고유 함수

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 필요 조건 · 충분 조건
- 3.2. 기타 성질
4. 일반화
참조

1. 개요

고유 함수는 위상 공간 X, Y 사이의 연속 함수 f: X → Y로, Y의 모든 콤팩트 집합의 역상이 X에서 콤팩트 집합인 경우를 말한다. 준콤팩트 함수, 콤팩트 덮개 사상 등과 연관되며, 스킴 이론에서도 중요한 개념으로 사용된다. 고유 함수의 개념은 다양한 정의가 존재하며, 하우스도르프 공간과 국소 콤팩트 공간의 조건에 따라 정의가 동등해진다. 고유 함수는 닫힌 함수이며, 콤팩트 공간에서 하우스도르프 공간으로의 연속 사상, 그리고 전사 고유 사상은 콤팩트 덮개 사상이다.

더 읽어볼만한 페이지

연속 함수 - 바이어슈트라스 함수
바이어슈트라스 함수는 특정 조건의 상수 $a$ 와 $b$ 를 사용하여 $f(x)= \sum_{n=0}^\infin a^n\cos (b^n\pi x)$ 와 같은 무한 급수 형태로 정의되며 모든 점에서 연속이지만 어느 곳에서도 미분 불가능한 자기 유사성을 지닌 최초로 연구된 프랙탈 중 하나이다.
연속 함수 - 하이네-칸토어 정리
하이네-칸토어 정리는 콤팩트 균등 공간에서 균등 공간으로 가는 연속 함수는 균등 연속 함수라는 정리이며, 이는 정의역이 완전 유계 공간이 아니거나 완비 균등 공간이 아닌 경우에는 성립하지 않을 수 있다.
일반위상수학 - 극한
극한은 수학에서 함수의 값이나 수열의 항이 특정 값에 가까워지는 현상을 기술하는 개념으로, ε-δ 논법으로 엄밀하게 정의되며 수렴, 연속성, 미적분학 등 다양한 분야에서 활용되고, 고대 그리스에서 시작하여 19세기에 현대적 정의가 완성되었다.
일반위상수학 - 스콧 위상
스콧 위상은 부분 순서 집합 위에 정의되는 위상으로, 하향 집합과 directed set의 상한에 대해 닫혀있는 집합을 닫힌 집합으로 정의하며, 컴퓨터 과학, 특히 프로그램 의미론에서 연속 함수의 개념을 일반화하고 프로그램의 계산 과정을 모델링하는 데 사용된다.

고유 함수
개요
정의	위상 공간 사이의 연속 함수로, 모든 콤팩트 집합의 원상이 콤팩트 집합인 함수
성질

2. 정의

위상 공간 $X,Y$ 사이의 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 가 다음 성질을 만족시키면, $f$ 를 '''고유 함수'''라고 한다.

: 임의의 콤팩트 집합 $K\subset Y$ 에 대하여, $K^{-1}(f)\subset X$ 는 콤팩트 집합이다.

( 스킴의 고유 사상은 이 조건과 다른 조건이다.)

위상 공간 $X,Y$ 사이의 연속 함수 $f\colon X\to Y$ 가 다음 성질을 만족시키면, $f$ 를 '''준콤팩트 함수'''(quasicompact map^영어)라고 한다.

: 임의의 콤팩트 열린집합 $K\subset Y$ 에 대하여, $K^{-1}(f)\subset X$ 는 콤팩트 열린집합이다.

이 조건은 스킴 이론에서 쓰인다. 두 스킴 사이의 '''준콤팩트 사상'''(quasicompact morphism^영어)은 준콤팩트 함수인 스킴 사상이다. ( 스킴 사상은 항상 연속 함수이다.) 공역 $Y$ 가 하우스도르프 공간이라면 $Y$ 의 콤팩트 열린집합은 열린닫힌집합이며, $Y$ 가 하우스도르프 연결 공간인 경우 이는 공집합이거나 $Y$ 전체이다. 따라서, 공역이 하우스도르프 연결 공간인 경우 준콤팩트 함수의 개념은 자명하다. 그러나 대부분의 스킴은 하우스도르프 공간이 아니다.

3. 성질

연속 함수에 대하여, 정의에 따라 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

: 고유 함수 $\subsetneq$ 준콤팩트 함수 $\subsetneq$ 연속 함수

3. 1. 필요 조건 · 충분 조건

어떤 연속 함수

f\colon X\to Y

가 닫힌 함수이고 모든 점

y\in Y

의 원상이 콤팩트 집합이라면

f

는 고유 함수이다. 만약

Y

가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라면 그 역도 성립한다.

만약

X,Y

가 거리 공간이라면, 고유성은 다음 개념을 통해 정의할 수 있다.

거리 공간 사이의 연속 함수

f\colon X\to Y

에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

고유 함수이다.
$X$ 속의 모든 무한대로 달아나는 수열의 상이 ( $Y$ 속에서) 항상 무한대로 달아난다.

스킴 사상

f\colon X\to Y

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

준콤팩트 사상이다.^[6]
임의의 아핀 열린집합 $A\subseteq Y$ 에 대하여, $f^{-1}(A)$ 는 콤팩트 집합이다.^[7]
$Y$ 는 $f$ 에 대한 원상이 콤팩트 집합인 아핀 스킴들로 구성된 열린 덮개 $\{\iota_i\colon\operatorname{Spec}R_i\to Y\}_{i\in I}$ 를 갖는다.^[6]

그러나 마지막 조건에서, "원상이 콤팩트 집합인 아핀 스킴들로 구성된 열린 덮개"를 "원상이 콤팩트 집합인 콤팩트 열린 부분 스킴으로 구성된 열린 덮개"로 약화시킨다면 이는 동치이지 않다.^[8]

3. 2. 기타 성질

정의역이 콤팩트 공간이고 공역이 하우스도르프 공간인 연속 함수는 고유 함수이자 닫힌 함수이다.^[1]

콤팩트 공간에서 하우스도르프 공간으로의 모든 연속 사상은 고유 사상인 동시에 닫힌 사상이다.
모든 전사 고유 사상은 콤팩트 덮개 사상이다.
만약 $f : X \to Y$ 가 고유 연속 사상이고 $Y$ 가 콤팩트 생성 하우스도르프 공간(제1 가산이거나 국소 콤팩트인 하우스도르프 공간을 포함한다)이면, $f$ 는 닫힌 사상이다.^[5]

4. 일반화

로컬 및 토포스로 위상 공간의 고유 사상의 개념을 일반화하는 것이 가능하다.^[1]

두 위상 공간 사이의 함수 ''f'' : ''X'' → ''Y'' 가 '''고유'''(proper)하다는 것은, ''Y'' 내의 모든 콤팩트 집합의 원상이 ''X'' 에서 콤팩트임을 의미한다.

이 외에도 몇 가지 다른 정의가 있다. 예를 들어, 연속 사상 ''f'' 가 고유하다는 것은, 그것이 닫힌 사상이며, ''Y'' 내의 모든 점의 원상이 콤팩트임을 의미한다. ''Y'' 가 국소 콤팩트이며 하우스도르프인 경우, 이러한 정의는 동치가 된다. 더 추상적으로, ''f'' 가 고유하다는 것은 ''f'' 가 보편적으로 닫혀(universally closed) 있다는 것을 의미하며, 즉 임의의 위상 공간 ''Z'' 에 대해, 다음의 사상

:''f'' × id_''Z'': ''X'' × ''Z'' → ''Y'' × ''Z''

가 닫혀 있음을 의미한다. 이러한 정의는, ''X'' 가 하우스도르프이며, ''Y'' 가 국소 콤팩트 하우스도르프일 때 일치한다.

''X'' 와 ''Y'' 가 거리 공간일 때의, 더 직관적인 정의는 다음과 같다. 어떤 위상 공간 ''X'' 의 무한 점렬 {''p''_''i''} 가 무한대로 도망간다(escapses to infinity)는 것은, 모든 콤팩트 집합 ''S'' ⊂ ''X'' 에 대해 기껏해야 유한 개의 점 ''p''_''i'' 만이 ''S'' 에 포함됨을 의미한다. 연속 사상 ''f'' : ''X'' → ''Y'' 가 고유하다는 것은, ''X'' 에서 무한대로 도망가는 모든 점렬 {''p''_''i''} 에 대해, {''f''(''p''_''i'')} 가 ''Y'' 에서 무한대로 도망가는 것을 의미한다.

이 마지막 점렬의 아이디어는, 열 고유(sequentially proper)의 개념과 관련되어 보인다.

위상 공간의 고유 사상의 개념은 pointless topology|비점 집합적 위상 기하학|로케일^영어이나 토포스로 일반화할 수 있다.^[1]

참조

_[1] 논문 When proper maps are closed
_[2] 웹사이트 proper、 Weblio辞書 https://ejje.weblio.[...] 2023-11-08
_[3] 웹사이트 proper、goo辞書 https://dictionary.g[...] 2023-11-08
_[4] 서적 三次元多様体入門培風館 1996-07-01
_[5] 논문 When proper maps are closed http://www.ams.org/j[...]
_[6] 서적 Algebraic geometry. Part I: Schemes. With examples and exercises
_[7] 서적 Algebraic geometry Springer 1977
_[8] 저널 Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory 2007

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com