쌍대곱

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 두 대상의 쌍대곱
- 2.2. 임의 개수의 쌍대곱
3. 성질
4. 예
참조

1. 개요

쌍대곱은 범주론에서 두 개 이상의 대상들을 결합하는 연산으로, 곱의 반대 개념이다. 범주 $\mathcal C$ 의 대상 $X_1$ 과 $X_2$ 의 쌍대곱은 $X_1 \sqcup X_2$ 또는 $X_1 \oplus X_2$ 로 표기하며, 임의의 대상 $Y$ 와 사상 $f_1 : X_1 \to Y$ 및 $f_2 : X_2 \to Y$ 에 대해, $f_1 = f \circ i_1$ 및 $f_2 = f \circ i_2$ 를 만족하는 유일한 사상 $f : X_1 \sqcup X_2 \to Y$ 가 존재한다. 쌍대곱은 범주론에서 공리미트의 특수한 경우이며, 집합의 분리합집합, 군의 자유곱, 아벨 군 및 벡터 공간의 직합 등 다양한 예시가 존재한다.

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쌍대곱

2. 정의

범주 $\mathcal C$ 의 대상 집합 $\{X_j\}_{j\in J}$ 의 '''쌍대곱''' $\coprod_{j\in J}X_j$ 은 다음 데이터로 구성된다.

대상 $X\in\operatorname{ob}(\mathcal C)$
각 $X_j$ 에 대한 사상 $i_j\colon X_j\to X$

이 데이터는 다음 조건을 만족해야 한다. 임의의 대상

Y\in\operatorname{ob}(\mathcal C)

와 사상

f_j\colon X_j\to Y

에 대해,

fi_j=f_j

를 만족하는 유일한 사상

f\colon X\to Y

가 존재한다. 즉, 다음 그림을 가환시키는 유일한

f

가 존재한다.

2. 1. 두 대상의 쌍대곱

범주

C

의 두 대상

X_1

과

X_2

의 쌍대곱은

X_1 \sqcup X_2

또는

X_1 \oplus X_2

로 표기하며, 때로는

X_1 + X_2

로 표기한다. 쌍대곱은 다음을 만족시키는 대상

X_1 \sqcup X_2

와 사상

i_1 : X_1 \to X_1 \sqcup X_2

,

i_2 : X_2 \to X_1 \sqcup X_2

의 쌍으로 정의된다.

보편 성질: 임의의 대상 $Y$ 와 임의의 사상 $f_1 : X_1 \to Y$ , $f_2 : X_2 \to Y$ 에 대해, $f_1 = f \circ i_1$ 및 $f_2 = f \circ i_2$ 를 만족하는 유일한 사상 $f : X_1 \sqcup X_2 \to Y$ 가 존재한다.

이러한 관계는 다음 가환 그림으로 나타낼 수 있다.

이 그림을 가환하게 만드는 유일한 사상

f

는

f_1 \sqcup f_2

,

f_1 \oplus f_2

,

f_1 + f_2

또는

\left[f_1, f_2\right]

로 표기할 수 있다. 여기서 사상

i_1

과

i_2

는 표준 사상이라고 불리지만, 단사이거나 단사일 필요는 없다.

2. 2. 임의 개수의 쌍대곱

범주

\mathcal C

의 대상 집합

\{X_j\}_{j\in J}

가 주어졌을 때, 이 집합의 '''쌍대곱'''

\coprod_{j\in J}X_j

은 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

대상 $X\in\operatorname{ob}(\mathcal C)$
각 $X_j$ 에 대하여, 사상 $i_j\colon X_j\to X$

이들은 다음과 같은 조건을 만족시켜야 한다. 임의의 대상

Y\in\operatorname{ob}(\mathcal C)

와 사상

f_j\colon X_j\to Y

에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상

f\colon X\to Y

가 존재한다.

:

fi_j=f_j

.

즉, 다음 그림을 가환시키는 유일한

f

가 존재한다.

쌍대곱의 정의는 집합

J

에 의해 인덱싱된 대상의 임의의 족으로 확장될 수 있다. 족

\left\{ X_j : j \in J \right\}

의 쌍대곱은 대상

X

와 사상

i_j : X_j \to X

의 모임으로, 임의의 대상

Y

와 사상

f_j : X_j \to Y

의 모임에 대해

f_j = f \circ i_j

를 만족하는 유일한 사상

f : X \to Y

가 존재한다.

족

\left\{ X_j \right\}

의 쌍대곱

X

는 종종

\coprod_{j\in J}X_j

또는

\bigoplus_{j \in J} X_j.

로 표기된다.

때때로 사상

f : X \to Y

는 개별

f_j

에 대한 의존성을 나타내기 위해

\coprod_{j \in J} f_j

로 표기될 수 있다.

3. 성질

쌍대곱은 보편 사상의 관점에서 이해할 수 있다. 대각 함자 $\Delta : C\rightarrow C\times C$ 는 각 대상 $X$ 에 순서쌍 $\left(X, X\right)$ 를 할당하고 각 사상 $f : X\rightarrow Y$ 에 쌍 $\left(f, f\right)$ 를 할당한다. 그러면 $C$ 에서의 쌍대곱 $X + Y$ 는 $C\times C$ 에서 대상 $\left(X, Y\right)$ 에서 함자 $\Delta$ 로의 보편 사상으로 주어진다.

공집합으로 인덱싱된 쌍대곱 (즉, "빈 쌍대곱")은 $C$ 의 초깃값과 같다.

만약 $J$ 가 $J$ 로 인덱싱된 가족에 대한 모든 쌍대곱이 존재하는 집합이라면, 쌍대곱을 함자 $C^J\rightarrow C$ 로 변환하기 위해 쌍대곱을 호환되는 방식으로 선택할 수 있다. 이 함자는 ''공변적''이다.

$\operatorname{Hom}_C\left(U, V\right)$ 를 $C$ 에서 $U$ 에서 $V$ 로의 모든 사상의 집합이라고 하면, 다음과 같은 자연 동형 사상이 있다.

: $\operatorname{Hom}_C\left(\coprod_{j\in J}X_j,Y\right) \cong \prod_{j\in J}\operatorname{Hom}_C(X_j,Y)$

이는 전단사에 의해 주어지는데, 모든 튜플의 사상을 매핑한다.

만약 $J$ 가 유한 집합이라면, 객체 $X_1,\ldots,X_n$ 의 쌍대곱은 종종 $X_1\oplus\ldots\oplus X_n$ 으로 표시된다. 모든 유한 쌍대곱이 ''C''에 존재한다고 가정하고, 쌍대곱 함자를 선택했으며, 0은 빈 쌍대곱에 해당하는 ''C''의 초깃값을 나타낸다고 하면 다음과 같은 자연 동형 사상이 있다.

: $X\oplus (Y \oplus Z)\cong (X\oplus Y)\oplus Z\cong X\oplus Y\oplus Z$

: $X\oplus 0 \cong 0\oplus X \cong X$

: $X\oplus Y \cong Y\oplus X.$

이러한 속성은 모노이드의 속성과 유사하다. 유한 쌍대곱이 있는 범주는 대칭 모노이드 범주의 예이다.

만약 범주에 영 객체 $Z$ 가 있다면, $X\oplus Y\rightarrow X\times Y$ 를 추론하여, 모든 유한 쌍대곱에서 해당 곱으로 확장될 수 있다. 이 사상은 일반적으로 동형 사상일 필요는 없다.

4. 예

범주	쌍대곱
집합의 범주 $\operatorname{Set}$	분리합집합 $A\sqcup B$
위상 공간의 범주 $\operatorname{Top}$	분리합공간 $A\sqcup B$
군의 범주 $\operatorname{Grp}$	자유곱 $A*B$
아벨 군의 범주 $\operatorname{Ab}$	직합 $A\oplus B$ (유한 직합은 곱과 일치)
체 $K$ 에 대한 벡터 공간의 범주 $K-\operatorname{Vect}$	직합 $A\oplus B$
환 $R$ 에 대한 왼쪽 가군의 범주 $R-\operatorname{Mod}$	직합 $A\oplus B$
콤팩트 하우스도르프 공간의 범주 $\operatorname{CompHaus}$	분리합공간의 스톤-체흐 콤팩트화 $\beta(A\sqcup B)$

집합 범주에서의 쌍대곱은 '''분리합집합'''이며, 사상 ''i_j''는 포함 사상이다.^[1] 다른 범주에서의 쌍대곱은 직접곱과는 달리 집합에 대한 개념을 기반으로 하지 않을 수 있는데, 이는 연산을 보존하는 것과 관련하여 합집합의 동작이 좋지 않기 때문이다(예: 두 군의 합집합은 군일 필요가 없다).^[1] 따라서 다른 범주에서의 쌍대곱은 서로 크게 다를 수 있다. 예를 들어, 군 범주에서의 쌍대곱은 '''자유곱'''이라고 하며, 매우 복잡하다. 반면에 아벨 군 범주(및 벡터 공간)에서 쌍대곱은 '''직합'''이라고 하며, 유한 집합개의 0이 아닌 항만 있는 직접곱의 원소로 구성된다. (따라서 유한 개의 인수의 경우 직접곱과 정확히 일치한다.)^[1]

가환환 ''R''이 주어지면, 가환 대수 범주에서의 쌍대곱은 대수의 텐서곱이다. 비가환 ''R''-대수 범주에서 쌍대곱은 텐서 대수의 몫이다( 결합 대수의 자유곱 참조).^[1]

위상 공간의 경우, 쌍대곱은 분리합집합 위상을 가진 분리합집합이다. 즉, 기본 집합의 분리합집합이며, 열린 집합은 명확한 의미에서 "각 공간에서 열린" 집합이다. 호모토피 이론에서 기본적인 점 있는 공간 범주에서 쌍대곱은 쐐기합이다(공통 기준점에서 기준점을 가진 일련의 공간을 결합하는 것과 같다).^[1]

분리합집합의 개념은 위의 예시에서 은밀하게 나타난다. 아벨 군의 직합은 "거의" 분리합집합(공통 0과 함께 모든 0이 아닌 원소의 분리합집합)에 의해 생성된 군이며, 벡터 공간의 경우 유사하다. 즉, "거의" 분리합집합에 의해 span된 공간이다. 군에 대한 자유곱은 서로 다른 집합의 두 원소가 교환될 수 없는 유사한 "거의 분리된" 합집합의 모든 문자의 집합에 의해 생성된다. 이러한 패턴은 모든 보편 대수학의 다양체에 적용된다.^[1]

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