바탈린-빌코비스키 대수

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1. 개요

바탈린-빌코비스키 대수는 차수 −1인 2차 멱영 연산자 Δ를 가진 등급 초가환 대수이다. 이 대수는 게이지 이론의 양자화에 등장하며, 이때 바탈린-빌코비스키 대수의 등급은 유령수가 된다. 바탈린-빌코비스키 대수는 고차 미분 연산자, 거스틴해버 괄호, 그리고 바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자를 포함하는 구조를 갖는다. 이 대수는 게이지 이론의 양자화, 고전 으뜸 방정식, 그리고 양자 으뜸 방정식과 같은 개념과 밀접하게 관련되어 있으며, 미분형식 전기역학과 같은 다양한 분야에 적용된다.

바탈린-빌코비스키 대수

정의

유형	장-빌코비스키 대수(Gerstenhaber-Batalin-Vilkovisky algebra)의 예
분야	수학, 이론 물리학
연구	이오안 바탈린(Ioan Batalin), 그리고르 빌코비스키(Grigori Vilkovisky)

세부 사항

설명	바탈린-빌코비스키 형식주의(Batalin-Vilkovisky formalism)는 장-빌코비스키 대수 구조를 갖춘 미분 등급 대수(differential graded algebra)이다. 이 구조는 홀수 푸아송 괄호(odd Poisson bracket) 또는 델타 연산자(delta operator)로 특징지어진다.
응용 분야	게이지 이론 양자화, 끈 이론, 거울 대칭, 위상 양자장론
관련 개념	BRST 형식주의 게이지 고정 장-빌코비스키 대수 미분 등급 대수 푸아송 괄호

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1. 개요
2. 정의
3. 게이지 이론의 양자화
4. 예시
- 4.1. 양-밀스 이론
- 4.2. 미분형식 전기역학
5. 역사
6. 관련 개념
7. 참고 문헌

2. 정의

바탈린-빌코비스키 대수 $(A,\Delta)$ 는 특정한 수학적 구조를 나타내며, 다음과 같은 요소들로 구성된다.
* 등급 초가환 대수 $A=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}A_i$ . 이는 곱셈이 결합 법칙과 등급화된 교환 법칙 ( $ab = (-1)^$

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ba)을 만족하는 대수 구조이다.
*

A

위에 작용하는 등급 -1의 2차 미분 연산자

\Delta\colon A_\bullet\to A_{\bullet-1}

. 이 연산자는

\Delta^2 = 0

(멱영성)을 만족하며, 바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자라고 불린다.

\Delta

연산자는 특정한 2차 조건 항등식을 만족해야 한다. 때로는 정규화 조건

\Delta(1)=0

이 추가로 요구되기도 한다.

바탈린-빌코비스키 대수 구조가 주어지면, 이를 이용하여 게르스텐하버 괄호 (또는 반괄호, 버틴 괄호, 홀수 푸아송 괄호)를 정의할 수 있으며, 이를 통해

A

는 게르스텐하버 대수의 구조를 갖게 된다. 이 괄호는 등급 -1을 가지며, 등급화된 반대칭성과 야코비 항등식을 만족한다.

2.1. 고차 미분 연산자

(단위원을 갖는) 정수 등급 가환 결합 대수
: $A = \bigoplus_{i\in\mathbb Z}A_i$
: $ab = (-)^{\deg a\deg b}ba$
가 주어졌다고 하자. 이 대수 위에서 왼쪽 곱셈 연산자 $\mathsf L_a$ 와 초괄호 $[\cdot,\cdot\}$ 를 다음과 같이 정의할 수 있다.
: $\mathsf L_a b = ab$
: $[a,b\} = ab - (-)^{\deg a\deg b}ba$
초괄호는 등급을 갖는 동차 연산자에 대해서도 정의될 수 있다.

대수 $A$ 위의 연산자 $D \colon A_\bullet \to A_{\bullet+k}$ 가 등급 $k$ (즉, $\deg D = k$ )를 가지고 다음 두 조건을 만족시키면, 이를 $n$ 차 $k$ 등급 미분 연산자( $n$ th-order degree- $k$ operator^영어)라고 한다.
: $D(1_A) = 0$
: $[\dotso[[D,\mathsf L_{a_0}\}, \mathsf L_{a_1}\},\dotsc, \mathsf L_{a_n} \} (1_A) = 0 \qquad\forall a_0,\dotsc,a_n\in A$
여기서 초괄호를 계산할 때, 연산자의 등급은 $\deg \mathsf L_a = \deg a$ 및 $\deg D = k$ 로 간주한다.

예를 들어, 0차 미분 연산자는 단순히 $D(1_A) = 0$ 인 연산자이다. 1차 미분 연산자는 $n=1$ 인 경우로, 다음 조건을 만족한다.
: $0 = [[D,\mathsf L_a\},\mathsf L_b\}1_A = [D\mathsf L_a - (-)^{k\deg a}\mathsf L_a D, \mathsf L_b\}1_A$
: $= (D\mathsf L_a - (-)^{k\deg a}\mathsf L_a D)\mathsf L_b 1_A - (-)^{(k+\deg a)\deg b}\mathsf L_b (D\mathsf L_a - (-)^{k\deg a}\mathsf L_a D)1_A$
: $= D(ab) - (-)^{k\deg a}a(Db) - (-)^{(k+\deg a)\deg b}b(Da) - (-)^{k\deg a + (k+\deg a)\deg b} \mathsf L_b \mathsf L_a (D 1_A)$
$D(1_A)=0$ 이므로 마지막 항은 0이다. 따라서 1차 미분 연산자는 다음의 등급화된 곱 규칙을 만족시킨다.
: $D(ab) = (Da)b + (-)^{k\deg a}a(Db)$

홀수 등급( $k$ 가 홀수)을 가지는 2차 미분 연산자 $\Delta$ 는 $n=2$ 인 경우에 해당하며, 다음 항등식을 만족시킨다.
: $\Delta(abc)-\Delta(ab)c-(-1)^{\deg a}a\Delta(bc)-(-1)^{(\deg a+1)\deg b}b\Delta(ac)+\Delta(a)bc+(-1)^{\deg a}a\Delta(b)c+(-1)^{\deg a+\deg b}ab\Delta(c)=0$
이는 $[[[\Delta, \mathsf L_a\}, \mathsf L_b\}, \mathsf L_c\}1_A = 0$ 을 전개하여 얻을 수 있다.

2.2. 거스틴해버 괄호

등급 가환 결합 대수
: $A=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}A_i$
와 $A$ 위의 사슬 복합체 구조
: $\partial \colon A_\bullet \to A_{\bullet-1}$
: $\partial_1 = 0$
가 주어졌다고 하자. 이때 다음과 같은 일련의 괄호들을 정의할 수 있다.
: $\Phi^{n+1}(a_0,a_1,\dotsc,a_n) = [[\dotsb[[\partial,\mathsf L_{a_0}\},\mathsf L_{a_1}\},\dotsc\},\mathsf L_{a_n}\}1$
이를 $n+1$ 항 거스틴해버 괄호라고 부른다. 예를 들면 다음과 같다.
: $\Phi^0() = 0$
: $\Phi^1(a) = \partial a$
: $\Phi^2(a,b) = \partial (ab) - (-)^{\deg a}a\partial b - (\partial a)b$
곱셈 구조를 제외하면, $(A,\Phi^\bullet)$ 는 L∞-대수를 형성한다. 만약 $\partial$ 가 $n$ 차 미분 연산자라면, 오직 $\Phi^1,\dotsc,\Phi^n$ 만이 0이 아닐 수 있다.

바탈린-빌코비스키 대수에서는 다음과 같은 거스틴해버 괄호(Gerstenhaber bracket^영어) 또는 반괄호(antibracket^영어) $(a,b)$ 를 정의할 수 있다.
: $(a,b) = (-1)^{\deg a}\Phi^2(a,b)$
이는 다음과 같은 성질들을 만족한다.
* 차수 −1: $\deg(a,b)=\deg a+\deg b-1$
* 등급가환성: $(a,b)=-(-1)^{(\deg a+1)(\deg b+1)}(b,a)$
* 등급 야코비 항등식: $(-1)^{(\deg a+1)(\deg c+1)}(a,(b,c))+(-1)^{(\deg b+1)(\deg a+1)}(b,(c,a))+(-1)^{(\deg c+1)(\deg b+1)}(c,(a,b))=0$
* 등급 라이프니츠 규칙: $(ab,c)=a(b,c)+(-1)^{\deg a\deg b}b(a,c)$

바탈린-빌코비스키 대수는 다음과 같이 게르스텐하버 괄호를 정의하면 게르스텐하버 대수가 된다.
: $(a,b) := (-1)^{\left|a\right|}\Delta(ab) - (-1)^{\left|a\right|}\Delta(a)b - a\Delta(b)+a\Delta(1)b .$
게르스텐하버 괄호는 버틴 괄호, 안티브래킷, 또는 홀수 푸아송 괄호라고도 불린다. 안티브래킷은 다음 성질들을 만족한다.
* $|(a,b)| = |a|+|b| - 1$ (안티브래킷 (,)의 차수는 −1)
* $(a,b) = -(-1)^{(|a|+1)(|b|+1)}(b,a)$ (반대칭성)
* $(-1)^{(|a|+1)(|c|+1)}(a,(b,c)) + (-1)^{(|b|+1)(|a|+1)}(b,(c,a)) + (-1)^{(|c|+1)(|b|+1)}(c,(a,b)) = 0$ (야코비 항등식)
* $(ab,c) = a(b,c) + (-1)^$

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b(a,c) (푸아송 성질; 라이프니츠 규칙)

왼쪽 곱셈 연산자

L_{a}

를

L_{a}(b) := ab

로 정의하고, 슈퍼교환자 [,]를 임의의 두 연산자

S

와

T

에 대해

[S,T]:=ST - (-1)^{\left|S\right|\left|T\right|}TS

로 정의하면, 반괄호의 정의는 다음과 같이 간결하게 표현할 수 있다.
:

(a,b) := (-1)^{\left|a\right|} [[\Delta,L_{a}],L_{b}]1

여기서 연산자는 단위 원소 1에 작용하는 것으로 이해한다. 즉,

[\Delta,L_{a}]

는 1차 연산자이고,

[[\Delta,L_{a}],L_{b}]

는 0차 연산자이다. 또한, Δ에 대한 2차 조건은 다음과 같이 쓸 수 있다.
:

[[[\Delta,L_{a}],L_{b}],L_{c}]1 = 0

(Δ 연산자는 2차이다)

2.3. 바탈린-빌코비스키 대수

바탈린-빌코비스키 대수 $(A,\Delta)$ 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 등급 대수이면서 초가환 대수인 $A=\bigoplus_{i\in\mathbb Z}A_i$ . 이는 단위원을 가지며, 곱셈은 결합 법칙( $(ab)c = a(bc)$ )과 등급 교환 법칙( $ab = (-1)^$

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ba)을 만족하고, 곱의 등급은 각 인자의 등급 합과 같다(

|ab| = |a| + |b|

).
*

A

위에 작용하는 2차 미분 연산자

\Delta\colon A_\bullet\to A_{\bullet-1}

. 이 연산자는 등급을 1만큼 낮추며(

|\Delta(a)| = |a| - 1

), 멱영성(

\Delta^2 = 0

)을 만족한다. 이

\Delta

를 바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자라고 부른다.

또한,

\Delta

연산자는 다음의 2차 조건을 만족해야 한다.
:

\begin{align}0 = & \Delta(abc) \\&-\Delta(ab)c-(-1)^

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a\Delta(bc)-(-1)^{(|a|+1)|b|}b\Delta(ac)\\&+\Delta(a)bc+(-1)^

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a\Delta(b)c+(-1)^

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ab\Delta(c)\\&-\Delta(1)abc\end{align}

때로는 다음과 같은 정규화 조건이 추가로 요구되기도 한다.
*

\Delta(1)=0

이 경우, 정규화된 연산자

{\Delta}_{\rho}

는 다음과 같이 정의된다.
:

{\Delta}_{\rho} := \Delta-\Delta(1)

이 연산자는 특히 홀수 푸아송 기하학의 맥락에서 홀수 라플라시안이라고 불리며, 안티브래킷

(,)

에 대해 다음과 같은 미분 규칙을 만족한다.
*

{\Delta}_{\rho}(a,b) = ({\Delta}_{\rho}(a),b) - (-1)^{\left|a\right|}(a,{\Delta}_{\rho}(b))

정규화된 연산자의 제곱

{\Delta}_{\rho}^{2}=(\Delta(1),\cdot)

은 홀수 해밀토니안

\Delta(1)

을 갖는 해밀턴 벡터장이며, 모듈러 벡터장으로도 알려져 있다. 이 벡터장은 곱셈에 대해 라이프니츠 규칙을 만족한다.
*

{\Delta}_{\rho}^{2}(ab) = {\Delta}_{\rho}^{2}(a)b+ a{\Delta}_{\rho}^{2}(b)

만약 정규화 조건

\Delta(1)=0

을 가정하면, 홀수 라플라시안

{\Delta}_{\rho}

는 원래의

\Delta

연산자와 같아지고, 모듈러 벡터장

{\Delta}_{\rho}^{2}

은 0이 된다.

3. 게이지 이론의 양자화

바탈린-빌코비스키 대수는 게이지 이론의 양자화 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 한다. 이 과정에서 핵심적인 개념으로 [[유령수]](ghost number^영어)가 등장하며, 이는 바탈린-빌코비스키 대수의 등급(grading)에 해당한다. 게이지 이론을 양자화하기 위해 도입되는 유령장과 반대장 등의 구체적인 내용은 하위 섹션에서 자세히 설명된다.

3.1. 게이지 이론과 BV 형식

바탈린-빌코비스키 대수는 게이지 이론의 양자화 과정에서 중요한 역할을 한다. 이 맥락에서 바탈린-빌코비스키 대수의 등급(grading)은 유령수(ghost number)에 해당한다.

어떤 게이지 이론이 장(field) $\phi^i$ 와 고전적 작용 $S_0(\phi)$ 으로 정의된다고 가정해 보자. 이 이론에는 다음과 같은 형태의 게이지 변환이 존재한다.
: $\delta\phi^i=R_{\alpha_1}^i\epsilon^{\alpha_1}$
여기서 $\epsilon^{\alpha_1}$ 은 게이지 변환을 나타내는 매개변수이다. 게이지 변환들 사이에는 서로 연관 관계가 있을 수 있으며, 이는 다음과 같은 식으로 표현될 수 있다.
: $R^{i_p}_{i_{p+1}}R_{i_p}^{i_0}=C^{ij}_{\alpha_{p+1}}\frac{\delta S_0}{\delta\phi^{j_0}}$
이 식에서 $C^{ij}_{\alpha_{p+1}}$ 는 특정 형태의 텐서를 의미한다. 이는 일반적으로 게이지 이론이 단순히 기본적인 게이지 변환뿐만 아니라, 다음과 같은 일련의 고차 게이지 변환들을 포함할 수 있음을 시사한다.

* 1차 게이지 변환: $\delta\phi^i/\delta\epsilon^{\alpha_1}$
* 2차 게이지 변환: $\delta\epsilon^{\alpha_1}/\delta\epsilon^{\alpha_2}$
* 3차 게이지 변환: $\delta\epsilon^{\alpha_2}/\delta\epsilon^{\alpha_3}$
* ... 등등

바탈린-빌코비스키 양자화 방법론에서는 이러한 각 (고차) 게이지 변환 $\delta/\delta\epsilon^{\alpha_p}$ 에 대응하여 유령장(ghost field) $c^{\alpha_p}$ 을 도입한다. 유령장은 해당 게이지 변환의 통계적 성질(보손 또는 페르미온)과 반대되는 통계를 따른다. 예를 들어, 일반적인 게이지 변환에 대응하는 유령장은 페르미온이고, 초대칭 게이지 변환에 대응하는 유령장은 보손이다.

또한, 물리적 장 $\phi^i$ 와 각 유령장 $c^{\alpha_p}$ 에 대응하는 반대장(反對場, antifield^영어) $\phi^*_i$ 와 $c^*_{\alpha_p}$ 를 정의한다. 반대장들은 원래의 장과 반대 통계를 가진다. 이 모든 장들에는 유령수(幽靈數, ghost number^영어)라는 정수 등급이 부여된다. 규칙은 다음과 같다.

* 물리적 장( $\phi^i$ )의 유령수는 0이다.
* $p$ 차 게이지 변환에 대응하는 유령장( $c^{\alpha_p}$ )의 유령수는 $p$ 이다.
* 유령수 $g$ 를 가진 장에 대응하는 반대장의 유령수는 $-g-1$ 이다.

이를 표로 정리하면 다음과 같다.

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장 종류	\| 통계 $\sigma(\Phi^A)$ (+1: 보손, −1: 페르미온)	유령수 $\deg\Phi^A$
물리적 장	$\phi^i$	$\sigma(\phi^i)$ (보손: +1, 페르미온: −1)	0
물리적 반대장	$\phi^*_i$	$-\sigma(\phi^i)$	−1
유령장	$c^{\alpha_p}$	$-\sigma(\epsilon^{\alpha_p})$ (일반 대칭: −1, 초대칭: +1)	$p$
유령 반대장	$c^*_{\alpha_p}$	$\sigma(\epsilon^{\alpha_p})$	$-p-1$

결과적으로, 이 장들은 유령수를 등급으로 하는 등급대수 구조를 형성한다.

3.2. Δ 연산자와 거스틴해버 괄호

바탈린-빌코비스키 대수는 차수 -1인 2차 멱영 연산자 Δ를 가진 등급 초가환 대수이다. 이 Δ 연산자는 다음 성질을 만족한다.
* $|\Delta(a)| = |a| - 1$ (Δ는 차수 −1을 갖는다)
* $\Delta^2 = 0$ (멱영성 (2차))
* Δ 연산자는 2차이다. 이는 다음 항등식으로 표현된다.
: $\begin{align}0 = & \Delta(abc) \\&-\Delta(ab)c-(-1)^$

👆

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a\Delta(bc)-(-1)^{(|a|+1)|b|}b\Delta(ac)\\&+\Delta(a)bc+(-1)^

👆

좌우로 밀어서 보기

a\Delta(b)c+(-1)^

👆

좌우로 밀어서 보기

ab\Delta(c)\\&-\Delta(1)abc\end{align}
종종 정규화 조건

\Delta(1)=0

도 요구된다.

이 Δ 연산자를 이용하여 다음과 같이 거스틴해버 괄호(Gerstenhaber bracket^영어), 또는 반괄호(antibracket^영어), 버틴 괄호, 홀수 푸아송 괄호라고도 불리는 연산

(a,b)

를 정의할 수 있다.
:

(a,b) := (-1)^{\left|a\right|}\Delta(ab) - (-1)^{\left|a\right|}\Delta(a)b - a\Delta(b)+a\Delta(1)b .

이 괄호는 다음과 같은 성질들을 만족한다.
*

|(a,b)| = |a|+|b| - 1

(차수는 −1)
*

(a,b) = -(-1)^{(|a|+1)(|b|+1)}(b,a)

(반대칭성)
*

(-1)^{(|a|+1)(|c|+1)}(a,(b,c)) + (-1)^{(|b|+1)(|a|+1)}(b,(c,a)) + (-1)^{(|c|+1)(|b|+1)}(c,(a,b)) = 0

(야코비 항등식)
*

(ab,c) = a(b,c) + (-1)^

👆

좌우로 밀어서 보기

b(a,c) (푸아송 성질 또는 등급 라이프니츠 규칙)

따라서 Δ 연산자를 갖춘 바탈린-빌코비스키 대수는 이 거스틴해버 괄호를 통해 거스틴해버 대수의 구조를 가지게 된다.

만약 정규화 조건

\Delta(1)=0

이 성립하면, 거스틴해버 괄호의 정의는 다음과 같이 간단해진다.
:

(a,b) = (-1)^{\left|a\right|}\Delta(ab) - (-1)^{\left|a\right|}\Delta(a)b - a\Delta(b)

정규화된 연산자

{\Delta}_{\rho} := \Delta-\Delta(1)

는 홀수 라플라시안이라고도 불리며, 안티브래킷(거스틴해버 괄호)을 다음과 같이 "미분"하는 성질을 갖는다.
*

{\Delta}_{\rho}(a,b) = ({\Delta}_{\rho}(a),b) - (-1)^{\left|a\right|}(a,{\Delta}_{\rho}(b))

정규화된 연산자의 제곱

{\Delta}_{\rho}^{2}=(\Delta(1),\cdot)

은 홀수 해밀토니안 Δ(1)을 갖는 해밀턴 벡터장이며, 모듈러 벡터장이라고도 한다. 이는 라이프니츠 규칙을 만족한다.
*

{\Delta}_{\rho}^{2}(ab) = {\Delta}_{\rho}^{2}(a)b+ a{\Delta}_{\rho}^{2}(b)

만약 정규화

\Delta(1)=0

을 가정하면, 홀수 라플라시안

{\Delta}_{\rho}

는 Δ 연산자와 같아지고, 모듈러 벡터장

{\Delta}_{\rho}^{2}

은 0이 된다.

왼쪽 곱셈 연산자

L_{a}(b) := ab

와 슈퍼교환자

[S,T]:=ST - (-1)^{\left|S\right|\left|T\right|}TS

를 사용하면, 거스틴해버 괄호와 Δ의 2차 조건을 다음과 같이 간결하게 표현할 수도 있다.
*

(a,b) = (-1)^{\left|a\right|} [[\Delta,L_{a}],L_{b}]1

[[[\Delta,L_{a}],L_{b}],L_{c}]1 = 0

(Δ 연산자는 2차이다)
여기서 연산자는 단위 원소 1에 작용하는 것으로 이해한다.

물리적인 장 이론의 맥락에서는, 장들의 등급대수 위에 Δ 연산자와 거스틴해버 괄호를 다음과 같이 정의하기도 한다. 모든 장들을 통칭하여

\Phi^A=(\phi^i,c^{\alpha_p})

, 반장(antifield)들을

\Phi^*_A=(\phi^*_i,c^*_{\alpha_p})

로 표기할 때,
* Δ 연산자:

\Delta=(-1)^{\sigma(\Phi^A)}\frac{\delta^L}{\delta\Phi^A}\frac{\delta^L}{\delta\Phi^*_A}

* 거스틴해버 괄호:

(X,Y)=\frac{\delta^RX}{\delta\Phi^A}\frac{\delta^LY}{\delta\Phi^*_A}- \frac{\delta^RX}{\delta\Phi^*_A}\frac{\delta^LY}{\delta\Phi^A}.

여기서

\delta^L/\delta\Phi^A

와

\delta^R/\delta\Phi^A

는 각각 함수 미분의 일종인 좌미분과 우미분이다. 이렇게 정의된 연산자들을 갖춘 장들의 등급대수는 바탈린-빌코비스키 대수를 이룬다.

3.3. 고전 으뜸 방정식

고전적 작용 $S_0(\phi^i)$ 는 유령수가 0인 양이다. 게이지 고정을 위해서는 이 고전적 작용에 유령장과 그에 대응하는 반대장들을 추가하여 교정된 작용 $S$ 를 구성해야 한다. 이 교정된 작용은 다음과 같은 급수 형태로 나타낼 수 있다.
: $S=S_0+S_1+S_2+\dots$
여기서 각 항 $S_p$ 는 $p$ 개의 유령장과 그 유령수를 상쇄시키는 반대장들을 포함한다. 따라서 전체 교정된 작용 $S$ 의 총 유령수는 0이 된다 ( $\deg S=0$ ).

이렇게 구성된 교정된 작용 $S$ 는 고전 으뜸 방정식(classical master equation^영어)이라고 불리는 다음의 중요한 방정식을 만족해야 한다.
: $(S,S)=0$
여기서 $(\cdot, \cdot)$ 는 안티브라켓(Antibracket)을 나타낸다. 이 방정식은 이론의 일관성을 보장하는 핵심적인 조건이며, 이 방정식을 풀어서 교정된 작용 $S$ 의 구체적인 형태를 결정할 수 있다.

고전 으뜸 방정식을 만족하는 작용 $S$ 를 이용하면 이론의 BRST 대칭 변환 $\delta_{\text{BRST}}$ 를 다음과 같이 정의할 수 있다.
: $\delta_{\text{BRST}}=(S,\cdot)$
이 정의에 따르면, 작용 $S$ 자체는 BRST 변환에 대해 불변이다. 이는 고전 으뜸 방정식으로부터 바로 유도된다.
: $\delta_{\text{BRST}}S=(S,S)=0$
작용 $S$ 의 유령수는 0이고 안티브라켓은 유령수를 +1만큼 증가시키므로, BRST 변환 $\delta_{\text{BRST}}$ 는 작용하는 대상의 유령수를 1만큼 증가시키는 연산자이다.

BRST 변환은 중요한 성질인 $\delta_{\text{BRST}}^2 = 0$ 을 만족한다. 이는 BRST 변환을 두 번 연속으로 적용하면 항상 0이 된다는 의미이며, 미분기하학에서의 외미분 연산자와 유사한 성질이다. 이 성질 덕분에 BRST 연산자에 대한 코호몰로지 $H^p(\delta_{\text{BRST}})$ 를 정의할 수 있다.

물리적으로 의미 있는 관측량은 유령수가 0인 BRST 코호몰로지 군 $H^0(\delta_{\text{BRST}})$ 의 원소들로 정의된다. 즉, 어떤 고전적인 연산자 $O_0$ 가 주어졌을 때, 이로부터 물리적인 관측량을 얻으려면 유령장과 관련된 항들을 추가하여 교정된 연산자 $O = O_0 + O_1 + O_2 + \cdots$ 를 구성해야 한다. 이 교정된 연산자 $O$ 는 BRST 불변 조건을 만족해야 한다.
: $\delta_{\text{BRST}}O=(S,O)=0$
이 조건을 만족하는 연산자만이 물리적으로 의미 있는 관측량에 해당한다.

3.4. 게이지 고정

유령항을 추가한 뒤, 경로 적분을 사용하려면 작용을 게이지 고정시켜야 한다. 이를 위해 유령수가 −1이고, 반대장들을 포함하지 않는 페르미온 연산자 $\psi$ 를 선택한다. 이를 게이지 고정 페르미온(gauge-fixing fermion^영어)이라고 한다. 이러한 연산자가 주어지면, 작용에서 반대장을 다음과 같이 치환한다.
: $\Phi^*_A\mapsto\frac{\delta\psi}{\delta\Phi^A}$
작용에서 반대장들을 이렇게 치환하게 되면, 게이지가 고정된다.

게이지 고정 페르미온은 &minus1;의 유령수를 가져야 하는데, 반대장이 아닌 장들은 모두 음이 아닌 유령수를 가진다. 이 때문에 이론에 음의 유령수를 가진 보조장들을 추가하여야 한다.

3.5. 양자 으뜸 방정식

양자화를 하게 되면, 작용뿐만 아니라 경로 적분의 측도 또한 BRST 불변이어야 한다. 측도가 BRST 불변일 필요충분조건은 다음과 같다.
: $\Delta S=0$
예를 들어, 양-밀스 이론의 경우 이 조건이 성립한다.

만약 측도가 BRST 불변이 아니라면, 작용에 적절한 항들을 추가하여 이를 상쇄시켜야 한다. 이는 플랑크 상수 $\hbar$ 에 비례하게 된다. 즉, $S=\hat S^{(0)}$ 으로 놓으면, 다음과 같이 전개할 수 있다.
: $\hat S=\hat S^{(0)}+\hbar S^{(1)}+\hbar^2S^{(2)}+\cdots$
이에 대한 양자 으뜸 방정식(quantum master equation^영어)은 다음과 같다.
: $\Delta(\exp(i\hat S/\hbar))=0$
이는 아래 표현과 동치이다.
: $(\hat S,\hat S)=2i\hbar\Delta\hat S$
이를 $\hbar$ 에 대해 전개하면 다음과 같은 일련의 식들을 얻는다.
: $(\hat S^{(0)},\hat S^{(0)})=0$
: $(\hat S^{(0)},\hat S^{(1)})=i\Delta \hat S^{(0)}$
: $(\hat S^{(0)},\hat S^{(2)})+\frac12(\hat S^{(1)},\hat S^{(1)})=i\Delta \hat S^{(1)}$
: $\cdots$
이 가운데 첫 번째 방정식, $(\hat S^{(0)},\hat S^{(0)})=0$ , 이 바로 고전 으뜸 방정식이다.

피적분량 $X$ 를 위와 같이 게이지 고정시켜 경로 적분한다고 가정하자. 이 적분이 게이지 고정 페르미온의 선택에 의존하지 않으려면, 그 바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자 $\Delta$ 에 대한 작용이 0이어야 한다. 따라서, 연산자를 삽입하지 않은 경로 적분
: $\int\exp(iS/\hbar)$
를 고려하면 양자 으뜸 방정식
: $\Delta\exp(iS/\hbar)=0$
이 만족되어야 함을 알 수 있다. 연산자 $O$ 가 삽입된 경로 적분의 경우, 마찬가지로 다음 조건이 성립해야 한다.
: $(W,O)=i\hbar\Delta O$

이는 스토크스 정리와 유사하게 이해할 수 있다. 즉, 경로 공간(장들의 무한 차원 짜임새 공간) 위에서 $\exp(iS/\hbar)$ 를 다중벡터(multivector)로 생각할 수 있다. 경로 적분의 측도 $D\Phi$ 를 짜임새 공간 위의 미분형식으로 간주하면, $D\Phi\,\exp(iS/\hbar)$ 는 경로 공간 위의 미분형식이 되고, 그 외미분은 바탈린-빌코비스키 연산자 $\Delta$ 에 해당한다. Δ-코호몰로지에서는 부분적분에 따라, 임의의 부분공간 $N$ 위의 적분은
: $\int_N \Delta X=0$
이 된다. 또한 만약 $\Delta Y=0$ 이라면, 적분값
: $\int_N Y$
는 $N$ 의 무한소 변화에 의존하지 않으며, 오직 $N$ 의 호몰로지류에만 의존한다. 게이지 이론의 양자화에서는 $D\Phi\,O\exp(iS/\hbar)$ 가 닫혀 있다면 (즉, $\Delta$ 작용 결과가 0이라면), 경로 적분은 게이지 고정 방식의 변화에 의존하지 않는다.

바탈린-빌코비스키 대수에서 짝수 차수 원소 S(작용)에 대한 고전 으뜸 방정식은 다음과 같다.
: $(S,S) = 0$

바탈린-빌코비스키 대수에서 짝수 차수 원소 W에 대한 양자 으뜸 방정식은 다음과 같이 표현할 수도 있다.
: $\Delta\exp \left[\frac{i}{\hbar}W\right] = 0 ,$
이는 아래 식과 동등하다.
: $\frac{1}{2}(W,W) = i\hbar{\Delta}_{\rho}(W)+\hbar^{2}\Delta(1) .$
만약 정규화 조건 $\Delta(1) = 0$ 을 가정하면, 양자 으뜸 방정식은 다음과 같이 간단해진다.
: $\frac{1}{2}(W,W) = i\hbar\Delta(W) .$

4. 예시

바탈린-빌코비스키 대수는 다양한 게이지 이론에 적용될 수 있다. 주요 예시로는 비가환 게이지 이론의 대표격인 양-밀스 이론과 고차 미분형식을 다루는 미분형식 전기역학 등이 있으며, 각 이론의 구체적인 적용 방식은 하위 섹션에서 다룬다.

4.1. 양-밀스 이론

로런츠 지표는 $\mu,\nu,\dots$ 로, 게이지 리 대수 지표는 $a,b,\dots$ 로 쓴다.

비가환 양-밀스 이론의 경우, 게이지장 $A^a_\mu$ 는 다음과 같은 게이지 대칭을 가진다.
: $\delta A^a_\mu=\partial_\mu\epsilon^a+gf^{abc}A_\mu^b\epsilon^c$
따라서, 이에 대응하는 반가환 유령장 $c^a$ 및 반대장 $\phi^*_a$ , $c^*_a$ 가 존재한다. 작용
: $S_0=-\frac14\int d^dx\,F^2$
에 유령항들을 추가하면 다음과 같은 BRST 불변 작용을 얻는다.
: $S=S_0+\int d^dx\, A_a^{*\mu}D_\mu c^a+\frac12\int d^dx\,c_a^*f^a{}_{bc}c^bc^c$
게이지 고정을 위해, 유령수 −1의 페르미온 $\bar c_a$ 와 유령수 0의 보손 $b_a$ 를 추가하고, 작용에 다음과 같은 보조장항을 더한다.
: $S'=S-i\int d^dx\,\bar c^{*a}b_a$
그렇다면 게이지 고정 페르미온
: $\psi=i\int d^dx\,\bar c_a\left(\partial^\mu A_\mu^a+\xi b^a/2\right)$
를 삽입한다. 여기서 $\xi$ 는 임의의 상수다. 이렇게 하여 반대장들을 치환하면, 다음과 같은 게이지 고정 작용을 얻는다.
: $S=\int d^dx\,\left(-\frac14F^2-i\partial^\mu\bar c_aD_\mu c^a+\left(\partial^\mu A^a_\mu+\xi b^a/2\right)b_a\right)$

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좌우로 밀어서 보기

장	기호	통계	유령수
게이지 장	$A^a_\mu$	+	0
게이지 반대장	$A^{*\mu}_a$	−	−1
유령장	$c^a$	−	1
유령 반대장	$c^*_a$	+	−2
보조장	$b_a$	+	0
보조 반대장	$b^*_a$	−	−1
보조 유령장	$\bar c^a$	−	−1
보조 유령 반대장	$\bar c^*_a$	+	0

4.2. 미분형식 전기역학

p차 미분형식 전기역학의 경우, p차 미분형식 게이지 퍼텐셜 $A^{(p)}$ 는 다음과 같은 게이지 변환들을 가진다.
: $\frac{\delta A^{(p)}}{\delta\epsilon^{(p-1)}}=d\epsilon^{(p-1)}$
: $\frac{\delta\epsilon^{(p-1)}}{\delta\epsilon^{(p-2)}}=d\epsilon^{(p-2)}$
:⋮
: $\frac{\delta\epsilon^{(1)}}{\delta\epsilon^{(0)}}=d\epsilon^{(0)}$
여기서 $\epsilon^{(k)}$ 는 $k$ 차 미분형식이다. 따라서, 다음과 같은 유령장들과 반대장들이 존재한다.

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좌우로 밀어서 보기

장	기호	통계	유령수
게이지 장	$A^{(p)}$	+	0
유령장	$c^{(k)}$	−	p−k
게이지 반대장	$A^{*(p)}$	−	−1
유령 반대장	$c^{*(k)}$	+	k−p−1

유령항을 추가한 작용은 다음과 같다.
:

S=\int d^dx\,\left(-\frac12F^{(p+1)}\wedge*F^{(p+1)}+*A^{*(p)}\wedge dc^{(p-1)}+\sum_{k=0}^{p-2}*c^{*(k+1)}\wedge dc^{(k)}\right)

5. 역사

이고리 아니톨리예비치 바탈린(И́горь Анато́льевич Бата́лин^러시아어)과 그리고리 알렉산드로비치 빌코비스키(Григо́рий Александро́вич Вилковы́ский^러시아어)가 초중력을 양자화하기 위해 도입하였다. 이후 바탈린-빌코비스키 양자화는 닫힌 끈 장론 등을 양자화하는 데 쓰였다.

6. 관련 개념

바탈린-빌코비스키(BV) 대수의 기본 정의에서 Δ 연산자에 대한 2차 가정을 제거하면 일반화된 BV 대수의 개념으로 확장할 수 있다. 이 경우, 차수 -1을 갖는 무한한 계층의 고차 브래킷 $\Phi^{n}$ 을 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $\Phi^{n}(a_{1},\ldots,a_{n}) := \underbrace{[[\ldots[\Delta,L_{a_{1}}],\ldots],L_{a_{n}}]}_{n~{\rm 중첩된~교환자}}1 .$

여기서 $L_a$ 는 $a$ 와의 곱셈 연산자이다. 이 브래킷들은 등급이 매겨진 대칭성을 만족하며, 즉 순열 $\pi\in S_{n}$ 에 대해 다음이 성립한다.

: $\Phi^{n}(a_{\pi(1)},\ldots,a_{\pi(n)}) = (-1)^{\left|a_{\pi}\right|}\Phi^{n}(a_{1},\ldots, a_{n})$

여기서 $(-1)^{\left|a_{\pi}\right|}$ 는 코쥘 부호이다. 이 브래킷들은 호모토피 리 대수 (또는 $L_{\infty}$ 대수)를 이루며, 다음과 같은 일반화된 야코비 항등식을 만족한다.

: $\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!(n\!-\!k)!}\sum_{\pi\in S_{n}}(-1)^{\left|a_{\pi}\right|}\Phi^{n-k+1}\left(\Phi^{k}(a_{\pi(1)}, \ldots, a_{\pi(k)}), a_{\pi(k+1)}, \ldots, a_{\pi(n)}\right) = 0.$

낮은 차수의 브래킷들은 다음과 같다.
* $\Phi^{0} := \Delta(1)$
* $\Phi^{1}(a) := [\Delta,L_{a}]1 = \Delta(a) - \Delta(1)a =: {\Delta}_{\rho}(a)$ (정규화된 연산자 또는 홀수 라플라시안)
* $\Phi^{2}(a,b) := [[\Delta,L_{a}],L_{b}]1 =: (-1)^{\left|a\right|}(a,b)$ (부호를 제외하면 안티브래킷 또는 게르스텐하버 괄호)

Δ 연산자가 n차라는 것은 $\Phi^{n+1}$ 브래킷이 사라지는 경우를 의미하며, 이때 대수를 BV n-대수라고 부른다. 따라서 일반적인 BV 대수는 BV 2-대수와 같다. 이 경우 $\Phi^{3}=0$ 이며, $\Phi^2$ (안티브래킷)에 대한 야코비 항등식이 성립한다. 만약 정규화 조건 $\Delta(1)=0$ 을 만족하고 $\Phi^{2}=0$ (즉, 안티브래킷이 사라짐)이면, 이는 BV 1-대수가 되며, 이는 미분 Δ를 가진 미분 등급 대수(DGA)와 동일하다.

BV 대수는 홀수 기하학적 구조와 밀접한 관련이 있다. (n|n) 차원의 슈퍼다양체 위에 홀수 푸아송 이중 벡터 $\pi^{ij}$ (P-구조)와 베레지니안 밀도 $\rho$ (S-구조)가 주어졌다고 하자. 국소 좌표 $x^i$ 에 대해, 홀수 푸아송 이중 벡터는 다음 조건을 만족한다.
* $\left|\pi^{ij}\right| = \left|x^{i}\right| + \left|x^{j}\right| -1$ (차수 -1)
* $\pi^{ji} = -(-1)^{(\left|x^{i}\right|+1)(\left|x^{j}\right|+1)} \pi^{ij}$ (등급 반대칭성)
* $(-1)^{(\left|x^{i}\right|+1)(\left|x^{k}\right|+1)}\pi^{i\ell}\partial_{\ell}\pi^{jk} + {\rm cyclic}(i,j,k) = 0$ (야코비 항등식)

이를 이용하여 함수 $f, g$ 에 대한 홀수 푸아송 괄호를 다음과 같이 정의한다.
: $(f,g) := f\stackrel{\leftarrow}{\partial}_{i}\pi^{ij}\partial_{j}g .$
여기서 $\stackrel{\leftarrow}{\partial}_{i}$ 는 오른쪽 미분을 나타낸다. 또한, 해밀토니안 $f$ 에 대한 해밀턴 벡터장 $X_f$ 는 $X_{f}[g] := (f,g)$ 로 정의된다.

벡터장 $X = X^i \partial_i$ 의 (초-)발산은 밀도 $\rho$ 에 대해 다음과 같이 정의된다.
: ${\rm div}_{\rho} X := \frac{(-1)^{\left|x^{i}\right|(|X|+1)}}{\rho} \partial_{i}(\rho X^{i})$
이를 이용하여 홀수 라플라시안 $\Delta_\rho$ 는 (부호를 제외하고) 해당 해밀턴 벡터장의 발산의 절반으로 정의된다.
: ${\Delta}_{\rho}(f) := \frac{(-1)^{\left|f\right|}}{2}{\rm div}_{\rho} X_{f} = \frac{(-1)^{\left|x^{i}\right|}}{2\rho}\partial_{i}\rho \pi^{ij}\partial_{j}f.$
만약 모듈러 벡터장 $\Delta_\rho^2$ 가 사라지면, 홀수 푸아송 구조 $\pi^{ij}$ 와 베레지니안 밀도 $\rho$ 는 호환된다고 한다. 이 경우, 홀수 라플라시안 $\Delta_\rho$ 는 정규화된( $\Delta(1)=0$ ) BV Δ 연산자가 되며, 해당 슈퍼다양체 위의 함수 대수는 BV 대수를 형성한다. 이러한 구조를 가진 다양체를 홀수 푸아송 다양체라고 할 수 있다.

만약 홀수 푸아송 이중 벡터 $\pi^{ij}$ 가 가역 행렬이면, 다양체는 홀수 [[심플렉틱 기하학|심플렉틱]] 다양체가 된다. 이 경우 홀수 다르부 정리에 의해, 국소적으로 홀수 푸아송 괄호가 $(q^i, p_j) = \delta^i_j$ 형태가 되는 다르부 좌표 $(q^i, p_j)$ (여기서 $|q^i| + |p_j| = 1$ )를 찾을 수 있다. 이론 물리학에서는 이들을 각각 장( $\phi^i$ )과 반장( $\phi^{*}_j$ )이라고 부른다.

홀수 심플렉틱 다양체에서는 P-구조에만 의존하는 Khudaverdian 연산자 $\Delta_{\pi} := (-1)^{\left|q^{i}\right|}\frac{\partial}{\partial q^{i}}\frac{\partial}{\partial p_{i}}$ 를 정의할 수 있다. 이 연산자는 반밀도 공간에 작용하며 멱영( $\Delta_\pi^2 = 0$ )이고 차수가 -1이지만, 반밀도 공간 자체는 곱셈에 대해 닫혀 있지 않으므로 BV Δ 연산자는 아니다. 하지만 고정된 밀도 $\rho$ 를 이용하여 함수(스칼라) 공간 위에 작용하는 BV Δ 연산자를 $\Delta(f) :=\frac{1}{\sqrt{\rho}}\Delta_{\pi}(\sqrt{\rho}f)$ 와 같이 구성할 수 있다.

다른 관련 개념으로는 다중 벡터장에 대한 스호턴-니엔하위스 괄호가 있으며, 이는 안티브래킷의 한 예시이다. 또한, 리 초대수 $L$ 이 주어졌을 때, 그 대칭 대수 $S(\Pi L)$ (여기서 Π는 등급을 바꾸는 연산자)는 리 대수 코호몰로지를 계산하는 데 사용되는 표준적인 미분 연산자를 BV Δ 연산자로 가지는 BV 대수 구조를 갖는다.

7. 참고 문헌

* 코스텔로, K. (2011). "[https://bookstore.ams.org/surv-170 재규격화와 유효장 이론]". ISBN 978-0-8218-5288-0 (섭동적 양자장론과 천-시몬스 이론 및 양-밀스 이론의 BV-형식을 사용한 양자화와 같은 엄밀한 측면을 설명한다.)