가해 리 대수

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1. 개요

가해 리 대수는 유한한 길이의 유도열을 갖는 리 대수이다. 리 대수가 가해 리 대수일 조건은 리 대수의 표현론, 리 군, 킬링 형식 등을 통해 정의될 수 있다. 가해 리 대수는 리 대수의 짧은 완전열, 닐근기, 준동형 사상 등에 대한 닫힘 성질을 가지며, 리 정리를 통해 분류될 수 있다. 아벨 리 대수, 멱영 리 대수, 상삼각 행렬의 리 대수 등이 가해 리 대수의 예시이다. 또한, 가해 리 대수는 완전 가해 리 대수와 관련이 있으며, 리 정리를 증명한 소푸스 리의 연구를 통해 발전했다.

가해 리 대수

정의

가해 리 대수	교환자 이데알이 소멸하는 리 대수

성질

부분 대수 및 몫	가해적임
확장	가해적 이데알에 의한 가해적 대수의 확장은 가해적임 즉, I가 가해적 이데알이고 L/I가 가해적이면 L도 가해적임
최대 가해적 이데알	유일하게 존재 (근기)

멱영 리 대수	가해적임
반단순 리 대수	가해적 이데알을 포함하지 않음 (자명한 경우 제외)
단순 리 대수	가해적이지 않음

2. 정의

가해 리 대수의 개념은 다양하게 정의된다.

일반적으로, 가해 리 대수는 유한한 길이의 유도열을 갖는 리 대수이다. 표수가 0인 체 위의 유한 차원 리 대수의 경우, 리 대수의 개념은 리 대수 표현론을 사용하여 정의될 수 있다. 실수체 또는 복소수체 위의 유한 차원 리 대수의 경우, 리 대수가 가해 리 대수일 조건은 대응하는 리 군이 가해군인 것이다.

리 대수에 따르면, $V$ 가 표수 0의 대수적으로 닫힌 체에 대한 유한 차원 벡터 공간이고, $\mathfrak{g}$ 가 가해 리 대수이며, $\pi$ 가 $V$ 에 대한 $\mathfrak{g}$ 의 표현이면, 모든 원소 $X \in \mathfrak{g}$ 에 대해 엔도르피즘 $\pi(X)$ 의 공통 고유벡터 $v \in V$ 가 존재한다.

* 모든 리 부분 대수와 가해 리 대수의 몫은 가해이다.
* 리 대수 $\mathfrak g$ 와 그 안의 아이디얼 $\mathfrak h$ 가 주어지면, $\mathfrak{g}$ 는 $\mathfrak h$ 와 $\mathfrak{g}/\mathfrak h$ 가 모두 가해일 경우에만 가해이다. 이는 유사하게 $\mathfrak h$ 가 중심에 포함된 경우 멱영 리 대수에 대해서도 성립한다. 따라서, 가해 대수의 가해 대수에 의한 확장은 가해이며, 멱영 대수의 멱영 대수에 의한 중심 확장은 멱영이다.
* 가해이고 0이 아닌 리 대수는 도출 수열에서 마지막 0이 아닌 항인 0이 아닌 아벨 아이디얼을 갖는다.
* 만약 $\mathfrak{a}, \mathfrak{b} \sub \mathfrak{g}$ 가 가해 아이디얼이면, $\mathfrak{a} + \mathfrak{b}$ 도 가해이다. 결과적으로, $\mathfrak{g}$ 가 유한 차원인 경우, $\mathfrak{g}$ 의 모든 가해 아이디얼을 포함하는 고유한 가해 아이디얼 $\mathfrak{r} \sub \mathfrak{g}$ 가 존재한다. 이 아이디얼은 $\mathfrak{g}$ 의 근기이다.
* 가해 리 대수 $\mathfrak{g}$ 는 ${\rm ad}_X$ 가 멱영인 모든 $X \in \mathfrak{g}$ 의 집합인 닐근기라고 불리는 고유한 최대 멱영 아이디얼 $\mathfrak{n}$ 을 갖는다. 만약 $D$ 가 $\mathfrak{g}$ 의 임의의 미분이면, $D(\mathfrak{g}) \sub \mathfrak{n}$ 이다.

2.1. 유도열을 통한 정의

가환환 K 위의 리 대수 $\mathfrak g$ 의 유도열(誘導列, derived series^영어)은 다음과 같다.

: $\mathfrak g=\mathcal D^0\mathfrak g$
: $\mathcal D^{i+1}\mathfrak g=[\mathcal D^i\mathfrak g,\mathcal D^i\mathfrak g]$
: $\mathfrak g=\mathcal D^0\mathfrak g\supseteq\mathcal D^1\mathfrak g\supseteq\mathcal D^2\mathfrak g\supseteq\cdots$

만약 어떤 자연수 $n\in\mathbb N$ 에 대하여 $\mathcal D^n\mathfrak g=0$ 이라면, $\mathfrak g$ 를 가해 리 대수라고 한다. (0은 유일한 0차원 리 대수이다.)

2.2. 표현론을 통한 정의

표수가 0인 체 위의 유한 차원 리 대수 $\mathfrak g$ 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다.

* $\mathfrak g$ 는 가해 리 대수이다.
* $\mathfrak g$ 의 딸림표현 $\operatorname{ad}(\mathfrak g)\subseteq\mathfrak{gl}(\mathfrak g;K)$ 는 가해 리 대수이다.
* $[\mathfrak g,\mathfrak g]$ 는 멱영 리 대수이다.
* (카르탕 가해성 조건 Cartan’s criterion for solvability^영어) $\mathfrak g$ 의 킬링 형식 $B$ 가 주어졌을 때, $B(\mathfrak g,[\mathfrak g,\mathfrak g])=0$ 이다.

이 조건들은 수반 표현이 가해 리 대수인 경우, 아이디얼의 유한 수열이 존재하는 경우, 교환자 리 대수가 멱영인 경우, 그리고 킬링 형식이 특정 조건을 만족하는 경우(카르탕의 판정법)를 포함한다.

2.3. 리 군 이론을 통한 정의

Real number^영어, Complex number^영어 위의 유한 차원 리 대수의 경우, 리 대수가 가해 리 대수일 조건은 대응하는 리 군이 가해군인 것이다.

유한 차원 $\mathbb K$ -리 대수 $\mathfrak g$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

* $\mathfrak g$ 를 리 대수로 갖는 (유일한) 단일 연결 리 군 $G$ 는 (군으로서) 가해군이다.
* $\mathfrak g$ 는 가해 리 대수이다.

연결 리 군이 아닌 리 군 $G$ 의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.

* $G$ 의 연결 성분 $G_0$ 는 (군으로서) 가해군이다.
* $G$ 의 리 대수 $\operatorname{Lie}(G)$ 는 가해 리 대수이다.

3. 성질

임의의 가환환 $K$ 에 대하여, 다음 포함 관계가 성립한다.
: $K$ -아벨 리 대수 ⊆ $K$ -멱영 리 대수 ⊆ $K$ -가해 리 대수 ⊆ $K$ -리 대수

리 대수에 따르면 $V$ 가 표수가 0인 대수적으로 닫힌 체에 대한 유한 차원 벡터 공간이고, $\mathfrak{g}$ 가 가해 리 대수이며, $\pi$ 가 $V$ 에 대한 $\mathfrak{g}$ 의 표현이면, 모든 원소 $X \in \mathfrak{g}$ 에 대해 엔도르피즘 $\pi(X)$ 의 공통 고유벡터 $v \in V$ 가 존재한다.

만약 $\mathfrak{a}, \mathfrak{b} \sub \mathfrak{g}$ 가 가해 아이디얼이면, $\mathfrak{a} + \mathfrak{b}$ 도 가해이다. 결과적으로, $\mathfrak{g}$ 가 유한 차원인 경우, $\mathfrak{g}$ 의 모든 가해 아이디얼을 포함하는 고유한 가해 아이디얼 $\mathfrak{r} \sub \mathfrak{g}$ 가 존재한다. 이 아이디얼은 $\mathfrak{g}$ 의 근기이다.

가해 리 대수 $\mathfrak{g}$ 는 ${\rm ad}_X$ 가 멱영인 모든 $X \in \mathfrak{g}$ 의 집합인 닐근기라고 불리는 고유한 최대 멱영 아이디얼 $\mathfrak{n}$ 을 갖는다. 만약 $D$ 가 $\mathfrak{g}$ 의 임의의 미분이면, $D(\mathfrak{g}) \sub \mathfrak{n}$ 이다.

리 대수 $\mathfrak g$ 와 그 안의 아이디얼 $\mathfrak h$ 가 주어지면, $\mathfrak{g}$ 는 $\mathfrak h$ 와 $\mathfrak{g}/\mathfrak h$ 가 모두 가해일 경우에만 가해이다.

3.1. 연산에 대한 닫힘

가해 리 대수의 아이디얼, 몫, 확대는 모두 가해 리 대수이다. 리 대수의 짧은 완전열
: $0\to\mathfrak a\to\mathfrak g\to\mathfrak g/\mathfrak a\to0$
이 주어졌을 때, 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* $\mathfrak g$ 가 가해 리 대수이다.
* $\mathfrak a$ 와 $\mathfrak g/\mathfrak a$ 가 둘 다 가해 리 대수이다.

즉,
* 가해 리 대수의 아이디얼은 가해 리 대수이다.
* 가해 리 대수의 몫은 가해 리 대수이다.
* 가해 리 대수의, 가해 리 대수에 대한 확대는 가해 리 대수이다.

4. 분류

리 정리(en)에 따르면, 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 K 위의 모든 유한 차원 가해 리 대수는 충분히 큰 n에 대하여 $\mathfrak b(n;K)$ (상삼각 행렬의 리 대수)의 부분 대수로 나타낼 수 있다. (이 정리는 양의 표수에서 성립하지 않는다.)

5. 예

모든 아벨 리 대수는 가환자가 $[\mathfrak{a},\mathfrak{a}] = 0$ 이므로 정의에 따라 가해 리 대수이다. 예를 들어, $\mathfrak{gl}(n)$ 에서의 대각 행렬의 리 대수는 $n = 3$ 일 때 다음과 같은 형태를 가지며, 이는 가해 리 대수이다.

$\left\{ \begin{bmatrix}* & 0 & 0 \\0 & * & 0 \\0 & 0 & *\end{bmatrix} \right\}$

임의의 두 행렬

m,n \in \text{End}(V)

에 대해 자명한 괄호

[m,n] = 0

으로 주어진 벡터 공간

V

에서의 리 대수 구조도 가해 리 대수의 또 다른 예시를 제공한다.

멱영 리 대수는 수반 표현이 가해이기 때문에 가해 리 대수이다. 몇 가지 예시로 위쪽 대각 행렬이 있는데, 예를 들어 다음과 같은 형태의 행렬 집합은 엄밀한 상삼각 행렬의 리 대수라고 불리며 가해 리 대수이다.

$\left\{ \begin{bmatrix}0 & * & * \\0 & 0 & * \\0 & 0 & 0\end{bmatrix} \right\}$

\mathfrak{gl}(n)

에서의 상삼각 행렬의 리 대수는

\mathfrak{b}_k

로 표기하며, 다음과 같은 형태의 행렬을 포함한다.

$\left\{ \begin{bmatrix}* & * & * \\0 & * & * \\0 & 0 & *\end{bmatrix} \right\}$

이는 가해 리 대수를 이룬다.

\mathfrak{g}

를 다음과 같은 형태의 행렬 집합이라고 하자.

$X = \left(\begin{matrix}0 & \theta & x\\ -\theta & 0 & y\\ 0 & 0 & 0\end{matrix}\right), \quad \theta, x, y \in \mathbb{R}.$

그러면

\mathfrak{g}

는 가해 대수이지만 분해 가해 대수는 아니다. 이는 평면에서의 회전과 평행이동 군의 리 대수와 동형이다.

6. 역사

소푸스 리가 1876년에 리 정리를 증명하였다.

7. 완전 가해 리 대수

리 대수 $\mathfrak{g}$ 가 $0$ 에서 $\mathfrak{g}$ 까지의 아이디얼의 기본 수열을 가지면 완전 가해(completely solvable) 또는 분해 가해(split solvable)라고 한다. 유한 차원 멱영 리 대수는 완전 가해이며, 완전 가해 리 대수는 가해이다. 가해 리 대수 $\mathfrak{g}$ 가 분해 가해가 되기 위한 필요충분 조건은 $\mathfrak{g}$ 에 있는 모든 $X$ 에 대해 ${\rm ad}_X$ 의 고유값이 $k$ 에 속하는 것이다.