겔폰트-슈나이더 정리

1. 개요

겔폰트-슈나이더 정리는 대수적 수와 무리수 지수를 갖는 거듭제곱의 초월성을 다루는 정리이다. 1934년 알렉산드르 겔폰트와 테오도어 슈나이더에 의해 독립적으로 증명되었으며, 힐베르트의 7번째 문제를 해결했다. 이 정리에 따르면, 0과 1이 아닌 대수적 수 a와 무리수 b에 대해 a^b는 초월수이다. 겔폰트-슈나이더 정리는 겔폰트-슈나이더 상수와 겔폰트 상수, iⁱ의 초월성을 증명하는 데 사용되며, 베이커 정리를 포함한 여러 확장 및 따름정리를 갖는다.

2. 역사

소련의 수학자인 알렉산드르 겔폰트와 독일의 수학자인 테오도어 슈나이더가 1934년에 독립적으로 증명하였다. 이 정리는 힐베르트의 7번째 문제를 긍정적으로 해결하는 데 기여했다.

다비트 힐베르트는 1900년 파리에서 열린 국제 수학자 회의에서 힐베르트의 23문제 중 Hilbert's seventh problem^영어로, "a 가 0도 1도 아닌 대수적 수이고, b 가 대수적 무리수일 때, a^b는 초월수인가"를 제기했다.

1929년에 알렉산드르 겔폰트는 β가 허수 이차체인 경우 $\backslash alpha^\backslash beta$가 초월수임을 증명하여, 예를 들어 $e^\backslash pi$가 초월수임을 보였다.

그 직후 겔폰트의 방법을 바탕으로 카를 지겔은 β가 실수 이차체인 경우에도 성립함을 보였지만, 발표되지는 않았다. 다음 해(1930년) Rodion Kuzmin^영어은 겔폰트의 방법에 기초하여 동일한 결과를 발표했다.

1934년에 겔폰트와 테오도어 슈나이더가 각각 독립적으로 β가 일반적인 대수적 수인 경우에도 성립함을 증명했다. 이 결과로 힐베르트의 제7문제가 긍정적으로 증명되었다. 힐베르트는 제7문제가 매우 어려운 문제이고, 리만 가설이 더 빨리 해결될 것이라고 생각했지만, 10여 년 만에 증명되었다는 소식을 듣고 매우 놀랐다고 한다.

겔폰트-슈나이더 정리에 따르면 두 대수적 수의 로그가 유리수체 상에서 선형 독립이면, 대수적 수체 상에서도 선형 독립이 되는데, 이 결과를 2개 이상의 로그로 확장한 것이 앨런 베이커에 의해 1966년에 발표되었다(베이커 정리 참조).

3. 공식화와 응용

a와 b가 대수적 수이고, a가 0이나 1이 아니며, b가 유리수가 아닌 무리수라면, a^b는 초월수이다. 이 정리는 힐베르트의 7번째 문제에 대한 긍정적인 해답을 제시한다. 예를 들어, α가 0이나 1이 아닌 대수적 수이고, β가 유리수가 아닌 대수적 수일 때, $\backslash alpha^\backslash beta$는 초월수이다.

3.1. 설명

a와 b가 대수적 수이고 a ≠ 0, log a ≠ 0이며 b가 무리수이면 a^b는 초월수가 된다.

로그에 대한 등가 공식은 다음과 같다.

* 만약 a, b가 0이나 1과 같지 않은 대수적 수라면 log(b) / log(a)^영어는 유리수이거나 초월수이다.
* 만약 log(a), log(b)^영어가 유리수에 대해 선형으로 독립적이라면 그들은 대수적 수에도 선형으로 독립적이다.
* a와 b의 값은 실수에 제한되지 않으며 복소수도 허용된다.
* 일반적으로 a^b = exp(b log a)^영어는 다가 함수이며 여기서 로그는 복소수 로그를 나타낸다.
* α와 γ가 0이 아닌 대수적 수이고 α의 0이 아닌 로그들을 취한다면 (log γ)/(log α)^영어는 유리수 또는 초월수이다.
* a와 b가 대수라는 제한이 제거되면 일반적으로 문장은 참으로 유지되지 않는다. 예를 들어 (\sqrt{2}^\sqrt{2})^\sqrt{2} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2}² = 2^영어에서 a는 \sqrt{2}^{\sqrt{2}영어}이며, 이는 초월적이다.
* 쿠르트 말러는 이 정리의 p진수 유사성을 증명했다.

4. 따름정리

다음 숫자의 초월성은 겔폰트-슈나이더 정리로부터 즉시 도출된다.

* 겔폰트-슈나이더 상수 $2^\{\backslash sqrt\{2\}\}$와 그 제곱근 $\backslash sqrt\{2\}^\{\backslash sqrt\{2\}\}.$
* 겔폰트 상수 $e^\{\backslash pi\}\; =\; \backslash left(\; e^\{i\; \backslash pi\}\; \backslash right)^\{-i\}\; =\; (-1)^\{-i\}\; =\; 23.14069263\; \backslash ldots$
* $i^i\; =\; \backslash left(\; e^\{\backslash frac\{i\; \backslash pi\}\{2\}\}\; \backslash right)^i\; =\; e^\{-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\}\; =\; 0.207879576\; \backslash ldots$

$\backslash alpha\_1,\; \backslash alpha\_2$를 0, 1이 아닌 대수적 수라고 할 때, $\backslash log\backslash alpha\_1/\backslash log\backslash alpha\_2$는 유리수이거나 초월수이다.

$\backslash alpha\_1,\; \backslash alpha\_2,\; \backslash beta\_1,\; \backslash beta\_2$를 0이 아닌 대수적 수라고 할 때, 만약 $\backslash log\backslash alpha\_1,\; \backslash log\backslash alpha\_2$가 유리수체 위에서 선형 독립이면, $\backslash beta\_1\backslash log\backslash alpha\_1\; +\; \backslash beta\_2\backslash log\backslash alpha\_2\backslash ne\; 0$이다.

5. 예시

다음 숫자의 초월성은 겔폰트-슈나이더 정리로부터 도출된다.

* 겔폰트-슈나이더 상수 $2^\{\backslash sqrt\{2\}\}$와 제곱근 $\backslash sqrt\{2\}^\{\backslash sqrt\{2\}\}.$
* 겔폰트 상수 $e^\{\backslash pi\}\; =\; \backslash left(\; e^\{i\; \backslash pi\}\; \backslash right)^\{-i\}\; =\; (-1)^\{-i\}\; =\; 23.14069263\; \backslash ldots$
* $i^i\; =\; \backslash left(\; e^\{\backslash frac\{i\; \backslash pi\}\{2\}\}\; \backslash right)^i\; =\; e^\{-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\}\; =\; 0.207879576\; \backslash ldots$

겔폰트-슈나이더 정리를 사용하여 다음 수가 초월수임을 보일 수 있다.

* 유리수가 아닌 대수적 수 $\backslash alpha$ 에 대한 $\backslash sin\{\backslash alpha\backslash pi\}$, $\backslash cos\{\backslash alpha\backslash pi\}$, $\backslash tan\{\backslash alpha\backslash pi\}$
* $i\backslash alpha$ 가 유리수가 아닌 대수적 수 $\backslash alpha$ 에 대한 $\backslash sinh\{\backslash alpha\backslash pi\}$, $\backslash cosh\{\backslash alpha\backslash pi\}$, $\backslash tanh\{\backslash alpha\backslash pi\}$
* 곱셈적으로 독립이며 0, 1이 아닌 대수적 수 $\backslash alpha,\backslash \; \backslash beta$ 에 대한 $\backslash log\{\backslash alpha\}/\backslash log\{\backslash beta\}$

6. 확장

* a와 b의 값은 실수에 국한되지 않으며, 복소수도 허용된다(여기서 복소수는 허수부가 0이 아닌 경우, 실수부와 허수부 모두가 유리수이더라도 유리수로 간주되지 않는다).
* 일반적으로 a^b = exp(b log a)는 다중값 함수이며, 여기서 log는 복소 자연 로그를 나타낸다. (이것은 지수 함수 exp의 다중값 역함수이다.) 이는 정리의 문구에서 "어떤 값"이라는 표현을 설명한다.
* 이 정리의 동치 공식은 다음과 같다. 만약 α와 γ가 0이 아닌 대수적 수이고, α의 0이 아닌 로그를 취하면, (log γ)/(log α)는 유리수이거나 초월수이다. 이는 만약 log α, log γ가 유리수에 대해 선형 독립이면, 대수적 수에 대해서도 선형 독립이라는 것을 의미한다. 이 명제를 여러 대수적 수의 로그의 선형 형식으로 일반화하는 것은 초월수론의 영역에 속한다.
* a와 b가 대수적 수라는 제약이 제거되면, 일반적인 경우 명제가 참이 아니다. 예를 들어,
:::$\{\backslash left(\backslash sqrt\{2\}^\{\backslash sqrt\{2\}\}\backslash right)\}^\{\backslash sqrt\{2\}\}\; =\; \backslash sqrt\{2\}^\{\backslash sqrt\{2\}\; \backslash cdot\; \backslash sqrt\{2\}\}\; =\; \backslash sqrt\{2\}^2\; =\; 2.$
:여기서 a는 $\backslash sqrt\{2\}^\{\backslash sqrt\{2\}\}$인데, 이는 (정리 자체에 의해 증명된 바와 같이) 대수적 수가 아닌 초월수이다. 마찬가지로, 만약 a = 3이고 b = (log 2)/(log 3)인데, 이는 초월수이면, a^b = 2는 대수적 수이다. a^b가 초월수가 되는 a와 b의 값에 대한 특성은 알려져 있지 않다.
* 쿠르트 말러는 이 정리의 p-진수 유사체를 증명했다. 만약 a와 b가 C_p에 있고, Q_p의 대수적 폐포의 완비이며, Q에 대해 대수적이고, 이고 이면, $(\backslash log\_p\; a)/(\backslash log\_p\; b)$는 유리수이거나 초월수이다. 여기서 log_p는 p-진수 로그 함수이다.