골트바흐의 추측

1. 개요

골드바흐의 추측은 1742년 프로이센 수학자 크리스티안 골트바흐가 레온하르트 오일러에게 보낸 편지에서 제안된 수론 문제이다. 골트바흐는 1을 소수로 간주하여 "두 소수의 합으로 표현 가능한 모든 정수는, 모든 항이 1이 될 때까지 원하는 만큼 얼마든지 많은 개수의 소수의 합으로 분해할 수 있다"는 추측을 제시했다. 또한 "2보다 큰 모든 정수는 세 개의 소수의 합으로 표현가능하다"는 두 번째 추측을 했다. 오늘날에는 "2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 표현 가능하다"는 강한 골드바흐 추측과 "5보다 큰 모든 정수는 세 소수의 합으로 표현 가능하다"는 약한 골드바흐 추측으로 알려져 있다. 강한 골드바흐 추측은 아직 증명되지 않았지만, 4×10^18까지의 모든 짝수에 대해 컴퓨터로 검증되었으며, 소수의 확률적 분포에 대한 통계적 관찰을 통해 정당화된다.

2. 기원

1742년 6월 7일, 프로이센의 수학자 크리스티안 골트바흐는 레온하르트 오일러에게 보낸 편지에서 다음과 같은 추측을 제안하였다.

:

골트바흐는 이 편지에서 1을 소수로 취급하였으나, 이 개념은 후에 폐기되었다. 그는 편지 말미에 다음과 같은 두 번째 추측을 덧붙였다.

:

오일러는 1742년 6월 30일에 답장을 보내 골트바흐와의 이전 대화를 상기시키며, 다음 명제를 제시했다.

:

이는 골트바흐의 원래 추측을 포함한다. 즉, 모든 짝수가 두 소수의 합으로 표현 가능하다면, 홀수는 3을 더하고 짝수는 2를 더해 세 소수의 합으로 나타낼 수 있기 때문이다.

2.1. 골드바흐의 원래 추측

1742년 6월 7일, 프로이센의 수학자 크리스티안 골트바흐는 레온하르트 오일러에게 보낸 편지에서 다음과 같은 추측을 제안했다.

dass jede Zahl, welche aus zweyen numeris primis zusammengesetzt ist, ein aggregatum so vieler numerorum primorum sey, als man will (die unitatem mit dazu gerechnet), bis auf die congeriem omnium unitatum^독일어

골드바흐는 당시 1을 소수로 간주하는 관례를 따랐기 때문에, 1의 합도 소수의 합으로 생각했다. 그는 이 편지의 여백에 첫 번째 추측을 함축하는 두 번째 추측을 덧붙였다.

... eine jede Zahl, die grösser ist als 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey.^독일어

오일러는 1742년 6월 30일에 답장을 보내 골트바흐와 이전에 나누었던 대화를 언급하며("... so Ew vormals mit mir communicirt haben ...^독일어"), 골드바흐의 첫 번째 추측이 다음 명제에서 유도될 수 있다고 말했다.

Dass ... ein jeder numerus par eine summa duorum primorum sey, halte ich für ein ganz gewisses theorema, ungeachtet ich dasselbe nicht demonstriren kann.^독일어

이는 실제로 골드바흐의 두 번째 추측과 같다. 만약 모든 짝수가 두 소수의 합으로 표현 가능하다면, 홀수의 경우 3을 더하고, 짝수의 경우 2를 더하면 세 소수의 합으로도 표현 가능해지기 때문에, 골드바흐의 원래 추측이 자연스럽게 유도된다.

2.2. 오일러의 수정

레온하르트 오일러는 1742년 6월 30일에 크리스티안 골트바흐에게 답장을 보내면서, 이전에 골트바흐와 나누었던 대화를 언급하며 골트바흐의 추측이 다음 명제에서 비롯된다고 말했다.

이 명제는 골트바흐의 두 번째 추측과 사실상 같다. 오일러는 다음과 같이 말했다.

--

이 추측은 다음과 같이 표현되기도 한다.

* 4 이상의 모든 짝수는 두 개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다.
* 6 이상의 모든 짝수는 두 개의 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다. (소수 중 짝수는 2뿐이므로, 짝수 소수끼리의 합은 4 = 2 + 2이며, 4뿐이다.)

6 이상 22 이하의 짝수를 홀수 소수의 합으로 나타내는 경우는 다음과 같다.

6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 7 + 3 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
16 = 3 + 13 = 5 + 11
18 = 5 + 13 = 7 + 11
20 = 3 + 17 = 7 + 13
22 = 11 + 11 = 19 + 3 = 17 + 5

2012년 현재, 4×10¹⁸까지의 모든 짝수에 대해 성립하는 것이 컴퓨터로 확인되었다.

골드바흐는 5보다 큰 임의의 자연수는 세 개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다고 추측했다. 짝수를 세 개의 소수의 합으로 나타내면 소수 중 하나가 2가 되기 때문에 이 추측이 유도될 수 있다. (홀수 + 홀수 + 홀수 = 홀수, 짝수가 되려면 홀수 + 홀수 + 짝수 또는 짝수 + 짝수 + 짝수뿐이다.)

많은 수학자들은 소수 분포의 확률에 관한 통계학적인 관찰로부터 이 추측이 옳다고 생각한다. (짝수가 클수록 두 소수의 합으로 표현될 가능성이 더 "있을 법"하다.)

"약한 골드바흐 추측"은 5보다 큰 홀수는 세 개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 추측이다. 4보다 큰 짝수가 두 개의 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 "강한 골드바흐 추측"이 옳다면, 약한 골드바흐 추측도 참이다.

일반화된 리만 가설이 옳다면, 약한 골드바흐 추측이 유도된다는 것이 알려져 있다.

3. 골드바흐 추측의 종류

골드바흐의 추측은 크게 '강한 골드바흐 추측'과 '약한 골드바흐 추측' 두 가지로 나뉜다. 강한 골드바흐 추측이 참이면 약한 골드바흐 추측은 자동적으로 참이 된다.

현대적인 버전의 골드바흐 추측은 다음과 같다.

* 오일러가 제시한 골드바흐의 오래된 추측 (현대적 버전): 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 표현될 수 있다.
* 여백 추측 (현대적 버전): 5보다 큰 모든 정수는 세 소수의 합으로 표현될 수 있다.

이 현대적 버전들은 원래 명제와 완전히 동일하지 않을 수 있다. 예를 들어 특정 조건 하에서는 현대적 버전이 더 강력할 수 있다.

오늘날 일반적으로 사용되는 추측의 형태는 세 번째 현대적 명제이며, 이는 "강력한", "짝수", 또는 "이진" 골드바흐 추측으로도 알려져 있다.

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약한 골드바흐 추측은 "[[골드바흐 약추측]]", "홀수 골드바흐 추측" 또는 "삼원 골드바흐 추측"으로도 알려져 있으며, 내용은 다음과 같다.

* 7보다 큰 모든 홀수는 세 개의 홀수 소수의 합으로 표현될 수 있다.

골드바흐는 이 추측을 더욱 정밀하게 하여 "5보다 큰 임의의 자연수는 세 개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다"고 추측했다. 이는 짝수를 세 개의 소수의 합으로 나타낼 때 소수 중 하나가 반드시 2가 되어야 하기 때문이다. (홀수 + 홀수 + 홀수 = 홀수, 짝수가 되려면 홀수 + 홀수 + 짝수 또는 짝수 + 짝수 + 짝수 형태여야 한다.)

많은 수학자들은 소수 분포의 확률에 관한 통계학적인 관찰을 통해 이 추측이 옳다고 믿고 있다. 즉, 짝수가 클수록 두 소수의 합으로 표현될 가능성이 더 높다고 본다.

"약한 골드바흐 추측"은 5보다 큰 홀수는 세 개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 추측이다. 만약 4보다 큰 짝수가 두 개의 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 "강한 골드바흐 추측"이 참이라면, 약한 골드바흐 추측 또한 자연스럽게 참이 된다.

: $2n\; =\; p\_1+p\_2\; \backslash quad\; n>2$ 이라면
: $2(n+1)+1\; =\; p\_1+p\_2+3\; \backslash quad\; n>2\; \backslash ,$ 라는 사실로부터 명백하다. 여기서 p₁ 및 p₂는 홀수 소수이다.

또한, 일반화된 리만 가설이 옳다면, 약한 골드바흐 추측이 유도된다는 것이 알려져 있다.

3.1. 강한 골드바흐 추측 (Strong Goldbach Conjecture)

위 추측을 강한 골드바흐의 추측(strong Goldbach conjecture)이라고 부르며, 최초에 골트바흐가 제시했던 '5보다 큰 모든 정수는 세 소수의 합으로 표현가능하다'는 주장은 약한 골드바흐의 추측(weak Goldbach conjecture)이라고 불린다. 강한 골드바흐의 추측이 참이라면, 약한 골드바흐의 추측은 당연히 참이 된다. 강한 골든바흐의 추측을 짝수 골트바흐 추측(even number Goldbach conjecture), 약한 골든바흐의 추측을 홀수 골트바흐 추측(odd number Goldbach conjecture)이라 부르는 사람도 있다.

추측에는 거의 동등한 몇 가지 표현이 있으며, 다음과 같이 표현하는 경우가 많다.
* 4 이상의 모든 짝수는 두 개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다.
* 6 이상의 모든 짝수는 두 개의 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다.
:: 소수 중 짝수는 2뿐이므로, 짝수 소수끼리의 합은 4 = 2 + 2이며, 4뿐이다.

예를 들어, 6 이상 22 이하의 짝수를 홀수 소수의 합으로 나타내는 경우는 다음과 같다.

6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 7 + 3 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
16 = 3 + 13 = 5 + 11
18 = 5 + 13 = 7 + 11
20 = 3 + 17 = 7 + 13
22 = 11 + 11 = 19 + 3 = 17 + 5

2012년 현재, 4Q까지의 모든 짝수에 대해 성립하는 것이 컴퓨터로 확인되었다.

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많은 수학자는 소수 분포의 확률에 관한 통계학적인 관찰로부터, 이 추측이 옳다고 생각하고 있다(짝수가 크면 클수록, 두 소수의 합으로 표현될 가능성이 더 "있을 법"하다).

3.2. 약한 골드바흐 추측 (Weak Goldbach Conjecture)

골트바흐의 추측 중 하나인 약한 골트바흐 추측(weak Goldbach conjecture)은 원래 골트바흐가 제시했던 "5보다 큰 모든 정수는 세 소수의 합으로 표현 가능하다"는 명제이다. 이는 '강한 골트바흐 추측'이 참이라면 당연히 참이 된다.,, 강한 골트바흐 추측은 짝수 골트바흐 추측, 약한 골든바흐의 추측을 홀수 골트바흐 추측이라고 부르는 사람도 있다.

니콜라이 추다코프, 요하네스 반 데르 코르푸트, 테오도어 에스터만은 1937~1938년에 비노그라도프의 방법을 사용하여 거의 모든 짝수가 두 소수의 합으로 표현될 수 있음을 보였다., 1930년, 레프 슈니렐만은 1보다 큰 모든 자연수는 C개 이하의 소수의 합으로 표현될 수 있다고 증명했다(C는 계산 가능한 상수). (슈니렐만 밀도 참조)

1995년 올리비에 라마레는 모든 짝수 n ≥ 4가 최대 6개의 소수의 합임을 보였다. 하랄드 헬프갓은 약한 골드바흐 추측을 증명하여, 모든 짝수 n ≥ 4가 최대 4개의 소수의 합임을 보였다.,,

1924년 하디와 리틀우드는 일반화된 리만 가설을 가정하여 골드바흐 추측을 위반하는 X까지의 짝수의 개수는 작은 c에 대해 X^{1/2 + c}보다 훨씬 적다는 것을 보였다.

1948년, 알프레드 레니는 체 이론을 사용하여 모든 충분히 큰 짝수가 소수와 최대 K개의 인수를 가진 거의 소수의 합으로 표현될 수 있음을 보였다. 1973년 천징룬은 체 이론을 사용하여 모든 충분히 큰 짝수는 두 소수의 합 또는 소수와 세미프라임(두 소수의 곱)의 합으로 표현될 수 있음을 보였다. (천의 정리 참조)

1975년, 휴 로웰 몽고메리와 밥 본은 "대부분"의 짝수가 두 소수의 합으로 표현될 수 있음을 보였다.

1951년, 유리 리닉은 모든 충분히 큰 짝수가 두 소수와 최대 K개의 2의 거듭제곱의 합이라는 상수를 증명했다. 2020년 야노스 핀츠와 임레 루자는 K = 8이 작동한다는 것을 발견했다. 일반화된 리만 가설을 가정하면, 2002년 로저 히스-브라운과 얀-크리스토프 슐라게-푸흐타가 증명한 바와 같이 K = 7도 작동한다.

2013년 하랄드 헬프갓은 약한 추측에 대한 증명을 수학 연보 연구에 제출했다.,, 약한 추측은 강한 추측에 의해 암시되는데, n - 3이 두 소수의 합이라면 n은 세 소수의 합이 된다.

약한 골드바흐 추측은 "7보다 큰 모든 홀수는 세 개의 홀수 소수의 합으로 표현될 수 있다"는 명제와 동등하다.

4. 확인된 수치적 결과

컴퓨터로 짝수가 두 소수의 합으로 표현되는지 확인하는 시도는 예전부터 있었다. T. Oliveirae Silva는 10E 이하에서 골트바흐의 추측이 참임을 확인했다.

골트바흐의 추측은 두 소수의 합으로 표현하는 방법이 유일하다고 주장하는 것은 아니다. 소수 한 쌍의 합으로 표현하는 방법은 여러 가지가 있을 수 있고, 같은 두 수를 쓸 수도 있다.

1938년에 닐스 피핑(Nils Pipping)은 까지의 추측을 검증했다. 컴퓨터의 등장으로 더 많은 값들이 확인되었다. T. 올리베이라 e 실바(T. Oliveira e Silva)는 2013년 기준으로 까지의 추측을 검증한 분산 컴퓨터 검색을 수행했다. 이 검색의 기록 중 하나는 이 9781보다 작은 소수 두 개의 합으로 쓸 수 없는 가장 작은 수라는 것이다. 2015년에는 까지의 4 이상의 모든 짝수에 대해 성립하는 것이 확인되었다.

5. 최근의 결과

* 1930년, 소련의 수학자 레프 슈니렐만은 브룬의 체를 이용하여 모든 자연수가 최대 k개의 소수의 합이 되는 k가 존재한다는 것을 보였다. 그는 1보다 큰 모든 자연수는 C개 이하의 소수의 합으로 표현될 수 있으며, 여기서 C는 효과적으로 계산 가능한 상수임을 증명했다. 슈니렐만 자신은 C < 800000을 얻었다.
* 1937년, 소련의 수학자 이반 비노그라도프는 세 소수의 문제에 관하여, 삼각합 방법을 이용하여, 일반화된 리만 가설을 가정하지 않고도, 충분히 큰 수 이상의 홀수에 대해 약한 골트바흐의 추측이 참이라는 것을 증명하였다. 여기서 충분히 큰 수는 $3^\{3^\{15\}\}$이었다.
* 1938년경, 영국의 에스터먼, 소련의 수학자 추다코프, 네덜란드의 수학자 반 데르 코르프트 등은 각각 독립적으로, 어떠한 가정도 없이 거의 모든 짝수는 두 개의 홀수 소수의 합이라는 것을 증명했다.
* 1947년, 헝가리의 수학자 레니 알프레드는 큰 체라는 새로운 방법을 사용하여, 모든 자연수를 소수와 최대 k 개의 소수의 곱인 수의 합으로 나타낼 수 있는 k 가 존재한다는 것을 증명했다.
* 1975년, 휴 로웰 몽고메리와 로버트 찰스 본은 "대부분"의 짝수가 두 소수의 합으로 표현될 수 있음을 보였다. 더 정확히 말하면, 그들은 충분히 큰 모든 수 N에 대해 c와 C라는 양의 상수가 존재하여 N보다 작은 모든 짝수가 두 소수의 합이며, 최대 $CN^\{1-c\}$개의 예외가 있음을 보였다. 특히, 두 소수의 합이 아닌 짝수의 집합은 자연 밀도가 0이다.
* 1995년, 프랑스의 수학자 올리비에 라마레는 모든 짝수가 최대 6개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 것을 증명했다.
* 중국의 수학자 천징룬은 1978년까지, 충분히 큰 모든 짝수는 소수와 최대 두 개의 소수의 곱인 수의 합으로 표현된다는 것을 증명했다.
* 2002년, 로저 히스브라운과 얀 크리스토프 슐라게-푸흐타는 충분히 큰 모든 짝수는 2개의 소수와 13개의 2의 거듭제곱의 합으로 표현되며, 일반화된 리만 가설이 옳다면, 충분히 큰 모든 짝수는 2개의 소수와 7개의 2의 거듭제곱의 합으로 표현된다는 것을 보였다.
* 2013년, 하랄드 헬프고트은 충분히 큰 수 이하의 홀수들에 대해 약한 골트바흐의 추측이 참임을 증명하였고, 따라서 약한 골트바흐의 추측은 참임이 증명되었다.
* 2015년, 4 × 10¹⁸까지의 4 이상의 모든 짝수에 대해 성립하는 것이 확인되었다.

6. 쌍둥이 소수 추측과의 관계

쌍둥이 소수 추측과 골트바흐의 추측은 구조적으로 유사하다. 쌍둥이 소수 추측은 $p$와 $p+2$가 모두 소수인 경우가 무한히 많다는 것이다. 다시 말해, $k(k+2)$가 정확히 두 개의 소인수를 가지는 경우가 무한히 많다는 추측이다. 골트바흐 추측은 4 이상의 모든 짝수는 두 소수의 합으로 표현 가능하다는 것, 다시 말해, 모든 4 이상의 짝수 $n$에 대해 $k(n-k)$가 두 개의 소인수를 가지는 1과 $n-1$ 사이의 k가 반드시 존재한다는 추측이다. 이러한 구조적 유사성 때문에 두 추측은 같이 다루어져 왔으며, 지금까지 검증된 수치적 자료들도 이를 뒷받침하는 듯 보인다.

7. 휴리스틱한 정당화

소수의 확률적 분포에 초점을 맞춘 통계적 고려는 (약한 형태와 강한 형태 모두에서) 충분히 큰 정수에 대해 골드바흐의 추측을 뒷받침하는 비공식적인 증거를 제시한다. 정수가 클수록 해당 숫자를 다른 두세 개의 숫자의 합으로 나타낼 수 있는 방법이 많아지고, 이러한 표현 중 적어도 하나가 소수로만 구성될 "가능성"이 더 커진다.

(골드바흐 추측의 강한 형태에 대한) 확률적 인수의 매우 조잡한 버전은 다음과 같다. 소수 정리는 임의로 선택된 정수 m이 소수일 확률이 대략 1/ln m이라고 주장한다. 따라서 n이 큰 짝수이고 m이 3과 n/2 사이의 숫자라면, m과 n-m이 동시에 소수일 확률은 1/(ln m ln(n-m))이 될 것으로 예상할 수 있다.

이 휴리스틱을 따르면 큰 짝수 n을 두 홀수 소수의 합으로 쓸 수 있는 총 방법의 수는 대략 다음과 같이 추정할 수 있다.

:$\backslash sum\_\{m=3\}^\backslash frac\{n\}\{2\}\; \backslash frac\{1\}\{\backslash ln\; m\}\; \backslash frac\{1\}\{\backslash ln(n\; -\; m)\}\; \backslash approx\; \backslash frac\{n\}\{2\; (\backslash ln\; n)^2\}.$

ln n ≪ n^(1/2)이므로, 이 양은 n이 증가함에 따라 무한대로 가고, 모든 큰 짝수는 두 소수의 합으로 나타내는 방법이 하나가 아니라 사실 매우 많은 표현을 가질 것으로 예상할 수 있다.

하지만 이 휴리스틱 인수는 m과 n-m이 소수인 사건이 서로 통계적 독립임을 가정하기 때문에 약간 부정확하다. 예를 들어 m이 홀수이면 n-m도 홀수이고, m이 짝수이면 n-m도 짝수이며, 이는 2 외에는 홀수만 소수가 될 수 있다는 비자명한 관계이다.

마찬가지로 n이 3으로 나누어지고 m이 3이 아닌 소수였다면 n-m도 3과 상호 소수가 되어 일반 숫자보다 소수일 가능성이 약간 더 높을 것이다.

이러한 유형의 분석을 더 신중하게 수행한 G. H. 하디(G. H. Hardy)와 존 리틀우드(John Edensor Littlewood)는 1923년에 (그들의 하디-리틀우드 소수 튜플 추측의 일부로) 다음과 같이 추측했다. 모든 고정된 c ≥ 2에 대해, 큰 정수 n을 c개의 소수의 합으로 나타내는 표현의 수는 점근적으로 다음과 같아야 한다.

:$\backslash left(\backslash prod\_p\; \backslash frac\{p\; \backslash gamma\_\{c,p\}(n)\}\{(p\; -\; 1)^c\}\backslash right)$
\int_{2 \leq x_1 \leq \cdots \leq x_c: x_1 + \cdots + x_c = n} \frac{dx_1 \cdots dx_{c-1}}{\ln x_1 \cdots \ln x_c},

여기서 곱은 모든 소수 p에 대한 것이고, γ_c,p(n)는 방정식 n = q₁ + ⋯ + q_c mod p의 해의 수이며 모듈러 산술에서 제약 조건 q₁, …, q_c ≠ 0 mod p을 따른다.

이 공식은 이반 므라체비치 비노그라도프(Ivan Matveevich Vinogradov)의 연구에서 c ≥ 3에 대해 점근적으로 유효한 것으로 엄밀하게 증명되었지만, c = 2일 때는 여전히 추측에 불과하다. 후자의 경우, 위 공식은 n이 홀수일 때는 0으로, n이 짝수일 때는 다음과 같이 단순화된다.

:$$
2 \Pi_2 \left(\prod_{p \mid n; p \geq 3} \frac{p - 1}{p - 2}\right) \int_2^n \frac{dx}{(\ln x)^2}
\approx 2 \Pi_2 \left(\prod_{p \mid n; p \geq 3} \frac{p - 1}{p - 2}\right) \frac{n}{(\ln n)^2}


여기서 Π₂는 하디-리틀우드의 쌍둥이 소수 상수이다.

:$\backslash Pi\_2\; :=\; \backslash prod\_\{p\backslash ;\{\backslash rm\; prime\}\; \backslash ge\; 3\}\; \backslash left(1\; -\; \backslash frac\{1\}\{(p-1)^2\}\backslash right)\; \backslash approx\; 0.66016\backslash ,18158\backslash ,46869\backslash ,57392\backslash ,78121\backslash ,10014\backslash dots$

이것은 때때로 확장된 골드바흐 추측이라고 알려져 있다. 강한 골드바흐 추측은 실제로 쌍둥이 소수 추측과 매우 유사하며, 두 추측은 대략적으로 비슷한 난이도를 갖는 것으로 여겨진다.

골드바흐 분할 함수는 각 짝수에 두 소수의 합으로 분해할 수 있는 방법을 연관시키는 함수이다. 이 함수의 그래프는 혜성처럼 보이기 때문에 골드바흐의 혜성이라고 불린다.

8. 관련 문제

골드바흐의 추측과 유사하게, 소수가 아닌 다른 특정 숫자 집합(예: 제곱수)으로 대체하는 경우에도 비슷한 문제가 존재한다.

* 라그랑주는 모든 양의 정수가 네 개의 제곱수의 합임을 증명했다. 와링의 문제와 소수의 거듭제곱의 합에 대한 관련 와링-골드바흐 문제를 참고하라.
* 하디와 리틀우드는 "모든 큰 홀수 (n>5)는 소수와 소수의 두 배의 합이다."라고 추측했다. 이 추측은 르모인의 추측(레비의 추측)으로 알려져 있다.
* 정수와 유사한 소수 수열인 실용수에 대한 골드바흐 추측은 1984년 마르겐슈테른에 의해 제기되었고, 1996년 멜피에 의해 증명되었다: 모든 짝수는 두 개의 실용수의 합이다.
* 하비 덥너는 4208보다 큰 모든 짝수가 두 개의 쌍둥이 소수의 합이라는 골드바흐 추측의 강화된 버전을 제안했다. 4208보다 작은 34개의 짝수 정수만이 두 쌍둥이 소수의 합이 아니며, 덥너는 이 목록이 2 x 10¹⁰까지 계산적으로 완성되었음을 확인했다. 이보다 더 강력한 추측이 증명된다면 골드바흐의 추측뿐만 아니라 쌍둥이 소수 추측도 함의할 것이다.
* 베르트랑의 공준에 따르면, 모든 정수 n > 1에 대해, 항상 n < p < 2n인 소수 p가 적어도 하나 존재한다. 만약 이 공준이 거짓이라면, n과 2n 사이에 소수가 존재하지 않아 2n을 두 소수의 합으로 표현하는 것이 불가능한 정수 n이 존재할 것이다.

골드바흐의 추측은 Busy Beaver 함수를 통해 계산 복잡성을 연구할 때 사용된다.

9. 대중문화 속 골드바흐 추측

《골드바흐의 추측》(哥德巴赫猜想^중국어)은 쉬치가 저술한 중국의 수학자이자 수론가인 천징룬의 전기 제목이다.

이 추측은 아포스톨로스 독시아디스의 1992년 소설 《페트로스 아저씨와 골드바흐의 추측》, 아이작 아시모프의 단편 소설 "6천만 조 조합", 미셸 리치먼드의 2008년 미스터리 소설 《네가 아는 사람은 아무도 없다》의 중심 소재이다.

골드바흐의 추측은 2007년 스페인 영화 《페르마의 밀실》의 줄거리 일부를 구성하며, 2023년 프랑스-스위스 영화 《마르그리트의 정리》에서 배우 엘라 룸프가 연기한 마르그리트의 주요 연구 주제로 등장한다.