그래프 데카르트 곱

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1. 개요

그래프 데카르트 곱은 그래프의 족의 곱으로, 그래프를 범주로 간주할 때 재미있는 텐서 곱에 해당한다. 두 그래프의 데카르트 곱은 두 그래프의 꼭짓점들의 순서쌍을 꼭짓점으로 하고, 특정 조건을 만족하는 순서쌍들을 변으로 연결하여 구성된다. 그래프 데카르트 곱은 결합 법칙과 교환 법칙을 따르며, 두 그래프의 데카르트 곱의 채색수는 각 그래프의 채색수 중 최댓값과 같다. 또한, 연결 그래프는 데카르트 소 그래프들의 곱으로 유일하게 표현될 수 있으며, 대수적 그래프 이론을 통해 분석할 수 있다. 그래프 데카르트 곱은 1912년 화이트헤드와 러셀에 의해 처음 사용되었고, 자비두시에 의해 재발견되었다.

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그래프 데카르트 곱

2. 정의

그래프의 족 $(\Gamma_i)_{i\in I}$ 의 '''그래프 데카르트 곱'''은 각 그래프들의 꼭짓점 집합들의 데카르트 곱을 꼭짓점 집합으로 가지며, 특정한 조건을 만족하는 변들로 구성된 그래프이다. 두 그래프 $\Gamma$ , $\Gamma'$ 의 데카르트 곱은 $\Gamma\,\square\, \Gamma'$ 으로 표기한다.

2. 1. 기본 정의

그래프의 족

(\Gamma_i)_{i\in I}

의 '''그래프 데카르트 곱'''

\Gamma = {\prod\!\!\!\!\!\!\!\!}\!\coprod_{i\in I}  \Gamma_i

은 다음과 같은 그래프이다.

:

\mathsf V(\Gamma) = \prod_{i\in I}\mathsf V(\Gamma_i)

:

uv \in \mathsf E(\Gamma) \iff \exists i\in I \colon \left( u_iv_i \in \mathsf E(\Gamma_i) \land \forall j \in I \setminus\{i\} \colon u_i = v_j \right)

즉, 데카르트 곱

\Gamma

는 다음과 같은 그래프이다.

그 꼭짓점 $v \in \mathsf V(\Gamma)$ 은 각 성분 $\Gamma_i$ 의 꼭짓점들의 열 $(v_i)_{i\in I}$ , $v_i \in \mathsf V(\Gamma_i)$ 이다.
두 꼭짓점 $u,v \in \mathsf V(\Gamma)$ 이 변으로 연결되어 있을 필요충분조건은 어떤 성분 $i\in I$ 에 대하여, $u_i$ 와 $v_i$ 가 그래프 $\Gamma_i$ 에서 변으로 연결되며, 나머지 성분들이 모두 일치하는 것이다.

두 그래프

\Gamma

,

\Gamma'

의 데카르트 곱은

\Gamma\,\square\, \Gamma'

으로 표기한다.

2. 2. 다른 표현

그래프의 족

(\Gamma_i)_{i\in I}

의 '''그래프 데카르트 곱'''

\Gamma = {\prod\!\!\!\!\!\!\!\!}\!\coprod_{i\in I} \Gamma_i

은 다음과 같은 그래프이다.

:

\mathsf V(\Gamma) = \prod_{i\in I}\mathsf V(\Gamma_i)

:

uv \in \mathsf E(\Gamma) \iff \exists i\in I \colon \left( u_iv_i \in \mathsf E(\Gamma_i) \land \forall j \in I \setminus\{i\} \colon u_i = v_j \right)

즉, 데카르트 곱

\Gamma

는 다음과 같다.

꼭짓점 $v \in \mathsf V(\Gamma)$ 은 각 성분 $\Gamma_i$ 의 꼭짓점들의 열 $(v_i)_{i\in I}$ , $v_i \in \mathsf V(\Gamma_i)$ 이다.
두 꼭짓점 $u,v \in \mathsf V(\Gamma)$ 이 변으로 연결되어 있을 필요충분조건은 어떤 성분 $i\in I$ 에 대하여, $u_i$ 와 $v_i$ 가 그래프 $\Gamma_i$ 에서 변으로 연결되며, 나머지 성분들이 모두 일치하는 것이다.

두 그래프

\Gamma

,

\Gamma'

의 데카르트 곱은

\Gamma\,\square\, \Gamma'

으로 표기한다.

3. 성질

그래프 데카르트 곱은 여러 흥미로운 성질들을 가지고 있으며, 그 중 일부는 하위 섹션에서 자세히 다루어졌다.

결합 법칙 및 교환 법칙: 그래프 데카르트 곱은 결합 법칙과 교환 법칙을 만족한다. 즉, 그래프들의 순서를 바꾸거나 괄호를 묶는 방식을 달리해도 결과는 (그래프 동형 아래) 동일하다.
항등원: 한원소 그래프 $\mathsf K_1$ 는 데카르트 곱의 항등원 역할을 한다. 즉, 어떤 그래프와 $\mathsf K_1$ 의 데카르트 곱은 원래 그래프와 같다.
인수분해: 연결 그래프는 소인수 그래프들의 데카르트 곱으로 유일하게 인수분해될 수 있다.^[1] 그러나 연결되지 않은 그래프는 이러한 인수분해가 유일하지 않을 수 있다.
정점 이동성: 데카르트 곱이 정점 이동 그래프가 되기 위한 필요충분조건은 각 인수가 정점 이동 그래프인 것이다.^[2]
이분성: 데카르트 곱이 이분 그래프가 되기 위한 필요충분조건은 각 인수가 이분 그래프인 것이다.
단위 거리 그래프: 단위 거리 그래프의 데카르트 곱은 또 다른 단위 거리 그래프가 된다.^[3]
효율적인 인식: 데카르트 곱 그래프는 선형 시간 안에 효율적으로 인식될 수 있다.^[3]

다음 성질들은 하위 섹션에서 더 자세히 다루고 있다.

꼭짓점과 변의 개수 (하위 섹션 '꼭짓점과 변의 개수' 참조)
인접 행렬 (하위 섹션 '인접 행렬' 참조)
채색수 (하위 섹션 '채색수' 참조)
독립수 (하위 섹션 '독립수' 참조)
지배수 (하위 섹션 '지배수' 참조)
거리 (하위 섹션 '거리' 참조)
데카르트 곱 분해 (하위 섹션 '데카르트 곱 분해' 참조)

3. 1. 기본 성질

그래프 데카르트 곱은 (표준적 그래프 동형 아래) 결합 법칙과 교환 법칙을 따른다. 그래프 데카르트 곱의 항등원은 한원소 그래프

\mathsf K_1

이다.

두 그래프

\Gamma

,

\Gamma'

에 대하여 다음이 성립한다.^[1]

:

\left|\mathsf V\left( {\prod\!\!\!\!\!\!\!\!}\!\coprod_{i\in I}  \Gamma_i\right)\right| = \prod_{i\in I}|\mathsf V(\Gamma_i)|

:

\left|\mathsf E\left({\prod\!\!\!\!\!\!\!\!}\!\coprod_{i\in I}  \Gamma_i\right)\right| =\sum_{i\in I}|\mathsf E(\Gamma_i)|\prod_{j\in I\setminus\{i\}} |\mathsf V(\Gamma_j)|

(무한 그래프의 경우 이는 기수의 연산으로 해석한다.)

연결 그래프가 데카르트 곱이면 소인수, 즉 그래프 곱으로 분해될 수 없는 그래프의 곱으로 고유하게 인수분해될 수 있다. 그러나 Imrich & Klavžar (2000)는 소수 그래프의 데카르트 곱으로 두 가지 방식으로 표현될 수 있는 연결되지 않은 그래프를 설명한다.

:

(K_1 + K_2 + K_2^2) \mathbin{\square} (K_1 + K_2^3) = (K_1 + K_2^2 + K_2^4) \mathbin{\square} (K_1 + K_2),

여기서 더하기 기호는 분리 집합을 나타내고 위첨자는 데카르트 곱에 대한 지수를 나타낸다.

데카르트 곱은 각 인수가 정점 이동 그래프이기 위한 필요충분 조건이다.^[2]

데카르트 곱은 각 인수가 이분 그래프이기 위한 필요충분 조건이다. 더 일반적으로 데카르트 곱의 채색수는 다음 방정식을 만족한다.

:

\chi (G \mathbin{\square} H) = \max \{ \chi (G), \chi (H) \}.

3. 2. 꼭짓점과 변의 개수

두 그래프

\Gamma

,

\Gamma'

에 대하여 다음이 성립한다.^[1]

	식
꼭짓점의 개수	\left>\mathsf V\left( {\prod\!\!\!\!\!\!\!\!}\!\coprod_{i\in I} \Gamma_i\right)\right\| = \prod_{i\in I}\|\mathsf V(\Gamma_i)\|
변의 개수	\left>\mathsf E\left({\prod\!\!\!\!\!\!\!\!}\!\coprod_{i\in I} \Gamma_i\right)\right\| =

(무한 그래프의 경우 이는 기수의 연산으로 해석한다.)

3. 3. 인접 행렬

두 유한 그래프

\Gamma

와

\Gamma'

의 데카르트 곱의 인접 행렬은 다음과 같다.

:

\mathsf A_{\Gamma\,\square\Gamma'} = \mathsf A_\Gamma \otimes 1_{\mathsf V(\Gamma')} + 1_{\mathsf V(\Gamma)} \otimes \mathsf A_{\Gamma'}

여기서

\otimes

는 행렬의 크로네커 곱이다.

특히,

\Gamma\,\square\,\Gamma'

의 스펙트럼(인접 행렬의 고윳값의 중복집합)은

\Gamma

와

\Gamma'

의 스펙트럼의 합이다.

:

\operatorname{Spec}(\Gamma \,\square\,\Gamma') = \operatorname{Spec}(\Gamma) + \operatorname{Spec}(\Gamma') = \{\lambda + \lambda' \colon \lambda \in \operatorname{Spec}\Gamma,\;\lambda' \in \operatorname{Spec}\Gamma'\}

3. 4. 채색수

유한한 채색수를 가진, 하나 이상의 꼭짓점을 갖는 두 그래프

\Gamma

,

\Gamma'

(유한 또는 무한)의 데카르트 곱의 채색수는 각 그래프의 채색수 가운데 최댓값이다. (두 그래프 가운데 하나가 꼭짓점을 갖지 않는다면 그 데카르트 곱의 채색수는 자명하게 0이다.)

:

\chi(\Gamma\,\square\,\Gamma') =\begin{cases}\max\{\chi(\Gamma),\chi(\Gamma')\} & (\Gamma \ne \varnothing \ne \Gamma')\\0 & (\varnothing \in \{\Gamma,\Gamma'\})\end{cases}

'''증명:'''

\Gamma

또는

\Gamma'

가운데 적어도 하나가 꼭짓점을 갖지 않는 경우는 자명하다. 따라서 둘 다 공그래프가 아니라고 가정하자.

편의상

:

N = \max\{\chi(\Gamma),\chi(\Gamma')\}

으로 표기하자. 채색

:

c \colon \mathsf V(\Gamma) \to \mathbb Z/(N)

:

c' \colon \mathsf V(\Gamma') \to \mathbb Z/(N)

이 주어졌을 때,

:

C \colon \mathsf V(\Gamma\,\square\,\Gamma') \to \mathbb Z/(N)

:

C \colon (v,v') \mapsto c(v) + c'(v')

는

\Gamma\,\square\,\Gamma

위의 채색을 이룬다. 따라서

:

\chi(\Gamma\,\square\,\Gamma') \le N

이다. 그러나

\Gamma

와

\Gamma'

은 둘 다

\Gamma\,\square\,\Gamma'

의 부분 그래프이다. 따라서

:

\chi(\Gamma\,\square\,\Gamma') \ge N

이다.

특히, 두 그래프의 데카르트 곱이 이분 그래프일 필요충분조건은 다음과 같다.

둘 다 이분 그래프이거나, 또는 둘 가운데 하나가 $\varnothing$ 이다.

더 일반적으로 데카르트 곱의 채색수는 다음 방정식을 만족한다.

:

\chi (G \mathbin{\square} H) = \max \{ \chi (G), \chi (H) \}.

^[2]

Hedetniemi 추측은 그래프의 텐서 곱에 대한 관련 등식을 나타낸다.

3. 5. 독립수

가 보여준 것처럼 데카르트 곱의 독립수는 다음 부등식을 만족한다.

:

\alpha (G) \alpha (H) + \min \{ |V(G)| -\alpha (G), |V(H)| - \alpha (H) \} \le \alpha (G \mathbin{\square} H) \le \min \{ \alpha (G) |V(H)|, \alpha (H) |V(G)| \}.

Vizing 추측은 데카르트 곱의 지배수가 다음 부등식을 만족한다고 명시한다.

:

\gamma (G \mathbin{\square} H) \ge \gamma (G) \gamma (H).

3. 6. 지배수

Vizing 추측은 데카르트 곱의 지배수가 다음 부등식을 만족한다고 명시한다.^[1]

:

\gamma (G \mathbin{\square} H) \ge \gamma (G) \gamma (H).

3. 7. 거리

단위 거리 그래프의 데카르트 곱은 또 다른 단위 거리 그래프이다.^[3]

3. 8. 데카르트 곱 분해

한원소 그래프

\mathsf K_1

이 아닌 두 그래프의 데카르트 곱으로 표현될 수 없는 그래프를 '''데카르트 소 그래프'''(Cartesian-prime graph^영어)라고 한다.

모든 연결 유한 그래프는 소 그래프들의 데카르트 곱으로 표현될 수 있으며, 이러한 표현은 (순서를 무시하면) 유일하다.^[1] 그러나 연결 그래프가 아닌 그래프의 경우 이러한 표현은 일반적으로 유일하지 않다.

연결 그래프는 소인수, 즉 그래프 곱으로 분해될 수 없는 그래프의 곱으로 고유하게 인수분해될 수 있다.^[1]

4. 예시

두 변의 데카르트 곱은 네 개의 꼭짓점을 가진 사이클이다.
K₂와 경로 그래프의 데카르트 곱은 사다리 그래프이다.
두 경로 그래프의 데카르트 곱은 그리드 그래프이다.
''n''개 변의 데카르트 곱은 하이퍼큐브이다.
두 하이퍼큐브 그래프의 데카르트 곱은 또 다른 하이퍼큐브이다.
두 중앙값 그래프의 데카르트 곱은 또 다른 중앙값 그래프이다.
n-각기둥의 꼭짓점과 변으로 이루어진 그래프는 K₂와 C_n의 데카르트 곱 그래프이다.
룩 그래프는 두 완전 그래프의 데카르트 곱이다.

4. 1. 기본 그래프

K_i^영어는 완전 그래프이며, 는 무변 그래프이며, C_i^영어는 순환 그래프이며, P_i^영어는 경로 그래프이다. Γ^영어는 임의의 그래프이다.

K₁ □ Γ = Γ^영어
K₂ □ K₂ = C₄^영어
K₂ □ C₄ = ^영어 정육면체 그래프
_j = _ij}}

두 변의 데카르트 곱은 네 개의 꼭짓점을 가진 사이클이다: K₂□K₂ = C₄^영어.
K₂^영어와 경로 그래프의 데카르트 곱은 사다리 그래프이다.
두 경로 그래프의 데카르트 곱은 그리드 그래프이다.
''n''개의 변의 데카르트 곱은 하이퍼큐브이다:
(K₂)^□n = Q_n.^영어
두 하이퍼큐브 그래프의 데카르트 곱은 또 다른 하이퍼큐브이다: Q_i□Q_j = Q_i+j^영어.
두 중앙값 그래프의 데카르트 곱은 또 다른 중앙값 그래프이다.
n-각기둥의 꼭짓점과 변으로 이루어진 그래프는 데카르트 곱 그래프 K₂□C_n^영어이다.
룩 그래프는 두 완전 그래프의 데카르트 곱이다.

4. 2. 특수 그래프

\mathsf K_i

는 완전 그래프,

\bar{\mathsf K}_i

는 무변 그래프,

\mathsf C_i

는 순환 그래프,

\mathsf P_i

는 경로 그래프를 나타내며,

\Gamma

는 임의의 그래프를 나타낸다. 작은 그래프의 데카르트 곱에 대해 다음이 성립한다.

$\mathsf K_1 \, \square\, \Gamma = \Gamma$
$\mathsf K_2 \,\square\, \mathsf K_2 = \mathsf C_4$
$\mathsf K_2 \, \square\, \mathsf C_4 =$ 정육면체 그래프
$\bar{\mathsf K}_i \,\square\,\bar{\mathsf K}_j = \bar{\mathsf K}_{ij}$
$\bar{\mathsf K}_i \,\square\, \Gamma = \Gamma^{\sqcup i}$

두 변의 데카르트 곱은 네 개의 꼭짓점을 가진 사이클이다: K₂□K₂ = C₄.
K₂와 경로 그래프의 데카르트 곱은 사다리 그래프이다.
두 경로 그래프의 데카르트 곱은 그리드 그래프이다.
''n''개의 변의 데카르트 곱은 하이퍼큐브이다.
$(K_2)^{\square n} = Q_n.$
따라서, 두 하이퍼큐브 그래프의 데카르트 곱은 또 다른 하이퍼큐브이다: Q_i□Q_j = Q_i+j.
두 중앙값 그래프의 데카르트 곱은 또 다른 중앙값 그래프이다.
n-각기둥의 꼭짓점과 변으로 이루어진 그래프는 데카르트 곱 그래프 K₂□C_n이다.
룩 그래프는 두 완전 그래프의 데카르트 곱이다.

5. 대수적 그래프 이론

대수적 그래프 이론은 그래프 데카르트 곱을 분석하는 데 사용될 수 있다. 그래프 $G_1$ 이 $n_1$ 개의 정점을 가지고 $n_1\times n_1$ 인접 행렬 $\mathbf A_1$ 을 가지며, 그래프 $G_2$ 가 $n_2$ 개의 정점을 가지고 $n_2\times n_2$ 인접 행렬 $\mathbf A_2$ 를 가진다면, 두 그래프의 데카르트 곱의 인접 행렬은 인자들의 인접 행렬의 크로네커 합으로 주어진다.

5. 1. 인접 행렬 표현

두 유한 그래프

\Gamma

,

\Gamma'

의 데카르트 곱의 인접 행렬은 다음과 같다.

:

\mathsf A_{\Gamma\,\square\Gamma'} = \mathsf A_\Gamma \otimes 1_{\mathsf V(\Gamma')} + 1_{\mathsf V(\Gamma)} \otimes \mathsf A_{\Gamma'}

여기서

\otimes

는 행렬의 크로네커 곱이다.

특히,

\Gamma\,\square\,\Gamma'

의 스펙트럼(인접 행렬의 고윳값의 중복집합)은

\Gamma

와

\Gamma'

의 스펙트럼의 합이다.

:

\operatorname{Spec}(\Gamma \,\square\,\Gamma') = \operatorname{Spec}(\Gamma) + \operatorname{Spec}(\Gamma') = \{\lambda + \lambda' \colon \lambda \in \operatorname{Spec}\Gamma,\;\lambda' \in \operatorname{Spec}\Gamma'\}

대수적 그래프 이론은 그래프의 데카르트 곱을 분석하는 데 사용될 수 있다.

그래프

G_1

이

n_1

개의 정점과

n_1\times n_1

인접 행렬

\mathbf A_1

을 가지고, 그래프

G_2

가

n_2

개의 정점과

n_2\times n_2

인접 행렬

\mathbf A_2

를 가진다면, 두 그래프의 데카르트 곱의 인접 행렬은 다음과 같이 주어진다.

:

\mathbf A_{1\mathbin{\square} 2} = \mathbf A_1 \otimes \mathbf I_{n_2} + \mathbf I_{n_1} \otimes \mathbf A_2

,

여기서

\otimes

는 행렬의 크로네커 곱을 나타내고

\mathbf I_n

은

n\times n

항등 행렬을 나타낸다. 따라서 데카르트 곱의 인접 행렬은 인자들의 인접 행렬의 크로네커 합이다.

6. 범주론

그래프를 범주로 생각하면, 꼭짓점은 대상이 되고 변은 그래프의 경로가 된다. 이 경우 그래프 데카르트 곱은 범주의 [https://ncatlab.org/nlab/show/funny+tensor+product 재미있는 텐서 곱]에 해당한다. 그래프 데카르트 곱은 그래프와 그래프 준동형 사상의 범주를 대칭 닫힌 모노이드 범주로 만드는 두 가지 그래프 곱 가운데 하나이며, 다른 하나는 그래프의 텐서 곱이다. 데카르트 곱 $G$ 와 $H$ 의 내부 호환 $[G, H]$ 은 $G$ 에서 $H$ 로의 그래프 준동형 사상을 꼭짓점으로 가지고, 그 사이의 "[https://ncatlab.org/nlab/show/unnatural+transformation 부자연스러운 변환]"을 변으로 갖는다.

6. 1. 그래프 범주

그래프를 범주로 간주하면 객체는 정점이고 사상은 그래프의 경로이며, 그래프의 데카르트 곱은 범주의 [https://ncatlab.org/nlab/show/funny+tensor+product 재미있는 텐서 곱]에 해당한다. 그래프의 데카르트 곱은 그래프와 그래프 준동형 사상의 범주를 (단순히 대칭 모노이드가 아닌) 대칭 닫힌 모노이드 범주로 만드는 두 가지 그래프 곱 중 하나이며, 다른 하나는 그래프의 텐서 곱이다. 데카르트 곱

G

와

H

의 내부 호환

[G, H]

은

G

에서

H

로의 그래프 준동형 사상을 정점으로 가지고, 그 사이의 "[https://ncatlab.org/nlab/show/unnatural+transformation 부자연스러운 변환]"을 변으로 갖는다.

6. 2. 닫힌 모노이드 범주

그래프를 범주로 간주하면 객체는 정점이고 사상은 그래프의 경로이며, 그래프의 데카르트 곱은 범주의 [https://ncatlab.org/nlab/show/funny+tensor+product 재미있는 텐서 곱]에 해당한다. 그래프의 데카르트 곱은 그래프와 그래프 준동형 사상의 범주를 (단순히 대칭 모노이드가 아닌) 대칭 닫힌 모노이드 범주로 만드는 두 가지 그래프 곱 중 하나이며, 다른 하나는 그래프의 텐서 곱이다. 데카르트 곱

G

와

H

의 내부 호환

[G, H]

은

G

에서

H

로의 그래프 준동형 사상을 정점으로 가지고, 그 사이의 "[https://ncatlab.org/nlab/show/unnatural+transformation 부자연스러운 변환]"을 변으로 갖는다.

7. 역사

그래프 데카르트 곱은 1912년에 알프레드 노스 화이트헤드와 버트런드 러셀이 《수학 원리》 2권에서 최초로 사용하였다.^[4] 이후 게르트 자비두시(Gert Sabidussi|게르트 자비두시^de, 1929~)가 1960년에 이 연산을 재발견하였다.^[5]

참조

_[1] 학술 1960
_[2] 학술 2000
_[3] 학술 2007
_[4] 서적 Principia Mathematica. Volume 2 1912
_[5] 저널 Graph multiplication 1960

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