곱 (범주론)

1. 개요

곱 (범주론)은 범주 내 대상들의 집합에 대해 정의되는 개념으로, 특정 조건을 만족하는 대상과 사영 사상의 집합으로 구성된다. 두 대상의 곱은 두 개의 사영 사상을 갖는 대상이며, 임의의 사상 쌍에 대해 유일한 사상을 구성하는 보편 성질을 만족한다. 임의의 대상 집합의 곱은 대상과 사영 사상의 족으로 구성되며, 보편 성질을 만족한다. 곱은 등식을 사용하여 정의하거나, 극한의 특수한 경우로 정의할 수도 있다. 곱은 결합적이며, 데카르트 범주에서는 자연 동형이 성립한다. 집합, 위상 공간, 군 등의 범주에서 곱은 곱집합, 곱공간, 직접곱 등으로 나타난다. 곱은 항상 존재하는 것은 아니며, 체의 범주나 종대상이 없는 범주에서는 곱이 존재하지 않을 수 있다.

2. 정의

범주 $\backslash mathcal\; C$에서 대상 집합 $\backslash \{X\_i\backslash \}\_\{i\backslash in\; I\}$의 곱은 대상 $X$와 각 $X\_i$에 대한 사상 $\backslash pi\_i\backslash colon\; X\backslash to\; X\_i$ (사영 사상)으로 구성되며, 다음의 보편 성질을 만족해야 한다.

* 대상 $X\backslash in\backslash operatorname\{ob\}(\backslash mathcal\; C)$
* 사영 사상 $\backslash pi\_i\backslash colon\; X\backslash to\; X\_i$

임의의 대상 $Y\backslash in\backslash operatorname\{ob\}(\backslash mathcal\; C)$와 사상 $f\_i\backslash colon\; Y\backslash to\; X\_i$에 대하여, $\backslash pi\_i\; f=f\_i$를 만족시키는 유일한 사상 $f\backslash colon\; Y\backslash to\; X$가 존재해야 한다.

이때, $X$를 곱이라 부르고 $\backslash prod\_\{i\backslash in\; I\}X\_i$로 표현한다.

2.1. 두 대상의 곱

범주 $\backslash mathcal\; C$에서, 두 대상 $X\_1$과 $X\_2$의 곱은 보통 $X\_1\; \backslash times\; X\_2$로 표기되며, 다음을 만족하는 대상 $X$와 사상 쌍 $\backslash pi\_1\; :\; X\; \backslash to\; X\_1$, $\backslash pi\_2\; :\; X\; \backslash to\; X\_2$으로 정의된다.

* 보편 성질: 임의의 대상 $Y$와 사상 쌍 $f\_1\; :\; Y\; \backslash to\; X\_1$, $f\_2\; :\; Y\; \backslash to\; X\_2$에 대해, 다음 가환도표를 만족시키는 유일한 사상 $f\; :\; Y\; \backslash to\; X\_1\; \backslash times\; X\_2$가 존재한다.
*

$\backslash pi\_1$과 $\backslash pi\_2$는 표준 사영 또는 사영 사상이라고 불리며, $f$는 $f\_1$과 $f\_2$의 곱이라고 불리고 $\backslash langle\; f\_1,\; f\_2\; \backslash rangle$로 표기된다.

곱이 존재한다면, 보편 성질에 의해 표준 동형 사상까지 유일하다. 즉, $X\text{'},\; \backslash pi\_1\text{'},\; \backslash pi\_2\text{'}$가 또 다른 곱이라면, $\backslash pi\_1\text{'}\; =\; \backslash pi\_1\; \backslash circ\; h$ 및 $\backslash pi\_2\text{'}\; =\; \backslash pi\_2\; \backslash circ\; h$를 만족하는 유일한 동형사상 $h\; :\; X\text{'}\; \backslash to\; X\_1\; \backslash times\; X\_2$가 존재한다.

2.2. 임의의 대상 집합의 곱

범주 $\backslash mathcal\; C$의 대상 집합 $\backslash \{X\_i\backslash \}\_\{i\backslash in\; I\}$의 곱은 다음 데이터로 이루어진다.

* 대상 $X\backslash in\backslash operatorname\{ob\}(\backslash mathcal\; C)$
* 각 $X\_i$에 대하여, 사상 $\backslash pi\_i\backslash colon\; X\backslash to\; X\_i$. 이들을 사영 사상(projection morphism^영어)이라고 한다.

이들은 다음과 같은 조건을 만족시켜야 한다. 임의의 대상 $Y\backslash in\backslash operatorname\{ob\}(\backslash mathcal\; C)$와 사상 $f\_i\backslash colon\; Y\backslash to\; X\_i$에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 $f\backslash colon\; Y\backslash to\; X$가 존재한다.

:$\backslash pi\_if=f\_i$

즉, 다음 그림을 가환시키는 유일한 $f$가 존재한다.

:

이때, $X$를 곱이라 부르고 $\backslash prod\_\{i\backslash in\; I\}X\_i$로 표현한다. 만약 $I\; =\; \backslash \{1,\; \backslash ldots,\; n\backslash \}$이면, 이는 $X\_1\; \backslash times\; \backslash cdots\; \backslash times\; X\_n$으로 표기하고 사상의 곱은 $\backslash langle\; f\_1,\; \backslash ldots,\; f\_n\; \backslash rangle$로 표기한다.

2.3. 등식적 정의

곱은 연산과 등식을 사용하여 정의할 수도 있다. 이진 곱의 경우, 연산 $\backslash langle\; \backslash cdot,\backslash cdot\; \backslash rangle$의 존재성과 특정 등식들을 통해 곱의 보편성과 유일성을 보장한다.

* $f$의 존재는 연산 $\backslash langle\; \backslash cdot,\backslash cdot\; \backslash rangle$의 존재에 의해 보장된다.
* 그림의 가환성은 다음 등식에 의해 보장된다: 모든 $f\_1,\; f\_2$ 및 모든 $i\; \backslash in\; \backslash \{1,\; 2\backslash \}$에 대해, $\backslash pi\_i\; \backslash circ\; \backslash left\backslash langle\; f\_1,\; f\_2\; \backslash right\backslash rangle\; =\; f\_i$
* $f$의 유일성은 다음 등식에 의해 보장된다: 모든 $g\; :\; Y\; \backslash to\; X\_1\; \backslash times\; X\_2$에 대해, $\backslash left\backslash langle\; \backslash pi\_1\; \backslash circ\; g,\; \backslash pi\_2\; \backslash circ\; g\; \backslash right\backslash rangle\; =\; g.$

2.4. 극한으로서의 정의

곱은 극한의 특수한 경우이다. 이는 이산 범주(항등 사상 외에는 사상이 없는 대상들의 집합)를 극한의 정의에 필요한 다이어그램으로 사용하여 볼 수 있다. 이산 대상들은 성분과 투영의 지표 역할을 할 것이다. 만약 이 다이어그램을 함자라고 간주한다면, 이 함자는 이산 범주로 간주되는 지표 집합 $I$로부터의 함자가 된다. 그러면 곱의 정의는 극한의 정의와 일치하며, $\backslash \{f\backslash \}\_i$는 뿔이 되고 투영은 극한(극한 뿔)이 된다.

2.5. 보편 성질

범주론에서 곱은 특정한 보편 성질을 만족시키는 대상과 사상들의 집합이다. 이 보편 성질은 극한의 개념과 밀접하게 연결되어 있다.

곱의 보편 성질은 다음과 같이 정의된다.

범주 $\backslash mathcal\; C$의 대상들의 집합 $\backslash \{X\_i\backslash \}\_\{i\backslash in\; I\}$가 주어졌을 때, 이 집합의 곱은 다음을 만족하는 대상 $X$와 사상들의 집합 $\backslash pi\_i\backslash colon\; X\backslash to\; X\_i$ (사영 사상)으로 구성된다.

* 임의의 대상 $Y$와 사상들의 집합 $f\_i\backslash colon\; Y\backslash to\; X\_i$에 대하여, $\backslash pi\_if=f\_i$를 만족시키는 유일한 사상 $f\backslash colon\; Y\backslash to\; X$가 존재한다.

이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

이때, $X$는 곱 $\backslash prod\_\{i\backslash in\; I\}X\_i$로 표현된다.

두 대상 $X\_1$과 $X\_2$의 곱 $X\_1\; \backslash times\; X\_2$의 경우, 보편 성질은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

* 모든 대상 $Y$와 모든 사상 쌍 $f\_1\; :\; Y\; \backslash to\; X\_1,$ $f\_2\; :\; Y\; \backslash to\; X\_2$에 대해, 다음 가환도표를 만족시키는 유일한 사상 $f\; :\; Y\; \backslash to\; X\_1\; \backslash times\; X\_2$가 존재한다.

만약 곱이 존재한다면, 보편 성질에 의해 표준 동형 사상까지 유일하게 결정된다. 즉, $X\text{'},\; \backslash pi\_1\text{'},\; \backslash pi\_2\text{'}$가 또 다른 곱이라면, $\backslash pi\_1\text{'}\; =\; \backslash pi\_1\; \backslash circ\; h$ 및 $\backslash pi\_2\text{'}\; =\; \backslash pi\_2\; \backslash circ\; h$를 만족하는 유일한 동형 사상 $h\; :\; X\text{'}\; \backslash to\; X\_1\; \backslash times\; X\_2$가 존재한다.

사상 $\backslash pi\_1$과 $\backslash pi\_2$는 표준 사영 또는 사영 사상이라고 불린다. $Y$와 $f\_1,$ $f\_2$가 주어졌을 때, 유일한 사상 $f$는 사상 $f\_1$과 $f\_2$의 곱이라고 불리며, $\backslash langle\; f\_1,\; f\_2\; \backslash rangle$로 표기된다.

곱은 극한의 특수한 경우로 볼 수 있다. 극한의 보편 성질에서 이산 범주를 사용하면 곱 범주와 대각 사상을 얻을 수 있으며, 이를 통해 곱을 보편 사상으로 정의할 수 있다.

3. 대각 사상

기수 $\backslash kappa$와 대상 $X$가 주어졌을 때, $\backslash kappa$개 $X$들의 곱 $X^\{\backslash times\backslash kappa\}$이 존재한다고 하자. 그렇다면, 곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상 $\backslash operatorname\{id\}\_X$로부터 유도되는 사상
:$\backslash operatorname\{diag\}\_X\backslash colon\; X\backslash to\; X^\{\backslash times\backslash kappa\}$
이 존재한다. 이를 대각 사상(diagonal morphism^영어)이라고 한다.

4. 성질

곱은 결합 법칙을 만족한다. 즉, $X\; \backslash times\; (Y\; \backslash times\; Z)\; \backslash simeq\; (X\; \backslash times\; Y)\; \backslash times\; Z\; \backslash simeq\; X\; \backslash times\; Y\; \backslash times\; Z$와 같은 자연 동형 사상이 존재한다. 유한 곱과 쌍대곱을 가진 범주의 임의의 대상 \(X, Y, Z\)에 대해, 표준 사상 \(X \times Y + X \times Z \to X \times (Y + Z)\)가 존재한다. 여기서 더하기 기호는 쌍대곱을 나타낸다. 분배 범주는 이 사상이 실제로 동형 사상인 범주이다. 따라서 분배 범주에서는 다음과 같은 표준 동형 사상이 존재한다.

:\(X\times (Y + Z)\simeq (X\times Y) + (X \times Z)\)

4.1. 결합성

곱은 결합 법칙을 만족한다. 즉, $X\; \backslash times\; (Y\; \backslash times\; Z)\; \backslash simeq\; (X\; \backslash times\; Y)\; \backslash times\; Z\; \backslash simeq\; X\; \backslash times\; Y\; \backslash times\; Z$와 같은 자연 동형 사상이 존재한다.

4.2. 분배성

유한 곱과 쌍대곱을 가진 범주의 임의의 대상 \(X, Y, Z\)에 대해, 표준 사상 \(X \times Y + X \times Z \to X \times (Y + Z)\)가 존재한다. 여기서 더하기 기호는 쌍대곱을 나타낸다. 쌍대곱 \(X \times Y + X \times Z\)의 보편적 성질은 다음 그림을 채우는 유일한 사상의 존재를 보장한다(유도된 사상은 점선으로 표시).

곱 \(X \times (Y + Z)\)의 보편적 성질은 위의 그림에서 점선 화살표로 유도된 유일한 사상 \(X \times Y + X \times Z \to X \times (Y + Z)\)을 보장한다. 분배 범주는 이 사상이 실제로 동형 사상인 범주이다. 따라서 분배 범주에서는 다음과 같은 표준 동형 사상이 존재한다.

:\(X\times (Y + Z)\simeq (X\times Y) + (X \times Z)\)

5. 예시

다음은 다양한 범주에서의 곱의 예시이다.

* 위상 공간 범주에서 곱은 기본 집합이 곱집합이고 곱 위상을 갖는 공간이다. 곱 위상은 모든 사영이 연속이 되도록 하는 가장 거친 위상이다.
* 어떤 환 $R$ 위의 가군 범주에서 곱은 성분별로 정의된 덧셈과 분배 곱셈을 갖는 곱집합이다.
* 그래프 범주에서 곱은 그래프의 텐서 곱이다.
* 관계 범주에서 곱은 서로소 합집합으로 주어진다.
* 대수다양체 범주에서 곱은 세그레 매립으로 주어진다.
* 트레이스 모노이드 범주에서 곱은 히스토리 모노이드로 주어진다.
* 바나흐 공간과 단사 사상 범주에서 곱은 노름을 갖는다.
* 부분 순서 집합은 순서 관계를 사상으로 사용하여 범주로 취급될 수 있다. 이 경우 곱과 쌍대곱은 최대 하한(만남) 및 최소 상한(결합)에 해당한다.

5.1. 집합의 범주

집합의 범주에서 곱은 곱집합 $A\backslash times\; B$이다. 집합 범주에서 곱(범주론적 의미)은 데카르트 곱이다. 집합족 $X\_i$가 주어지면 곱은 다음과 같이 정의된다.

:$$\backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; X\_i\; :=\; \backslash left\backslash \{\backslash left(x\_i\backslash right)\_\{i\; \backslash in\; I\}\; :\; x\_i\; \backslash in\; X\_i\; \backslash text\{\; for\; all\; \}\; i\; \backslash in\; I\backslash right\backslash \}$$

표준 사영은 다음과 같다.

:$$\backslash pi\_j\; :\; \backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; X\_i\; \backslash to\; X\_j,\; \backslash quad\; \backslash pi\_j\backslash left(\backslash left(x\_i\backslash right)\_\{i\; \backslash in\; I\}\backslash right)\; :=\; x\_j.$$

임의의 집합 $Y$와 함수족 $f\_i\; :\; Y\; \backslash to\; X\_i$가 주어지면, 보편 화살표 $f\; :\; Y\; \backslash to\; \backslash prod\_\{i\; \backslash in\; I\}\; X\_i$는 $f(y)\; :=\; \backslash left(f\_i(y)\backslash right)\_\{i\; \backslash in\; I\}.$로 정의된다.

5.2. 위상 공간의 범주

위상 공간의 범주에서 곱은 곱공간이다. 곱공간은 각 집합의 곱집합에 곱 위상을 부여한 것이다. 곱 위상은 모든 사영이 연속이 되도록 하는 가장 거친 위상이다.

5.3. 군의 범주

군의 범주에서 곱은 직접곱 $A\backslash times\; B$이다. 이는 성분별로 정의된 곱셈을 갖는 데카르트 곱으로 주어진다.

5.4. 아벨 군의 범주

아벨 군의 범주에서 유한 곱은 직접곱 $A\backslash times\; B$이며, 이는 직합과 일치한다.

5.5. 벡터 공간의 범주

체 K^영어에 대한 벡터 공간의 범주에서, 유한 곱은 직합과 일치한다.

5.6. 가군의 범주

환 $R$에 대한 왼쪽 가군의 범주에서 곱은 직접곱 $A\backslash times\_R\; B$이다. 유한 직접곱은 직합과 일치한다.

5.7. 관계 범주

집합과 이항관계의 범주에서 곱은 분리합집합이다. 이는 집합 범주가 관계 범주의 부분 범주임을 고려하면 다소 놀라운 사실일 수 있다.

5.8. 기타

다음은 다양한 범주에서의 곱의 예시이다.

* 위상 공간 범주에서 곱은 기본 집합이 곱집합이고 곱 위상을 갖는 공간이다. 곱 위상은 모든 사영이 연속이 되도록 하는 가장 거친 위상이다.
* 어떤 환 $R$ 위의 가군 범주에서 곱은 성분별로 정의된 덧셈과 분배 곱셈을 갖는 곱집합이다.
* 군 범주에서 곱은 성분별로 정의된 곱셈을 갖는 곱집합으로 주어진 군들의 직접곱이다.
* 그래프 범주에서 곱은 그래프의 텐서 곱이다.
* 관계 범주에서 곱은 서로소 합집합으로 주어진다.
* 대수다양체 범주에서 곱은 세그레 매립으로 주어진다.
* 트레이스 모노이드 범주에서 곱은 히스토리 모노이드로 주어진다.
* 바나흐 공간과 단사 사상 범주에서 곱은 노름을 갖는다.
* 부분 순서 집합은 순서 관계를 사상으로 사용하여 범주로 취급될 수 있다. 이 경우 곱과 쌍대곱은 최대 하한(만남) 및 최소 상한(결합)에 해당한다.

6. 곱이 존재하지 않는 경우

체의 범주에서는 곱 $\backslash mathbb\{Q\}\; \backslash times\; \backslash mathbb\{F\}\_p$가 존재하지 않는다. 왜냐하면 $\backslash mathbb\{Q\}$와 $\backslash mathbb\{F\}\_p$ 모두로의 준동형 사상이 있는 체가 없기 때문이다.

빈 곱(즉, 공집합인 경우)은 종대상과 동일하며, 무한군의 범주와 같은 일부 범주는 종대상을 갖지 않는다. 임의의 무한군 $G$가 주어지면 $\backslash mathbb\{Z\}\; \backslash to\; G$로의 무한히 많은 사상이 존재하므로 $G$는 종대상이 될 수 없다.