멱영 리 대수

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1. 개요

멱영 리 대수는 가환환 K 위의 리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 내림 중심렬이 0이 되는 자연수 n이 존재할 때를 말한다. 멱영 리 대수는 가해 리 대수이며, 멱영 리 군과 관련이 있다. 멱영 리 대수의 킬링 형식은 0이고, 부분 리 대수, 몫 리 대수, 중심 확대는 멱영이다. 엥겔 정리는 유한 차원 엥겔 조건 리 대수가 멱영 리 대수임을 보이며, 멱영 리 대수는 외부 자기 동형을 가진다.

멱영 리 대수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 멱영 리 군
3. 성질
- 3.1. 포함 관계
- 3.2. 연산에 대한 닫힘
4. 동치 조건
5. 예
6. 역사
7. 추가 성질

2. 정의

가환환 $K$ 위의 리 대수 $\mathfrak g$ 의 내림 중심렬(-中心列, lower central series^영어)은 다음과 같이 정의된다.

: $\mathfrak g=\mathfrak g_0$
: $\mathfrak g_{i+1}=[\mathfrak g_i,\mathfrak g]$
: $\mathfrak g=\mathfrak g_0\supseteq\mathfrak g_1\supseteq\mathfrak g_2\supseteq\cdots$

만약 어떤 자연수 $n\in\mathbb N$ 에 대하여 $\mathfrak g_n=0$ 이면, $\mathfrak g$ 를 멱영 리 대수라고 한다. 즉, 다음 명제가 성립하는 자연수 $n\in\mathbb N$ 이 존재해야 한다.

: $[x_1,[x_2,[x_3,\dotsb[x_n,y]\dotsb]]]=0\qquad\forall x_1,\dotsc,x_n,y\in\mathfrak g$

가환환 $K$ 위의 리 대수 $\mathfrak g$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, 엥겔 조건 리 대수(Engel condition Lie algebra^영어)라고 한다.

: $\overbrace{[x,[x,[x,\dotsb[x}^{n(x,y)},y]\dotsb]]]=0\qquad\forall x,y\in\mathfrak g$ 가 되는 함수 $n\colon\mathfrak g\times\mathfrak g\to\mathbb Z^+$ 가 존재한다.

리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 멱영성은 하강 중심열이 종료될 경우, 즉, $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 $\mathfrak{g}_n = 0$ 인 경우를 의미하며, 다음 조건 중 하나와 동치이다.

* 충분히 큰 $p$ 에 대해 $\mathcal{C}^p \mathfrak{g} = \{0\}$ 가 된다. (여기서 $\mathcal{C}^p \mathfrak{g}$ 는 내림 중심열이다.)
* 충분히 큰 $p$ 에 대해 $\mathcal{C}_p \mathfrak{g} = \mathfrak{g}$ 가 된다. (여기서 $\mathcal{C}_p \mathfrak{g}$ 는 올림 중심열이다.)
* 아이디얼의 감소 열 $\mathfrak{g} = \mathfrak{g}_0 \supset \mathfrak{g}_1 \supset \dots \supset \mathfrak{g}_p = 0$ 이 존재하며, 각 $i = 0,\dots,p-1$ 에 대해 $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}_i] \subset \mathfrak{g}_{i+1}$ 를 만족한다.
* 아이디얼의 감소 열 $\mathfrak{g} = \mathfrak{g}_0 \supset \mathfrak{g}_1 \supset \dots \supset \mathfrak{g}_p = 0$ 이 존재하며, 각 $i = 0,\dots,p-1$ 에 대해 $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}_i] \subset \mathfrak{g}_{i+1}$ 이고 $\dim \mathfrak{g}_i/\mathfrak{g}_{i+1} = 1$ 이다.
* 충분히 큰 $p$ 에 대해, 임의의 $X_0,\dots,X_{p-1} \in \mathfrak{g}$ 에 대해 $(\operatorname{ad}X_0) \circ \dots \circ (\operatorname{ad}X_{p-1}) = 0$ 를 만족한다.
* 임의의 $X \in \mathfrak{g}$ 에 대해 $\operatorname{ad}X\colon\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$ 는 멱영이다.

2.1. 멱영 리 군

리 군 $G$ 의 리 대수가 $\mathbb K$ -리 대수 $\mathfrak g$ 라고 할 때, 다음 조건들은 서로 동치이다.
* 항등원을 포함하는 연결 성분 $G_0\subseteq G$ 은 (군으로서) 멱영군이다.
* $\mathfrak g$ 는 멱영 리 대수이다.

3. 성질

멱영 리 대수의 킬링 형식은 0이다. 모든 멱영 리 대수는 가해이지만, 일반적으로 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 모든 상삼각 행렬로 이루어진 리 대수는 가해이지만 멱영은 아니다. 멱영 리 대수의 중심 확대 및 유한 개의 멱영 리 대수의 직적은 멱영이다. 멱영 리 대수는 외부 자기 동형을 갖는다.

3.1. 포함 관계

임의의 가환환 K에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

* K-아벨 리 대수 ⊆ K-멱영 리 대수 ⊆ K-가해 리 대수 ⊆ K-리 대수
* K-멱영 리 대수 ⊆ K-엥겔 조건 리 대수 ⊆ K-리 대수

엥겔 정리에 따르면, (임의의 표수의) 체 K 위의 유한 차원 엥겔 조건 리 대수는 항상 멱영 리 대수이다.

3.2. 연산에 대한 닫힘

멱영 리 대수의 모든 부분 리 대수는 멱영 리 대수이다. 멱영 리 대수의 모든 몫 리 대수 역시 멱영 리 대수이다.

4. 동치 조건

리 대수 $\mathfrak{g}$가 멱영일 필요충분조건은 다음 조건 중 하나를 만족하는 것이다.

* 충분히 큰 $p$에 대해 $\mathcal{C}^p \mathfrak{g} = \{0\}$이다. 여기서 $\mathcal{C}^p \mathfrak{g}$는 내림 중심열이다. 즉, $\mathcal{C}^0 \mathfrak{g} = \mathfrak{g}, \mathcal{C}^{p+1} \mathfrak{g} = [\mathfrak{g}, \mathcal{C}^p \mathfrak{g}] \;(p \in \mathbb{N})$이다.
* 충분히 큰 $p$에 대해 $\mathcal{C}_p \mathfrak{g} = \mathfrak{g}$이다. 여기서 $\mathcal{C}_p \mathfrak{g}$는 올림 중심열이다. 즉, $\mathcal{C}_0 \mathfrak{g} = \{0\}$이고, $p \in \mathbb{N}$에 대해 $\mathcal{C}_{p+1} \mathfrak{g}$는 몫사상 $\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}/\mathcal{C}_p \mathfrak{g}$에 대한 $\mathfrak{g}/\mathcal{C}_p \mathfrak{g}$의 중심의 역상이다.
* 아이디얼의 감소열 $\mathfrak{g} = \mathfrak{g}_0 \supset \mathfrak{g}_1 \supset \dots \supset \mathfrak{g}_p = 0$이 존재하여 각 $i = 0, \dots, p-1$에 대해 $[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}_i] \subset \mathfrak{g}_{i+1}$를 만족한다.
* 아이디얼의 감소열 $\mathfrak{g} = \mathfrak{g}_0 \supset \mathfrak{g}_1 \supset \dots \supset \mathfrak{g}_p = 0$이 존재하여 각 $i = 0, \dots, p-1$에 대해 $[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}_i] \subset \mathfrak{g}_{i+1}$이고 $\dim \mathfrak{g}_i / \mathfrak{g}_{i+1} = 1$이다.
* 충분히 큰 $p$에 대해, 임의의 $X_0, \dots, X_{p-1} \in \mathfrak{g}$에 대해 $(\operatorname{ad} X_0) \circ \dots \circ (\operatorname{ad} X_{p-1}) = 0$이다.
* 임의의 $X \in \mathfrak{g}$에 대해 $\operatorname{ad} X \colon \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$는 멱영이다.

마지막 조건은 멱영 표현에 관한 엥겔 정리에서 유도된다.

엥겔 정리에 따르면, 유한 차원 리 대수 $\mathfrak{g}$가 멱영일 필요충분조건은 $\mathfrak{g}$의 모든 원소가 ad-멱영인 경우이다. 또한 $\mathfrak{g}$가 멱영일 필요충분조건은 $\mathrm{ad} \, \mathfrak{g}$가 (리 대수로서) 멱영인 경우이다.

5. 예

체 K에 대하여, 대각 성분이 0인 상삼각 행렬들의 집합은 멱영 리 대수를 이룬다. 이는 다음과 같이 표현된다.

: $\mathfrak n(n;K)=\{M\in\operatorname{gl}(n;K)\colon \forall i,j\in\{1,\dots,n\}\colon i\ge j\implies M_{i,j}=0\}$

하이젠베르크 대수는 멱영 리 대수의 한 예이다. 3차원 공간에서 두 행렬의 교환자는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\left[ \begin{bmatrix}0 & a & b \\0 & 0 & c \\0 & 0 & 0\end{bmatrix} ,\begin{bmatrix}0 & a' & b' \\0 & 0 & c' \\0 & 0 & 0\end{bmatrix}\right]=\begin{bmatrix}0 & 0 & a$ \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{bmatrix}

여기서 $a$ = ac' - a'c이다.

카르탕 부분대수는 멱영이고 자기 정규화된다. 즉, 리 대수

\mathfrak{l}

의 카르탕 부분대수

\mathfrak{c}

는 다음을 만족한다.

:

\mathfrak{c} = N_\mathfrak{l}(\mathfrak{c}) = \{ x \in \mathfrak{l} : [x,c] \subset \mathfrak{c} \text{ for } c \in \mathfrak{c} \}

6. 역사

1890년 7월 20일 빌헬름 킬링에게 엥겔(Friedrich Engel^독일어)이 보낸 편지에서 엥겔 정리가 대략적으로 처음 제시되었다. 이후 엥겔의 제자 카를 아르투어 움라우프(Karl Arthur Umlauf^독일어)가 1891년 박사 학위 논문에서 이 정의의 완전한 증명을 제시하였다.

7. 추가 성질

모든 멱영 리 대수는 가해 리 대수이다. 이는 실제로 가해성을 증명하는 것보다 멱영성을 증명하는 것이 더 쉬울 때(성립하는 경우) 리 대수의 가해성을 증명하는 데 유용하다. 그러나 일반적으로 이 성질의 역은 성립하지 않는다.

유표수 0인 체 위의 유한 차원 가해 리 대수의 도출 부분 대수는 멱영이다. 몫 대수 $\mathfrak{g}/Z(\mathfrak g)$ 가 멱영이고, $Z(\mathfrak{g})$ 가 $\mathfrak{g}$ 의 중심이면, $\mathfrak{g}$ 또한 멱영이다. 즉, 멱영 리 대수의 중심 확대는 멱영이다. 영이 아닌 멱영 리 대수는 외부 자기 동형 사상을 가지며, 이는 Ad의 상에 속하지 않는 자기 동형 사상이다.

7.1. 가해 리 대수와의 관계

모든 멱영 리 대수는 가해 리 대수이다. 이는 실제로 가해성을 증명하는 것보다 멱영성을 증명하는 것이 더 쉬울 때(성립하는 경우) 리 대수의 가해성을 증명하는 데 유용하다. 그러나 일반적으로 이 성질의 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, $\mathfrak{gl}(k,\mathbb R)$ (k ≥ 2)의 부분 대수로서 위삼각 행렬로 구성된 $\mathfrak{b}(k,\mathbb R)$ 는 가해이지만 멱영은 아니다.

유표수 0인 체 위의 유한 차원 가해 리 대수의 도출 부분 대수는 멱영이다.

7.2. 중심에 의한 몫

몫 대수 $\mathfrak{g}/Z(\mathfrak g)$ 가 멱영이고, $Z(\mathfrak{g})$ 는 $\mathfrak{g}$ 의 중심이면, $\mathfrak{g}$ 또한 멱영이다. 즉, 멱영 리 대수의 중심 확대는 멱영이다.

7.3. 외부 자기 동형

영이 아닌 멱영 리 대수는 외부 자기 동형 사상을 가지며, 이는 Ad의 상에 속하지 않는 자기 동형 사상이다.