, \dots, a_n + a], [0;a_1, \dots, a_n+ b]

을 끝점으로 하는 구간이다. 이제 직접 계산한다. 분수가

\geq 1/2

임을 보이기 위해,

q_n \geq q_{n-1}

임을 이용한다.

'''정리.''' 가우스 맵은 에르고딕하다.

'''증명.'''

([0;a_1, \dots, a_n], [0;a_1, \dots, a_n+1])

형태의 모든 열린 구간의 집합을 고려한다. 이것들을 하나의 패밀리

\mathcal C

로 모은다. 이

\mathcal C

는 덮개 패밀리인데,

a, b

가 유리수일 때 임의의 열린 구간

(a, b)\setminus \Q

는

\mathcal C

에 있는 유한 개의 집합의 분리된 합집합이기 때문이다.

집합

B

가

T

에 불변이고 양의 측도를 갖는다고 가정하자. 임의의

\Delta_n \in \mathcal C

를 선택한다. 르베그 측도는 외부 정규이므로,

B

와

\mu(B_0 \Delta B) < \epsilon

만큼만 다른 열린 집합

B_0

가 존재한다.

B

가

T

에 불변이므로,

\mu(T^{-n}B_0 \Delta B) = \mu(B_0 \Delta B) < \epsilon

도 성립한다. 따라서,

:

\mu(T^{-n}B_0 \cap \Delta_n) \in \mu(B\cap \Delta_n) \pm \epsilon

이전 보조 정리에 의해, 다음이 성립한다.

:

\mu(T^{-n}B_0 \cap \Delta_n) \geq \frac 12 \mu(B_0) \mu(\Delta_n) \in \frac 12 (\mu(B) \pm \epsilon) \mu(\Delta_n)

\epsilon \to 0

극한을 취하면,

\mu(B \cap \Delta_n) \geq \frac 12 \mu(B) \mu(\Delta_n)

이 된다. 켑의 보조 정리에 의해, 전체 측도를 갖는다.

6. 참고 문헌

A. 야. 힌친, ''연분수'', 1935, 영어 번역 시카고 대학교 출판부, 1961 ''(15절 참조).''
K. I. 바벤코, ''가우스의 문제에 관하여'', 소련 수학 보고서 '''19''':136–140 (1978)
K. I. 바벤코 및 S. P. 유리에프, ''가우스 문제의 이산화에 관하여'', 소련 수학 보고서 '''19''':731–735 (1978).
A. 듀너, ''가우스-쿠즈민-레비 정리에 관하여.'' 아르히프 데어 수학 '''58''', 251–256, (1992).
A. J. 맥클라우드, ''가우스-쿠즈민 연분수 문제의 고정밀 수치 값.'' 컴퓨터 수학 응용 '''26''', 37–44, (1993).
E. 위르징, ''가우스-쿠즈민-레비 정리와 함수 공간에 대한 프로베니우스 유형 정리.'' 악타 아리트메티카 '''24''', 507–528, (1974).
Giedrius Alkauskas, ''[http://arxiv.org/pdf/1210.4083v3.pdf 가우스의 연분수 맵에 대한 전송 연산자. I. 고유값의 구조와 흔적 공식]''(2013).
Keith Briggs, ''[http://keithbriggs.info/documents/wirsing.pdf 가우스-쿠즈민-비어징 상수의 정확한 계산]''(2003) ''(매우 광범위한 참고 문헌 모음이 포함되어 있습니다.)''
Philippe Flajolet 및 브리지트 발레, ''[http://pauillac.inria.fr/algo/flajolet/Publications/gauss-kuzmin.ps 가우스-쿠즈민-비어징 상수]''(1995).
Linas Vepstas [http://www.linas.org/math/gkw.pdf 베르누이 연산자, 가우스-쿠즈민-비어징 연산자 및 리만 제타] (2004) (PDF)

참조

_[1] 서적 A Graduate Introduction to Numerical Methods From the Viewpoint of Backward Error Analysis https://www.springer[...]
_[2] arXiv Transfer operator for the Gauss' continued fraction map. I. Structure of the eigenvalues and trace formulas
_[3] arXiv On the Minkowski Measure
_[4] 간행물 Kuzmin, coupling, cones, and exponential mixing https://www.degruyte[...] 2004-03-30
_[5] 간행물 Exponential Mixing: Lectures from Mumbai https://doi.org/10.1[...] Springer 2024-01-13
_[6] 웹사이트 The Shannon-McMillan-Breiman Theorem https://web.archive.[...]
_[7] 간행물 The calculation of the Riemann zeta-function in the complex domain
_[8] 간행물 Computation of the derivatives of the Riemann zeta-function in the complex domain
_[9] arXiv A new necessary and sufficient condition for the Riemann hypothesis
_[10] 간행물 A sequential Riesz-like criterion for the Riemann hypothesis
_[11] 간행물 On Differences of Zeta Values
_[12] 간행물 "The calculation of the Riemann zeta-function in the complex domain"
_[13] 간행물 "Computation of the derivatives of the Riemann zeta-function in the complex domain"
_[14] arXiv A New Necessary and Sufficient Condition for the Riemann Hypothesis http://arxiv.org/abs[...]
_[15] 간행물 "A sequential Riesz-like criterion for the Riemann hypothesis"
_[16] 간행물 "On differences of zeta values" http://arxiv.org/abs[...]
_[17] 웹사이트 http://mathworld.wol[...]

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