갈루아 코호몰로지
1. 개요
갈루아 코호몰로지는 갈루아 군의 군 코호몰로지를 연구하는 분야이다. 체 확대 $L|K$의 갈루아 군 $G(L|K)$와 $G(L|K)$가 작용하는 아벨 군 $M$에 대해, 코호몰로지 군 $H^n(L|K, M)$으로 정의된다. 1950년대 대수적 수론에서 시작되어, 에탈 코호몰로지 이론의 기본 계층으로 나타나고, 랭글랜즈 프로그램과도 연결되었다. 힐베르트의 정리 90과 같은 소멸 정리가 중요한 결과를 제공하며, 두 번째 코호몰로지 군은 브라우어 군과 관련된다.
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갈루아 이론 -
갈루아 군
갈루아 군은 체의 확대에 대한 자기 동형군으로, 갈루아 이론의 기본 정리에 따라 체론과 군론을 연결하며, 사유한군 구조를 가지고 갈루아 코호몰로지와 관련된다. -
갈루아 이론 -
프로베니우스 사상
표수가 소수 p인 가환환 R에서 프로베니우스 사상은 r을 r^p로 보내는 환 준동형으로, 환의 표수가 p인 환의 범주에 대한 항등 함자에서 자체로의 자연 변환을 나타내며, 체 K가 표수가 0이거나 양의 표수를 갖고 프로베니우스 사상이 자기 동형 사상인 경우 완전체라고 한다. -
호몰로지 대수학 -
미분 등급 대수
미분 등급 대수는 체 위의 등급 대수와 미분의 순서쌍으로, 대수적 위상수학 및 호모토피 이론에서 활용되며, 등급 대수에 차수, 라이프니츠 규칙, 멱영성을 만족하는 미분을 추가하여 정의됩니다. -
호몰로지 대수학 -
가환 그림
가환 그림은 대상, 사상, 경로 또는 합성으로 이루어진 구조로, 대수학에서 사상의 종류를 화살표 기호로 나타내고 점선 화살표로 사상의 존재성을 표시하며, 부분 다각형 그림이 가환적일 때 전체 그림이 가환적이라고 정의되고, 범주론에서 함자로 해석되며 호몰로지 대수학에서 사상의 성질 증명에 활용된다. -
유체론 -
베유 군
베유 군은 유체론에서 기본류를 갖는 class formation의 핵심적인 역할을 하는 군으로, 다양한 체에 따라 다른 구조를 가지며, 비아르키메데스 국소체에서는 베유-들리뉴 군으로 확장된다. -
유체론 -
아델 환
아델 환은 전역체 K의 모든 place ν에 대한 완비화 K_ν들의 제한된 곱으로 정의되는 부분환 \mathbf{A}_K이며, 수론에서 중요한 역할을 수행한다.
2. 역사
갈루아 코호몰로지 이론은 1950년대 대수적 정수론에서 이데알 유군의 갈루아 코호몰로지가 유체론을 공식화하는 방법 중 하나임을 깨닫게 되면서 발전하기 시작했다. 초기에는 L-함수와의 연결이 끊어져 있었고, 갈루아 군이 아벨 군이라는 가정을 하지 않는 비-아벨 이론이었으며, 유형 형성 이론으로 추상화되었다.
2.1. 초기 결과
정규 기저 정리는 L의 덧셈 군의 첫 번째 코호몰로지 군이 사라짐을 의미하며, 리처드 데데킨드에게 알려져 있었다. 곱셈 군에 해당하는 결과는 힐베르트의 정리 90으로 알려져 있으며, 1900년 이전에 알려졌다. 쿠머 이론은 m 번째 승사상에서 오는 연결 위상 동형에 대한 설명을 제공한다.
에미 뇌터의 이름을 딴 뇌터 방정식은 1-여순환의 곱셈 사례를 공식화한 것으로, 에밀 아틴의 갈루아 이론에 등장하며 1920년대에 구전되었다. 곱셈 군에 대한 2-여순환의 경우는 브라우어 군의 경우이며, 1930년대 대수학자들에게 잘 알려졌다.
꼬임자(torsor)는 타원곡선에 대한 페르마의 무한강하법에 이미 암시되어 있었고, 모델-베유 정리의 증명은 특정 H 1 군에 대한 유한성 증명의 대용으로 진행되어야 했다. 대수적으로 닫히지 않은 체에 대한 '꼬인' 특성은 이차 형식, 단순 대수, 세베리-브라우어 다양체 등과 연결된 많은 경우에 1930년대에 알려져 있었다.
2.2. 1960년대의 발전
1960년대에 두 가지 발전이 상황을 변화시켰다. 첫째, 갈루아 코호몰로지는 에탈 코호몰로지 이론의 기본 계층(대략 0차원 스킴에 적용되는 이론)으로 나타났다. 둘째, 비-아벨적 유체론이 랭글랜즈 프로그램의 일부로 시작되었다.
2.3. 국소-전역 원리
정수론에서 갈루아 코호몰로지에 대한 국소-전역 원리를 제어해야 할 필요성이 대두되었다. 이는 하세의 노름 정리와 같은 유체론의 결과를 통해 공식화되었다. 타원곡선의 경우, 이는 셀머 군에서 테이트-샤파레비치 군의 핵심 정의로 이어졌는데, 이는 국소-전역 원리의 성공을 가로막는 장애물이다. 버치-스위너턴다이어 추측에서 중요성에도 불구하고, 카를 루빈의 결과가 어떤 경우에 그것이 유한하다는 것을 보여줄 때까지 제어하기 어려운 것으로 판명되었다.
3. 정의
갈루아 코호몰로지는 갈루아 군의 군 코호몰로지 연구이다. `L|K`를 갈루아 군 `G(L|K)`를 갖는 체 확대, `M`을 `G(L|K)`가 작용하는 아벨 군이라고 할 때, 코호몰로지 군은 다음과 같이 정의된다.
:`H^n(L|K, M) := H^n(G(L|K),M), n\ge 0`
`M`이 비가환 군이고 `n=0,1`일 때 이 정의를 확장할 수 있다. 확대 체 `L=K^s`가 체 `K`의 분리가능 폐포일 때, `G_K = G(K^s|K)`와
:`H^n(K,M) := H^n(G_K,M)`
으로 쓴다.
4. 주요 결과
힐베르트의 정리 90은 갈루아 확대 L|K에 대해 L의 곱셈 군을 값으로 갖는 첫 번째 코호몰로지 군이 자명하다는 것을 의미한다.
: H1(L|K,L*)=1.
이 소멸 정리는 임의의 준분리 K-토러스 T에 대해 H1(K,T) = 1로 일반화할 수 있다. 또한, H1(L|K,GLn(L))=1 인데, 힐베르트 정리 90은 n=1인 특수한 경우이다. 소멸 정리는 특수 선형 군 SLn(L)과 심플렉틱 군 Sp(ω)L에 대해서도 성립한다. 두 번째 코호몰로지 군은 갈루아 군에 부착된 인자계를 설명한다. 상대 브라우어 군은 Br(L|K) = H2(L|K, L*)와 같이 군과 동일시될 수 있다. 분리가능 폐포를 사용하면, Br(K) = H2(K,(Ks)*)이다.