바탈린-빌코비스키 대수

2. 정의

'''바탈린-빌코비스키 대수''' $(A,\backslash Delta)$는 특정한 수학적 구조를 나타내며, 다음과 같은 요소들로 구성된다.^[4]

• 등급 초가환 대수 $A=\backslash bigoplus\_\{i\backslash in\backslash mathbb\; Z\}A\_i$. 이는 곱셈이 결합 법칙과 등급화된 교환 법칙 ($ab\; =\; (-1)^$
  ba)을 만족하는 대수 구조이다.

  $A$ 위에 작용하는 등급 -1의 2차 미분 연산자 $\backslash Delta\backslash colon\; A\_\backslash bullet\backslash to\; A\_\{\backslash bullet-1\}$. 이 연산자는 $\backslash Delta^2\; =\; 0$ (멱영성)을 만족하며, '''바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자'''라고 불린다.

  
  
  $\backslash Delta$ 연산자는 특정한 2차 조건 항등식을 만족해야 한다. 때로는 정규화 조건 $\backslash Delta(1)=0$이 추가로 요구되기도 한다.
  
  바탈린-빌코비스키 대수 구조가 주어지면, 이를 이용하여 '''게르스텐하버 괄호''' (또는 '''반괄호''', '''버틴 괄호''', '''홀수 푸아송 괄호''')를 정의할 수 있으며, 이를 통해 $A$는 게르스텐하버 대수의 구조를 갖게 된다. 이 괄호는 등급 -1을 가지며, 등급화된 반대칭성과 야코비 항등식을 만족한다.
  

  2. 1. 고차 미분 연산자

  (단위원을 갖는) 정수 등급가환결합 대수
  
  :$A\; =\; \backslash bigoplus\_\{i\backslash in\backslash mathbb\; Z\}A\_i$
  
  :$ab\; =\; (-)^\{\backslash deg\; a\backslash deg\; b\}ba$
  
  가 주어졌다고 하자. 이 대수 위에서 왼쪽 곱셈 연산자 $\backslash mathsf\; L\_a$와 초괄호 $[\backslash cdot,\backslash cdot\backslash \}$를 다음과 같이 정의할 수 있다.
  
  :$\backslash mathsf\; L\_a\; b\; =\; ab$
  
  :$[a,b\backslash \}\; =\; ab\; -\; (-)^\{\backslash deg\; a\backslash deg\; b\}ba$
  
  초괄호는 등급을 갖는 동차 연산자에 대해서도 정의될 수 있다.
  
  대수 $A$ 위의 연산자 $D\; \backslash colon\; A\_\backslash bullet\; \backslash to\; A\_\{\backslash bullet+k\}$가 등급 $k$(즉, $\backslash deg\; D\; =\; k$)를 가지고 다음 두 조건을 만족시키면, 이를 '''$n$차 $k$등급 미분 연산자'''($n$th-order degree-$k$ operator^영어)라고 한다.
  
  :$D(1\_A)\; =\; 0$
  
  :$[\backslash dotso$
  
  여기서 초괄호를 계산할 때, 연산자의 등급은 $\backslash deg\; \backslash mathsf\; L\_a\; =\; \backslash deg\; a$ 및 $\backslash deg\; D\; =\; k$로 간주한다.
  
  예를 들어, 0차 미분 연산자는 단순히 $D(1\_A)\; =\; 0$인 연산자이다. 1차 미분 연산자는 $n=1$인 경우로, 다음 조건을 만족한다.
  
  :$0\; =$
  
  :$=\; (D\backslash mathsf\; L\_a\; -\; (-)^\{k\backslash deg\; a\}\backslash mathsf\; L\_a\; D)\backslash mathsf\; L\_b\; 1\_A\; -\; (-)^\{(k+\backslash deg\; a)\backslash deg\; b\}\backslash mathsf\; L\_b\; (D\backslash mathsf\; L\_a\; -\; (-)^\{k\backslash deg\; a\}\backslash mathsf\; L\_a\; D)1\_A$
  
  :$=\; D(ab)\; -\; (-)^\{k\backslash deg\; a\}a(Db)\; -\; (-)^\{(k+\backslash deg\; a)\backslash deg\; b\}b(Da)\; -\; (-)^\{k\backslash deg\; a\; +\; (k+\backslash deg\; a)\backslash deg\; b\}\; \backslash mathsf\; L\_b\; \backslash mathsf\; L\_a\; (D\; 1\_A)$
  
  $D(1\_A)=0$이므로 마지막 항은 0이다. 따라서 1차 미분 연산자는 다음의 등급화된 곱 규칙을 만족시킨다.
  
  :$D(ab)\; =\; (Da)b\; +\; (-)^\{k\backslash deg\; a\}a(Db)$
  
  홀수 등급($k$가 홀수)을 가지는 2차 미분 연산자 $\backslash Delta$는 $n=2$인 경우에 해당하며, 다음 항등식을 만족시킨다.
  
  :$\backslash Delta(abc)-\backslash Delta(ab)c-(-1)^\{\backslash deg\; a\}a\backslash Delta(bc)-(-1)^\{(\backslash deg\; a+1)\backslash deg\; b\}b\backslash Delta(ac)+\backslash Delta(a)bc+(-1)^\{\backslash deg\; a\}a\backslash Delta(b)c+(-1)^\{\backslash deg\; a+\backslash deg\; b\}ab\backslash Delta(c)=0$
  
  이는 $$
  

  2. 2. 거스틴해버 괄호

  등급 가환 결합 대수
  
  :$A=\backslash bigoplus\_\{i\backslash in\backslash mathbb\; Z\}A\_i$
  
  와 $A$ 위의 사슬 복합체 구조
  
  :$\backslash partial\; \backslash colon\; A\_\backslash bullet\; \backslash to\; A\_\{\backslash bullet-1\}$
  
  :$\backslash partial\_1\; =\; 0$
  
  가 주어졌다고 하자. 이때 다음과 같은 일련의 괄호들을 정의할 수 있다.
  
  :$\backslash Phi^\{n+1\}(a\_0,a\_1,\backslash dotsc,a\_n)\; =$
  
  이를 $n+1$항 '''거스틴해버 괄호'''라고 부른다. 예를 들면 다음과 같다.
  
  :$\backslash Phi^0()\; =\; 0$
  
  :$\backslash Phi^1(a)\; =\; \backslash partial\; a$
  
  :$\backslash Phi^2(a,b)\; =\; \backslash partial\; (ab)\; -\; (-)^\{\backslash deg\; a\}a\backslash partial\; b\; -\; (\backslash partial\; a)b$
  
  곱셈 구조를 제외하면, $(A,\backslash Phi^\backslash bullet)$는 L∞-대수를 형성한다. 만약 $\backslash partial$가 $n$차 미분 연산자라면, 오직 $\backslash Phi^1,\backslash dotsc,\backslash Phi^n$만이 0이 아닐 수 있다.
  
  바탈린-빌코비스키 대수에서는 다음과 같은 '''거스틴해버 괄호'''(Gerstenhaber bracket|거스틴해버 브래킷^영어) 또는 '''반괄호'''(antibracket|앤티브래킷^영어) $(a,b)$를 정의할 수 있다.
  
  :$(a,b)\; =\; (-1)^\{\backslash deg\; a\}\backslash Phi^2(a,b)$
  
  이는 다음과 같은 성질들을 만족한다.

  
  
  • 차수 −1: $\backslash deg(a,b)=\backslash deg\; a+\backslash deg\; b-1$
  • 등급가환성: $(a,b)=-(-1)^\{(\backslash deg\; a+1)(\backslash deg\; b+1)\}(b,a)$
  • 등급 야코비 항등식: $(-1)^\{(\backslash deg\; a+1)(\backslash deg\; c+1)\}(a,(b,c))+(-1)^\{(\backslash deg\; b+1)(\backslash deg\; a+1)\}(b,(c,a))+(-1)^\{(\backslash deg\; c+1)(\backslash deg\; b+1)\}(c,(a,b))=0$
  • 등급 라이프니츠 규칙: $(ab,c)=a(b,c)+(-1)^\{\backslash deg\; a\backslash deg\; b\}b(a,c)$

  
  
  바탈린-빌코비스키 대수는 다음과 같이 '''게르스텐하버 괄호'''를 정의하면 게르스텐하버 대수가 된다.
  
  :$(a,b)\; :=\; (-1)^\{\backslash left|a\backslash right|\}\backslash Delta(ab)\; -\; (-1)^\{\backslash left|a\backslash right|\}\backslash Delta(a)b\; -\; a\backslash Delta(b)+a\backslash Delta(1)b\; .$
  
  게르스텐하버 괄호는 '''버틴 괄호''', '''안티브래킷''', 또는 '''홀수 푸아송 괄호'''라고도 불린다. 안티브래킷은 다음 성질들을 만족한다.

  
  
  • $|(a,b)|\; =\; |a|+|b|\; -\; 1$ (안티브래킷 (,)의 차수는 −1)
  • $(a,b)\; =\; -(-1)^\{(|a|+1)(|b|+1)\}(b,a)$ (반대칭성)
  • $(-1)^\{(|a|+1)(|c|+1)\}(a,(b,c))\; +\; (-1)^\{(|b|+1)(|a|+1)\}(b,(c,a))\; +\; (-1)^\{(|c|+1)(|b|+1)\}(c,(a,b))\; =\; 0$ (야코비 항등식)
  • $(ab,c)\; =\; a(b,c)\; +\; (-1)^$

  b(a,c) (푸아송 성질; 라이프니츠 규칙)
  
  '''왼쪽 곱셈 연산자''' $L\_\{a\}$를 $L\_\{a\}(b)\; :=\; ab$로 정의하고, 슈퍼교환자 [,]를 임의의 두 연산자 $S$와 $T$에 대해 $[S,T]:=ST\; -\; (-1)^\{\backslash left|S\backslash right|\backslash left|T\backslash right|\}TS$로 정의하면, 반괄호의 정의는 다음과 같이 간결하게 표현할 수 있다.
  
  :$(a,b)\; :=\; (-1)^\{\backslash left|a\backslash right|\}$
  
  여기서 연산자는 단위 원소 1에 작용하는 것으로 이해한다. 즉, $[\backslash Delta,L\_\{a\}]$는 1차 연산자이고, $$
  
  :$$
  

  2. 3. 바탈린-빌코비스키 대수

  '''바탈린-빌코비스키 대수''' $(A,\backslash Delta)$는 다음과 같은 데이터로 구성된다.^[4]

  
  
  • 등급 대수이면서 초가환 대수인 $A=\backslash bigoplus\_\{i\backslash in\backslash mathbb\; Z\}A\_i$. 이는 단위원을 가지며, 곱셈은 결합 법칙($(ab)c\; =\; a(bc)$)과 등급 교환 법칙($ab\; =\; (-1)^$

  ba)을 만족하고, 곱의 등급은 각 인자의 등급 합과 같다($|ab|\; =\; |a|\; +\; |b|$).

  $A$ 위에 작용하는 2차 미분 연산자 $\backslash Delta\backslash colon\; A\_\backslash bullet\backslash to\; A\_\{\backslash bullet-1\}$. 이 연산자는 등급을 1만큼 낮추며($|\backslash Delta(a)|\; =\; |a|\; -\; 1$), 멱영성($\backslash Delta^2\; =\; 0$)을 만족한다. 이 $\backslash Delta$를 '''바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자'''라고 부른다.

  
  
  또한, $\backslash Delta$ 연산자는 다음의 2차 조건을 만족해야 한다.
  
  :$\backslash begin\{align\}$
  
  0 = & \Delta(abc) \\
  
  &-\Delta(ab)c-(-1)^

  a\Delta(bc)-(-1)^{(|a|+1)|b|}b\Delta(ac)\\
  
  &+\Delta(a)bc+(-1)^

  a\Delta(b)c+(-1)^

  ab\Delta(c)\\
  
  &-\Delta(1)abc
  
  \end{align}
  
  때로는 다음과 같은 정규화 조건이 추가로 요구되기도 한다.

  
  
  • $\backslash Delta(1)=0$

  
  
  이 경우, 정규화된 연산자 $\{\backslash Delta\}\_\{\backslash rho\}$는 다음과 같이 정의된다.
  
  :$\{\backslash Delta\}\_\{\backslash rho\}\; :=\; \backslash Delta-\backslash Delta(1)$
  
  이 연산자는 특히 홀수 푸아송 기하학의 맥락에서 '''홀수 라플라시안'''이라고 불리며, 안티브래킷 $(,)$에 대해 다음과 같은 미분 규칙을 만족한다.

  
  
  • $\{\backslash Delta\}\_\{\backslash rho\}(a,b)\; =\; (\{\backslash Delta\}\_\{\backslash rho\}(a),b)\; -\; (-1)^\{\backslash left|a\backslash right|\}(a,\{\backslash Delta\}\_\{\backslash rho\}(b))$

  
  
  정규화된 연산자의 제곱 $\{\backslash Delta\}\_\{\backslash rho\}^\{2\}=(\backslash Delta(1),\backslash cdot)$은 홀수 해밀토니안 $\backslash Delta(1)$을 갖는 해밀턴 벡터장이며, '''모듈러 벡터장'''으로도 알려져 있다. 이 벡터장은 곱셈에 대해 라이프니츠 규칙을 만족한다.

  
  
  • $\{\backslash Delta\}\_\{\backslash rho\}^\{2\}(ab)\; =\; \{\backslash Delta\}\_\{\backslash rho\}^\{2\}(a)b+\; a\{\backslash Delta\}\_\{\backslash rho\}^\{2\}(b)$

  
  만약 정규화 조건 $\backslash Delta(1)=0$을 가정하면, 홀수 라플라시안 $\{\backslash Delta\}\_\{\backslash rho\}$는 원래의 $\backslash Delta$ 연산자와 같아지고, 모듈러 벡터장 $\{\backslash Delta\}\_\{\backslash rho\}^\{2\}$은 0이 된다.
  

  3. 게이지 이론의 양자화

  바탈린-빌코비스키 대수는 게이지 이론의 양자화 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 한다. 이 과정에서 핵심적인 개념으로 유령수(ghost number^영어)가 등장하며, 이는 바탈린-빌코비스키 대수의 등급(grading)에 해당한다. 게이지 이론을 양자화하기 위해 도입되는 유령장과 반대장 등의 구체적인 내용은 하위 섹션에서 자세히 설명된다.
  

  3. 1. 게이지 이론과 BV 형식

  바탈린-빌코비스키 대수는 게이지 이론의 양자화 과정에서 중요한 역할을 한다. 이 맥락에서 바탈린-빌코비스키 대수의 등급(grading)은 유령수(ghost number)에 해당한다.
  
  어떤 게이지 이론이 장(field) $\backslash phi^i$와 고전적 작용 $S\_0(\backslash phi)$으로 정의된다고 가정해 보자. 이 이론에는 다음과 같은 형태의 게이지 변환이 존재한다.
  
  :$\backslash delta\backslash phi^i=R\_\{\backslash alpha\_1\}^i\backslash epsilon^\{\backslash alpha\_1\}$
  
  여기서 $\backslash epsilon^\{\backslash alpha\_1\}$은 게이지 변환을 나타내는 매개변수이다. 게이지 변환들 사이에는 서로 연관 관계가 있을 수 있으며, 이는 다음과 같은 식으로 표현될 수 있다.
  
  :$R^\{i\_p\}\_\{i\_\{p+1\}\}R\_\{i\_p\}^\{i\_0\}=C^\{ij\}\_\{\backslash alpha\_\{p+1\}\}\backslash frac\{\backslash delta\; S\_0\}\{\backslash delta\backslash phi^\{j\_0\}\}$
  
  이 식에서 $C^\{ij\}\_\{\backslash alpha\_\{p+1\}\}$는 특정 형태의 텐서를 의미한다. 이는 일반적으로 게이지 이론이 단순히 기본적인 게이지 변환뿐만 아니라, 다음과 같은 일련의 고차 게이지 변환들을 포함할 수 있음을 시사한다.

  
  
  • 1차 게이지 변환: $\backslash delta\backslash phi^i/\backslash delta\backslash epsilon^\{\backslash alpha\_1\}$
  • 2차 게이지 변환: $\backslash delta\backslash epsilon^\{\backslash alpha\_1\}/\backslash delta\backslash epsilon^\{\backslash alpha\_2\}$
  • 3차 게이지 변환: $\backslash delta\backslash epsilon^\{\backslash alpha\_2\}/\backslash delta\backslash epsilon^\{\backslash alpha\_3\}$
  • ... 등등

  
  
  바탈린-빌코비스키 양자화 방법론에서는 이러한 각 (고차) 게이지 변환 $\backslash delta/\backslash delta\backslash epsilon^\{\backslash alpha\_p\}$에 대응하여 유령장(ghost field) $c^\{\backslash alpha\_p\}$을 도입한다. 유령장은 해당 게이지 변환의 통계적 성질(보손 또는 페르미온)과 반대되는 통계를 따른다. 예를 들어, 일반적인 게이지 변환에 대응하는 유령장은 페르미온이고, 초대칭 게이지 변환에 대응하는 유령장은 보손이다.
  
  또한, 물리적 장 $\backslash phi^i$와 각 유령장 $c^\{\backslash alpha\_p\}$에 대응하는 반대장(反對場, antifield^영어) $\backslash phi^*\_i$와 $c^*\_\{\backslash alpha\_p\}$를 정의한다. 반대장들은 원래의 장과 반대 통계를 가진다. 이 모든 장들에는 유령수(幽靈數, ghost number^영어)라는 정수 등급이 부여된다. 규칙은 다음과 같다.

  
  
  • 물리적 장($\backslash phi^i$)의 유령수는 0이다.
  • $p$차 게이지 변환에 대응하는 유령장($c^\{\backslash alpha\_p\}$)의 유령수는 $p$이다.
  • 유령수 $g$를 가진 장에 대응하는 반대장의 유령수는 $-g-1$이다.

  
  
  이를 표로 정리하면 다음과 같다.
  
  

  장 종류	기호	통계 $\backslash sigma(\backslash Phi^A)$ (+1: 보손, −1: 페르미온)	유령수 $\backslash deg\backslash Phi^A$
  물리적 장	$\backslash phi^i$	$\backslash sigma(\backslash phi^i)$ (보손: +1, 페르미온: −1)	0
  물리적 반대장	$\backslash phi^*\_i$	$-\backslash sigma(\backslash phi^i)$	−1
  유령장	$c^\{\backslash alpha\_p\}$	$-\backslash sigma(\backslash epsilon^\{\backslash alpha\_p\})$ (일반 대칭: −1, 초대칭: +1)	$p$
  유령 반대장	$c^*\_\{\backslash alpha\_p\}$	$\backslash sigma(\backslash epsilon^\{\backslash alpha\_p\})$	$-p-1$

  
  
  결과적으로, 이 장들은 유령수를 등급으로 하는 등급대수 구조를 형성한다.
  

  3. 2. Δ 연산자와 거스틴해버 괄호

  바탈린-빌코비스키 대수는 차수 -1인 2차 멱영 연산자 Δ를 가진 등급 초가환 대수이다. 이 Δ 연산자는 다음 성질을 만족한다.
  
  
  • $|\backslash Delta(a)|\; =\; |a|\; -\; 1$ (Δ는 차수 −1을 갖는다)
  • $\backslash Delta^2\; =\; 0$ (멱영성 (2차))
  • Δ 연산자는 2차이다. 이는 다음 항등식으로 표현된다.
  
  :$\backslash begin\{align\}$
  
  0 = & \Delta(abc) \\
  
  &-\Delta(ab)c-(-1)^
  a\Delta(bc)-(-1)^{(|a|+1)|b|}b\Delta(ac)\\
  
  &+\Delta(a)bc+(-1)^

  a\Delta(b)c+(-1)^

  ab\Delta(c)\\
  
  &-\Delta(1)abc
  
  \end{align}
  
  종종 정규화 조건 $\backslash Delta(1)=0$도 요구된다.
  
  이 Δ 연산자를 이용하여 다음과 같이 '''거스틴해버 괄호'''(Gerstenhaber bracket^영어), 또는 '''반괄호'''(antibracket^영어), '''버틴 괄호''', '''홀수 푸아송 괄호'''라고도 불리는 연산 $(a,b)$를 정의할 수 있다.
  
  :$(a,b)\; :=\; (-1)^\{\backslash left|a\backslash right|\}\backslash Delta(ab)\; -\; (-1)^\{\backslash left|a\backslash right|\}\backslash Delta(a)b\; -\; a\backslash Delta(b)+a\backslash Delta(1)b\; .$
  
  이 괄호는 다음과 같은 성질들을 만족한다.

  
  
  • $|(a,b)|\; =\; |a|+|b|\; -\; 1$ (차수는 −1)
  • $(a,b)\; =\; -(-1)^\{(|a|+1)(|b|+1)\}(b,a)$ (반대칭성)
  • $(-1)^\{(|a|+1)(|c|+1)\}(a,(b,c))\; +\; (-1)^\{(|b|+1)(|a|+1)\}(b,(c,a))\; +\; (-1)^\{(|c|+1)(|b|+1)\}(c,(a,b))\; =\; 0$ (야코비 항등식)
  • $(ab,c)\; =\; a(b,c)\; +\; (-1)^$

  b(a,c) (푸아송 성질 또는 등급 라이프니츠 규칙)
  
  따라서 Δ 연산자를 갖춘 바탈린-빌코비스키 대수는 이 거스틴해버 괄호를 통해 거스틴해버 대수의 구조를 가지게 된다.
  
  만약 정규화 조건 $\backslash Delta(1)=0$이 성립하면, 거스틴해버 괄호의 정의는 다음과 같이 간단해진다.
  
  :$(a,b)\; =\; (-1)^\{\backslash left|a\backslash right|\}\backslash Delta(ab)\; -\; (-1)^\{\backslash left|a\backslash right|\}\backslash Delta(a)b\; -\; a\backslash Delta(b)$
  
  정규화된 연산자 $\{\backslash Delta\}\_\{\backslash rho\}\; :=\; \backslash Delta-\backslash Delta(1)$는 '''홀수 라플라시안'''이라고도 불리며, 안티브래킷(거스틴해버 괄호)을 다음과 같이 "미분"하는 성질을 갖는다.

  
  
  • $\{\backslash Delta\}\_\{\backslash rho\}(a,b)\; =\; (\{\backslash Delta\}\_\{\backslash rho\}(a),b)\; -\; (-1)^\{\backslash left|a\backslash right|\}(a,\{\backslash Delta\}\_\{\backslash rho\}(b))$

  
  정규화된 연산자의 제곱 $\{\backslash Delta\}\_\{\backslash rho\}^\{2\}=(\backslash Delta(1),\backslash cdot)$은 홀수 해밀토니안 Δ(1)을 갖는 해밀턴 벡터장이며, '''모듈러 벡터장'''이라고도 한다. 이는 라이프니츠 규칙을 만족한다.

  
  
  • $\{\backslash Delta\}\_\{\backslash rho\}^\{2\}(ab)\; =\; \{\backslash Delta\}\_\{\backslash rho\}^\{2\}(a)b+\; a\{\backslash Delta\}\_\{\backslash rho\}^\{2\}(b)$

  
  만약 정규화 $\backslash Delta(1)=0$을 가정하면, 홀수 라플라시안 $\{\backslash Delta\}\_\{\backslash rho\}$는 Δ 연산자와 같아지고, 모듈러 벡터장 $\{\backslash Delta\}\_\{\backslash rho\}^\{2\}$은 0이 된다.
  
  왼쪽 곱셈 연산자 $L\_\{a\}(b)\; :=\; ab$와 슈퍼교환자 $[S,T]:=ST\; -\; (-1)^\{\backslash left|S\backslash right|\backslash left|T\backslash right|\}TS$를 사용하면, 거스틴해버 괄호와 Δ의 2차 조건을 다음과 같이 간결하게 표현할 수도 있다.

  
  
  • $(a,b)\; =\; (-1)^\{\backslash left|a\backslash right|\}$
  • $$

  
  여기서 연산자는 단위 원소 1에 작용하는 것으로 이해한다.
  
  물리적인 장 이론의 맥락에서는, 장들의 등급대수 위에 Δ 연산자와 거스틴해버 괄호를 다음과 같이 정의하기도 한다. 모든 장들을 통칭하여 $\backslash Phi^A=(\backslash phi^i,c^\{\backslash alpha\_p\})$, 반장(antifield)들을 $\backslash Phi^*\_A=(\backslash phi^*\_i,c^*\_\{\backslash alpha\_p\})$로 표기할 때,

  
  
  • Δ 연산자: $\backslash Delta=(-1)^\{\backslash sigma(\backslash Phi^A)\}\backslash frac\{\backslash delta^L\}\{\backslash delta\backslash Phi^A\}\backslash frac\{\backslash delta^L\}\{\backslash delta\backslash Phi^*\_A\}$
  • 거스틴해버 괄호: $(X,Y)=\backslash frac\{\backslash delta^RX\}\{\backslash delta\backslash Phi^A\}\backslash frac\{\backslash delta^LY\}\{\backslash delta\backslash Phi^*\_A\}-\; \backslash frac\{\backslash delta^RX\}\{\backslash delta\backslash Phi^*\_A\}\backslash frac\{\backslash delta^LY\}\{\backslash delta\backslash Phi^A\}.$

  
  여기서 $\backslash delta^L/\backslash delta\backslash Phi^A$와 $\backslash delta^R/\backslash delta\backslash Phi^A$는 각각 함수 미분의 일종인 좌미분과 우미분이다. 이렇게 정의된 연산자들을 갖춘 장들의 등급대수는 바탈린-빌코비스키 대수를 이룬다.
  

  3. 3. 고전 으뜸 방정식

  고전적 작용$S\_0(\backslash phi^i)$는 유령수가 0인 양이다. 게이지 고정을 위해서는 이 고전적 작용에 유령장과 그에 대응하는 반대장들을 추가하여 교정된 작용 $S$를 구성해야 한다. 이 교정된 작용은 다음과 같은 급수 형태로 나타낼 수 있다.
  
  :$S=S\_0+S\_1+S\_2+\backslash dots$
  
  여기서 각 항 $S\_p$는 $p$개의 유령장과 그 유령수를 상쇄시키는 반대장들을 포함한다. 따라서 전체 교정된 작용 $S$의 총 유령수는 0이 된다 ($\backslash deg\; S=0$).
  
  이렇게 구성된 교정된 작용 $S$는 고전 으뜸 방정식(classical master equation^영어)이라고 불리는 다음의 중요한 방정식을 만족해야 한다.
  
  :$(S,S)=0$
  
  여기서 $(\backslash cdot,\; \backslash cdot)$는 안티브라켓(Antibracket)을 나타낸다. 이 방정식은 이론의 일관성을 보장하는 핵심적인 조건이며, 이 방정식을 풀어서 교정된 작용 $S$의 구체적인 형태를 결정할 수 있다.
  
  고전 으뜸 방정식을 만족하는 작용 $S$를 이용하면 이론의 BRST 대칭 변환 $\backslash delta\_\{\backslash text\{BRST\}\}$를 다음과 같이 정의할 수 있다.
  
  :$\backslash delta\_\{\backslash text\{BRST\}\}=(S,\backslash cdot)$
  
  이 정의에 따르면, 작용 $S$ 자체는 BRST 변환에 대해 불변이다. 이는 고전 으뜸 방정식으로부터 바로 유도된다.
  
  :$\backslash delta\_\{\backslash text\{BRST\}\}S=(S,S)=0$
  
  작용 $S$의 유령수는 0이고 안티브라켓은 유령수를 +1만큼 증가시키므로, BRST 변환 $\backslash delta\_\{\backslash text\{BRST\}\}$는 작용하는 대상의 유령수를 1만큼 증가시키는 연산자이다.
  
  BRST 변환은 중요한 성질인 $\backslash delta\_\{\backslash text\{BRST\}\}^2\; =\; 0$을 만족한다. 이는 BRST 변환을 두 번 연속으로 적용하면 항상 0이 된다는 의미이며, 미분기하학에서의 외미분 연산자와 유사한 성질이다. 이 성질 덕분에 BRST 연산자에 대한 코호몰로지$H^p(\backslash delta\_\{\backslash text\{BRST\}\})$를 정의할 수 있다.
  
  물리적으로 의미 있는 관측량은 유령수가 0인 BRST 코호몰로지 군 $H^0(\backslash delta\_\{\backslash text\{BRST\}\})$의 원소들로 정의된다. 즉, 어떤 고전적인 연산자 $O\_0$가 주어졌을 때, 이로부터 물리적인 관측량을 얻으려면 유령장과 관련된 항들을 추가하여 교정된 연산자 $O\; =\; O\_0\; +\; O\_1\; +\; O\_2\; +\; \backslash cdots$를 구성해야 한다. 이 교정된 연산자 $O$는 BRST 불변 조건을 만족해야 한다.
  
  :$\backslash delta\_\{\backslash text\{BRST\}\}O=(S,O)=0$
  
  이 조건을 만족하는 연산자만이 물리적으로 의미 있는 관측량에 해당한다.
  

  3. 4. 게이지 고정

  유령항을 추가한 뒤, 경로 적분을 사용하려면 작용을 게이지 고정시켜야 한다. 이를 위해 유령수가 −1이고, 반대장들을 포함하지 않는 페르미온 연산자 $\backslash psi$를 선택한다. 이를 게이지 고정 페르미온(gauge-fixing fermion^영어)이라고 한다. 이러한 연산자가 주어지면, 작용에서 반대장을 다음과 같이 치환한다.^[3][5]
  
  :$\backslash Phi^*\_A\backslash mapsto\backslash frac\{\backslash delta\backslash psi\}\{\backslash delta\backslash Phi^A\}$
  
  작용에서 반대장들을 이렇게 치환하게 되면, 게이지가 고정된다.
  
  게이지 고정 페르미온은 &minus1;의 유령수를 가져야 하는데, 반대장이 아닌 장들은 모두 음이 아닌 유령수를 가진다. 이 때문에 이론에 음의 유령수를 가진 보조장들을 추가하여야 한다.^[5]
  

  3. 5. 양자 으뜸 방정식

  양자화를 하게 되면, 작용뿐만 아니라 경로 적분의 측도 또한 BRST 불변이어야 한다. 측도가 BRST 불변일 필요충분조건은 다음과 같다.^[3]
  
  :$\backslash Delta\; S=0$
  
  예를 들어, 양-밀스 이론의 경우 이 조건이 성립한다.
  
  만약 측도가 BRST 불변이 아니라면, 작용에 적절한 항들을 추가하여 이를 상쇄시켜야 한다. 이는 플랑크 상수$\backslash hbar$에 비례하게 된다. 즉, $S=\backslash hat\; S^\{(0)\}$으로 놓으면, 다음과 같이 전개할 수 있다.
  
  :$\backslash hat\; S=\backslash hat\; S^\{(0)\}+\backslash hbar\; S^\{(1)\}+\backslash hbar^2S^\{(2)\}+\backslash cdots$
  
  이에 대한 '''양자 으뜸 방정식'''(quantum master equation^영어)은 다음과 같다.^[3]
  
  :$\backslash Delta(\backslash exp(i\backslash hat\; S/\backslash hbar))=0$
  
  이는 아래 표현과 동치이다.
  
  :$(\backslash hat\; S,\backslash hat\; S)=2i\backslash hbar\backslash Delta\backslash hat\; S$
  
  이를 $\backslash hbar$에 대해 전개하면 다음과 같은 일련의 식들을 얻는다.
  
  :$(\backslash hat\; S^\{(0)\},\backslash hat\; S^\{(0)\})=0$
  
  :$(\backslash hat\; S^\{(0)\},\backslash hat\; S^\{(1)\})=i\backslash Delta\; \backslash hat\; S^\{(0)\}$
  
  :$(\backslash hat\; S^\{(0)\},\backslash hat\; S^\{(2)\})+\backslash frac12(\backslash hat\; S^\{(1)\},\backslash hat\; S^\{(1)\})=i\backslash Delta\; \backslash hat\; S^\{(1)\}$
  
  :$\backslash cdots$
  
  이 가운데 첫 번째 방정식, $(\backslash hat\; S^\{(0)\},\backslash hat\; S^\{(0)\})=0$, 이 바로 고전 으뜸 방정식이다.
  
  피적분량 $X$를 위와 같이 게이지 고정시켜 경로 적분한다고 가정하자. 이 적분이 게이지 고정 페르미온의 선택에 의존하지 않으려면, 그 바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자 $\backslash Delta$에 대한 작용이 0이어야 한다.^[5] 따라서, 연산자를 삽입하지 않은 경로 적분
  
  :$\backslash int\backslash exp(iS/\backslash hbar)$
  
  를 고려하면 양자 으뜸 방정식
  
  :$\backslash Delta\backslash exp(iS/\backslash hbar)=0$
  
  이 만족되어야 함을 알 수 있다. 연산자 $O$가 삽입된 경로 적분의 경우, 마찬가지로 다음 조건이 성립해야 한다.
  
  :$(W,O)=i\backslash hbar\backslash Delta\; O$
  
  이는 스토크스 정리와 유사하게 이해할 수 있다. 즉, 경로 공간(장들의 무한 차원 짜임새 공간) 위에서 $\backslash exp(iS/\backslash hbar)$를 다중벡터(multivector)로 생각할 수 있다. 경로 적분의 측도 $D\backslash Phi$를 짜임새 공간 위의 미분형식으로 간주하면, $D\backslash Phi\backslash ,\backslash exp(iS/\backslash hbar)$는 경로 공간 위의 미분형식이 되고, 그 외미분은 바탈린-빌코비스키 연산자 $\backslash Delta$에 해당한다. Δ-코호몰로지에서는 부분적분에 따라, 임의의 부분공간 $N$ 위의 적분은
  
  :$\backslash int\_N\; \backslash Delta\; X=0$
  
  이 된다. 또한 만약 $\backslash Delta\; Y=0$이라면, 적분값
  
  :$\backslash int\_N\; Y$
  
  는 $N$의 무한소 변화에 의존하지 않으며, 오직 $N$의 호몰로지류에만 의존한다. 게이지 이론의 양자화에서는 $D\backslash Phi\backslash ,O\backslash exp(iS/\backslash hbar)$가 닫혀 있다면 (즉, $\backslash Delta$ 작용 결과가 0이라면), 경로 적분은 게이지 고정 방식의 변화에 의존하지 않는다.
  
  바탈린-빌코비스키 대수에서 짝수 차수 원소 ''S''(작용)에 대한 고전 으뜸 방정식은 다음과 같다.
  
  :$(S,S)\; =\; 0$
  
  바탈린-빌코비스키 대수에서 짝수 차수 원소 ''W''에 대한 양자 으뜸 방정식은 다음과 같이 표현할 수도 있다.
  
  :$\backslash Delta\backslash exp\; \backslash left[\backslash frac\{i\}\{\backslash hbar\}W\backslash right]\; =\; 0\; ,$
  
  이는 아래 식과 동등하다.
  
  :$\backslash frac\{1\}\{2\}(W,W)\; =\; i\backslash hbar\{\backslash Delta\}\_\{\backslash rho\}(W)+\backslash hbar^\{2\}\backslash Delta(1)\; .$
  
  만약 정규화 조건 $\backslash Delta(1)\; =\; 0$을 가정하면, 양자 으뜸 방정식은 다음과 같이 간단해진다.
  
  :$\backslash frac\{1\}\{2\}(W,W)\; =\; i\backslash hbar\backslash Delta(W)\; .$
  

  4. 예시

  바탈린-빌코비스키 대수는 다양한 게이지 이론에 적용될 수 있다. 주요 예시로는 비가환 게이지 이론의 대표격인 양-밀스 이론과 고차 미분형식을 다루는 미분형식 전기역학 등이 있으며, 각 이론의 구체적인 적용 방식은 하위 섹션에서 다룬다.
  

  4. 1. 양-밀스 이론

  로런츠 지표는 $\backslash mu,\backslash nu,\backslash dots$로, 게이지 리 대수 지표는 $a,b,\backslash dots$로 쓴다.
  
  비가환 양-밀스 이론의 경우, 게이지장 $A^a\_\backslash mu$는 다음과 같은 게이지 대칭을 가진다.
  
  :$\backslash delta\; A^a\_\backslash mu=\backslash partial\_\backslash mu\backslash epsilon^a+gf^\{abc\}A\_\backslash mu^b\backslash epsilon^c$
  
  따라서, 이에 대응하는 반가환 유령장 $c^a$ 및 반대장 $\backslash phi^*\_a$, $c^*\_a$가 존재한다. 작용
  
  :$S\_0=-\backslash frac14\backslash int\; d^dx\backslash ,F^2$
  
  에 유령항들을 추가하면 다음과 같은 BRST 불변 작용을 얻는다.^[5]
  
  :$S=S\_0+\backslash int\; d^dx\backslash ,\; A\_a^\{*\backslash mu\}D\_\backslash mu\; c^a+\backslash frac12\backslash int\; d^dx\backslash ,c\_a^*f^a\{\}\_\{bc\}c^bc^c$
  
  게이지 고정을 위해, 유령수 −1의 페르미온 $\backslash bar\; c\_a$와 유령수 0의 보손 $b\_a$를 추가하고, 작용에 다음과 같은 보조장항을 더한다.^[3]
  
  :$S\text{'}=S-i\backslash int\; d^dx\backslash ,\backslash bar\; c^\{*a\}b\_a$
  
  그렇다면 게이지 고정 페르미온
  
  :$\backslash psi=i\backslash int\; d^dx\backslash ,\backslash bar\; c\_a\backslash left(\backslash partial^\backslash mu\; A\_\backslash mu^a+\backslash xi\; b^a/2\backslash right)$
  
  를 삽입한다. 여기서 $\backslash xi$는 임의의 상수다. 이렇게 하여 반대장들을 치환하면, 다음과 같은 게이지 고정 작용을 얻는다.
  
  :$S=\backslash int\; d^dx\backslash ,\backslash left(-\backslash frac14F^2-i\backslash partial^\backslash mu\backslash bar\; c\_aD\_\backslash mu\; c^a+\backslash left(\backslash partial^\backslash mu\; A^a\_\backslash mu+\backslash xi\; b^a/2\backslash right)b\_a\backslash right)$
  
  

  장	기호	통계	유령수
  게이지 장	$A^a\_\backslash mu$	+	0
  게이지 반대장	$A^\{*\backslash mu\}\_a$	−	−1
  유령장	$c^a$	−	1
  유령 반대장	$c^*\_a$	+	−2
  보조장	$b\_a$	+	0
  보조 반대장	$b^*\_a$	−	−1
  보조 유령장	$\backslash bar\; c^a$	−	−1
  보조 유령 반대장	$\backslash bar\; c^*\_a$	+	0

  
  

  4. 2. 미분형식 전기역학

  ''p''차 미분형식 전기역학의 경우, ''p''차 미분형식 게이지 퍼텐셜 $A^\{(p)\}$는 다음과 같은 게이지 변환들을 가진다.
  
  :$\backslash frac\{\backslash delta\; A^\{(p)\}\}\{\backslash delta\backslash epsilon^\{(p-1)\}\}=d\backslash epsilon^\{(p-1)\}$
  
  :$\backslash frac\{\backslash delta\backslash epsilon^\{(p-1)\}\}\{\backslash delta\backslash epsilon^\{(p-2)\}\}=d\backslash epsilon^\{(p-2)\}$
  
  :⋮
  
  :$\backslash frac\{\backslash delta\backslash epsilon^\{(1)\}\}\{\backslash delta\backslash epsilon^\{(0)\}\}=d\backslash epsilon^\{(0)\}$
  
  여기서 $\backslash epsilon^\{(k)\}$는 $k$차 미분형식이다. 따라서, 다음과 같은 유령장들과 반대장들이 존재한다.
  
  

  장	기호	통계	유령수
  게이지 장	$A^\{(p)\}$	+	0
  유령장	$c^\{(k)\}$	−	p−k
  게이지 반대장	$A^\{*(p)\}$	−	−1
  유령 반대장	$c^\{*(k)\}$	+	k−p−1

  
  
  유령항을 추가한 작용은 다음과 같다.^[5]
  
  :$S=\backslash int\; d^dx\backslash ,\backslash left(-\backslash frac12F^\{(p+1)\}\backslash wedge*F^\{(p+1)\}+*A^\{*(p)\}\backslash wedge\; dc^\{(p-1)\}$
  
  +\sum_{k=0}^{p-2}*c^{*(k+1)}\wedge dc^{(k)}
  
  \right)
  

5. 역사

이고리 아니톨리예비치 바탈린(И́горь Анато́льевич Бата́лин^ru)과 그리고리 알렉산드로비치 빌코비스키(Григо́рий Александро́вич Вилковы́ский^ru)가 초중력을 양자화하기 위해 도입하였다.^[6][7] 이후 바탈린-빌코비스키 양자화는 닫힌 끈 장론 등을 양자화하는 데 쓰였다.

6. 관련 개념

바탈린-빌코비스키(BV) 대수의 기본 정의에서 Δ 연산자에 대한 2차 가정을 제거하면 일반화된 BV 대수의 개념으로 확장할 수 있다. 이 경우, 차수 -1을 갖는 무한한 계층의 고차 브래킷 $\backslash Phi^\{n\}$을 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$\backslash Phi^\{n\}(a\_\{1\},\backslash ldots,a\_\{n\})\; :=\; \backslash underbrace\{$

여기서 $L\_a$는 $a$와의 곱셈 연산자이다. 이 브래킷들은 등급이 매겨진 대칭성을 만족하며, 즉 순열 $\backslash pi\backslash in\; S\_\{n\}$에 대해 다음이 성립한다.

:$\backslash Phi^\{n\}(a\_\{\backslash pi(1)\},\backslash ldots,a\_\{\backslash pi(n)\})\; =\; (-1)^\{\backslash left|a\_\{\backslash pi\}\backslash right|\}\backslash Phi^\{n\}(a\_\{1\},\backslash ldots,\; a\_\{n\})$

여기서 $(-1)^\{\backslash left|a\_\{\backslash pi\}\backslash right|\}$는 코쥘 부호이다. 이 브래킷들은 호모토피 리 대수 (또는 $L\_\{\backslash infty\}$ 대수)를 이루며, 다음과 같은 일반화된 야코비 항등식을 만족한다.

:$\backslash sum\_\{k=0\}^n\; \backslash frac\{1\}\{k!(n\backslash !-\backslash !k)!\}\backslash sum\_\{\backslash pi\backslash in\; S\_\{n\}\}(-1)^\{\backslash left|a\_\{\backslash pi\}\backslash right|\}\backslash Phi^\{n-k+1\}\backslash left(\backslash Phi^\{k\}(a\_\{\backslash pi(1)\},\; \backslash ldots,\; a\_\{\backslash pi(k)\}),\; a\_\{\backslash pi(k+1)\},\; \backslash ldots,\; a\_\{\backslash pi(n)\}\backslash right)\; =\; 0.$

낮은 차수의 브래킷들은 다음과 같다.

• $\backslash Phi^\{0\}\; :=\; \backslash Delta(1)$
• $\backslash Phi^\{1\}(a)\; :=\; [\backslash Delta,L\_\{a\}]1\; =\; \backslash Delta(a)\; -\; \backslash Delta(1)a\; =:\; \{\backslash Delta\}\_\{\backslash rho\}(a)$ (정규화된 연산자 또는 홀수 라플라시안)
• $\backslash Phi^\{2\}(a,b)\; :=$

• $\backslash left|\backslash pi^\{ij\}\backslash right|\; =\; \backslash left|x^\{i\}\backslash right|\; +\; \backslash left|x^\{j\}\backslash right|\; -1$ (차수 -1)
• $\backslash pi^\{ji\}\; =\; -(-1)^\{(\backslash left|x^\{i\}\backslash right|+1)(\backslash left|x^\{j\}\backslash right|+1)\}\; \backslash pi^\{ij\}$ (등급 반대칭성)
• $(-1)^\{(\backslash left|x^\{i\}\backslash right|+1)(\backslash left|x^\{k\}\backslash right|+1)\}\backslash pi^\{i\backslash ell\}\backslash partial\_\{\backslash ell\}\backslash pi^\{jk\}\; +\; \{\backslash rm\; cyclic\}(i,j,k)\; =\; 0$ (야코비 항등식)

7. 참고 문헌

• 코스텔로, K. (2011). "[https://bookstore.ams.org/surv-170 재규격화와 유효장 이론]". ISBN 978-0-8218-5288-0 (섭동적 양자장론과 천-시몬스 이론 및 양-밀스 이론의 BV-형식을 사용한 양자화와 같은 엄밀한 측면을 설명한다.)

참조

_[1] 서적 Quantization of Gauge Systems https://archive.org/[...] Princeton University Press 1992
_[2] 저널 Local BRST cohomology in gauge theories 2000-11
_[3] 저널 BRST-antifield quantization: a short review 2005-10
_[4] 저널 An introduction to the Batalin–Vilkovisky formalism 2004
_[5] 저널 Antibracket, antifields and gauge-theory quantization 1995-08
_[6] 저널 Gauge algebra and quantization 1981-06-04
_[7] 저널 Quantization of gauge theories with linearly dependent generators 1983-11-15