수학 원리

3. 구성

《수학 원리》는 집합론, 기수, 순서수 및 실수 체계의 구성까지 다루었다. 실수 해석학의 더 깊은 내용은 포함되지 않았으나, 이 책에서 제시된 형식 체계를 통해 알려진 수학의 상당 부분을 원리적으로 전개할 수 있다는 가능성을 보여주었다. 기하학을 다룰 예정이었던 제4권은 저자들의 정신적 소진으로 인해 완성되지 못하고 미간으로 남았다.

3. 1. 1권

• 제1부: 수리 논리 (Mathematical logic^영어): 장 *1부터 *43까지 해당하며, 명제 논리, 술어 논리, 집합론, 이항 관계, 유형 이론의 기초를 다룬다.
• 제2부: 기수 산술의 전제 개념 (Prolegomena to cardinal arithmetic^영어): 장 *50부터 *97까지 해당하며, 기수 산술에 필요한 이항 관계, 전순서, 정렬 순서 등의 개념을 준비한다.

3. 1. 1. 제1부: 수리 논리

• '''변수'''
• '''다양한 문자의 사용'''
• '''명제의 기본 함수''': '부정'(~)과 '논리합'(∨)을 기본으로 삼고, '논리곱'(.)과 '함의'(⊃)를 다음과 같이 정의한다.
• * ''p'' ⊃ ''q'' '''= '''~''p'' ∨ ''q'' '''Df.''' (''PM'' 1962:11)
• * ''p'' '.' ''q'' '''= '''~(~''p'' ∨ ~''q'') '''Df.''' (''PM'' 1962:12)
• '''동치''': 산술적 동치가 아닌 논리적 동치(≡)를 의미하며, 다음과 같이 정의된다.
• * ''p'' ≡ ''q'' '''= '''(''p'' ⊃ ''q'') '.' (''q'' ⊃ ''p'') '''Df.''' (''PM'' 1962:12)
• '''진리값''': 명제가 참이면 '진실', 거짓이면 '거짓'이라는 값을 가진다. 이 문구는 고틀로프 프레게의 것이다(''PM'' 1962:7).
• '''주장 기호'''(⊦): '⊦''.''' ''p''는 'p가 참이다'라는 주장을 나타낸다(''PM'' 1962:92).
• '''추론''': ''PM''의 추론 규칙은 현대의 전건 긍정과 유사하다. 만약 '⊦''.''' ''p''' 와 '⊦ (''p'' ⊃ ''q'')'가 있다면, '⊦''.''' ''q'''를 도출할 수 있다. 추론 과정 자체는 기호로 표현되지 않는다(''PM'' 1962:9).
• '''점의 사용''': 구두점과 유사하게 논리적 구문을 명확히 하는 데 사용된다.
• '''정의''': 새로운 기호나 개념을 도입할 때 '=' 기호와 함께 'Df.'를 사용한다.

• (1) 기초 명제
• (2) 함수의 기초 명제
• (3) 주장: '참'과 '거짓' 개념 도입.
• (4) 명제 함수의 주장
• (5) 부정(~''p''): 'p는 거짓이다'.
• (6) 선언(''p'' ∨ ''q''): 'p가 참이거나 q가 참이다' (포함적 논리합).

• '''논리 체계''': ''PM''의 명제 논리 및 술어 논리 체계는 표기법과 용어의 차이를 제외하면 현재 사용되는 것과 본질적으로 동일하다.
• '''유형 이론''': ''PM''과 현대 집합론의 가장 큰 차이점 중 하나는 유형 이론의 존재이다. ''PM''에서는 모든 대상이 상호 배타적인 여러 '유형' 중 하나에 속한다. 예를 들어, 각 유형마다 고유한 서수, 기수, 실수 등이 존재한다. 이로 인해 서로 다른 유형 간의 관계를 설명하기 위한 복잡한 정리들이 필요하게 된다. 반면 ZFC에는 이러한 유형 구분이 없다.
• '''함수''': ZFC에서 함수는 보통 순서쌍의 집합으로 정의되지만, ''PM''에서는 '명제 함수', 즉 참/거짓 값을 갖는 것으로 다루어진다. 또한 ''PM''에서는 같은 값을 반환하더라도 정의 방식이 다르면 다른 함수로 간주될 수 있다(예: 2''x''+2 와 2(''x''+1)). ZFC에서 순서쌍 집합으로 정의되는 함수는 ''PM''의 '행렬'에 해당하며, ''PM''은 양화를 사용하여 정의된 함수와 그렇지 않은 함수를 구분하지만 ZFC는 그렇지 않다.
• '''관계''': ''PM''은 관계를 기본적인 개념으로 강조하는 반면, 현대 수학(특히 범주론)에서는 함수(사상)를 더 근본적인 것으로 취급한다. (단, 관계를 모델링하는 알레고리라는 범주론적 구조는 ''PM''의 유형 체계와 유사점을 보인다.)
• '''기타''': ''PM''에는 치환 공리와 유사한 공리가 없어 특정 큰 기수의 존재를 증명할 수 없다는 한계가 있다.

3. 1. 2. 제2부: 기수 산술의 전제 개념

3. 2. 2권

3. 2. 1. 제3부: 기수 산술

3. 2. 2. 제4부: 관계 산술

3. 3. 2·3권

• 제3부: 기수 산술 (Cardinal arithmetic^영어): 기수를 같은 크기를 가진 집합들의 동치류로 정의하고, 기수 간의 덧셈, 곱셈 등 연산을 다룬다. (*100 ~ *126)
• 제4부: 관계 산술 (Relation-arithmetic^영어): 순서수를 정렬 집합들의 동치류로 정의하고, 순서수 간의 연산을 다룬다. (*150 ~ *186)

• 제6부: 양 (Quantity^영어): 앞서 정의된 개념들을 바탕으로 정수환 $\backslash mathbb\; Z$, 유리수체 $\backslash mathbb\; Q$, 실수체 $\backslash mathbb\; R$를 단계적으로 구성한다. (*300 ~ *375) 이를 통해 수 체계의 논리적 기초를 확립하고자 했다.

3. 3. 1. 제5부: 급수

• 완비 계열(complete series)
• 순서 위상에 따른 계열 간의 연속 함수 (《수학 원리》에서는 현대적인 '연속 함수'라는 용어를 직접 사용하지는 않았다.)
• 정렬된 계열(well-ordered series)
• 틈이 없는 계열(series without gaps): 임의의 두 원소 사이에 반드시 다른 원소가 존재하는 조밀한 순서를 가진 집합을 의미한다.

3. 4. 3권

3. 4. 1. 제6부: 양

4. 이론적 기초

《수학 원리》(Principia Mathematica^eng, 이하 ''PM'')는 버트런드 러셀과 앨프리드 노스 화이트헤드가 고틀로프 프레게, 주세페 페아노 등 선구적인 수학자 및 논리학자들의 업적을 계승하여 저술한 책이다. 이들은 수학의 기본 원리가 소수의 공리 체계로 환원될 수 있으며, 이 공리들이 본질적으로 논리학의 원리와 동일하다는 논리주의 입장을 견지했다. ''PM''은 이러한 관점에서 기호 논리학을 체계적으로 도입하고 확립하여, 이를 바탕으로 전체 수학 체계를 재구성하고자 시도했다.

''PM''은 기존 논리학과 달리 모호함이 내포된 일상 언어 대신 순수한 기호 논리학을 사용하여 모든 명제에 형식적인 증명을 제공하려 했다. 이는 언어의 명확화를 통해 철학적 문제를 해결하려는 논리실증주의 철학에 영향을 주었으며, 특히 러셀의 철학 전반에 기초가 되고 있다. "논리학은 수학의 청년기이며 수학은 논리학이 성인이 된 것"이라는 표현은 수학과 논리학을 동일시하는 논리주의의 핵심 주장을 잘 보여준다. 이러한 논리주의는 형식주의, 직관주의와 함께 20세기 초 수학 기초론의 주요 흐름을 형성했다.

''PM''은 주로 집합론, 기수, 서수, 실수의 기초를 다루었다. 비록 실해석학의 깊이 있는 정리들까지 포함하지는 못했지만, 3권까지의 작업을 통해 당시 알려진 상당 부분의 수학이 ''PM''의 형식 체계 안에서 원칙적으로 전개될 수 있음을 보여주었다. 그러나 동시에 그러한 전개가 매우 방대하고 복잡할 것이라는 점도 명확해졌다. 저자들은 3권 완성 후 지적 고갈을 이유로 당초 계획했던 기하학 기초에 관한 4권의 집필을 포기했다.

''PM''의 이론적 기초는 "진리값" 개념이나 "주장 기호"(⊢) 등을 도입하여 특정 해석을 내포한다는 점에서, 기호의 형식적 조작에 집중하는 현대의 형식주의 이론과는 차이가 있다. 또한, 형식적 엄밀성 부족이나 논란이 많은 '환원 공리' 도입 등으로 인해 이후 쿠르트 괴델과 루트비히 비트겐슈타인 등으로부터 비판을 받기도 했다.^[24] ''PM'' 제2판에서는 일부 수정이 이루어졌으나 근본적인 한계는 여전했다.

4. 1. 현대 형식 이론과의 비교

4. 2. 원시 개념 및 명제

• 기초 명제: 이론의 근간을 이루는 기본적인 참인 명제.
• 함수의 기초 명제: 함수에 적용되는 기초적인 명제.
• 주장: 어떤 명제가 참임을 나타내는 행위나 개념. 이를 통해 "진리"와 "거짓" 개념이 도입된다.
• 명제 함수의 주장: 변수를 포함하는 명제 함수가 특정 값에 대해 참임을 주장하는 것.
• 부정: 명제 ''p''에 대해 'p가 아니다' 또는 'p는 거짓이다'를 의미하며, "~''p''"로 표기한다.
• 선언: 두 명제 ''p'', ''q''에 대해 'p 또는 q' (즉, 'p가 참이거나 q가 참이다')를 의미하며, "p ∨ q"로 표기한다. 여기서 '또는'은 둘 중 하나 이상이 참인 경우를 포함한다 (포함적 논리합).

4. 3. 분기된 유형 이론과 환원 공리

5. 표기법

《수학 원리》(Principia Mathematica, 이하 PM)는 논리학의 명제들을 표현하기 위해 독자적인 표기법 체계를 사용한다. 이 표기법은 주로 주세페 페아노의 표기법에 기반하며, 프레게의 영향을 일부 받았고, 화이트헤드가 고안한 여러 기호들이 추가되었다.^[13][14][16] PM의 표기법은 현대 논리학 표기법과 차이가 있어 다소 복잡하게 느껴질 수 있다.^[2]

PM은 명제의 참과 거짓 개념을 바탕으로 논리 체계를 구축하며, 다음과 같은 주요 기호들을 사용한다.

• 주장 기호(Assertion sign): 프레게로부터 가져온 "⊦" 기호는 해당 명제가 참임을 주장할 때 사용된다. 예를 들어 "⊦'''.''' ''p''"는 명제 ''p''가 참임을 나타낸다.^[15]
• 정의 기호(Definition sign): "='''.''' ... '''Df'''." 형식은 기호나 표현을 정의할 때 사용된다. 예를 들어, 논리곱은 '''✱3.01'''. ''p'' '''.''' ''q'' '''.'''='''.''' ~(~''p'' ∨ ~''q'') '''Df'''. 와 같이 정의된다.
• 점(Dot): 괄호 대신 점(.), 이중점(:), 삼중점 등 다양한 점 표기법을 사용하여 논리 기호의 적용 범위와 우선순위를 나타낸다. 점은 논리곱(AND)을 나타내기도 한다. 이 점 시스템은 PM 표기법의 독특한 특징이지만, 해석 규칙이 복잡하여^[17] 현대 표기법과의 차이점을 이해하는 것이 중요하다. 자세한 내용은 #현대 표기법과의 비교 섹션에서 다룬다.
• 논리 기호:
• 함의(Implication): 페아노의 'Ɔ'를 변형한 '⊃' 기호를 사용한다. "''p'' ⊃ ''q''"는 '만약 ''p''이면 ''q''이다'를 의미하며, 이는 "~''p'' ∨ ''q''"와 동일하게 정의된다 ('''✱1.01''').
• 부정(Negation): '~' 기호를 사용한다. "~''p''"는 'p가 아니다' 또는 'p는 거짓이다'를 의미한다.
• 논리합(Logical sum, OR): '∨' 기호를 사용한다. "''p'' ∨ ''q''"는 'p 또는 q이다' (둘 중 적어도 하나는 참이다)를 의미한다.
• 논리곱(Logical product, AND): 점(.) 기호를 사용하거나, '''✱3.01'''에서 정의된 대로 "~(~''p'' ∨ ~''q'')"와 동치로 사용된다.
• 동치(Equivalence): '≡' 기호를 사용한다. "''p'' ≡ ''q''"는 'p와 q는 논리적으로 동치이다' (p일 때 그리고 오직 그 때만 q이다)를 의미한다.
• 양화사(Quantifiers):
• 존재 기호(Existential quantifier): '(∃''x'')' 또는 '(∃α)' 형태로 사용되어 '...인 ''x''가 존재한다' 또는 '...인 집합 α가 존재한다'를 나타낸다. 예를 들어 "(∃x). φx"는 'φx를 만족하는 x가 적어도 하나 존재한다'는 의미이다.
• 전칭 기호(Universal quantifier): '(''x'')' 또는 '(α)' 형태로 사용되어 '모든 ''x''에 대하여...' 또는 '모든 집합 α에 대하여...'를 나타낸다. 예를 들어 "(x)φx"는 '모든 x에 대하여 φx이다'를 의미한다. 현대 논리학의 '∀' 기호에 해당한다.
• 동일성(Identity): '=' 기호는 '''✱13''' 이후부터 수학적 동일성을 나타내는 데 사용된다.
• 집합 및 관계 관련 기호:
• 원소(Element of): 'ε' 기호는 집합의 원소임을 나타낸다. "''x'' ε α"는 'x는 집합 α의 원소이다'를 의미한다. (''PM'' 1962:188)
• 부분집합(Subset of): '⊂' 기호는 부분집합 관계를 나타낸다. ('''✱22.01''')
• 교집합(Intersection): '∩' 기호는 집합의 교집합을 나타낸다. ('''✱22.02''')
• 합집합(Union): '∪' 기호는 집합의 합집합을 나타낸다. ('''✱22.03''')
• 여집합(Complement): '–' 기호는 집합의 부정을 나타낸다. "–α"는 집합 α의 여집합을 의미한다. ('''✱22.03''')
• 공집합(Null class): 'Λ' 기호는 아무 원소도 없는 집합을 나타낸다.
• 전체집합(Universal class): 'V' 기호는 논의의 대상이 되는 모든 원소를 포함하는 전체 집합을 나타낸다.
• 집합 기술(Class description): "''ẑ''(φ''z'')"는 'φz를 만족하는 모든 z들의 집합'을 나타내는 독특한 표기법이다. (''PM'' 1962:25, 188)
• 관계(Relation): "''x''R''y''"는 'x가 y와 관계 R을 맺고 있다'를 의미한다. 관계에 적용될 때 ⊂, ∩, ∪, – 기호는 위에 점을 찍어 '∍', '∸' 등으로 표기한다.^[22]

5. 1. 현대 표기법과의 비교

6. 무모순성과 완전성

''수학 원리''는 집합론, 기수, 서수, 실수 등을 다루었으나, 실해석학의 깊이 있는 정리까지는 포함하지 못했다. 3권까지 완성된 시점에서, 저자들은 알려진 수학의 상당 부분을 형식주의 내에서 원칙적으로 전개할 수 있음을 확인했지만, 동시에 그 과정이 매우 방대할 것이라는 점도 명확해졌다. 기하학 기초를 다루려던 4권은 저자들의 지적 소진으로 계획에 그쳤다.

이로 인해 ''수학 원리'' 체계에 대한 두 가지 중요한 질문이 제기되었다. 첫째는 ''수학 원리''의 공리로부터 모순이 도출될 수 있는지 여부(무모순성 문제)이고, 둘째는 ''수학 원리'' 체계 내에서 증명도 반증도 할 수 없는 수학적 명제가 존재하는지 여부(완전성 문제)였다.

명제 논리 자체는 무모순성과 완전성이 증명되었지만, ''수학 원리''의 기반이 되는 집합론 공리에 대해서는 이 문제들이 해결되지 않은 상태였다. (힐베르트의 제2문제 참고)

이 문제들에 예상치 못한 해답을 제시한 것은 괴델의 괴델의 불완전성 정리였다.
괴델의 제1 불완전성 정리는 ''수학 원리''와 같이 충분히 강력한 논리 체계는 무모순적이면서 동시에 완전할 수는 없다는 것을 증명했다. 이 정리에 따르면, 이러한 체계에는 본질적으로 "이 명제는 증명 불가능하다"와 같은 의미를 갖는 명제 G가 항상 존재한다. 만약 G가 증명 가능하다면 그 내용은 거짓이 되므로 체계는 모순적이다. 반대로 G가 증명 불가능하다면 그 내용은 참이 되므로 체계는 불완전하다.
괴델의 제2 불완전성 정리는 기본적인 산술을 포함하는 어떤 형식 체계도 그 체계 자체를 이용해서는 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다는 것을 밝혔다.

따라서 "''수학 원리''의 체계는 무모순적이다"라는 명제는, 만약 ''수학 원리'' 체계 내에 정말로 모순이 없다면, 그 체계 안에서는 증명될 수 없다는 결론에 이르게 된다. 즉, ''수학 원리''를 통해 수학 전체의 무모순성과 완전성을 확립하려던 초기 목표는 근본적인 한계에 부딪히게 되었다.

7. 비판

루트비히 비트겐슈타인은 그의 저서 논리-철학 논고와 1939년 케임브리지 강의 등에서 《수학 원리》를 여러 이유로 비판했다.

• 일상적 산술과의 관계: 《수학 원리》는 산술의 근본적인 기초를 밝히는 것을 목표로 했지만, 비트겐슈타인은 '세는 행위'와 같은 우리의 일상적인 산술 관행이야말로 진정으로 근본적인 것이라고 주장했다. 만약 《수학 원리》의 계산 방식과 일상적인 계산 결과 사이에 지속적인 불일치가 발생한다면, 사람들은 일상적인 계산 방식이 틀렸다고 생각하기보다는 《수학 원리》가 숫자의 개념이나 덧셈 등을 제대로 설명하지 못했다고 판단할 것이라는 점을 지적했다. 즉, 《수학 원리》의 정당성이 오히려 일상적인 산술 관행에 의해 검증받아야 한다는 것이다.
• 실용적 계산의 한계: 《수학 원리》에서 제시된 계산 방법은 이론적으로는 의미가 있을지 몰라도, 실제로는 매우 작은 숫자에만 적용할 수 있을 뿐이었다. 예를 들어 수십억 단위의 큰 숫자를 《수학 원리》의 방식으로 계산하려면 공식이 너무 길고 복잡해져 현실적으로 불가능하다. 결국 큰 숫자를 계산하기 위해서는 더 간편한 방법, 즉 일상적으로 사용하는 계산 기술이나 수학적 귀납법과 같은 방법에 의존할 수밖에 없다. 따라서 《수학 원리》가 산술의 기초를 제공하기보다는 오히려 일상적인 산술 기술에 의존하고 있다는 것이 비트겐슈타인의 비판 요지였다.

8. 영향 및 유산

《수학 원리》는 고틀로프 프레게, 주세페 페아노 등 선구적인 수학자 및 논리학자들의 업적을 계승하여, 수학의 기본 원리가 소수의 공리 체계, 즉 논리학의 원리로 환원될 수 있다는 논리주의의 입장을 강력하게 제시하였다. 이를 위해 러셀과 화이트헤드는 이 책에서 기호 논리학을 도입하고 체계화하여 수학 전체를 재구성하고자 시도했다. 《수학 원리》는 기존 논리학과 달리 모호할 수 있는 일상 언어 대신 순수한 기호 논리학만을 사용하여 모든 명제에 대해 형식적인 증명을 제공하려 했다는 점에서 혁신적이었다. 이러한 접근 방식은 언어의 명확성을 통해 철학적 문제를 해결하려는 논리실증주의 철학에 이상적인 언어 모델을 제시하며 그 발전에 결정적인 영향을 미쳤다. 특히 러셀의 경우, 이 논리학 연구를 통해 얻은 방법론과 사고방식은 그의 철학 전반의 기초를 이루게 되었다.

앤드루 D. 어바인은 《수학 원리》가 기호 논리학에 대한 학계의 관심을 불러일으키고 이를 대중화함으로써 학문 발전에 크게 기여했다고 평가했다. 그는 이 책이 기호 논리학의 강력한 힘과 가능성을 보여주었으며, 수학 철학과 기호 논리의 발전이 얼마나 큰 성과를 거둘 수 있는지를 입증했다고 설명했다.^[2] "논리학은 수학의 청년기이며 수학은 논리학이 성인이 된 것"이라는 유명한 구절처럼, 수학과 논리학을 동일시하는 논리주의는 《수학 원리》를 통해 확고한 입지를 다졌으며, 형식주의, 직관주의와 함께 수학의 기초에 대한 중요한 철학적 관점 중 하나로 자리 잡았다.

비록 《수학 원리》가 제시한 체계에 결함이 있다는 사실이 이후 밝혀졌지만, 이 저작은 괴델의 괴델의 불완전성 정리를 포함한 메타논리학 분야의 여러 후속 연구와 발전에 중요한 영향을 미쳤다.

《수학 원리》는 모던 라이브러리가 선정한 '20세기 최고의 영어 논픽션 도서 100선'에서 23위에 오를 만큼^[3] 역사적으로 중요한 저작으로 인정받는다. 수학자들은 여전히 이 책의 텍스트나 저자들을 이해하기 위한 역사적 연구 또는 수학과 논리의 형식화에 대한 통찰력을 얻기 위해 《수학 원리》를 연구하고 있으며, 학문적, 역사적, 철학적 관심은 꾸준히 이어지고 있다.

그러나 《수학 원리》에서 사용된 독자적인 논리적 표기법은 이후 학계에서 널리 채택되지는 못했는데, 이는 그 기초 이론이 체르멜로-프렝켈 집합론과 같은 다른 집합론 체계에 비해 덜 선호되었기 때문이라는 분석이 있다. 또한 내용적으로도 《수학 원리》는 주로 집합론, 기수, 서수, 실수 등 기본적인 개념만을 다루었으며, 실수 해석학의 더 깊이 있는 정리들은 포함하지 못했다. 제3권의 마지막 부분에서는 알려진 수많은 수학 이론들이 이 형식주의 안에서 원리적으로 전개될 수 있다는 점이 명확해졌지만, 동시에 그러한 작업이 현실적으로 얼마나 방대하고 어려울지도 분명해졌다. 원래 기하학을 다루는 제4권도 계획되었으나, 제3권을 완성한 후 저자들이 정신적으로 크게 지쳤음을 인정하며 결국 출판되지 못하는 한계를 남겼다.

참조

_[1] 서적 Principia Mathematica https://archive.org/[...] Cambridge University Press
_[2] 웹사이트 Principia Mathematica (Stanford Encyclopedia of Philosophy) http://plato.stanfor[...] Metaphysics Research Lab, CSLI, Stanford University 2009-08-05
_[3] 웹사이트 The Modern Library's Top 100 Nonfiction Books of the Century https://www.nytimes.[...] The New York Times Company 2009-08-05
_[4] 문서
_[5] 문서
_[6] 문서
_[7] 문서
_[8] 문서
_[9] 문서
_[10] 문서
_[11] 문서
_[12] 서적 The Stanford Encyclopedia of Philosophy https://plato.stanfo[...] Metaphysics Research Lab, Stanford University 2018-05-01
_[13] 문서
_[14] 문서
_[15] 문서
_[16] 서적 My Philosophical Development
_[17] 문서
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_[20] 문서
_[21] 문서
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_[23] 문서
_[24] 문서
_[25] 웹사이트 Modern Library http://www.randomhou[...]
_[26] 웹사이트 The Notation in ''Principia Mathematica'' http://plato.stanfor[...]