구면 달꼴
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1. 개요
구면 달꼴은 두 개의 대원을 공유하는 구의 표면의 일부이다. 두 대원은 구를 두 개의 반구로 나누는 가장 큰 원으로, 항상 두 반대 극점에서 교차한다. 구면 달꼴의 표면적은 2θR2로 계산되며, 여기서 R은 구의 반지름이고, θ는 두 대원 사이의 이면각(라디안)이다. 호소헤드론은 구면 달꼴로 채워진 테셀레이션의 예시이며, 달의 위상 변화와 같이 천문학에서도 관찰된다. 또한, 구면 달꼴은 고차원 구에서도 정의될 수 있다.
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| 구면 달꼴 |
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2. 특성
대원은 구의 중심을 지나며 구면을 두 개의 동일한 반구로 나누는 가장 큰 원이다. 두 개의 대원은 항상 서로 반대되는 두 점에서 교차한다. 지구의 경도(자오선)는 북극과 남극에서 만나는 대원의 대표적인 예시이다.
구면 달꼴은 두 개의 대칭면을 가지며, 이를 통해 각을 나누는 두 개의 작은 달꼴로 이등분하거나, 적도선을 따라 두 개의 구면 직각삼각형으로 나눌 수 있다.
2. 1. 표면적
구면 달꼴의 표면적은 2θ''R''2이다. 이때, ''R''은 구의 반지름이고 θ는 두 개의 대원 절반 사이의 이면각을 라디안으로 나타낸 것이다.이 각이 2π 라디안(360°)일 때 — 예를 들어, 두 번째 대원의 반이 한 바퀴를 돌아서 사이의 달꼴이 구면을 덮어서 구면 일각형처럼 보일 때 — 이 구면 달꼴의 면적 공식은 4π''R''2로, 구의 표면적과 같이 나온다.
3. 예시
| n | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 호소헤드론 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 쌍각뿔 타일링 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| n | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 호소헤드라 | -- | -- | -- | -- | ... | |
| 쌍각뿔 타일링 | -- | -- | -- | -- | -- | ... |
4. 천문학
지구에서 볼 수 있는 달의 밝은 부분은 구면 달꼴이다. 교차하는 두 대원 중 첫 번째는 달의 밝은 부분과 어두운 부분의 명암 경계선이고, 두 번째는 지구에서 보이는 부분과 보이지 않는 부분을 나누는 경계선이다. 구면 달꼴은 지구에서 보았을 때 초승달 모양으로 보인다.
5. n구 달꼴
달꼴은 고차원 구에서도 정의될 수 있다.
4차원에서 3차원 구는 일반적인 구이다. 이것은 이면각이 θ와 φ인 정이각형 달꼴 {2}θ,φ를 포함할 수 있다.
예를 들어 정호소토프 {2,p,q}는 꼭짓점 도형이 구면 플라톤의 다면체 {p,q}인 이각형 면 {2}2π/p,2π/q을 가진다. 각 {p,q}의 꼭짓점은 호소토프의 모서리를 정의하고 인접한 두 모서리 쌍은 달꼴 면을 정의한다. 더 구체적으로, 정 호소토프 {2,4,3}은 꼭짓점이 2개, 정육면체 {4,3}의 180°호로 이루어진 모서리 8개, 달꼴 면 {2}π/4,π/3 12개, 그리고 호소헤드론 세포 {2,p}π/3 6개를 가진다.
참조
[1]
논문
Area of spherical triangles
[2]
웹사이트
Spherical Lune
[3]
웹사이트
Spherical Lune
[4]
웹사이트
Spherical Wedge
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