꼭짓점 연산자 대수

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1. 개요
2. 정의
3. 기본 성질
4. 리 대수에서 유도되는 예시
5. 가군 (Modules)
6. 추가적인 예시
7. 초등각 구조
8. 추가적인 구성 방법
9. 관련된 대수적 구조
- 9.1. 리 작용 대수 (Lie Conformal Algebra)
- 9.2. 키랄 대수 (Chiral Algebra)
참조

1. 개요

꼭짓점 연산자 대수는 복소 벡터 공간에 정의된 대수적 구조로, 1980년대에 수학과 이론 물리학에서 등장했다. 이 대수는 정수 차수(graded)가 붙은 복소 벡터 공간, 상태-연산자 사상, 진공 상태, 등각 상태로 구성되며, 특정 공리들을 만족한다. 꼭짓점 연산자 대수는 끈 이론, 등각장론, 통계 역학 등 다양한 분야와 관련되어 연구되며, 하이젠베르크 대수, 비라소로 대수, 아핀 꼭짓점 대수 등이 대표적인 예시이다. 이 외에도 몬스터 꼭짓점 대수, 키랄 드람 복합체, 곡면 결함에 연관된 꼭짓점 대수 등 다양한 예시가 존재하며, 고정점 부분 대수, 전류 확장, 오비폴드, 코셋 구성, BRST 환원 등의 방법으로 구성할 수 있다. 또한, 리 작용 대수, 키랄 대수 등과 같은 관련된 대수적 구조가 존재한다.

2. 정의

'''꼭짓점 연산자 대수'''(버텍스 오퍼레이터 앨지브라/vertex operator algebra^영어) $(V,Y,1,\omega)$ 는 다음 데이터로 이루어져 있다.

$V=\bigoplus_{n=k}^\infty V_n$ 는 정수 차수 붙은(graded^영어) 복소 벡터 공간이며, 각 차수 부분공간 $V_n<\infty$ 은 유한 차원이다. $k$ 는 임의의 정수다.
$Y\colon V\otimes V\to V((z))$ 는 $V\otimes V$ 에서 형식적 로랑 급수 $V((z))$ 로 가는 선형 사상이다. 이는 $Y\colon V\to(\operatorname{End} V)((z))$ 로도 생각할 수 있으며, 일종의 곱셈 연산으로 '''상태-연산자 사상'''(state–operator map^영어)이라고 한다. $a\in V$ 이면 $Y(a)(z)=\sum_{n\in\mathbb Z}a_nz^{-n-1}$ 으로 표기하며, 여기서 $a_n\in\operatorname{End}V$ 이다. $a\in V$ 에 대하여 $Y$ 를 생략하고 $a(z)=Y(a)(z)\in\operatorname{End}((z))$ 로 쓰기도 한다.
$1\in V_0$ 는 벡터 공간의 한 원소로, '''진공 상태'''라고 한다.
$\omega\in V_2$ 는 '''등각 상태'''(conformal state^영어)이며, 통상적으로 $L_n=\omega_{n+1}$ 으로 표기한다.

이 데이터는 다음 공리를 만족시켜야 한다.

차수의 성질: $a\in V_i$ , $b\in V_j$ 이면 $a_nb\in V_{i+j-n-1}$ 이다. 또한, $a\in V_n$ 이면 $L_0a=na$ 이다.
진공의 성질: $1(z)$ 는 단위 연산자이다. 또한, 모든 $a\in V$ 에 대하여 $a_{-1}1=a$ 이다.
모든 $a,b\in V$ 에 대하여, $n$ 이 충분히 크다면 $a_nb=0$ 이다.
병진 연산자의 표현: 임의의 $a\in V$ 에 대하여, $(L_{-1}a)(z)=(d/dz)a(z)$ 이다.
(비라소로 대수) $[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\delta_{m+n,0}(m^3-m)c/12$ . 여기서 $c\in\mathbb C$ 는 비라소로 대수의 '''중심 전하'''(central charge^영어)라고 한다.
(야코비 항등식) $z^{-1}\delta((x-y)/z)a(x)b(y)-z^{-1}\delta((x-y)/z)b(y)a(x)=y^{-1}\delta((x-z)/y)(a(z)b)(y)$ . 여기서 $\delta(z)=\sum_{n\in\mathbb Z}z^n$ 은 디랙 델타 함수다.

2. 1. 꼭짓점 대수

'''꼭짓점 연산자 대수'''(vertex operator algebra^영어)

(V,Y,1,\omega)

는 다음 데이터로 이루어진다.

$V=\bigoplus_{n=k}^\infty V_n$ 는 정수 차수 붙은(graded^영어) 복소 벡터 공간이며, 각 차수 부분공간 $V_n<\infty$ 은 유한 차원이다. $k$ 는 임의의 정수다.
$Y\colon V\otimes V\to V((z))$ 는 $V\otimes V$ 에서 형식적 로랑 급수 $V((z))$ 로 가는 선형 사상이다. 이는 $Y\colon V\to(\operatorname{End} V)((z))$ 로도 생각할 수 있으며, 일종의 곱셈 연산으로 '''상태-연산자 사상'''(state–operator map^영어)이라고 한다. $a\in V$ 이면 $Y(a)(z)=\sum_{n\in\mathbb Z}a_nz^{-n-1}$ 으로 표기하며, 여기서 $a_n\in\operatorname{End}V$ 이다. $a\in V$ 에 대하여 $Y$ 를 생략하고 $a(z)=Y(a)(z)\in\operatorname{End}((z))$ 로 쓰기도 한다.
$1\in V_0$ 는 벡터 공간의 한 원소로, '''진공 상태'''라고 한다.
$\omega\in V_2$ 는 '''등각 상태'''(conformal state^영어)이며, 통상적으로 $L_n=\omega_{n+1}$ 으로 표기한다.

이 데이터는 다음 공리를 만족시켜야 한다.

차수의 성질: $a\in V_i$ , $b\in V_j$ 이면 $a_nb\in V_{i+j-n-1}$ 이다. 또한, $a\in V_n$ 이면 $L_0a=na$ 이다.
진공의 성질: $1(z)$ 는 단위 연산자이다. 또한, 모든 $a\in V$ 에 대하여 $a_{-1}1=a$ 이다.
모든 $a,b\in V$ 에 대하여, $n$ 이 충분히 크다면 $a_nb=0$ 이다.
병진 연산자의 표현: 임의의 $a\in V$ 에 대하여, $(L_{-1}a)(z)=(d/dz)a(z)$ 이다.
(비라소로 대수) $[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\delta_{m+n,0}(m^3-m)c/12$ . 여기서 $c\in\mathbb C$ 는 비라소로 대수의 '''중심 전하'''(central charge^영어)라고 한다.
(야코비 항등식) $z^{-1}\delta((x-y)/z)a(x)b(y)-z^{-1}\delta((x-y)/z)b(y)a(x)=y^{-1}\delta((x-z)/y)(a(z)b)(y)$ . 여기서 $\delta(z)=\sum_{n\in\mathbb Z}z^n$ 은 디랙 델타 함수다.

'''꼭짓점 대수'''는 특정 공리를 만족하는 데이터 모음으로, 기저 체는 일반적으로 복소수로 간주되지만, Borcherds의 원래 공식에서는 임의의 가환환을 허용했다. 곱셈 사상

Y

는 무한한 일련의 양선형 곱

\cdot_n : u \otimes v \mapsto u_n v

로 표현할 수 있으며, 여기서

n \in \mathbb{Z}

이고

u_n \in \mathrm{End}(V)

이며, 각

v

에 대해

n < N

에 대해

u_n v = 0

이 되는

N

이 존재한다. 또는 왼쪽 곱셈 사상

V\rightarrow \mathrm{End}(V)z^{\pm 1}

으로 표현 가능하며, 각

u\in V

에 대해 자기 준동형 사상 값을 갖는 형식적 분포

Y(u,z)

는 꼭짓점 연산자 또는 장이라고 불린다.

꼭짓점 대수의 데이터는 다음 추가 공리를 만족해야 한다.

항등원: 임의의 $u\in V$ 에 대해, $Y(1,z)u=u$ 이고 $\,Y(u,z)1\in u+zVz$ 이다.
이동: $T(1)=0$ 이며, 임의의 $u,v\in V$ 에 대해, $[T,Y(u,z)]v = TY(u,z)v - Y(u,z)Tv = \frac{d}{dz}Y(u,z)v$ 이다.
국소성 (야코비 항등식 또는 보처즈 항등식): 임의의 $u,v\in V$ 에 대해, 다음을 만족하는 양의 정수 이 존재한다.

:

(z-x)^N Y(u, z) Y(v, x) = (z-x)^N Y(v, x) Y(u, z).

2. 2. 꼭짓점 연산자 대수

'''꼭짓점 연산자 대수'''(버텍스 오퍼레이터 앨지브라}})

(V,Y,1,\omega)

는 정수 차수(graded)가 붙은 복소수 벡터 공간

V=\bigoplus_{n=k}^\infty V_n

(각

V_n

은 유한 차원), 상태-연산자 사상

Y\colon V\otimes V\to V((z))

, 진공 상태

1\in V_0

, 등각 상태

\omega\in V_2

로 구성되며, 특정 공리들을 만족하는 대수적 구조이다.

Y

는

V\otimes V

에서 형식적 로랑 급수

V((z))

로 가는 선형 사상으로,

a\in V

에 대하여

Y(a)(z)=\sum_{n\in\mathbb Z}a_nz^{-n-1}

(

a_n\in\operatorname{End}V

)로 표기한다.

등각 상태

\omega

에 대해,

L_n=\omega_{n+1}

로 표기하며, 다음이 성립한다.

:

Y(\omega, z) = \sum_{n\in\mathbf{Z}} \omega_{n} {z^{-n-1}} = L(z) = \sum_{n\in\mathbf{Z/vertex operator algebra

^영어 L_n z^{-n-2}

꼭짓점 연산자 대수는 다음 공리들을 만족시킨다.

차수 조건: $a\in V_i$ , $b\in V_j$ 이면 $a_nb\in V_{i+j-n-1}$ 이고, $a\in V_n$ 이면 $L_0a=na$ 이다.
진공 조건: $1(z)$ 는 단위 연산자이며, 모든 $a\in V$ 에 대하여 $a_{-1}1=a$ 이다.
충분히 큰 $n$ 에 대해 $a_nb=0$ 이다.
병진 연산자: $(L_{-1}a)(z)=(d/dz)a(z)$ 이다.
비라소로 대수 표현: $[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\delta_{m+n,0}(m^3-m)c/12$ ( $c$ 는 중심 전하). 즉, 비라소로 대수의 작용을 갖는다.
야코비 항등식이 성립한다.

L_0

은 정수 고유값으로 반단순 작용을 하고, 등급에 따라 곱셈은 동차이다. 항등원

1

은 차수가 0이고,

\omega

는 차수가 2이며,

L_{-1}=T

이다.

꼭짓점 연산자 대수의 준동형은 등각 벡터를 보존하는지에 따라 "약한" 또는 "강한" 준동형으로 구분된다.

2. 3. 가환 꼭짓점 대수

정점 대수

V

에서 모든 정점 연산자

Y(u,z)

가 서로 교환되면, 이 정점 대수를 가환 꼭짓점 대수라고 한다. 이는 모든 곱

Y(u,z)v

가

Vz

에 속한다는 것과 동등하며, 또는

Y(u, z) \in \operatorname{End}z

이다. 즉, 모든 정점 연산자

Y(u,z)

가

z = 0

에서 정규적이다.

가환 꼭짓점 대수가 주어지면, 곱셈의 상수항은 벡터 공간에 가환 결합 환 구조를 부여하고, 진공 벡터

1

은 단위이며

T

는 도함수이다. 따라서 가환 꼭짓점 대수는

V

에 도함수를 가진 가환 단위 대수의 구조를 부여한다. 반대로, 도함수

T

를 가진 임의의 가환 환

V

는 정준 정점 대수 구조를 갖는데,

Y(u,z)v=u_{-1}vz^0=uv

로 설정하여,

Y

는

u \mapsto u \cdot

의 곱셈 맵인 맵

Y:V \rightarrow \operatorname{End}(V)

로 제한된다. 여기서

\cdot

는 대수 곱이다. 도함수

T

가 사라지면

\omega=0

으로 설정하여 차수 0에 집중된 정점 연산자 대수를 얻을 수 있다.

모든 유한 차원 정점 대수는 가환적이다. 그 증명은 다음과 같다:

변환 공리

[T, Y(u,z)] = \partial_z Y(u,z)

로부터 정점 연산자를 거듭제곱 급수로 확장하면,

\operatorname{ad}T u_n = [T, u_n] = -nu_{n-1}

를 얻는다. 이를 통해

\operatorname{ad}T^m u_n = (-1)^m n (n-1) \cdots (n - m + 1) u_{n-m}

를 얻고,

n

을 음수가 아닌 것으로 고정하면

m > n

일 때

\operatorname{ad}T^m u_n = 0

이다.

V

가 유한 차원이면

\operatorname{End}(V)

도 유한 차원이며, 모든

u_n

은

\operatorname{End}(V)

의 원소이므로, 유한 개의

u_n

이 모든

u_n

에 의해 생성된

\operatorname{End}(V)

의 벡터 부분 공간을 span한다. 따라서 모든

u_n

에 대해

\operatorname{ad}T^M u_n = 0

인

M

이 존재한다. 그런데

\operatorname{ad}T^M u_{M + n} = (-1)^m (M + n + 1)\cdots(n+1)u_n

이고 좌변은 0이며,

u_n

앞의 계수는 0이 아니므로,

u_n = 0

이다. 따라서

Y(u,z)

는 정규적이다.

이러한 이유로 비가환 정점 대수의 가장 작은 예제조차도 상당한 소개가 필요하다.

3. 기본 성질

꼭짓점 연산자 대수에서 변환 연산자 $T$ 는 곱 구조에 무한소 대칭을 유도하며, 다음 속성을 만족한다.

$\,Y(u,z)1=e^{zT}u$
$\,Tu=u_{-2}1$ 이므로 $T$ 는 $Y$ 에 의해 결정된다.
$\,Y(Tu,z)=\frac{\mathrm{d}Y(u,z)}{\mathrm{d}z}$
$\,e^{xT}Y(u,z)e^{-xT}=Y(e^{xT}u,z)=Y(u,z+x)$
(비대칭성) $Y(u,z)v=e^{zT}Y(v,-z)u$

꼭짓점 연산자 대수에서, 다른 비라소로 연산자는 비슷한 속성을 만족한다.

$\,x^{L_0}Y(u,z)x^{-L_0}=Y(x^{L_0}u,xz)$
$\,e^{xL_1}Y(u,z)e^{-xL_1}=Y(e^{x(1-xz)L_1}(1-xz)^{-2L_0}u,z(1-xz)^{-1})$
(준등각성) $[L_m, Y(u,z)] = \sum_{k=0}^{m+1} \binom{m+1}{k} z^k Y(L_{m-k}u, z)$ for all $m\geq -1$ .
(결합성 또는 커즌 속성): 모든 $u,v,w\in V$ 에 대해,

:

X(u,v,w;z,x) \in Vz,x[z^{-1}, x^{-1}, (z-x)^{-1}]

정의에 주어진 이 원소는

V((x))((z-x))

에서

Y(Y(u,z-x)v,x)w

로도 전개된다.

꼭짓점 연산자 대수의 결합성은

Y(u,z)

와

Y(v,z)

의 교환자가

z-x

의 유한 거듭제곱에 의해 소멸된다는 사실에서 비롯된다. 즉,

\mathrm{End}(V)

내의 계수를 사용하여

(z-x)

에서 형식적 델타 함수의 미분의 유한 선형 결합으로 전개할 수 있다.

재구성:

V

를 꼭짓점 연산자 대수라고 하고,

J_a

를 벡터 집합으로 하고, 이에 해당하는 장

J^a(z)\in \mathrm{End}(V)z^{\pm 1}

이 있다고 하자. 만약

V

가 장의 양의 가중치 계수의 단항식(즉,

1

에 적용된 연산자

J^{a}_{n}

의 유한 곱, 여기서

n

은 음수)에 의해 생성되면, 이러한 단항식의 연산자 곱을 노름 정렬된 곱의 형식적 미분 도함수로 쓸 수 있다(여기서 노름 정렬은 왼쪽의 극 항을 오른쪽으로 이동하는 것을 의미한다). 구체적으로,

:

Y(J^{a_1}_{n_1+1}J^{a_2}_{n_2+1}...J^{a_k}_{n_k+1}1, z) = :\frac{\partial^{n_1}}{\partial z^{n_1}}\frac{J^{a_1}(z)}{n_1!}\frac{\partial^{n_2}}{\partial z^{n_2}}\frac{J^{a_2}(z)}{n_2!} \cdots \frac{\partial^{n_k}}{\partial z^{n_k}}\frac{J^{a_k}(z)}{n_k!}:

더 일반적으로, 엔도모피즘

T

와 벡터

1

을 가진 벡터 공간

V

가 주어지고, 벡터 집합

J^a

에 상호 국소적인 장

J^a(z)\in \mathrm{End}(V)z^{\pm 1}

을 할당하고, 그 양의 가중치 계수가

V

를 생성하고, 항등식과 변환 조건을 만족하는 경우, 이전 공식은 꼭짓점 연산자 대수 구조를 설명한다.

3. 1. 변환 연산자와 비대칭성

3. 2. 비라소로 연산자와 준등각성

3. 3. 결합성(커즌 속성)과 교환자

3. 4. 연산자 곱 전개 (OPE)

꼭짓점 대수 이론에서, 결합 법칙에 의해,

A, B, C \in V,

에 대해 다음과 같이 표기법을 사용할 수 있다.

:

Y(A, z)Y(B,w)C = \sum_{n \in \mathbb{Z}}\frac{Y(A_{(n)}\cdot B, w)}{(z-w)^{n+1}}C.

이것이 '''연산자 곱 전개'''이다. 동등하게는,

:

Y(A, z)Y(B,w) = \sum_{n \geq 0}\frac{Y(A_{(n)}\cdot B, w)}{(z-w)^{n+1}} + :Y(A,z)Y(B,w):.

정규 순서 부분은

z

와

w

에 대해 정칙이므로, 물리학의 관례에 따라 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

Y(A, z)Y(B,w) \sim \sum_{n \geq 0}\frac{Y(A_{(n)}\cdot B, w)}{(z-w)^{n+1}},

여기서 동치 관계

\sim

은 정칙항까지의 동치를 나타낸다.

자주 사용되는 OPE
첫 번째 분포	두 번째 분포	교환 관계	OPE	이름	비고
a(z) = ∑ a_mz^-m-1	b(w) = ∑ b_nz^-n-1	[a_m, b_n] = c_m+n	a(z)b(w) ~ ∑ c_nw^-n-1 / (z-w)	일반 OPE
a(z) = ∑ a_mz^-m-1	b(w) = ∑ b_nz^-n-1	[a_m, b_n] = m δ_m+n,0	a(z)b(w) ~ 1 / (z-w)²	자유 보존 OPE	z ↔ w 에 대한 불변성은 이 OPE의 보존적 특성을 보여준다.
L(z) = ∑ L_mz^-m-2	a(w) = ∑ a_nw^-n-Δ	[L_m, a_n] = ((Δ - 1)m - n)a_m+n	L(z)a(w) ~ Δa(w) / (z-w)² + ∂a(w) / (z-w)	기본 장 OPE	기본 장은 비라소로 장과 곱해질 때 이 OPE를 만족하는 장 a(z)로 정의된다. 이는 끈 이론에서 세계면의 좌표 변환에 따라 텐서처럼 변환되는 장이므로 중요하다.
L(z) = ∑ L_mz^-m-2	L(w) = ∑ L_nz^-n-2	[L_m, L_n] = (m-n)L_m+n + (m³ - m) / 12 δ_m+n,0c	L(z)L(w) ~ c/2 / (z-w)⁴ + 2L(w) / (z-w)² + ∂L(w) / (z-w)	TT OPE	물리학에서 비라소로 장은 종종 응력-에너지 텐서로 식별되며 L(z)가 아닌 T(z)로 표기된다.

3. 4. 1. 자주 사용되는 OPE

wikitable

자주 사용되는 OPE
첫 번째 분포	두 번째 분포	교환 관계	OPE	이름	비고
a(z) = ∑ a_mz^-m-1	b(w) = ∑ b_nz^-n-1	[a_m, b_n] = c_m+n	a(z)b(w) ~ ∑ c_nw^-n-1 / (z-w)	일반 OPE
a(z) = ∑ a_mz^-m-1	b(w) = ∑ b_nz^-n-1	[a_m, b_n] = m δ_m+n,0	a(z)b(w) ~ 1 / (z-w)²	자유 보존 OPE	z ↔ w 에 대한 불변성은 이 OPE의 보존적 특성을 보여준다.
L(z) = ∑ L_mz^-m-2	a(w) = ∑ a_nw^-n-Δ	[L_m, a_n] = ((Δ - 1)m - n)a_m+n	L(z)a(w) ~ Δa(w) / (z-w)² + ∂a(w) / (z-w)	기본 장 OPE	기본 장은 비라소로 장과 곱해질 때 이 OPE를 만족하는 장 a(z)로 정의된다. 이는 끈 이론에서 세계면의 좌표 변환에 따라 텐서처럼 변환되는 장이므로 중요하다.
L(z) = ∑ L_mz^-m-2	L(w) = ∑ L_nz^-n-2	[L_m, L_n] = (m-n)L_m+n + (m³ - m) / 12 δ_m+n,0c	L(z)L(w) ~ c/2 / (z-w)⁴ + 2L(w) / (z-w)² + ∂L(w) / (z-w)	TT OPE	물리학에서 비라소로 장은 종종 응력-에너지 텐서로 식별되며 L(z)가 아닌 T(z)로 표기된다.

4. 리 대수에서 유도되는 예시

기본적인 예시는 무한 차원 리 대수에서 나온다.

하이젠베르크 꼭짓점 연산자 대수

하이젠베르크 꼭짓점 연산자 대수는 랭크 1 자유 보존, 즉 비가환 꼭짓점 대수의 기본적인 예시이다. 이는 단일 벡터 ''b''에 의해 생성되며, 필드 ''b''(''z'') := ''Y''(''b'',''z'')의 계수를 벡터 ''1''에 적용하여 생성 집합을 얻는다. 기저 벡터 공간은 무한 변수 다항식환

\mathbb{C}[b_{-1}, b_{-2}, \cdots]

이며, 여기서 양의

n

에 대해

b_{-n}

은 곱셈으로 작용하고

b_n

은

n\partial_{b_{-n}}

으로 작용한다. ''b''₀의 작용은 0을 곱하는 것이다.^[1]

하이젠베르크 리 대수(정수 ''n''에 대해 ''b''_n에 의해 생성되며, 교환 관계 [''b''_n,''b''_m]=''n'' δ_n,–m)는 "운동량 0" 포크 표현 ''V''₀을 생성한다. 이는 부분 대수의 자명한 표현에 의해 유도되며, 이 부분 대수는 ''b''_n, n ≥ 0으로 구성된다.^[1]

포크 공간 ''V''₀은 기저

b_{j_1}b_{j_2}...b_{j_k}

에 대한 상태-연산자 맵을 통해 꼭짓점 대수로 만들 수 있다. 여기서 각

j_i < 0

이고, 연산자의 정규 순서를

:\mathcal{O}:

로 나타낼 때, 꼭짓점 연산자는 다음과 같이 정의된다.^[1]

:

Y( b_{j_1}b_{j_2}...b_{j_k}, z) := \frac{1}{(-j_1 - 1)!(-j_2 - 1)!\cdots (-j_k - 1)!}:\partial^{-j_1 - 1}b(z)\partial^{-j_2 - 1}b(z)...\partial^{-j_k - 1}b(z):

꼭짓점 연산자는 다변수 함수 f의 함수로도 쓸 수 있다.^[1]

:

Y[f,z] \equiv :f\left(\frac{b(z)}{0!},\frac{b'(z)}{1!},\frac{b''(z)}{2!},...\right):

f의 전개식의 각 항이 정규 순서화된 것으로 이해한다면, 랭크 ''n'' 자유 보존은 랭크 1 자유 보존의 ''n''겹 텐서 곱을 취함으로써 주어진다. ''n''차원 공간의 모든 벡터 ''b''에 대해, 계수가 랭크 ''n'' 하이젠베르크 대수의 원소이고, 교환 관계가 추가적인 내적 항을 갖는 필드 ''b''(''z'')가 있다: [''b''_n,''c''_m]=''n'' (b,c) δ_n,–m.^[1]

하이젠베르크 꼭짓점 연산자 대수는 컨포멀 벡터의 매개변수

\lambda \in \mathbb{C}

가 있는 1-매개변수 컨포멀 벡터족

\omega_\lambda

를 가지며, 다음과 같이 주어진다.^[1]

:

\omega_\lambda = \frac{1}{2}b_{-1}^2 + \lambda b_{-2},

중심 전하

c_\lambda = 1 - 12\lambda^2

를 갖는다.^[1]

\lambda = 0

일 때, 비라소로 문자론에 대한 공식은 다음과 같다.^[1]

:

Tr_V q^{L_0} := \sum_{n \in \mathbf{Z}} \dim V_n q^n = \prod_{n \geq 1} (1-q^n)^{-1}

이것은 생성 함수로, 분할에 대한 것이며, 또한 가중치 -1/2 모듈러 형식 1/η( 데데킨트 에타 함수의 역수)에 ''q''^1/24을 곱한 것으로도 쓰여진다. 랭크 ''n'' 자유 보존은 ''n'' 매개변수 비라소로 벡터족을 가지며, 해당 매개변수가 0일 때, 문자는 ''q''^''n''/24에 가중치 −''n''/2 모듈러 형식 η^−''n''을 곱한 것이다.^[1]

비라소로 꼭짓점 연산자 대수

'''비라소로 꼭짓점 연산자 대수'''는 두 가지 중요한 이유를 갖는다. 첫째, 꼭짓점 연산자 대수의 등각 원소는 정식으로 비라소로 꼭짓점 연산자 대수로부터의 준동형 사상을 유도하여 이론에서 보편적인 역할을 한다. 둘째, 비라소로 대수의 유니타리 표현 이론과 밀접하게 연결되어 등각장론에서 중요한 역할을 한다. 특히, 유니타리 비라소로 최소 모형은 이러한 정점 대수의 단순한 몫이며, 이들의 텐서 곱은 더 복잡한 정점 연산자 대수를 조합적으로 구성하는 방법을 제공한다.

비라소로 꼭짓점 연산자 대수는 비라소로 대수의 유도 표현으로 정의된다. 중심 전하 ''c''를 선택하면, '''C'''[z]∂_z + ''K''의 부분 대수에 대해 ''K''가 ''c''Id로 작용하고, '''C'''[z]∂_z가 자명하게 작용하는 유일한 1차원 모듈이 있으며, 이에 해당하는 유도 모듈은 ''n''이 1보다 큰 정수를 범위로 할 때 ''L''_–n = –z^−n–1∂_z의 다항식으로 생성된다. 이 모듈은 다음과 같은 분할 함수를 갖는다.

:

Tr_V q^{L_0} = \sum_{n \in \mathbf{R}} \dim V_n q^n = \prod_{n \geq 2} (1-q^n)^{-1}

.

이 공간은 정점 연산자 대수 구조를 가지며, 여기서 정점 연산자는 다음과 같이 정의된다.

:

Y(L_{-n_1-2}L_{-n_2-2}...L_{-n_k-2}|0\rangle,z) \equiv \frac{1}{n_1!n_2!..n_k!}:\partial^{n_1}L(z)\partial^{n_2}L(z)...\partial^{n_k}L(z):

그리고

\omega = L_{-2}|0\rangle

이다. 비라소로 장 ''L(z)''가 자신에 대해 국소적이라는 사실은 자체 교환자에 대한 공식에서 추론할 수 있다.

[L(z),L(x)] =\left(\frac{\partial}{\partial x}L(x)\right)w^{-1}\delta \left(\frac{z}{x}\right)-2L(x)x^{-1}\frac{\partial}{\partial z}\delta \left(\frac{z}{x}\right)-\frac{1}{12}cx^{-1}\left(\frac{\partial}{\partial z}\right)^3\delta \left(\frac{z}{x}\right)

여기서 ''c''는 중심 전하이다.

중심 전하 ''c''인 비라소로 정점 대수에서 다른 정점 대수로의 정점 대수 준동형 사상이 주어지면, ω의 이미지에 연결된 정점 연산자는 자동으로 비라소로 관계를 만족한다. 즉, ω의 이미지는 등각 벡터이다. 반대로, 정점 대수에서 등각 벡터는 어떤 비라소로 정점 연산자 대수로부터의 특정한 정점 대수 준동형 사상을 유도한다.

비라소로 정점 연산자 대수는 ''c''가 서로소 정수 ''p'',''q''가 1보다 클 때 1–6(''p''–''q'')²/''pq''의 형태를 갖는 경우를 제외하고는 단순하다. 이는 Kac의 행렬식 공식에서 비롯된다. 이러한 예외적인 경우, 고유한 최대 아이디얼을 가지며, 이에 해당하는 몫을 최소 모형이라고 한다. ''p'' = ''q''+1일 때, 정점 대수는 비라소로의 유니타리 표현이며, 그 모듈은 이산 계열 표현이라고 알려져 있다. 이는 등각장론에서 부분적으로 중요한 역할을 하는데, 그 이유는 이들이 이례적으로 다루기 쉽고, 작은 ''p''에 대해, 통계 역학 시스템의 임계점, 예를 들어 아이징 모형, 3차원 아이징 모형, 3상태 포츠 모형 등과 관련되기 때문이다. 왕위창(Wang, 1993)의 연구를 통해, 유니타리 최소 모형의 텐서 범주에 대한 완전한 설명을 얻었다. 예를 들어, ''c''=1/2(아이징)일 때, 최저 ''L''₀-무게가 0, 1/2, 1/16인 세 개의 기약 모듈이 있으며, 융합 환은 '''Z'''[''x'',''y'']/(''x''²–1, ''y''²–''x''–1, ''xy''–''y'')이다.

아핀 꼭짓점 대수

하이젠베르크 리 대수를 꼬이지 않은 아핀 카츠-무디 리 대수(즉, 유한 차원 단순 리 대수에 대한 루프 대수의 보편적인 중심 확대)로 대체하여 자유 보존 꼭짓점 대수와 거의 같은 방식으로 진공 표현을 구성할 수 있다. 이 대수는 베스-주미노-위튼 모형의 전류 대수로 나타나며, 이는 중심 확대로 해석되는 이상 현상을 생성한다.

중심 확대

:

0 \to \mathbb{C} \to \hat{\mathfrak{g}} \to \mathfrak{g}[t,t^{-1}] \to 0

에서 포함

\mathfrak{g}[t] \to \mathfrak{g}[t,t^{-1}]

을 따라 당기면 분할 확장이 발생하며, 진공 모듈은 중심 기본 요소가 "레벨"이라고 하는 선택된 상수로 작용하는 마지막 요소의 1차원 표현에서 유도된다. 중심 요소는 유한형 리 대수

\mathfrak{g}

에 대한 불변 내적과 동일시될 수 있으므로, 일반적으로 킬링 형식이 듀얼 콕서터 수의 두 배인 레벨이 되도록 레벨을 정규화한다. 이는 레벨 1이 가장 긴 근의 노름이 2인 내적을 제공하는 것과 같다. 이는 루프 대수 규칙과 일치하며, 여기서 레벨은 단순 연결된 콤팩트 리 군의 세 번째 코호몰로지에 의해 이산화된다.

유한형 리 대수의 기저 ''J''^a를 선택하여 중심 요소 ''K''와 함께 ''J''^a_''n'' = ''J''^a ''t''^''n''을 사용하여 아핀 리 대수의 기저를 형성할 수 있다. 재구성을 통해 필드의 도함수의 정규 순서 곱으로 꼭짓점 연산자를 설명할 수 있다.

:

J^a(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty J^a_n z^{-n-1} = \sum_{n=-\infty}^\infty (J^a t^n) z^{-n-1}.

레벨이 비임계적, 즉 내적이 킬링 형식의 마이너스 2분의 1이 아닌 경우, 진공 표현은 스가와라 구성에 의해 주어진 등각 요소를 갖는다. 레벨 1 내적에 대한 듀얼 기저 ''J''^a, ''J''_a의 모든 선택에 대해 등각 요소는

:

\omega = \frac{1}{2(k+h^\vee)} \sum_a J_{a,-1} J^a_{-1} 1

이며, 중심 전하가

k \cdot \dim \mathfrak{g}/(k+h^\vee)

인 꼭짓점 연산자 대수를 생성한다. 임계 레벨에서는 분모가 0이므로 등각 구조가 파괴되지만, ''k''가 임계점에 접근함에 따라 극한을 취함으로써 ''n'' ≥ –1에 대해 연산자 ''L''_''n''을 생성할 수 있다.

4. 1. 하이젠베르크 꼭짓점 연산자 대수

하이젠베르크 꼭짓점 연산자 대수는 랭크 1 자유 보존, 즉 비가환 꼭짓점 대수의 기본적인 예시이다. 이는 단일 벡터 ''b''에 의해 생성되며, 필드 ''b''(''z'') := ''Y''(''b'',''z'')의 계수를 벡터 ''1''에 적용하여 생성 집합을 얻는다. 기저 벡터 공간은 무한 변수 다항식환

\mathbb{C}[b_{-1}, b_{-2}, \cdots]

이며, 여기서 양의

n

에 대해

b_{-n}

은 곱셈으로 작용하고

b_n

은

n\partial_{b_{-n}}

으로 작용한다. ''b''₀의 작용은 0을 곱하는 것이다.^[1]

하이젠베르크 리 대수(정수 ''n''에 대해 ''b''_n에 의해 생성되며, 교환 관계 [''b''_n,''b''_m]=''n'' δ_n,–m)는 "운동량 0" 포크 표현 ''V''₀을 생성한다. 이는 부분 대수의 자명한 표현에 의해 유도되며, 이 부분 대수는 ''b''_n, n ≥ 0으로 구성된다.^[1]

포크 공간 ''V''₀은 기저

b_{j_1}b_{j_2}...b_{j_k}

에 대한 상태-연산자 맵을 통해 꼭짓점 대수로 만들 수 있다. 여기서 각

j_i < 0

이고, 연산자의 정규 순서를

:\mathcal{O}:

로 나타낼 때, 꼭짓점 연산자는 다음과 같이 정의된다.^[1]

:

Y( b_{j_1}b_{j_2}...b_{j_k}, z) := \frac{1}{(-j_1 - 1)!(-j_2 - 1)!\cdots (-j_k - 1)!}:\partial^{-j_1 - 1}b(z)\partial^{-j_2 - 1}b(z)...\partial^{-j_k - 1}b(z):

꼭짓점 연산자는 다변수 함수 f의 함수로도 쓸 수 있다.^[1]

:

Y[f,z] \equiv :f\left(\frac{b(z)}{0!},\frac{b'(z)}{1!},\frac{b''(z)}{2!},...\right):

f의 전개식의 각 항이 정규 순서화된 것으로 이해한다면, 랭크 ''n'' 자유 보존은 랭크 1 자유 보존의 ''n''겹 텐서 곱을 취함으로써 주어진다. ''n''차원 공간의 모든 벡터 ''b''에 대해, 계수가 랭크 ''n'' 하이젠베르크 대수의 원소이고, 교환 관계가 추가적인 내적 항을 갖는 필드 ''b''(''z'')가 있다: [''b''_n,''c''_m]=''n'' (b,c) δ_n,–m.^[1]

하이젠베르크 꼭짓점 연산자 대수는 컨포멀 벡터의 매개변수

\lambda \in \mathbb{C}

가 있는 1-매개변수 컨포멀 벡터족

\omega_\lambda

를 가지며, 다음과 같이 주어진다.^[1]

:

\omega_\lambda = \frac{1}{2}b_{-1}^2 + \lambda b_{-2},

중심 전하

c_\lambda = 1 - 12\lambda^2

를 갖는다.^[1]

\lambda = 0

일 때, 비라소로 문자론에 대한 공식은 다음과 같다.^[1]

:

Tr_V q^{L_0} := \sum_{n \in \mathbf{Z}} \dim V_n q^n = \prod_{n \geq 1} (1-q^n)^{-1}

이것은 생성 함수로, 분할에 대한 것이며, 또한 가중치 -1/2 모듈러 형식 1/η( 데데킨트 에타 함수의 역수)에 ''q''^1/24을 곱한 것으로도 쓰여진다. 랭크 ''n'' 자유 보존은 ''n'' 매개변수 비라소로 벡터족을 가지며, 해당 매개변수가 0일 때, 문자는 ''q''^''n''/24에 가중치 −''n''/2 모듈러 형식 η^−''n''을 곱한 것이다.^[1]

4. 2. 비라소로 꼭짓점 연산자 대수

'''비라소로 꼭짓점 연산자 대수'''는 두 가지 중요한 이유를 갖는다. 첫째, 꼭짓점 연산자 대수의 등각 원소는 정식으로 비라소로 꼭짓점 연산자 대수로부터의 준동형 사상을 유도하여 이론에서 보편적인 역할을 한다. 둘째, 비라소로 대수의 유니타리 표현 이론과 밀접하게 연결되어 등각장론에서 중요한 역할을 한다. 특히, 유니타리 비라소로 최소 모형은 이러한 정점 대수의 단순한 몫이며, 이들의 텐서 곱은 더 복잡한 정점 연산자 대수를 조합적으로 구성하는 방법을 제공한다.

비라소로 꼭짓점 연산자 대수는 비라소로 대수의 유도 표현으로 정의된다. 중심 전하 ''c''를 선택하면, '''C'''[z]∂_z + ''K''의 부분 대수에 대해 ''K''가 ''c''Id로 작용하고, '''C'''[z]∂_z가 자명하게 작용하는 유일한 1차원 모듈이 있으며, 이에 해당하는 유도 모듈은 ''n''이 1보다 큰 정수를 범위로 할 때 ''L''_–n = –z^−n–1∂_z의 다항식으로 생성된다. 이 모듈은 다음과 같은 분할 함수를 갖는다.

:

Tr_V q^{L_0} = \sum_{n \in \mathbf{R}} \dim V_n q^n = \prod_{n \geq 2} (1-q^n)^{-1}

.

이 공간은 정점 연산자 대수 구조를 가지며, 여기서 정점 연산자는 다음과 같이 정의된다.

:

Y(L_{-n_1-2}L_{-n_2-2}...L_{-n_k-2}|0\rangle,z) \equiv \frac{1}{n_1!n_2!..n_k!}:\partial^{n_1}L(z)\partial^{n_2}L(z)...\partial^{n_k}L(z):

그리고

\omega = L_{-2}|0\rangle

이다. 비라소로 장 ''L(z)''가 자신에 대해 국소적이라는 사실은 자체 교환자에 대한 공식에서 추론할 수 있다.

[L(z),L(x)] =\left(\frac{\partial}{\partial x}L(x)\right)w^{-1}\delta \left(\frac{z}{x}\right)-2L(x)x^{-1}\frac{\partial}{\partial z}\delta \left(\frac{z}{x}\right)-\frac{1}{12}cx^{-1}\left(\frac{\partial}{\partial z}\right)^3\delta \left(\frac{z}{x}\right)

여기서 ''c''는 중심 전하이다.

중심 전하 ''c''인 비라소로 정점 대수에서 다른 정점 대수로의 정점 대수 준동형 사상이 주어지면, ω의 이미지에 연결된 정점 연산자는 자동으로 비라소로 관계를 만족한다. 즉, ω의 이미지는 등각 벡터이다. 반대로, 정점 대수에서 등각 벡터는 어떤 비라소로 정점 연산자 대수로부터의 특정한 정점 대수 준동형 사상을 유도한다.

비라소로 정점 연산자 대수는 ''c''가 서로소 정수 ''p'',''q''가 1보다 클 때 1–6(''p''–''q'')²/''pq''의 형태를 갖는 경우를 제외하고는 단순하다. 이는 Kac의 행렬식 공식에서 비롯된다. 이러한 예외적인 경우, 고유한 최대 아이디얼을 가지며, 이에 해당하는 몫을 최소 모형이라고 한다. ''p'' = ''q''+1일 때, 정점 대수는 비라소로의 유니타리 표현이며, 그 모듈은 이산 계열 표현이라고 알려져 있다. 이는 등각장론에서 부분적으로 중요한 역할을 하는데, 그 이유는 이들이 이례적으로 다루기 쉽고, 작은 ''p''에 대해, 통계 역학 시스템의 임계점, 예를 들어 아이징 모형, 3차원 아이징 모형, 3상태 포츠 모형 등과 관련되기 때문이다. 왕위창(Wang, 1993)의 연구를 통해, 유니타리 최소 모형의 텐서 범주에 대한 완전한 설명을 얻었다. 예를 들어, ''c''=1/2(아이징)일 때, 최저 ''L''₀-무게가 0, 1/2, 1/16인 세 개의 기약 모듈이 있으며, 융합 환은 '''Z'''[''x'',''y'']/(''x''²–1, ''y''²–''x''–1, ''xy''–''y'')이다.

4. 3. 아핀 꼭짓점 대수

하이젠베르크 리 대수를 꼬이지 않은 아핀 카츠-무디 리 대수(즉, 유한 차원 단순 리 대수에 대한 루프 대수의 보편적인 중심 확대)로 대체하여 자유 보존 꼭짓점 대수와 거의 같은 방식으로 진공 표현을 구성할 수 있다. 이 대수는 베스-주미노-위튼 모형의 전류 대수로 나타나며, 이는 중심 확대로 해석되는 이상 현상을 생성한다.

중심 확대

:

0 \to \mathbb{C} \to \hat{\mathfrak{g}} \to \mathfrak{g}[t,t^{-1}] \to 0

에서 포함

\mathfrak{g}[t] \to \mathfrak{g}[t,t^{-1}]

을 따라 당기면 분할 확장이 발생하며, 진공 모듈은 중심 기본 요소가 "레벨"이라고 하는 선택된 상수로 작용하는 마지막 요소의 1차원 표현에서 유도된다. 중심 요소는 유한형 리 대수

\mathfrak{g}

에 대한 불변 내적과 동일시될 수 있으므로, 일반적으로 킬링 형식이 듀얼 콕서터 수의 두 배인 레벨이 되도록 레벨을 정규화한다. 이는 레벨 1이 가장 긴 근의 노름이 2인 내적을 제공하는 것과 같다. 이는 루프 대수 규칙과 일치하며, 여기서 레벨은 단순 연결된 콤팩트 리 군의 세 번째 코호몰로지에 의해 이산화된다.

유한형 리 대수의 기저 ''J''^a를 선택하여 중심 요소 ''K''와 함께 ''J''^a_''n'' = ''J''^a ''t''^''n''을 사용하여 아핀 리 대수의 기저를 형성할 수 있다. 재구성을 통해 필드의 도함수의 정규 순서 곱으로 꼭짓점 연산자를 설명할 수 있다.

:

J^a(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty J^a_n z^{-n-1} = \sum_{n=-\infty}^\infty (J^a t^n) z^{-n-1}.

레벨이 비임계적, 즉 내적이 킬링 형식의 마이너스 2분의 1이 아닌 경우, 진공 표현은 스가와라 구성에 의해 주어진 등각 요소를 갖는다. 레벨 1 내적에 대한 듀얼 기저 ''J''^a, ''J''_a의 모든 선택에 대해 등각 요소는

:

\omega = \frac{1}{2(k+h^\vee)} \sum_a J_{a,-1} J^a_{-1} 1

이며, 중심 전하가

k \cdot \dim \mathfrak{g}/(k+h^\vee)

인 꼭짓점 연산자 대수를 생성한다. 임계 레벨에서는 분모가 0이므로 등각 구조가 파괴되지만, ''k''가 임계점에 접근함에 따라 극한을 취함으로써 ''n'' ≥ –1에 대해 연산자 ''L''_''n''을 생성할 수 있다.

5. 가군 (Modules)

일반적인 환과 마찬가지로 꼭짓점 대수는 모듈 또는 표현이라는 개념을 갖는다. 모듈은 등각장론에서 중요한 역할을 하며, 여기서 종종 섹터라고 불린다. 물리학 문헌에서 표준적인 가정은 등각장론의 전체 힐베르트 공간이 왼쪽으로 움직이는 섹터와 오른쪽으로 움직이는 섹터의 텐서 곱의 합으로 분해된다는 것이다.

: $\mathcal{H} \cong \bigoplus_{i \in I} M_i \otimes \overline{M_i}$

즉, 등각장론은 왼쪽으로 움직이는 카이랄 대칭의 꼭짓점 연산자 대수, 오른쪽으로 움직이는 카이랄 대칭의 꼭짓점 연산자 대수를 가지며, 주어진 방향으로 움직이는 섹터는 해당 꼭짓점 연산자 대수의 모듈이다.

==== 정의 ====

곱셈 ''Y''를 갖는 꼭짓점 대수 ''V''가 주어졌을 때, ''V''-모듈은 다음과 같은 조건을 만족하는 작용 ''Y''^M: ''V'' ⊗ ''M'' → ''M''((''z''))를 갖춘 벡터 공간 ''M''이다.

(항등원) ''Y''^M(1,z) = Id_M
(결합성, 또는 야코비 항등식) 임의의 ''u'', ''v'' ∈ ''V'', ''w'' ∈ ''M''에 대해, 다음의 원소가 존재한다.

:

X(u,v,w;z,x) \in Mz,x[z^{-1}, x^{-1}, (z-x)^{-1}]

:''Y''^M(''u'',''z'')''Y''^M(''v'',''x'')''w''와 ''Y''^M(''Y''(''u'',''z''–''x'')''v'',''x'')''w''는

X(u,v,w;z,x)

의 ''M''((''z''))((''x''))와 ''M''((''x''))((''z''–''x''))에서의 해당 전개이다.

동등하게, 다음 "야코비 항등식"이 성립한다.

:

z^{-1}\delta\left(\frac{y-x}{z}\right)Y^M(u,x)Y^M(v,y)w - z^{-1}\delta\left(\frac{-y+x}{z}\right)Y^M(v,y)Y^M(u,x)w = y^{-1}\delta\left(\frac{x+z}{y}\right)Y^M(Y(u,z)v,y)w.

꼭짓점 대수의 모듈은 아벨 범주를 형성한다. 꼭짓점 연산자 대수를 다룰 때, 이전 정의는 때때로 ''약한

V

-모듈''이라는 이름을 가지며, 진정한 ''V''-모듈은 컨포멀 벡터

\omega

에 의해 주어진 컨포멀 구조를 존중해야 한다. 더 정확하게는, ''L''₀가 유한 차원 고유 공간과 각 '''Z'''의 잉여류에서 아래로 경계가 있는 고유값을 가지고 반단순으로 작용한다는 추가 조건을 만족해야 한다. Huang, Lepowsky, Miyamoto, Zhang의 연구는 다양한 일반성 수준에서 꼭짓점 연산자 대수의 모듈이 융합 텐서 곱 연산을 허용하고, 브레이디드 텐서 범주를 형성한다는 것을 보여주었다.

''V''-모듈의 범주가 유한 개의 기약 대상을 갖는 반단순일 때, 꼭짓점 연산자 대수 ''V''는 유리적이라고 불린다. 추가적인 유한성 가설(Zhu의 ''C''₂-공유한성 조건이라고 알려져 있음)을 만족하는 유리적 꼭짓점 연산자 대수는 특히 잘 동작하는 것으로 알려져 있으며, ''정규''라고 불린다. 예를 들어, Zhu의 1996년 모듈러 불변성 정리는 정규 VOA의 모듈의 지표가

\mathrm{SL}(2, \mathbb{Z})

의 벡터 값 표현을 형성한다고 주장한다. 특히, VOA가 ''정칙적'', 즉 표현 범주가 벡터 공간의 범주와 동치인 경우, 분할 함수는 상수를 제외하고

\mathrm{SL}(2, \mathbb{Z})

-불변이다. Huang은 정규 VOA의 모듈의 범주가 모듈 텐서 범주이며, 융합 규칙이 Verlinde 공식을 만족한다는 것을 보여주었다.

==== 하이젠베르크 대수의 가군 ====

하이젠베르크 대수의 가군은 Fock 공간

\pi_\lambda

로 구성될 수 있다.

\lambda \in \mathbb{C}

에 대해, 진공 벡터

v_\lambda

에 의해 주어진 하이젠베르크 리 대수의 유도 표현이며, 이 진공 벡터는

n > 0

에 대해

b_nv_\lambda = 0

,

b_0v_\lambda = 0

을 만족하고,

n>0

인 음수 모드

b_{-n}

에 의해 자유롭게 작용된다. 이 공간은

\mathbb{C}[b_{-1}, b_{-2}, \cdots]v_\lambda

로 쓸 수 있다. 아래로 경계가 있는 모든 기약 Z-등급 하이젠베르크 대수 가군은 이러한 형태이다.

이들은 격자 꼭짓점 대수를 구성하는 데 사용되는데, 이 대수는 벡터 공간으로서 하이젠베르크 가군의 직합이며,

Y

의 이미지가 가군 요소로 적절하게 확장될 때 구성된다.

가군 범주는 반단순이 아닌데, 여기서 ''b''₀가 비자명한 조르당 블록으로 작용하는 아벨 리 대수의 표현을 유도할 수 있기 때문이다. 랭크 ''n'' 자유 보존의 경우, 복소수 ''n''차원 공간의 각 벡터 λ에 대해 기약 가군 ''V''_λ를 갖는다. 각 벡터 ''b'' ∈ '''C'''ⁿ는 연산자 ''b''₀을 생성하고, Fock 공간 ''V''_λ는 각 ''b''₀가 내적 (''b'', λ)에 의한 스칼라 곱셈으로 작용한다는 특성으로 구별된다.

==== 뒤틀린 가군 (Twisted Modules) ====

꼭짓점 대수는 자기 동형 사상에 부착된 뒤틀린 가군의 개념을 허용한다는 점에서 일반적인 환과 다르다. 차수가 ''N''인 자기 동형 사상 σ의 경우, 뒤틀린 가군의 작용은 ''V'' ⊗ ''M'' → ''M''((''z''^1/N))의 형태를 가지며, 다음과 같은 모노드로미 조건을 만족한다. 만약 ''u'' ∈ ''V''가 σ ''u'' = exp(2π''ik''/''N'')''u''를 만족한다면, ''u''_n = 0 은 ''n''+''k''/''N'' ∈ '''Z'''를 만족하지 않는 한 성립한다(전문가들 사이에서는 부호에 대한 약간의 이견이 있다).

기하학적으로, 뒤틀린 가군은 분기된 갈루아 덮개가 있는 대수 곡선상의 분기점에 부착될 수 있다. 공형 장론 문헌에서, 뒤틀린 가군은 뒤틀린 부문이라고 불리며, 오비폴드상의 끈 이론과 밀접하게 관련되어 있다.

5. 1. 정의

곱셈 ''Y''를 갖는 꼭짓점 대수 ''V''가 주어졌을 때, ''V''-모듈은 다음과 같은 조건을 만족하는 작용 ''Y''^M: ''V'' ⊗ ''M'' → ''M''((''z''))를 갖춘 벡터 공간 ''M''이다.

(항등원) ''Y''^M(1,z) = Id_M
(결합성, 또는 야코비 항등식) 임의의 ''u'', ''v'' ∈ ''V'', ''w'' ∈ ''M''에 대해, 다음의 원소가 존재한다.

:

X(u,v,w;z,x) \in Mz,x[z^{-1}, x^{-1}, (z-x)^{-1}]

:''Y''^M(''u'',''z'')''Y''^M(''v'',''x'')''w''와 ''Y''^M(''Y''(''u'',''z''–''x'')''v'',''x'')''w''는

X(u,v,w;z,x)

의 ''M''((''z''))((''x''))와 ''M''((''x''))((''z''–''x''))에서의 해당 전개이다.

동등하게, 다음 "야코비 항등식"이 성립한다.

:

z^{-1}\delta\left(\frac{y-x}{z}\right)Y^M(u,x)Y^M(v,y)w - z^{-1}\delta\left(\frac{-y+x}{z}\right)Y^M(v,y)Y^M(u,x)w = y^{-1}\delta\left(\frac{x+z}{y}\right)Y^M(Y(u,z)v,y)w.

꼭짓점 대수의 모듈은 아벨 범주를 형성한다. 꼭짓점 연산자 대수를 다룰 때, 이전 정의는 때때로 ''약한

V

-모듈''이라는 이름을 가지며, 진정한 ''V''-모듈은 컨포멀 벡터

\omega

에 의해 주어진 컨포멀 구조를 존중해야 한다. 더 정확하게는, ''L''₀가 유한 차원 고유 공간과 각 '''Z'''의 잉여류에서 아래로 경계가 있는 고유값을 가지고 반단순으로 작용한다는 추가 조건을 만족해야 한다. Huang, Lepowsky, Miyamoto, Zhang의 연구는 다양한 일반성 수준에서 꼭짓점 연산자 대수의 모듈이 융합 텐서 곱 연산을 허용하고, 브레이디드 텐서 범주를 형성한다는 것을 보여주었다.

''V''-모듈의 범주가 유한 개의 기약 대상을 갖는 반단순일 때, 꼭짓점 연산자 대수 ''V''는 유리적이라고 불린다. 추가적인 유한성 가설(Zhu의 ''C''₂-공유한성 조건이라고 알려져 있음)을 만족하는 유리적 꼭짓점 연산자 대수는 특히 잘 동작하는 것으로 알려져 있으며, ''정규''라고 불린다. 예를 들어, Zhu의 1996년 모듈러 불변성 정리는 정규 VOA의 모듈의 지표가

\mathrm{SL}(2, \mathbb{Z})

의 벡터 값 표현을 형성한다고 주장한다. 특히, VOA가 ''정칙적'', 즉 표현 범주가 벡터 공간의 범주와 동치인 경우, 분할 함수는 상수를 제외하고

\mathrm{SL}(2, \mathbb{Z})

-불변이다. Huang은 정규 VOA의 모듈의 범주가 모듈 텐서 범주이며, 융합 규칙이 Verlinde 공식을 만족한다는 것을 보여주었다.

5. 2. 하이젠베르크 대수의 가군

하이젠베르크 대수의 가군은 Fock 공간

\pi_\lambda

로 구성될 수 있다.

\lambda \in \mathbb{C}

에 대해, 진공 벡터

v_\lambda

에 의해 주어진 하이젠베르크 리 대수의 유도 표현이며, 이 진공 벡터는

n > 0

에 대해

b_nv_\lambda = 0

,

b_0v_\lambda = 0

을 만족하고,

n>0

인 음수 모드

b_{-n}

에 의해 자유롭게 작용된다. 이 공간은

\mathbb{C}[b_{-1}, b_{-2}, \cdots]v_\lambda

로 쓸 수 있다. 아래로 경계가 있는 모든 기약 Z-등급 하이젠베르크 대수 가군은 이러한 형태이다.

이들은 격자 꼭짓점 대수를 구성하는 데 사용되는데, 이 대수는 벡터 공간으로서 하이젠베르크 가군의 직합이며,

Y

의 이미지가 가군 요소로 적절하게 확장될 때 구성된다.

가군 범주는 반단순이 아닌데, 여기서 ''b''₀가 비자명한 조르당 블록으로 작용하는 아벨 리 대수의 표현을 유도할 수 있기 때문이다. 랭크 ''n'' 자유 보존의 경우, 복소수 ''n''차원 공간의 각 벡터 λ에 대해 기약 가군 ''V''_λ를 갖는다. 각 벡터 ''b'' ∈ '''C'''ⁿ는 연산자 ''b''₀을 생성하고, Fock 공간 ''V''_λ는 각 ''b''₀가 내적 (''b'', λ)에 의한 스칼라 곱셈으로 작용한다는 특성으로 구별된다.

5. 3. 뒤틀린 가군 (Twisted Modules)

꼭짓점 대수는 자기 동형 사상에 부착된 뒤틀린 가군의 개념을 허용한다는 점에서 일반적인 환과 다르다. 차수가 ''N''인 자기 동형 사상 σ의 경우, 뒤틀린 가군의 작용은 ''V'' ⊗ ''M'' → ''M''((''z''^1/N))의 형태를 가지며, 다음과 같은 모노드로미 조건을 만족한다. 만약 ''u'' ∈ ''V''가 σ ''u'' = exp(2π''ik''/''N'')''u''를 만족한다면, ''u''_n = 0 은 ''n''+''k''/''N'' ∈ '''Z'''를 만족하지 않는 한 성립한다(전문가들 사이에서는 부호에 대한 약간의 이견이 있다).

기하학적으로, 뒤틀린 가군은 분기된 갈루아 덮개가 있는 대수 곡선상의 분기점에 부착될 수 있다. 공형 장론 문헌에서, 뒤틀린 가군은 뒤틀린 부문이라고 불리며, 오비폴드상의 끈 이론과 밀접하게 관련되어 있다.

6. 추가적인 예시

6. 1. 짝수 격자로부터 정의되는 꼭짓점 연산자 대수

짝수 정수 격자 ''Λ''에 대해, 격자 꼭짓점 대수 ''V''_Λ는 자유 보존 모듈로 분해된다.

:

V_\Lambda \cong \bigoplus_{\lambda \in \Lambda} V_\lambda

각 격자는 동형까지 고유한 격자 꼭짓점 대수를 갖지만, 격자 자기 동형은 리프팅에서 모호성을 가지기 때문에 꼭짓점 대수 구조는 함자적이지 않다.

이중 덮개는 다음 규칙에 의해 동형까지 고유하게 결정된다. 원소는 격자 벡터 에 대해 의 형식을 가지며, 곱셈은 관계식 ''e''_α''e''_β = (–1)^(α,β)''e''_β''e''_α를 만족한다. 짝수 격자 가 주어지면, ''ε''(''α'', ''β'') ''ε''(''β'', ''α'')}}를 만족하는 값 을 갖는 고유한(경계까지) 정규화된 코사이클 가 존재한다. 여기서 정규화 조건은 모든 에 대해 ε(α, 0) = ε(0, α) = 1이다. 이 코사이클은 차수 2인 군에 의한 의 중심 확장을 유도하고, 기저 와 곱셈 규칙 ''ε''(''α'', ''β'')''e''_{''α''+''β''}}}를 갖는 꼬인 군 링 를 얻는다. 에 대한 코사이클 조건은 링의 결합성을 보장한다.

포크 공간 에서 최저 가중치 벡터 에 부착된 꼭짓점 연산자는 다음과 같다.

:

Y(v_\lambda,z) = e_\lambda :\exp \int \lambda(z): = e_\lambda z^\lambda \exp \left (\sum_{n<0} \lambda_n \frac{z^{-n}}{n} \right )\exp \left (\sum_{n>0} \lambda_n \frac{z^{-n}}{n} \right ),

는 α-포크 공간 의 모든 원소를 단항식 로 보내는 선형 맵에 대한 약어이다. 포크 공간의 다른 원소에 대한 꼭짓점 연산자는 재구성을 통해 결정된다.

벡터 공간 의 원소 ''s''로 등각 벡터를 선택할 수 있지만, 정수 ''L''₀ 고유값을 갖도록 하는 조건은 ''s''의 선택을 제한한다. 즉, ''s''는 쌍대 격자에 있다.

짝수 격자 가 근 벡터에 의해 생성되고, 임의의 두 근 벡터가 연속적인 내적이 0이 아닌 근 벡터의 사슬에 의해 연결되면, 꼭짓점 연산자 대수는 수준 1에서 해당 단순 단순 리 대수의 진공 모듈의 고유한 단순 몫이다. 이는 프렌켈–카츠–세갈 구조로 알려져 있으며, 이중 공명 모델에서 타키온 꼭짓점 연산자를 구성한 초기 구조를 기반으로 한다. 특히, 모든 ADE 타입 리 군의 구성을 해당 근 격자에서 직접 얻는다.

6. 2. 몬스터 꼭짓점 대수

몬스터 꼭짓점 대수

V^\natural

(일명 "문샤인 모듈")는 괴물 문샤인 추측의 Borcherds 증명의 핵심이다. 1988년 Frenkel, Lepowsky, Meurman에 의해 구성되었다. 이 대수는 그 특성이 상수항이 없는 j-불변량,

j(\tau) - 744

이고, 자기 동형군이 몬스터 군이라는 점에서 주목할 만하다. 이는 리치 격자로부터 구성된 격자 정점 대수를 리치 격자를 원점에 대해 반사하여 유도된 차수 2 자기 동형에 의해 오비폴딩하여 구성된다. 즉, 리치 격자 VOA와 비틀린 모듈의 직접 합을 형성하고, 유도된 대합에 대한 고정점을 취한다. Frenkel, Lepowsky, Meurman은 1988년에

V^\natural

이 중심 전하 24와 분할 함수

j(\tau) - 744

를 갖는 유일한 정칙 정점 연산자 대수라고 추측했다. 이 추측은 아직 해결되지 않았다.

6. 3. 키랄 드람 복합체 (Chiral de Rham Complex)

Malikov, Schechtman, Vaintrob는 국소화 방법을 통해 매끄러운 복소다양체에 bcβγ (보존-페르미온 초장) 시스템을 정규적으로 연결할 수 있음을 보였다. 이 층 복합체는 특별한 미분을 가지며, 전역 코호몰로지는 정점 초대수이다. Ben-Zvi, Heluani, Szczesny는 다양체 위의 리만 계량이 ''N''=1 초등각 구조를 유도하며, 계량이 켈러 다양체이고 리치 평탄 다양체일 경우 ''N''=2 구조로, 초켈러 다양체 구조는 ''N''=4 구조로 승격됨을 보였다. Borisov와 Libgober는 콤팩트 복소다양체의 두 변수 타원 종수를 키랄 드람 복합체의 코호몰로지로부터 얻을 수 있음을 보였다. 만약 다양체가 칼라비-야우 다양체라면, 이 종수는 약한 야코비 형식이다.

6. 4. 곡면 결함에 연관된 꼭짓점 대수

4차원 ''N''=2 초등각 장론에 꼭짓점 대수를 연결하는 Beem, Leemos, Liendo, Peelaers, Rastelli, van Rees의 구성이 대표적인 예시이다.^[2] 이 꼭짓점 대수는 그 지표가 4차원 초등각 이론의 Schur 지수와 일치한다. 이론이 약한 결합 한계를 허용할 때, 꼭짓점 대수는 bcβγ 시스템의 BRST 축소로 명시적으로 설명된다. 꼭짓점 대수는 고차원 양자장론의 부분 영역으로 나타날 수 있으며, 이는 고차원 이론이 정의된 공간의 2차원 부분 다양체로 국소화된다.

6. 5. 꼭짓점 연산자 초대수

꼭짓점 연산자 대수의 기본 벡터 공간이 초공간(즉, '''Z'''/2'''Z'''-등급 벡터 공간

V=V_+\oplus V_-

)이 되도록 허용하면, 꼭짓점 대수와 동일한 데이터로 ''꼭짓점 초대수''를 정의할 수 있다. 이때 1은 ''V''₊에 있고 ''T''는 짝수 연산자이다. 공리는 본질적으로 동일하지만, 국소성 공리 또는 동등한 공식에 적절한 부호를 통합해야 한다. 즉, ''a''와 ''b''가 동차인 경우, ε는 ''a''와 ''b''가 모두 홀수이면 –1이고 그렇지 않으면 1인 ε''Y''(''b'',''w'')''Y''(''a'',''z'')와 ''Y''(''a'',''z'')''Y''(''b'',''w'')를 비교한다. 또한 짝수 부분 ''V''₂에 비라소로 원소 ω가 있고, 일반적인 등급 제한이 충족되면 ''V''를 ''꼭짓점 연산자 초대수''라고 한다.

단일 자유 페르미온 ψ로 생성된 꼭짓점 연산자 초대수는 가장 간단한 예 중 하나이다. 비라소로 표현으로, 중심 전하 1/2를 가지며, 최저 가중치 0과 1/2의 아이징 모듈의 직합으로 분해된다. 또한 잔여 페어링을 사용하여 2차 공간 ''t''^1/2'''C'''[''t'',''t''⁻¹](''dt'')^1/2에 대한 클리포드 대수의 스핀 표현으로 설명할 수도 있다. 이 꼭짓점 연산자 초대수는 모든 모듈이 자체의 직합, 즉 모듈 범주가 벡터 공간의 범주와 동등하다는 의미에서 정칙적이다.

자유 페르미온의 텐서 제곱은 자유 전하 페르미온이라고 불리며, 보손-페르미온 대응에 의해, 홀수 격자 '''Z'''에 연결된 격자 꼭짓점 초대수와 동형이다. 이 대응은 Date–Jimbo–Kashiwara-Miwa가 비선형 편미분 방정식의 솔리톤 해를 KP 계층으로 구성하는 데 사용되었다.

7. 초등각 구조

초대칭적 확장을 갖는 비라소로 대수는 초등각장론과 초끈 이론에서 중요하게 다루어진다. 특히 ''N''=1, 2, 4 초등각 대수가 중요하다.

''N''=1 초등각 대수의 경우, 초스트레스-에너지 텐서 ''T''(z, θ)는 비라소로 장 *L*(*z*)와 홀수 부분 *G*(*z*) = Σ_*n* *G*_*n* *z*^-*n*-3/2로 표현된다. 이들은 특정한 교환 관계를 따르며, 장 *G*의 지수 *n*이 정수인지 반정수인지에 따라 라몽 대수와 뇌뵈-슈바르츠 대수로 나뉜다. 중심 전하 *c*에 대한 단일 표현은 특정 조건에서 존재한다.

중심 전하 *c*를 갖는 정점 연산자 대수 *V*에서 *N*=1 초등각 벡터는 가중치 3/2의 홀수 원소 τ ∈ *V*이며, *G*_−1/2τ = ω이고, *G*(*z*)의 계수는 중심 전하 *c*에서 *N*=1 뇌뵈-슈바르츠 대수의 작용을 생성한다.

''N''=2 초대칭의 경우, 짝수 장 *L*(*z*)와 *J*(*z*), 홀수 장 *G*⁺(*z*)와 *G*⁻(*z*)를 얻는다. *J*(*z*)는 하이젠베르크 대수의 작용을 생성하며, *G* 장의 지수 매김에 따라 라몽과 뇌뵈-슈바르츠 *N*=2 초등각 대수가 존재한다. ''U''(1) 전류는 라몽과 뇌뵈-슈바르츠 사이를 보간하는 구조의 변형을 만든다. 단일 표현은 특정 중심 전하 *c* 값에서 주어진다.

정점 연산자 대수에 대한 ''N''=2 초등각 구조는 가중치 3/2의 홀수 원소 쌍 τ⁺, τ⁻와 가중치 1의 짝수 원소 μ이며, τ^±는 *G*^±(*z*)를, μ는 *J*(*z*)를 생성한다.

''N''=3 및 4의 경우, 단일 표현은 이산 계열의 중심 전하만 가지며, 각각 *c*=3*k*/2 및 6*k* (*k*는 양의 정수)이다.

8. 추가적인 구성 방법

꼭짓점 연산자 대수는 여러가지 방법으로 구성할 수 있다.

고정점 부분 대수: 꼭짓점 연산자 대수에 대칭군 작용이 주어지면, 고정 벡터의 부분 대수는 꼭짓점 연산자 대수가 된다. 2013년 미야모토는 주(Zhu)의 조건 C₂와 정칙성이 유한 가해군 작용 하의 고정점을 취할 때 보존된다는 것을 증명했다.
전류 확장: 꼭짓점 연산자 대수와 적분 컨포멀 가중치의 몇몇 모듈이 주어지면, 유리한 상황에서 직접 합에 대한 꼭짓점 연산자 대수 구조를 설명할 수 있다. 격자 꼭짓점 대수는 이의 표준적인 예이다. 또 다른 예로는 이징 모델의 텐서 곱으로 시작하여 적절한 짝수 코드를 나타내는 모듈을 추가하는 틀이 잡힌 VOA가 있다.
오비폴드: 정칙 VOA에 작용하는 유한 순환군이 주어지면, 기약 꼬임 모듈을 부가하고 유도된 자기 동형 아래에서 고정점을 취하여 두 번째 정칙 VOA를 구성할 수 있을 것으로 추측된다. 꼬임 모듈이 적절한 컨포멀 가중치를 가질 경우에 한정된다. 이는 특수한 경우, 예를 들어, 격자 VOA에 작용하는 차수가 최대 3인 군에 대해 참인 것으로 알려져 있다.
코셋 구성 (고다드, 켄트, 올리브): 중심 전하 ''c''의 꼭짓점 연산자 대수 ''V''와 벡터 집합 ''S''가 주어지면, 모든 필드와 엄격하게 교환하는 벡터의 부분 공간을 ''C''(''V'',''S'')로 정의할 수 있다. 즉, 모든 ''s'' ∈ ''S''에 대해 ''Y''(''s'',''z'')''v'' ∈ V''z''이다. 이 구조는 ''Y'', ''T'', 및 항등식이 ''V''로부터 상속된 꼭짓점 부분 대수가 된다. 그리고 ''S''가 중심 전하 ''c''_S의 VOA인 경우, 교환자는 중심 전하 ''c''–''c''_S의 VOA이다. 예를 들어, 수준 ''k''+1에서 두 개의 ''SU''(2) 대수 텐서 곱에의 임베딩 (수준 ''k''와 1)은 ''p''=''k''+2, ''q''=''k''+3인 비라소로 이산 계열을 생성하며, 이는 1980년대에 그들의 존재를 증명하는 데 사용되었다. 다시 ''SU''(2)로, 수준 ''k''+2를 수준 ''k''와 수준 2의 텐서 곱에 임베딩하면 ''N''=1 초등각 이산 계열이 생성된다.
BRST 환원: ''v''₀²=0을 만족하는 차수 1 벡터 ''v''에 대해 이 연산자의 코호몰로지는 등급 꼭짓점 초 대수 구조를 갖는다. 더 일반적으로, 제곱이 0인 잔여 항을 갖는 가중치 1 필드를 사용할 수 있다. 일반적인 방법은 페르미온과 텐서화하는 것이며, 그러면 정규 미분이 있다. 중요한 특수한 경우는 아핀 Kac–Moody 대수에 적용된 양자 Drinfeld–Sokolov 환원이며, 차수 0 코호몰로지로서 아핀 ''W'' 대수를 얻는다. 이러한 ''W'' 대수는 또한 스크리닝 연산자의 핵에 의해 주어진 자유 보존의 꼭짓점 부분 대수로서의 구성을 허용한다.

8. 1. 고정점 부분 대수

8. 2. 전류 확장 (Current Extension)

8. 3. 오비폴드 (Orbifold)

8. 4. 코셋 구성 (Coset Construction)

8. 5. BRST 환원 (BRST Reduction)

9. 관련된 대수적 구조

꼭짓점 연산자 대수와 관련된 대수적 구조는 다음과 같다.

리 작용 대수: 꼭짓점 대수에서 특이 부분만을 고려하면 리 작용 대수의 정의에 도달한다. 꼭짓점 연산자 전개의 특이 부분에만 관심이 있는 경우가 많기 때문에, 리 작용 대수는 자연스러운 연구 대상이 된다. 꼭짓점 대수에서 리 작용 대수로 가는 함자가 있는데, 이는 OPE의 정칙 부분을 잊어버리는 함자이며, "보편 꼭짓점 대수" 함자라고 불리는 왼쪽 수반 함자를 가진다. 아핀 카츠-무디 대수와 비라소로 꼭짓점 대수의 진공 가군은 보편 꼭짓점 대수이며, 특히 배경 이론이 개발되면 매우 간결하게 설명할 수 있다.

꼭짓점 대수의 일반화: 문헌에는 꼭짓점 대수의 개념에 대한 몇 가지 일반화가 있다. 몇 가지 경미한 일반화는 모노드롬이를 허용하기 위해 국소성 공리를 약화시키는 것을 포함하며, 예를 들어 동과 레포스키의 ''아벨 교호 대수''가 있다. 이것들은 대략적으로 초 가군 공간의 범주에서 그러한 대상인 꼭짓점 초대수와 거의 같은 방식으로, 등급 벡터 공간의 꼬임 텐서 범주에서 꼭짓점 대수 대상으로 볼 수 있다. 더 복잡한 일반화는 프렌켈-레세티킨, 에팅고프-카즈단, 리 등의 연구와 같이 ''q''-변형 및 양자군의 표현과 관련이 있다.

키랄 대수: 베일린슨과 드린펠드는 꼭짓점 대수의 개념과 밀접하게 관련된 키랄 대수의 층 이론적 개념을 도입했지만, 가시적인 멱급수를 사용하지 않고 정의된다. 주어진 대수 곡선 ''X''에 대해, ''X'' 위의 키랄 대수는 곱셈 연산 $j_*j^*(A \boxtimes A) \to \Delta_* A$ 을 갖춘 ''D''_X-가군 ''A''이며, 이는 연관성 조건을 만족한다. 그들은 또한 곡선의 모든 유한 곱에 대한 유사코히런트 층의 시스템인 ''인수 분해 대수''의 동등한 개념을 도입했으며, 다양한 대각선의 보완부에 대한 당김과 관련된 호환성 조건을 함께 도입했다. 아핀 선 위의 임의의 평행 이동 등변 키랄 대수는 한 점에서 섬유를 취함으로써 꼭짓점 대수로 식별될 수 있으며, 매끄러운 대수 곡선 위의 키랄 대수를 임의의 꼭짓점 연산자 대수에 연결하는 자연스러운 방법이 있다.

9. 1. 리 작용 대수 (Lie Conformal Algebra)

9. 2. 키랄 대수 (Chiral Algebra)

참조

_[1] 서적 Vertex algebras and algebraic curves 2004
_[2] 논문 Infinite chiral symmetry in four dimensions. 2015

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