천체역학

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1. 개요

천체역학은 천체의 운동을 연구하는 학문으로, 아이작 뉴턴의 '프린키피아'에서 시작되었다. 케플러의 행성 운동 법칙, 뉴턴 역학, 궤도 역학, 섭동 이론, 해밀턴 역학 등을 포함하며, 삼체 문제, 궤도 공명, 태양계의 안정성, 행성 고리, 혜성과 소천체, 자전과 조석 등 다양한 연구 주제를 다룬다. 현대에는 태음 운동론, 우주 비행, 인공위성 궤도, 우주 탐사 등 실용적인 분야에도 광범위하게 응용된다.

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천체역학
지도 정보
기본 정보
분야	천문학
하위 분야	궤도역학
핵심 개념
기본 원리	뉴턴의 운동 법칙 및 중력의 법칙
주요 문제	N체 문제
궤도 결정	관측 데이터로부터 천체의 궤도를 결정
주요 내용
연구 내용	천체의 운동 예측 및 모델링 우주 탐사 임무 설계 인공위성 궤도 결정 및 유지 행성 탐사 및 관측 천체 충돌 및 궤도 변화 분석
응용 분야
우주 탐사	우주 탐사 임무 설계 및 궤도 계산
인공위성	인공위성 궤도 결정 및 유지
천문 관측	천문 관측 데이터 분석 및 천체 운동 모델링
행성 과학	행성 과학 연구 및 행성 탐사
관련된 학문
관련 분야	물리학 수학 공학
세부 학문	천체물리학 천문학 우주공학
역사
초기 연구	케플러의 행성 운동 법칙 뉴턴의 중력 법칙
현대적 발전	컴퓨터를 이용한 궤도 계산 및 모델링
주요 기여	르메트르의 우주론 연구 아인슈타인의 일반 상대성 이론

2. 역사

현대 천체역학은 아이작 뉴턴의 프린키피아 (1687)에서 시작되었다. '''천체역학'''이라는 명칭은 그보다 최근에 생겨났다. 뉴턴은 이 분야를 "합리적 역학"이라고 불러야 한다고 썼다. "역학"이라는 용어는 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 약간 후에 사용하기 시작했으며, 뉴턴 이후 1세기가 지난 후 피에르 시몽 라플라스가 "천체역학"이라는 용어를 도입했다. 요하네스 케플러 이전에는 기하학적 또는 수치적 기법을 사용하여 행성의 위치를 정확하고 정량적으로 예측하는 것과 행성 운동의 물리적 원인에 대한 당대의 논의 사이에는 거의 연관성이 없었다.

중심 천체(예: 태양)로부터 받는 중력(만유인력의 법칙)의 영향을 받는 천체(예: 행성)의 운동을 케플러 운동이라고 한다. 케플러 운동에서 천체의 위치는 뉴턴의 운동 방정식을 만족한다. 천체역학에서는 전통적으로 질량의 단위로 태양질량을, 중력 상수 대신 그 제곱근으로 정의되는 가우스 중력 상수를 사용한다. 또한 시간 단위로는 일(율리우스일)이, 거리 단위로는 천문 단위가 사용된다.

2. 1. 고대 및 중세 천문학

아이작 뉴턴의 프린키피아 (1687)에서 현대적 해석의 천체역학이 시작되었다. '''천체역학'''이라는 명칭은 그보다 최근에 생겨났다. 뉴턴은 이 분야를 "합리적 역학"이라고 불러야 한다고 썼다. "역학"이라는 용어는 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 약간 후에 사용하기 시작했으며, 뉴턴 이후 1세기가 지난 후 피에르 시몽 라플라스가 "천체역학"이라는 용어를 도입했다. 요하네스 케플러 이전에는 기하학적 또는 수치적 기법을 사용하여 행성의 위치를 정확하고 정량적으로 예측하는 것과 행성 운동의 물리적 원인에 대한 당대의 논의 사이에는 거의 연관성이 없었다.

2. 2. 케플러와 뉴턴

아이작 뉴턴은 행성, 태양, 달과 같은 천체의 운동과 대포알이나 떨어지는 사과와 같이 지상에서의 물체 운동을 동일한 물리 법칙으로 설명할 수 있다는 개념을 도입하였다. 이러한 의미에서 그는 천체 역학과 지상 역학을 통합했다. 뉴턴은 뉴턴의 만유인력 법칙을 사용하여 1687년 그의 걸작인 ''프린키피아''에 포함시킨 중력 2체 문제로부터 타원 궤도에 대한 케플러 법칙을 유도함으로써 이를 확인했다.

케플러의 법칙은 행성의 궤도의 가장 기본적인 성질을 설명한 것이다(이는 행성 주위를 공전하는 위성에도 적용된다).

제1법칙: 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 그린다.
제2법칙: 태양과 행성을 잇는 선분이 단위 시간에 쓸고 지나는 면적(면적속도)은 일정하다.
제3법칙: 행성의 공전 주기의 제곱은 궤도 장반축의 세제곱에 비례한다.

제1법칙에서 주장하는 타원 궤도의 형태는 장반축(semi-major axis^영어)

a

와 이심률(eccentricity^영어)

e

에 의해 결정된다. 중심 천체와의 거리가 가장 가까워지는 궤도상의 점을 근점(pericenter^영어)이라고 부르는데, 특히 태양 주위를 운동하는 천체의 경우 근일점(perihelion^영어), 지구 주위를 운동하는 천체의 경우 근지점(perigee^영어) 등으로 부른다. 중심 천체와의 거리가 가장 멀어지는 궤도상의 점은 원점(apocenter^영어)이다. 중심 천체와 문제의 천체의 거리(동경)

r

은 중심 천체와 근점을 잇는 선분(근점선)과 동경이 이루는 각

f

를 이용하여 다음과 같이 표시된다.

:

r ( f ) = \frac{ a ( 1 - e^2 ) }{ 1 + e \cos f }

여기서 각

f

는 진근점각 또는 진근점이각(true anomaly^영어)(#궤도요소 절 참조)이라고 불린다. 참고로

p = a ( 1 - e^2 )

를 반직현(semilatus rectum^영어)이라고 부른다.

제2법칙은 각운동량 보존을 의미한다. 제3법칙에 따라 장반축

a

는 평균 각속도를 나타내는 평균운동(mean motion^영어)

:

n = \frac{ 2 \pi }{ T }

(

T

는 궤도 주기)와 다음과 같은 관계가 있다.

:

n^2 a^3 = \mu

케플러 운동에는 타원 궤도 외에 포물선 궤도, 쌍곡선 궤도가 존재하며, 이들은 모두 원추곡선이다.

어떤 순간의 천체 좌표

( x, y, z )

와 속도

( v_x, v_y, v_z )

가 주어진다면, 그 천체의 궤도 요소는 유일하게 결정되며 계산할 수 있다. 하지만 실제로는 1회의 관측으로 얻을 수 있는 것은 두 개의 각도(적도좌표에서는 적위

\alpha

와 적경

\delta

)뿐이며, 천체의 궤도 요소를 결정하기 위해서는 최소 3회의 관측을 할 필요가 있다.^[10]

2. 3. 해석 역학의 발전

조제프 루이 라그랑주는 뉴턴 이후 1772년에 삼체 문제를 풀려고 시도했고, 행성 궤도의 안정성을 분석했으며, 라그랑주점의 존재를 발견했다. 라그랑주는 고전 역학의 원리를 재정립하여 힘보다 에너지를 더 강조하고, 하나의 극좌표 방정식을 사용하여 포물선 궤도와 쌍곡선 궤도를 포함한 모든 궤도를 설명하는 방법을 개발했다. 이것은 행성과 혜성의 움직임을 계산하는 데 유용하며(포물선 궤도와 쌍곡선 궤도는 케플러의 타원 궤도의 원추 곡선 확장이다), 최근에는 우주선의 궤적을 계산하는 데에도 유용하게 되었다.

앙리 푸앵카레는 "천체 역학의 새로운 방법"(1892–1899)과 "천체 역학 강의"(1905–1910)라는 두 권의 고전적인 논문을 발표했다. 그는 이 논문에서 자신의 연구 결과를 삼체 문제에 성공적으로 적용하고 해의 거동(주파수, 안정성, 점근선 등)을 자세히 연구했다. 푸앵카레는 삼체 문제가 적분 불가능함을 보였다. 다시 말해, 삼체 문제의 일반적인 해는 대수적 및 초월 함수를 사용하여 물체의 명확한 좌표와 속도로 표현할 수 없다. 이 분야에서 그의 업적은 아이작 뉴턴 이후 천체 역학에서 가장 중요한 업적이었다.^[1]

이 논문에는 푸앵카레의 아이디어가 포함되어 있는데, 이는 나중에 수학적 "카오스 이론"(특히 푸앵카레 재귀 정리 참조)과 동역학계의 일반 이론의 기초가 되었다. 그는 분기점이라는 중요한 개념을 도입하고, 고리 모양과 배 모양의 도형을 포함한 비타원체와 같은 평형 도형의 존재와 안정성을 증명했다. 이 발견으로 푸앵카레는 왕립 천문학회 금메달(1900년)을 수상했다.^[2]

2. 4. 현대 천체역학

사이먼 뉴컴은 캐나다계 미국인 천문학자로, 페터 안드레아스 한센의 달 위치표를 수정했다. 1877년 조지 윌리엄 힐의 도움을 받아 주요 천문 상수들을 모두 재계산했다. 1884년 이후 A.M.W. 다우닝(A.M.W. Downing)과 함께 이 문제에 대한 국제적인 혼란을 해결하기 위한 계획을 세웠다. 1886년 5월 파리에서 열린 표준화 회의에서 모든 역서(ephemerides)는 뉴컴의 계산에 기초해야 한다는 국제적 합의가 이루어졌고, 1950년 회의에서 뉴컴의 상수가 국제 표준으로 확정되었다.^[1]

알베르트 아인슈타인은 1916년 논문 "일반상대성이론의 기초"에서 수성의 근일점 이동 이상 현상을 설명했다. 일반 상대성 이론은 천문학자들이 뉴턴 역학이 가장 높은 정확도를 제공하지 못한다는 것을 인식하게 만들었다.^[2]

3. 법칙

케플러의 3가지 법칙은 천체역학 법칙의 대표적인 예시이다. 아이작 뉴턴은 케플러의 법칙을 자신의 역학 체계를 통해 연역하였다.

3. 1. 케플러의 행성운동 법칙

요하네스 케플러는 1609년에 '''새로운 천문학, 원인에 기초한 또는 천체 물리학'''을 발표했는데, 그의 연구는 티코 브라헤가 수행한 행성 관측과 그의 물리적 원리를 사용하여 개발한 행성 궤도 법칙으로 이어졌다.^[10] 케플러의 타원형 모델은 아이작 뉴턴이 1686년에 만유인력 법칙을 개발하기 수년 전에 행성 운동 예측의 정확도를 크게 향상시켰다.

케플러의 법칙은 행성의 궤도의 가장 기본적인 성질을 설명한 것이다(이는 행성 주위를 공전하는 위성에도 적용된다)。

제1법칙: 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 그린다.
제2법칙: 태양과 행성을 잇는 선분이 단위 시간에 쓸고 지나는 면적(면적속도)은 일정하다.
제3법칙: 행성의 공전 주기의 제곱은 궤도 장반축의 세제곱에 비례한다.

제1법칙이 주장하는 타원 궤도의 형태는 장반축()

a

，이심률()

e

에 의해 결정된다. 중심 천체와의 거리가 가장 가까워지는 궤도상의 점을 근점()이라고 부르는데，특히 태양 주위를 운동하는 천체의 경우 근일점()，지구 주위를 운동하는 천체의 경우 근지점() 등으로 부른다. 중심 천체와의 거리가 가장 멀어지는 궤도상의 점이 원점()이다. 중심 천체와 문제의 천체의 거리(동경)

r

은 중심 천체와 근점을 잇는 선분과 동경이 이루는 각

f

를 이용하여

r ( f ) = \frac{ a ( 1 - e^2 ) }{ 1 + e \cos f }

로 표시된다. 각

f

는 진근점각 또는 진근점이각()(#궤도요소절 참조)이라고 불린다. 참고로

p = a ( 1 - e^2 )

를 반직현()라고 부른다.

제2법칙은 각운동량의 보존을 의미한다。제3법칙에 따라 장반축

a

는 평균 각속도를 나타내는 평균운동()

n = \frac{ 2 \pi }{ T }

(

T

는 궤도 주기)와 다음과 같은 관계가 있다。

n^2 a^3 = \mu

케플러 운동에는 타원 궤도 외에 포물선 궤도, 쌍곡선 궤도가 존재한다。이들은 모두 원추곡선이다。

3. 2. 뉴턴 역학과 만유인력

아이작 뉴턴은 행성, 태양, 달과 같은 천체의 운동과 대포알이나 떨어지는 사과와 같이 지상에서의 물체 운동을 동일한 물리 법칙으로 설명할 수 있다는 개념을 도입했다. 이러한 의미에서 그는 천체 역학과 지상 역학을 통합했다. 뉴턴의 만유인력 법칙을 사용하여 뉴턴은 프린키피아에 포함시킨 중력 2체 문제로부터 타원 궤도에 대한 케플러 법칙을 유도함으로써 이를 확인했다.^[10]

케플러의 법칙은 행성의 궤도의 가장 기본적인 성질을 설명한 것이다(이는 행성 주위를 공전하는 위성에도 적용된다).^[11]

제1법칙: 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 그린다.
제2법칙: 태양과 행성을 잇는 선분이 단위 시간에 쓸고 지나는 면적(면적속도)은 일정하다.
제3법칙: 행성의 공전 주기의 제곱은 궤도 장반축의 세제곱에 비례한다.

제1법칙에서 주장하는 타원 궤도의 형태는 장반축(semi-major axis)

a

, 이심률(eccentricity)

e

에 의해 결정된다. 중심 천체와의 거리가 가장 가까워지는 궤도상의 점을 근점(pericenter)이라고 부르는데, 특히 태양 주위를 운동하는 천체의 경우 근일점(perihelion), 지구 주위를 운동하는 천체의 경우 근지점(perigee) 등으로 부른다. 중심 천체와의 거리가 가장 멀어지는 궤도상의 점은 원점(apocenter)이다. 중심 천체와 문제의 천체의 거리(동경)

r

은 중심 천체와 근점을 잇는 선분(근점선)과 동경이 이루는 각

f

를 이용하여 다음과 같이 나타낸다.

:

r ( f ) = \frac{ a ( 1 - e^2 ) }{ 1 + e \cos f }

여기서 각

f

는 진근점각 또는 진근점이각(true anomaly)이라고 불린다(#궤도요소절 참조).

p = a ( 1 - e^2 )

는 반직현(semilatus rectum)이라고 부른다.

제2법칙은 각운동량 보존을 의미한다. 제3법칙에 따라 장반축

a

는 평균 각속도를 나타내는 평균운동(mean motion)

:

n = \frac{ 2 \pi }{ T }

(

T

는 궤도 주기)와 다음과 같은 관계가 있다.

:

n^2 a^3 = \mu

케플러 운동에는 타원 궤도 외에 포물선 궤도, 쌍곡선 궤도가 존재한다. 이들은 모두 원추곡선이다.

어떤 순간의 천체 좌표

( x, y, z )

와 속도

( v_x, v_y, v_z )

가 주어지면, 그 천체의 궤도 요소는 유일하게 결정되며 계산할 수 있다. 하지만 실제로는 1회의 관측으로 얻을 수 있는 것은 두 개의 각도(적도좌표에서는 적위

\alpha

와 적경

\delta

)뿐이며, 천체의 궤도 요소를 결정하기 위해서는 최소 3회의 관측이 필요하다.^[10] 관측 데이터로부터 궤도 요소를 결정하는 방법론은 궤도 결정(Orbit determination)으로 알려져 있다.^[11]

4. 궤도 역학

천체 운동은 항력이나 추력과 같은 추가적인 힘이 없을 때, 질량 간의 상호 중력 가속도에 의해 지배된다. 일반적인 형태는 n체 문제^[3]로 나타낼 수 있는데, 이는 n개의 질량이 중력을 통해 서로 상호작용하는 것을 의미한다. 일반적인 경우에는 해석적으로 적분가능하지 않지만,^[4] 수치적으로는 잘 근사할 수 있다.

n=2인 경우(2체 문제)는 n>2인 경우보다 훨씬 간단하다. 이 경우에는 시스템이 완전히 적분 가능하며, 정확한 해를 구할 수 있다.^[5]

"천체역학의 표준 가정"에서는 하나의 천체인 궤도 천체가 다른 천체인 중심 천체보다 훨씬 작다고 가정하는데, 이는 대개 근사적으로 유효하다.

예시:

태양계가 은하수 중심을 공전하는 것
행성이 태양을 공전하는 것
위성이 행성을 공전하는 것
우주선이 지구, 위성 또는 행성을 공전하는 것 (후자의 경우, 이 근사는 해당 궤도에 도착한 후에만 적용됨)

4. 1. 케플러 운동

케플러의 3가지 법칙은 경험적, 귀납적으로 추론되었지만, 뉴턴은 자신의 역학 체계를 이용하여 이를 성공적으로 연역하였다. 중심 천체(예: 태양)로부터 받는 중력(만유인력의 법칙)의 영향을 받는 천체(예: 행성)의 운동을 케플러 운동이라고 한다. 케플러 운동에서 천체의 위치

\mathbf{r}

는 뉴턴의 운동 방정식

:

\frac{ d^2 \mathbf{r} }{ d t^2 } = - \mu \frac{ \mathbf{r} }{ | \mathbf{r} |^3 }

을 만족한다. 여기서

\mu

는 중력 상수와 중심 천체의 질량과 문제의 천체 질량의 합의 곱이다.

천체역학에서는 전통적으로 질량의 단위로 태양질량

M_\odot

을, 중력 상수

\mathcal{G}

대신 그 제곱근으로 정의되는 가우스 중력 상수

k

를 사용한다. 이 단위계에서 문제의 행성 질량을

m

이라고 하면

:

\mu = k^2 ( 1 + m )

이 성립한다. 또한 시간 단위로는 일(율리우스일)이, 거리 단위로는 천문 단위가 사용된다.

4. 2. 궤도 요소

궤도경사각 $i$ 、승교점황경 $\Omega$ 、근점인수 $\omega$ 、진근점각 $\nu$ 를 나타내는 모식도.

천체의 궤도 및 그 위의 위치를 특정하기 위해 사용되는 매개변수를 궤도 요소 (orbital element)라고 한다^[9]. 위에서 언급한 타원 궤도의 형태를 특정하기 위해 사용되는 장반축

a

와 이심률

e

는 궤도 요소 중 하나이다. 또한, 궤도면 내에서의 타원 궤도의 방향을 특정하기 위해 근점인수 (argument of pericenter)

\omega

가, 궤도면을 특정하기 위해 궤도경사각 (inclination)

i

와 승교점황경 (longitude of ascending node)

\Omega

가 사용된다. 먼저 궤도경사각

i

는 천체의 궤도면이 기준면(대부분의 경우 황도면 또는 불변면)과 이루는 각으로 정의된다. 천체의 궤도 상의 점에서 궤도면과 기준면 모두에 놓이는 점이 승교점이며, 승교점이 황도면 내의 기준 방향(춘분점)과 이루는 각(황경)이 승교점황경

\Omega

이다. 마지막으로 근점인수

\omega

는 승교점과 근점이 이루는 각이다. 근점인수

\omega

대신

:

\varpi = \Omega + \omega

에 의해 정의되는 근점황경 (longitude of pericenter)을 채택해도 좋다.

타원 궤도 상의 천체의 위치를 나타내는 각도로 진근점각

f

이외에 이심근점각 (이심근점이각, eccentric anomaly)

E

、평균근점각 (평균근점이각, mean anomaly)

M

、평균황경 (mean longitude)

\lambda

가 있다. 이심근점각

E

는

:

r = a ( 1 - e \cos E )

을 만족하며, 진근점각

f

와

:

\tan \frac{ f }{ 2 } = \sqrt{ \frac{ 1 + e }{ 1 - e } } \tan \frac{ E }{ 2 }

라는 관계가 있다. 평균근점각

M

는 근점통과시각을

t_0

로 하여

:

M = n ( t - t_0 )

에 의해 정의되며, 이심근점각

E

와 케플러 방정식

:

E - e \sin E = M

에 의해 연결된다. 평균황경

\lambda

는

:

\lambda = M + \Omega + \omega = M + \varpi

에 의해 정의된다. 이러한 각

f

,

E

,

M

,

\lambda

는 시간적으로 변하는 양이지만, 근점통과시각

t_0

또는 원기 (epoch)에서의 평균황경

\epsilon

를 주면 어떤 각도도 현재 시각

t

에서 계산할 수 있으므로, 예를 들어 근점통과시각

t_0

를 궤도 요소로 사용하면 충분하다. 궤도 요소의 집합

\{ a, e, i, t_0, \omega, \Omega \}

는 케플러의 궤도 요소 또는 궤도 6요소라고 불리며, 이것에 의해 천체의 운동 상태를 완전히 특정할 수 있다.

4. 3. 궤도 결정

태양계 행성의 궤도가 장기적으로 안정적으로 유지되는가에 대한 문제는 아이작 뉴턴 이래로 연구되어 왔다^[20]。 Stability of the Solar System|태양계의 안정성^영어 문제는 아이작 뉴턴 이래로 연구되어 왔다^[20]。 뉴턴은 태양계가 불안정하다고 생각했다^[20]。

라그랑주 등에 의한 섭동론 연구를 거쳐 라플라스는 1776년에 장기 섭동의 1차 범위 내에서는 행성의 궤도 장반경은 시간 변화 없이 안정적임을 보였다. 시메옹 드니 푸아송은 라플라스의 결과를 확장하여 1808년에 2차 섭동의 범위에서도 궤도 장반경은 장기 불변량임을 보였다. 그러나 위르뱅 르베리에는 1840년부터 41년에 걸쳐 장기간의 궤도 진화에서는 고차 섭동이 중요하며, 섭동의 저차 항에만 근거한 라플라스 등에 의한 안정성 증명은 신뢰할 수 없다고 지적했다(동시에 소분모 문제에도 언급하고 있다). 앙리 푸앵카레는 르베리에의 문제 제기에 따라 1880년대에 행성계의 궤도는 해석적인 해의 표현이 존재하지 않고( 푸앵카레의 정리), 문제의 섭동급수는 일반적으로 발산한다는 것을 증명했다. 1960년대의 콜모고로프 등에 의한 KAM 이론은 근적분계의 대부분의 궤도는 섭동이 충분히 작으면 토러스 위의 준주기 해가 된다는 것을 보여주고 있으며, 태양계의 안정성을 이러한 관점에서 증명하는 연구가 이루어졌다.

한편, 1950년대부터는 전자 계산기를 이용한 태양계의 장시간 고정밀 시뮬레이션이 이루어지게 되었다. 초기의 것으로는 1951년 W. J. Eckert 등에 의한 5행성 시뮬레이션이 있다^[21]。Laskar는 1989년 논문에서 시뮬레이션 결과 리야푸노프 시간 500만 년에 불안정화된다고 주장했다^[22]。그러나 리야푸노프 의미에서의 불안정성에도 불구하고, 이토 타카시와 타니가와 키요타카는 ±40억 년의 시뮬레이션에서 행성 궤도는 안정적으로 존재했다고 보고하고 있다^[23]。태양계의 안정성에 관한 일반적인 이론은 2009년 현재 아직 존재하지 않는다^[24]。

4. 4. 섭동 이론

섭동 이론은 정확하게 풀 수 없는 문제에 대한 근사해를 구하는 데 사용되는 수학적 방법이다. 이는 수치 해석에 사용되는 방법과 밀접하게 관련되어 있으며, 고대부터 사용되어 왔다. 현대 섭동 이론의 가장 초기 사용은 천체역학의 풀 수 없는 수학적 문제를 다루기 위한 것이었다. 예를 들어 뉴턴은 달의 궤도가 지구와 태양의 중력 때문에 단순한 케플러 타원과는 다르게 움직인다는 것을 발견했다.^[6]

섭동 방법은 정확하게 풀 수 있도록 단순화된 형태로 시작한다. 천체역학에서 이는 일반적으로 케플러 타원이며, 지구와 달처럼 두 천체 사이의 중력 작용만 고려할 때 정확하다.

단순화된 문제는 실제 문제에 더 가깝게 만들기 위해 ''"섭동"''된다. 예를 들어 태양처럼 더 멀리 있는 세 번째 천체의 중력 효과를 포함하는 것이다. 방정식에서 발생하는 작은 변화는 원래 해에 대한 수정으로 사용된다. 한 번의 수정만으로도 종종 실제 문제에 대한 훨씬 더 나은 근사해를 제공한다.

물론 수정은 여러 번 반복될 수 있다. 부분적으로 수정된 해는 새로운 섭동과 수정의 시작점으로 다시 사용될 수 있다. 원칙적으로 대부분의 문제에서 이전 해를 재활용하고 개선하여 더 나은 해를 얻는 과정은 원하는 정확도에 도달할 때까지 계속될 수 있다.

이 방법의 일반적인 어려움은 수정이 반복될수록 새로운 해가 점점 더 복잡해져서 각 주기를 관리하기가 더 어려워진다는 것이다. 뉴턴은 달 궤도 문제에 대해 "내 머리를 아프게 한다"고 말했다고 한다.^[6]

단순화된 문제에서 시작하여 실제 상황에 더 가까운 수정된 해를 만들기 위해 점진적으로 수정을 추가하는 이 절차는 고급 과학 및 공학에서 널리 사용되는 수학적 도구이다. 이는 고대부터 숫자에 사용되어 온 "추측, 확인 및 수정" 방법의 자연스러운 확장이다.

태양과 같은 중심 천체로부터 중력(만유인력의 법칙)의 영향을 받는 행성과 같은 천체의 운동을 케플러 운동이라고 한다. 케플러 운동에서 천체의 위치는 뉴턴의 운동 방정식을 따른다. 여기서

\mu

는 중력 상수와 중심 천체 및 문제 천체의 질량 합의 곱이다. 천체역학에서는 전통적으로 질량 단위로 태양질량을 사용하고, 중력 상수 대신 그 제곱근으로 정의되는 가우스 중력 상수를 사용한다. 이 단위계에서 문제 행성의 질량을

m

이라 하면,

\mu = k^2 ( 1 + m )

이 된다. 시간 단위로는 일(율리우스일)을, 거리 단위로는 천문 단위를 사용한다.

행성의 공전 궤도는 주로 태양의 중력에 의해 결정되며, 0차 근사에서는 태양-행성의 이체 문제로 간주할 수 있다. 이 근사에서 행성의 궤도 요소는 일정하며 시간이 지나도 변하지 않는다. 그러나 실제로는 행성 궤도가 다른 행성의 섭동에 의해 변화한다. 따라서 특정 순간의 행성 궤도에 대해, 그 순간의 운동 상태와 일치하는 가상의 케플러 궤도를 생각하고, 그 궤도 요소를 해당 시점의 행성의 접촉 궤도 요소라고 한다. 접촉 궤도 요소는 다른 행성의 섭동에 의해 시간이 지남에 따라 변하므로, 이를 계산하면 행성의 궤도를 알 수 있다. 이러한 섭동 기법을 상수 변화법이라고 한다.

4. 4. 1. 섭동 함수와 라그랑주 행성 방정식

섭동으로 작용하는 힘이 보존력인 경우, 천체의 운동 방정식은 섭동 함수 또는 교란 함수 (

R

)를 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.^[25]

::

예를 들어 태양계 행성의 경우,

i

번째 행성의 태양 중심 좌표계에서의 위치

\mathbf{r}_i

는 다음 운동 방정식을 만족한다.

::

::

여기서

m_i

는 행성

i

의 질량이며, 섭동 함수의 제1항을 직접항, 제2항을 간접항이라고 한다.

섭동 함수

R

에 의한 섭동 궤도 요소

\sigma_j

의 시간 변화는 라그랑주 행성 방정식에 의해 기술된다.

::

여기서

[ c_j, c_k ]

는 라그랑주 괄호이다. 섭동 궤도 요소로

\sigma_j = \{ a, e, i, \epsilon, \varpi, \Omega \}

를 취할 때, 라그랑주 행성 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

::

::

::

::

::

섭동 함수

R

가 주어지면, 그것을 섭동 전개하고 행성 방정식을 순차적으로 풀어서 궤도 요소의 시간 변화를 계산할 수 있다.

4. 4. 2. 가우스의 방법

카를 프리드리히 가우스의 방법은 섭동 함수가 아닌 천체에 작용하는 힘을 명시적으로 다루는 방법이며, 비보존력을 다룰 수 있다.^[4] 이 경우, 운동 방정식을

\frac{ d^2 \mathbf{r} }{ d t^2 } = - \mu \frac{ \mathbf{r} }{ | \mathbf{r} |^3 } + \mathbf{F} ( t, \mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}} )

라고 쓸 때

I = I ( \mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}} )

를 궤도 요소로 하면 섭동 방정식은

\frac{ d I }{ d t } = \frac{ \partial I }{ \partial \dot{\mathbf{r}} } \cdot \mathbf{F}

^[6]

에 의해 주어진다. 섭동

\mathbf{F}

의 성분으로는 다음 두 가지 방법이 있다.^[7]

동경 성분 $R'$ , 궤도면 내의 $R'$ 의 법선 성분 $S'$ , 궤도면의 법선 성분 $W'$ .
궤도의 접선 성분 $T'$ , 궤도면 내의 $T'$ 의 법선 성분 $N'$ , 궤도면의 법선 성분 $W'$ .

전자의 관점에서 궤도 요소

\{ a, e, i, \Omega, \omega, t_0 \}

에 관한 가우스의 섭동 방정식은 다음과 같이 주어진다.^[8] 여기서

p

는 궤도의 반직경이다.

\frac{ d a }{ d t } = \sqrt{ \frac{ p }{ \mu } } \frac{ 2 a }{ 1 - e^2 } \left\{ e \sin f R' + \frac{ p }{ r } S' \right\}

\frac{ d e }{ d t } = \sqrt{ \frac{ p }{ \mu } } \left\{ \sin f R' + ( \cos f + \cos E ) S' \right\}

\frac{ d i }{ d t } = \frac{ r \cos ( f + \omega ) }{ n a^2 \sqrt{ 1 - e^2 } } W'

\frac{ d \Omega }{ d t } = \frac{ r \sin ( f + \omega ) }{ n a^2 \sqrt{ 1 - e^2 } \sin i } W'

\frac{ d \omega }{ d t } = \frac{ 1 }{ e } \sqrt{ \frac{ p }{ \mu } } \left\{ - \cos f R' + \left( 1 + \frac{ r }{ p } \right) \sin f S' \right\} - \cos i \frac{ d \Omega }{ d t }

\frac{ d t_0 }{ d t } = - \frac{ 1 - e^2 }{ n^2 a e } \left\{ \left( \cos f - 2 e \frac{ r }{ p } \right) R' - \left( 1 + \frac{ r }{ p } \right) \sin f S' \right\} - \frac{ 3 }{ 2 a } ( t - t_0 ) \frac{ d a }{ d t }

4. 4. 3. 장주기 섭동

섭동으로 작용하는 힘이 보존력인 경우, 천체의 운동 방정식은 섭동 함수 또는 교란 함수로 알려진 함수

R

을 이용하여 표현할 수 있다. 태양계 행성의 경우,

i

번째 행성의 태양 중심 좌표에서의 위치

\mathbf{r}_i

는 운동 방정식으로 나타낼 수 있으며, 이때 섭동 함수의 제1항은 직접항, 제2항은 간접항이라고 불린다.^[1]

섭동 함수

R

에 의한 섭동 궤도 요소

\sigma_j

의 시간 변화는 라그랑주 행성 방정식에 의해 기술된다.^[2] 섭동 궤도 요소로

\sigma_j = \{ a, e, i, \epsilon, \varpi, \Omega \}

를 취할 때, 라그랑주 행성 방정식은 여러 개의 수식으로 표현될 수 있다.^[3]^[4]^[5] 섭동 함수

R

가 주어지면, 그것을 섭동 전개하고 행성 방정식을 순차적으로 풀어서 궤도 요소의 시간 변화를 계산할 수 있다.

카를 프리드리히 가우스의 방법은 섭동 함수가 아닌 천체에 작용하는 힘을 명시적으로 다루는 방법이며 비보존력을 다룰 수 있다.^[6]^[7] 이 경우, 운동 방정식을 표현하고,

I = I ( \mathbf{r}, \dot{\mathbf{r}} )

를 궤도 요소로 하면 섭동 방정식으로 주어진다.^[8] 섭동

\mathbf{F}

의 성분으로는 두 가지 방법이 있다.^[9]^[10]

동경 성분 $R'$ , 궤도면 내의 $R'$ 의 법선 성분 $S'$ , 궤도면의 법선 성분 $W'$ .
궤도의 접선 성분 $T'$ , 궤도면 내의 $T'$ 의 법선 성분 $N'$ , 궤도면의 법선 성분 $W'$ .

전자의 관점에서 궤도 요소

\{ a, e, i, \Omega, \omega, t_0 \}

에 관한 가우스의 섭동 방정식은 여러 개의 수식으로 주어진다.^[11] 여기서

p

는 궤도의 반직경이다.

행성은 엄밀히 말해 구형이 아니며, 자전에 의한 변형과 조석력에 의한 조석 변형을 받는다. 이러한 변형은 축대칭이며, 근사적으로 중심축에서 측정한 각도

\psi

의 함수로

P_2 ( \cos \psi )

와 같은 형태로 표현할 수 있다. 또한 조석 변형의 정도는 러브 수에 의해 정량화된다.

주 관성 모멘트

A

,

B

,

C

를 갖는 천체가 외부에 만드는 중력 퍼텐셜

\Phi

의 표식은 맥컬러의 공식이라고 한다. 여기서

I

는 천체의 질량중심과 퍼텐셜의 평가점을 잇는 축 주위의 관성 모멘트이며, 평가점의 좌표를

( x, y, z )

라 할 때 주어진 식으로 나타낼 수 있다.

4. 5. 정준 변수

중심 천체(예: 태양)의 중력(만유인력의 법칙) 영향을 받는 천체(예: 행성)의 운동은 케플러 운동이라고 한다. 천체역학의 몇몇 문제에는 케플러 궤도 요소가 아닌 정준 켤레량을 기본 변수로 사용하는 해밀턴 역학이 적합하다. 예를 들어 드로네 변수

( l, g, h, L, G, H )

는 다음과 같이 정의된다.^[14]

l = M , \ \ L = \sqrt{ \mu a }

g = \omega , \ \ G = \sqrt{ \mu a ( 1 - e^2 ) }

h = \Omega , \ \ H = \sqrt{ \mu a ( 1 - e^2 ) } \cos I

여기서 $( l, L )$ , $( g, G )$ , $( h, H )$ 가 정준 켤레쌍을 이룬다. 이때 해밀토니안은 다음과 같이 주어진다.

$F = - \frac{ \mu^2 }{ 2 L^2 }$

이러한 변수들은 케플러 문제의 작용-각 변수와 관련이 있다.

정준 형식의 섭동론은 섭동 후 해밀토니안에서 각 변수를 소거하는 정준 변환을 구성함으로써 실현된다. 이러한 정준 변환을 적용하면 변환 후 작용 변수가 시간 변화하지 않아 문제를 자명하게 풀 수 있다. 이러한 변환은 섭동의 임의의 차수까지 계속할 수 있지만, 이 섭동 급수는 수렴하지 않아 급수를 중간에 잘라야 한다.

5. 주요 연구 주제

천체역학의 주요 연구 주제는 다음과 같다.

삼체 문제: 세 천체가 중력으로 상호작용하는 운동을 다룬다. 앙리 푸앵카레는 구적법으로 풀 수 없음을 보였다.^[27] 제한삼체문제와 라그랑주점이 연구된다.^[28]
궤도 공명: 고리와 위성 간 상호작용을 연구한다. 고리 구조, 안정성, 목자 위성이 주요 대상이다.
태양계 안정성: 혜성은 큰 이심률을 가지며 목성 등 행성에 섭동을 받는다. 소행성은 카오스 궤도를 보이기도 한다.
목성의 중력적 영향을 받는 혜성 궤도 시뮬레이션. 붉은 점은 태양, 검은 점은 목성, 파란 점은 혜성. 연한 파란색은 초기 궤도, 진한 파란색은 섭동 후 궤도.
행성 고리: 천체는 완전한 구형이 아니므로, 중력 퍼텐셜 보정이 필요하다. 이는 인공위성 궤도에 큰 영향을 준다.
혜성과 태양계 소천체: 혜성은 목성에 섭동을 받으며, 티세랑 판별식으로 동일성을 판정한다. 소행성은 카오스 궤도를 가지며, 우주먼지는 복사압 등도 고려해야 한다.
자전과 조석: 행성 형성 이론에서 미행성 합체는 천체역학과 관련된다.^[1]
일반 상대성 이론: 알베르트 아인슈타인은 일반 상대성 이론으로 수성 근일점 이동을 설명, 뉴턴 역학의 한계를 보였다.

5. 1. 삼체 문제

앙리 푸앵카레는 "천체 역학의 새로운 방법"(1892–1899)과 "천체 역학 강의"(1905–1910)라는 두 권의 고전적인 논문을 발표했다. 그는 이 논문에서 자신의 연구 결과를 삼체 문제에 성공적으로 적용하고 해의 거동(주파수, 안정성, 점근선 등)을 자세히 연구했다. 푸앵카레는 삼체 문제가 적분 불가능함을 보였다. 다시 말해, 삼체 문제의 일반적인 해는 대수적 및 초월 함수를 사용하여 물체의 명확한 좌표와 속도로 표현할 수 없다.^[1] 이 분야에서 그의 업적은 아이작 뉴턴 이후 천체 역학에서 가장 중요한 업적이었다.^[1]

이 논문에는 푸앵카레의 아이디어가 포함되어 있는데, 이는 나중에 수학적 "카오스 이론"(특히 푸앵카레 재귀 정리 참조)과 동역학계의 일반 이론의 기초가 되었다. 그는 분기점이라는 중요한 개념을 도입하고, 고리 모양과 배 모양의 도형을 포함한 비타원체와 같은 평형 도형의 존재와 안정성을 증명했다. 이 발견으로 푸앵카레는 왕립 천문학회 금메달(1900년)을 수상했다.^[2]

천체 운동은 항력이나 추력과 같은 추가적인 힘이 없다면, 질량 간의 상호 중력 가속도에 의해 지배된다. 일반화된 형태는 n체 문제^[3]로, n개의 질량이 중력을 통해 서로 상호 작용하는 것이다. 일반적인 경우에는 해석적으로 적분가능하지 않지만,^[4] 수치적으로는 잘 근사할 수 있다.

3체 문제의 예시는 다음과 같다.

준위성
라그랑주점으로의 우주 비행 및 그곳에 머무름

세 개의 천체가 서로 중력적으로 상호 작용하는 운동을 구하는 문제는 삼체문제로 알려져 있다. 세 번째 천체의 질량이 다른 두 천체에 비해 매우 작아서 두 천체에 미치는 중력을 무시할 수 있을 때 제한삼체문제라고 부르며, 특히 두 천체가 원운동을 할 때를 원형 제한삼체문제라고 한다. 이 문제는 많은 사람들에 의해 연구되어 왔으며, 삼체문제는 구적법으로 풀 수 없지만^[27], 특수해 중 하나인 라그랑주점은 잘 알려져 있다.^[28]

5. 2. 궤도 공명

세 개의 천체가 서로 중력적으로 상호 작용하는 운동을 구하는 문제는 삼체문제로 알려져 있다. 세 번째 천체의 질량이 다른 두 천체에 비해 매우 작아서 두 천체에 미치는 중력을 무시할 수 있을 때 제한삼체문제라고 부르며, 특히 두 천체가 원운동을 할 때를 원형 제한삼체문제라고 한다.^[27] 이 문제는 많은 사람들에 의해 연구되어 왔으며^[28], 삼체문제는 구적법으로 풀 수 없지만^[27], 특수해 중 하나인 라그랑주점은 잘 알려져 있다.^[28]

토성이나 천왕성에 존재하는 고리는 위성과 상호 중력을 미친다. 고리의 구조와 안정성, 목자 위성 등의 문제가 다루어진다.

5. 3. 태양계의 안정성

혜성은 큰 이심률을 가지며, 특히 극단적인 경우 태양 스치기 혜성이라고 불린다.^[29] 혜성은 종종 목성과의 근접 통과로 인해 큰 섭동을 받는데, 이는 제한된 삼체 문제로 간주할 수 있으며, 티세랑 판별식에 의해 혜성의 동일성을 판정할 수 있다. 또한 혜성이 큰 이심률을 얻는 메커니즘으로 고자이 메커니즘이 제안되어 있다.^[29]

소행성 등의 태양계 소천체의 궤도는 카오스를 보이는 것으로도 주목받는다. 소행성대의 많은 소행성은 소행성-목성계 또는 소행성-목성-토성계의 평균 운동 공명에 기인하는 카오스 궤도를 갖는다. 이것은 궤도 요소의 카오스 확산과 같은 효과를 발생시킨다.

또한 우주먼지와 같은 소천체의 경우, 복사압과 같은 중력 이외의 섭동이 궤도 진화에 중요한 경우가 있다.^[30]

5. 4. 행성 고리

엄밀히 말하면 천체는 구형이 아니며, 이에 따라 천체의 중력퍼텐셜에는 단극자 항에 대한 보정이 존재한다(다극전개). 이것은 특히 지구를 공전하는 인공위성의 궤도에 가장 큰 섭동으로 기여하기 때문에 궤도역학에서는 중력퍼텐셜의 보정을 고려해야 한다.^[31] 축대칭인 천체의 경우, 중력퍼텐셜은 천체의 질량, 반지름, 질량 분포에 관한 상수를 사용하여 르장드르 다항식으로 표현할 수 있다.

5. 5. 혜성과 태양계 소천체

혜성은 큰 이심률을 가지며, 특히 극단적인 경우 태양 스치기 혜성이라고 불린다.^[29] 혜성은 종종 목성과의 근접 통과로 인해 큰 섭동을 받는데, 이는 제한된 삼체 문제로 간주할 수 있으며, 티세랑 판별식에 의해 혜성의 동일성을 판정할 수 있다. 또한 혜성이 큰 이심률을 얻는 메커니즘으로 고자이 메커니즘이 제안되어 있다.^[29]

소행성 등의 태양계 소천체의 궤도는 카오스를 보이는 것으로도 주목받는다. 소행성대의 많은 소행성은 소행성-목성계 또는 소행성-목성-토성계의 평균 운동 공명에 기인하는 카오스 궤도를 갖는다. 이것은 궤도 요소의 카오스 확산과 같은 효과를 발생시킨다.

우주먼지와 같은 소천체의 경우, 복사압과 같은 중력 이외의 섭동이 궤도 진화에 중요한 경우가 있다.^[30]

5. 6. 자전과 조석

행성 형성 이론은 미행성의 집적을 통해 행성이 형성되는 과정을 논하는 것으로, 미행성의 합체 성장 과정은 천체 역학과 관련되어 있다.^[1]

5. 6. 1. 세차와 장동

주어진 원본 소스에는 "세차와 장동"에 대한 직접적인 내용이 포함되어 있지 않습니다. 따라서 해당 섹션에 대한 내용을 작성하는 것은 불가능합니다. 이전 답변과 동일하게, 원본 소스에서 해당 섹션에 대한 정보를 찾을 수 없다는 점을 명시하는 것이 최선입니다.

5. 6. 2. 조석력

행성 형성 이론은 미행성의 집적을 통해 행성이 형성되는 과정을 논하는 것으로, 미행성의 합체 성장 과정은 천체 역학과 관련되어 있다.^[1]

5. 6. 3. 행성의 평형 형태

주어진 원본 소스에 '행성의 평형 형태'에 대한 내용이 없으므로, 이 섹션을 작성하는 것은 불가능합니다. 따라서 이전 답변과 동일하게 출력합니다.

5. 6. 4. 자전과 공전의 동기화

주어진 원본 소스에는 '자전과 공전의 동기화'에 대한 직접적인 언급은 없다. 대신, 아이작 뉴턴의 『자연철학의 수학적 원리』(프린키피아)에서 전개된 천체역학 이론과 관련된 내용이 주를 이룬다. 특히, 제3권에서 자전하는 구체가 납작한 형태로 변형된다는 것, 조석 현상이 달의 인력에 의해 발생한다는 것, 지구의 세차 운동 등이 뉴턴에 의해 다루어졌다는 내용이 있다.

5. 7. 일반 상대론

알베르트 아인슈타인은 1916년 논문 "일반상대성이론의 기초"에서 수성의 근일점 이동 현상(수성 근일점 이동)을 설명했다. 일반 상대성 이론은 천문학자들이 뉴턴 역학이 가장 높은 정확도를 제공하지 못한다는 것을 인식하게 만들었다.

6. 현대적 응용

현대 천체역학은 다양한 분야에서 활용되고 있다. 인공위성의 궤도를 계산하고 유지하는 데 필수적이며, 우주 탐사선의 궤적을 설계하고, 행성 간 이동 경로를 계산하는 데에도 사용된다. 또한, 소행성이나 혜성 등 지구 접근 천체의 궤도를 추적하여 충돌 가능성을 예측하고 대비하는 데에도 중요한 역할을 한다.

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