보편 성질

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 시작 사상 (Initial Morphism)
- 2.2. 끝 사상 (Terminal Morphism)
3. 성질
- 3.1. 쉼표 범주와의 관계
4. 표현 가능 함자를 통한 정의
5. 예시
6. 수반 함자와의 관계
7. 역사
참조

1. 개요

보편 성질은 주어진 함자(functor)와 대상에 대해 특정 조건을 만족하는 사상(morphism)을 정의하는 개념이다. 시작 사상과 끝 사상으로 구분되며, 이러한 사상을 갖는 대상은 보편 성질을 만족한다고 한다. 보편 성질을 만족하는 대상은 동형(isomorphism)을 제외하면 유일하며, 쉼표 범주(comma category)를 사용하여 정의할 수 있다. 또한, 표현 가능 함자(representable functor)와 보편 요소(universal element)를 통해서도 정의할 수 있으며, 텐서 대수, 범주론적 곱, 극한, 쌍대극한, 잉여군으로의 사영, 판 캄펜 정리 등 다양한 수학적 구조에서 나타난다. 보편 성질은 수반 함자(adjoint functor)와 밀접한 관련이 있으며, 피에르 사무엘에 의해 처음 제시되고 니콜라 부르바키에 의해 널리 사용되었다.

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보편 성질
개요
분야	수학, 특히 범주론
설명	수학적 구조의 특징을 정의하는 속성
정의
보편성 (Universality)	수학적 구성의 특징을 규정하는 속성
역사
기원	피에르 사무엘이 1948년에 "보편적 사상"에 대해 발표
범주론적 관점
설명	쌍대성의 강력한 도구 대상을 식별하는 데 유용
예시
자유 대상	자유군, 텐서 대수, 다항식 환 등
극한	곱, 이퀄라이저, 당김, 밀어냄 등
관련 개념
설명	수반 함자

2. 정의

어떤 대상이 시작 사상 또는 끝 사상을 이룬다면, 이 대상이 '''보편 성질'''을 만족시킨다고 한다.

보편 성질에 대한 형식적인 정의를 내리기 전에, 이러한 구성을 연구하는 이유를 몇 가지 살펴보자.

보편 성질을 만족하는 구성은 구체적인 세부 사항이 복잡하더라도, 보편 성질만 알면 모든 것을 이해할 수 있다. 구체적인 세부 사항 대신 보편 성질을 사용하면 증명이 간결하고 명확해진다. 예를 들어, 텐서 대수는 구성하기 복잡하지만 보편 성질을 이용하면 다루기 쉽다.
보편 성질은 객체를 동형 사상까지 유일하게 정의한다.^[1] 따라서 두 객체가 동형임을 증명하려면 동일한 보편 성질을 만족함을 보이면 된다.
보편적인 구성은 함자적이다. 범주 ''C''의 모든 객체에 대해 구성을 수행하면 ''C''에 대한 함자를 얻는다. 이 함자는 보편 성질 정의에 사용된 함자 ''U''의 왼쪽 또는 오른쪽 수반이다.^[2]
보편 성질은 수학 전반에 나타난다. 추상적인 특성을 이해하면 이러한 모든 구성에 대한 정보를 얻고, 각 사례에 대해 같은 분석을 반복하지 않아도 된다.

보편적 구성을 이해하려면 예를 살펴보는 것이 중요하다. 보편적 구성은 갑자기 정의된 것이 아니라, 수학자들이 여러 수학적 구성에서 패턴을 발견한 후 정의되었다. 따라서 처음에는 이해하기 어려울 수 있지만, 구체적인 예와 연결하면 명확해진다.

범주

\mathcal{C}

와

\mathcal{D}

사이의 함자를

F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}

라 하자.

X

는

\mathcal{D}

의 객체,

A

와

A'

는

\mathcal{C}

의 객체,

h: A \to A'

는

\mathcal{C}

의 사상이라 하자.

함자

F

는

\mathcal{C}

의

A

,

A'

,

h

를

\mathcal{D}

의

F(A)

,

F(A')

,

F(h)

로 사상한다.

X

에서

F

로의 '''보편 사상'''은

\mathcal{D}

에서 유일한 쌍

(A, u: X \to F(A))

이며, 다음 '''보편적 성질'''을 만족한다.

$\mathcal{D}$ 에서 $f: X \to F(A')$ 형태의 임의의 사상에 대해, 다음 가환도표가 성립하도록 하는 $\mathcal{C}$ 의 ''유일한'' 사상 $h: A \to A'$ 가 존재한다.

F

에서

X

로의 '''보편 사상'''은 유일한 쌍

(A, u: F(A) \to X)

이며, 다음 보편적 성질을 만족한다.

$\mathcal{D}$ 에서 $f: F(A') \to X$ 형태의 임의의 사상에 대해, 다음 가환도표가 성립하도록 하는 $\mathcal{C}$ 의 ''유일한'' 사상 $h: A' \to A$ 가 존재한다.

각 정의에서 화살표 방향이 반대임을 주목하라. 이는 범주론의 쌍대성 때문에 나타나는 현상이며, 두 정의 모두 수학의 보편적 구성을 설명하는 데 필요하다. 위와 같이 동작하는 쌍

(A, u)

는 보편적 성질을 만족한다고 한다.

범주 ''D''에서 ''C''로의 함자 ''U''와 ''C''의 대상 ''X''가 주어졌을 때, ''X''에서 ''U''로의 '''보편 사상'''은 ''D''의 대상 ''A''와 ''C''의 사상

\phi: X \to U(A)

의 쌍

(A, \phi)

이며, 다음 '''보편성'''을 만족한다.

''D''의 대상 ''Y''와 ''C''의 사상 $f: X \to U(Y)$ 에 대해, 다음 그림을 가환하게 하는 ''D''의 사상 $g: A \to Y$ 가 유일하게 존재한다.

사상 ''g''의 존재는

(A, \phi)

가 "충분히 일반적"임을, 유일성은 "지나치게 일반적이지 않다"는 것을 나타낸다. 다음 관계도 성립한다.^[6]

:

Hom_D(A,Y) \cong Hom_C(X, U(Y))

''U''에서 ''X''로의 '''보편 사상'''은 ''D''의 대상 ''A''와 ''C''의 사상

\phi: U(A) \to X

의 쌍

(A, \phi)

이며, 다음 '''보편성'''을 만족한다.

''D''의 대상 ''Y''와 ''C''의 사상 $f: U(Y) \to X$ 에 대해, 다음 그림을 가환하게 하는 ''D''의 사상 $g: Y \to A$ 가 유일하게 존재한다.

2. 1. 시작 사상 (Initial Morphism)

함자

F\colon\mathcal D\to\mathcal C

및

\mathcal C

의 대상

X\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)

가 주어졌을 때,

X

에서

F

로 가는 '''시작 사상'''(initial morphism^영어)은 쉼표 범주

X\downarrow F

의 시작 대상

(A,\phi)

이다. 즉, 임의의

Y\in\operatorname{Ob}(\mathcal D)

및 사상

f\colon X\to F(Y)

에 대하여, 다음 그림이 가환하는 유일한 사상

g\colon A\to Y

가 존재한다.

:

\begin{matrix}X&\xrightarrow\phi&F(A)\\&{\scriptstyle f}\searrow&\downarrow\scriptstyle F(g)\\&&F(Y)\end{matrix}

2. 2. 끝 사상 (Terminal Morphism)

함자

F\colon\mathcal D\to\mathcal C

및

\mathcal C

의 대상

X\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)

가 주어졌을 때,

F

에서

X

로 가는 '''끝 사상'''(끝寫像, terminal morphism^영어)은 쉼표 범주

F\downarrow X

의 끝 대상

(A,\phi)

이다. 즉, 임의의

Y\in\operatorname{Ob}(\mathcal D)

및 사상

f\colon F(Y)\to X

에 대하여, 다음 그림이 가환하는 유일한 사상

g\colon Y\to A

가 존재한다.^[6]

:

\begin{matrix}X&\xleftarrow\phi&F(A)\\&{\scriptstyle f}\nwarrow&\uparrow\scriptstyle F(g)\\&&F(Y)\end{matrix}

3. 성질

보편 성질에 의해 정의되는 대상은 (동형을 제외하면) 유일하다.^[1] 그러나 주어진 보편 성질을 만족시키는 대상이 존재할 필요는 없다. 예를 들어 텐서 대수는 구성하기 복잡하지만 보편 성질을 사용하면 다루기 쉽다.

어떤 대상이 보편 성질을 만족시킨다고 해서 그 존재가 보장되는 것은 아니다. 함자 $F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ 와 $\mathcal{D}$ 의 대상 $X$ 가 주어졌을 때, $X$ 에서 $F$ 로의 보편 사상이 존재할 수도 있고 존재하지 않을 수도 있다. 하지만 보편 사상 $(A, u)$ 가 존재한다면, 본질적으로 유일하며, 유일한 동형 사상까지 유일하다. 즉, $(A', u')$ 이 다른 쌍이라면, $u' = F(k) \circ u$ 가 되도록 하는 유일한 동형 사상 $k: A \to A'$ 가 존재한다.

보편 사상의 정의에 $(A, u')$ 을 대입하면 쉽게 알 수 있듯이, 본질적으로 유일한 것은 쌍 $(A, u)$ 이며, 대상 $A$ 자체는 동형 사상까지 유일하다. 실제로 $(A, u)$ 가 보편 사상이고 $k: A \to A'$ 가 임의의 동형 사상이라면, $u' = F(k) \circ u$ 인 쌍 $(A', u')$ 역시 보편 사상이다.

3. 1. 쉼표 범주와의 관계

함자

F\colon\mathcal D\to\mathcal C

와

\mathcal C

의 대상

X\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)

가 주어졌을 때,

X

에서

F

로 가는 시작 사상과

F

에서

X

로 가는 끝 사상은 쉼표 범주를 이용하여 정의할 수 있다.

$X$ 에서 $F$ 로 가는 시작 사상은 쉼표 범주 $X\downarrow F$ 의 시작 대상 $(A,\phi)$ 이다. 즉, 임의의 $Y\in\operatorname{Ob}(\mathcal D)$ 및 사상 $f\colon X\to F(Y)$ 에 대하여, 다음 그림이 가환하는 유일한 사상 $g\colon A\to Y$ 가 존재한다.

:

\begin{matrix}X&\xrightarrow\phi&F(A)\\&{\scriptstyle f}\searrow&\downarrow\scriptstyle F(g)\\&&F(Y)\end{matrix}

$F$ 에서 $X$ 로 가는 끝 사상은 쉼표 범주 $F\downarrow X$ 의 끝 대상 $(A,\phi)$ 이다. 즉, 임의의 $Y\in\operatorname{Ob}(\mathcal D)$ 및 사상 $f\colon F(Y)\to X$ 에 대하여, 다음 그림이 가환하는 유일한 사상 $g\colon Y\to A$ 가 존재한다.

:

\begin{matrix}X&\xleftarrow\phi&F(A)\\&{\scriptstyle f}\nwarrow&\uparrow\scriptstyle F(g)\\&&F(Y)\end{matrix}

어떤 대상이 시작 사상 또는 끝 사상을 이룬다면, 이 대상은 '''보편 성질'''을 만족시킨다고 한다.

F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}

를 함자,

X

를

\mathcal{D}

의 객체라고 할 때, 콤마 범주

(X \downarrow F)

는 다음과 같이 정의된다.

객체는 $(B, f: X \to F(B))$ 형태의 쌍이며, 여기서 $B$ 는 $\mathcal{C}$ 의 객체이다.
$(B, f: X \to F(B))$ 에서 $(B', f': X \to F(B'))$ 로 가는 사상은 다음 다이어그램이 가환이 되도록 하는 $\mathcal{C}$ 의 사상 $h: B \to B'$ 로 주어진다.

콤마 범주의 사상은 다이어그램을 가환하게 만드는 사상 $h: B \to B$ 로 주어집니다.

(X \downarrow F)

의 객체

(A, u: X \to F(A))

가 초기 객체라면, 모든 객체

(A', f: X \to F(A'))

에 대해 다음 다이어그램이 가환이 되도록 하는 고유한 사상

h: A \to A'

이 존재한다.

이것은 보편 다이어그램이 콤마 범주에서 초기 객체인 것과의 관계를 보여줍니다.

이 다이어그램은

X

에서

F

로의 보편 사상을 정의할 때 제공되는 것과 동일하다. 따라서

X

에서

F

로의 보편 사상은 콤마 범주

(X \downarrow F)

에서 초기 객체와 동일하다.

반대로, 콤마 범주

(F \downarrow X)

는 다음과 같이 정의된다.

객체는 $(B, f: F(B) \to X)$ 형태의 쌍이며, 여기서 $B$ 는 $\mathcal{C}$ 의 객체이다.
$(B, f:F(B) \to X)$ 에서 $(B', f':F(B') \to X)$ 로 가는 사상은 다음 다이어그램이 가환이 되도록 하는 $\mathcal{C}$ 의 사상 $h: B \to B'$ 로 주어진다.

(A, u:F(A) \to X)

가

(F \downarrow X)

에서 최종 객체라고 가정하면, 모든 객체

(A', f: F(A') \to X)

에 대해 다음 다이어그램이 가환이 되도록 하는 고유한 사상

h: A' \to A

이 존재한다.

특정 콤마 범주에서 최종 객체가 보편 사상에 해당한다는 것을 보여줍니다.

이 다이어그램은

F

에서

X

로의 보편 사상을 정의할 때 묘사되는 것과 동일하다. 따라서

F

에서

X

로의 보편 사상은 콤마 범주

(F \downarrow X)

에서 최종 객체에 해당한다.

4. 표현 가능 함자를 통한 정의

에밀리 릴(Emily Riehl)은 저서 "Category Theory in Context"에서 보편성(universal property)을 표현 가능 함자와 보편 요소(universal element)를 통해 정의한다. 이는 미다의 보조정리를 통해 자연 동형을 정의하는 방식으로 이루어진다.^[7]

범주 '''C'''의 대상 c의 보편성은, 표현 가능 함자 F: '''C''' → '''Set'''와, 미다의 보조정리를 통해 자연 동형 '''C'''(c, _) ≅ F (또는 '''C'''(_, c) ≅ F)를 정의하는 보편 요소 x ∊ Fc에 의해 표현된다.^[7] 여기서 '''Set'''는 집합의 범주를 뜻한다.

다시 말해, c ∊ '''C'''의 보편성이란, (표현 가능한) 함자 F: '''C''' → '''Set'''와 x ∊ Fc를 사용하여 미다의 보조정리로부터 정의되는 자연 변환 '''C'''(c, _) → F가 자연 동형이라는 성질을 의미한다.

범주 '''C'''가 작은 hom 집합을 가질 때 (각 대상 x, y에 대해 '''C'''(x, y) ∊ '''Set'''이다), 앞 절에서 정의한 보편 사상은 보편 요소의 특별한 경우이다. 또한 반대로, 보편 요소는 보편 사상의 특별한 경우이다.^[7]

5. 예시

보편 성질의 예시는 다음과 같다.

'''텐서 대수''': 체 ''K'' 위의 벡터 공간 ''V''가 주어지면, 텐서 대수 T(''V'')는 ''V''를 포함하는 가장 "일반적인" 결합적 대수이다. "''V''에서 대수 ''A''로 가는 모든 선형 사상은 T(''V'')에서 ''A''로 가는 대수 준동형 사상으로 유일하게 확장될 수 있다"는 명제는 텐서 대수의 시초적 성질을 나타낸다.^[1]

'''범주론적 곱''': 범주론에서 곱은 보편적 구성을 통해 정의된다. 집합에서의 데카르트 곱, 군에서의 직접곱, 위상 공간에서의 곱 위상 등이 그 예시이다.^[3]

'''극한과 쌍대극한''': 범주론에서 범주론적 곱은 특정 종류의 극한이며, 이를 임의의 극한과 쌍대극한으로 일반화할 수 있다.

'''잉여군으로의 사영''': 군 ''G''의 정규 부분군 ''K''에 대해, 잉여군 ''G''/''K''로의 사영 φ: ''G'' → ''G''/''K''는 보편성을 가진다.^[8]

'''판 캄펜 정리''': 위상 공간이 두 개의 열린 부분 집합으로 덮여 있을 때, 이들 교집합으로부터 유도되는 기본군의 도식은 보편성을 가지며, 이를 판 캄펜 정리라고 부른다.

5. 1. 텐서 대수 (Tensor Algebra)

체 ''K'' 위의 벡터 공간 ''V''가 주어졌을 때, 텐서 대수 T(''V'')는 ''V''를 포함하는 가장 "일반적인" 결합적 대수이다. 이는 포함 사상 i: ''V'' → U(T(''V''))가 벡터 공간 ''V''에서 망각 함자 U로 가는 보편 사상이라는 사실로 표현된다. (여기서 U는 대수의 벡터 공간 구조를 나타내는 망각 함자이다.)^[1]

"''V''에서 대수 ''A''로 가는 모든 선형 사상은 T(''V'')에서 ''A''로 가는 대수 준동형 사상으로 유일하게 확장될 수 있다"는 명제는 텐서 대수의 시초적 성질을 나타낸다.^[1]

5. 2. 범주론적 곱 (Categorical Product)

범주론적 곱은 보편적 구성을 통해 특징지을 수 있다. 예를 들어, 곱이 존재하는 경우 Set에서의 데카르트 곱, Grp에서의 직접곱, 또는 Top에서의 곱 위상을 생각할 수 있다.^[3]

유한 곱을 갖는 범주

\mathcal{C}

의 대상

X

와

Y

가 있다고 하자.

X

와

Y

의 곱은 다음 두 개의 사상과 함께하는 대상

X \times Y

이다.

:

\pi_1

:

X \times Y \to X

:

\pi_2

:

X \times Y \to Y

이는 범주

\mathcal{C}

의 다른 임의의 대상

Z

와 사상

f: Z \to X

및

g: Z \to Y

에 대해

f = \pi_1 \circ h

및

g = \pi_2 \circ h

가 되도록 하는 유일한 사상

h: Z \to X \times Y

가 존재한다는 것을 의미한다.

이러한 특성은 보편적 성질로 이해할 수 있다. 곱 범주

\mathcal{C} \times \mathcal{C}

에서 대각선 함자를 다음과 같이 정의한다.

:

\Delta: \mathcal{C} \to \mathcal{C} \times \mathcal{C}

\Delta(X) = (X, X)

및

\Delta(f: X \to Y) = (f, f)

이다. 그러면

(X \times Y, (\pi_1, \pi_2))

는

\Delta

에서

\mathcal{C} \times \mathcal{C}

의 대상

(X, Y)

로 가는 보편 사상이다. 만약

(f, g)

가

(Z, Z)

에서

(X, Y)

로 가는 어떤 사상이라면, 이는

\Delta(Z) = (Z, Z)

에서

\Delta(X \times Y) = (X \times Y, X \times Y)

로 가는 사상

\Delta(h: Z \to X \times Y) = (h,h)

다음에

(\pi_1, \pi_2)

를 따르는 것과 같아야 한다.

'''Set'''에서 데카르트 곱의 예를 들어보면, 사상

(\pi_1, \pi_2)

는 두 개의 사영

\pi_1(x,y) = x

및

\pi_2(x,y) = y

로 구성된다. 임의의 집합

Z

와 함수

f,g

가 주어졌을 때, 요구되는 그림이 가환성을 가지도록 하는 유일한 사상은

h = \langle x,y\rangle(z) = (f(z), g(z))

로 주어진다.^[3]

5. 3. 극한과 쌍대극한 (Limits and Colimits)

범주론에서 범주적 곱은 특정 종류의 극한이다. 이를 임의의 극한과 쌍대극한으로 일반화할 수 있다.

\mathcal{J}

와

\mathcal{C}

를 범주로 하고,

\mathcal{J}

를 작은 지수 범주로 하며,

\mathcal{C}^\mathcal{J}

를 해당하는 함자 범주라고 하자. ''대각 함자''

:

\Delta: \mathcal{C} \to \mathcal{C}^\mathcal{J}

는

\mathcal{C}

의 각 대상

N

을 상수 함자

\Delta(N): \mathcal{J} \to \mathcal{C}

로 매핑하는 함자이다. (즉,

\mathcal{J}

의 각

X

에 대해

\Delta(N)(X) = N

이고,

\mathcal{J}

의 각

f: X \to Y

에 대해

\Delta(N)(f) = 1_N

이다.) 또한,

\mathcal{C}

의 각 사상

f : N \to M

을

\mathcal{C}^{\mathcal{J}}

에서 자연 변환

\Delta(f):\Delta(N)\to\Delta(M)

으로 매핑하는데, 모든 대상

X

에 대한 성분

\Delta(f)(X):\Delta(N)(X)\to\Delta(M)(X) = f:N\to M

로 정의된다. 즉, 자연 변환은

\mathcal{J}

의 모든 대상에 대해 상수 성분

f:N\to M

을 갖는 것으로 정의된다.

함자

F: \mathcal{J} \to \mathcal{C}

가 주어졌을 때(

\mathcal{C}^\mathcal{J}

의 대상으로 간주),

F

의 ''극한''은 존재한다면

\Delta

에서

F

로의 보편 사상이다. 쌍대적으로,

F

의 ''쌍대극한''은

F

에서

\Delta

로의 보편 사상이다.

5. 4. 잉여군으로의 사영 (Projection to Quotient Group)

군 ''G''의 정규 부분군 ''K''에 대해, 잉여군 ''G''/''K''로의 사영 ''φ'': ''G'' → ''G''/''K''는 군 준동형 ''f'': ''G'' → ''H''에 대해, ''K''가 ''f''의 핵 Ker ''f'' (''f''(''x'')가 ''H''의 항등원이 되는 ''G''의 원소의 집합)에 포함될 때, 군의 준동형 정리에 의해 1=''f'' = ''h''◦''φ''를 만족하는 군 준동형 ''h'': ''G''/''K'' → ''H''가 단 하나 존재함을 보여준다.^[8]

이러한 보편성은 잉여군 ''G''/''K''과 잉여군으로의 사영 ''φ'': ''G'' → ''G''/''K''에서 비롯되며, 몫군에 대한 다른 모든 성질은 잉여류(잉여군의 일반적인 구성에 사용되는 ''G''/''K''의 각 요소)를 언급하지 않아도 된다는 것을 의미한다.^[8]

5. 5. 판 캄펀 정리 (Van Kampen's Theorem)

위상 공간

(X,\mathcal{O}_X)

가 두 개의 열린 부분 집합

U,V\in\mathcal{O}_X

에 의해 덮인다고 하자. 즉,

X=U\cup V

가 성립한다고 하자. 이 때, 교집합

U\cap V

로부터의 포함 사상

U\cap V\xrightarrow{i}U\xrightarrow{j'}X

와

U\cap V\xrightarrow{j}V\xrightarrow{i'}X

에 의한 가환도는 위상 공간의 범주에서 보편성을 가진다. 즉, 연속 사상

f\colon U\to Y

와

g\colon V\to Y

가

f\circ i=g\circ j

를 만족할 때,

f=h\circ j'

와

g=h\circ i'

를 만족하는 연속 사상

h\colon X\to Y

가 단 하나 존재한다.

좋은 조건(

U\cap V

는 공집합이 아니고 호상 연결) 아래에서, 이 도식으로부터 유도되는 기본군의 도식은 마찬가지로 보편성을 가진다. 이를 (기본군에 관한) 판 캄펜 정리라고 부른다.

6. 수반 함자와의 관계

함자 $F\colon\mathcal D\to\mathcal C$ 와 $\mathcal C$ 의 대상 $X_1$ 에 대해 보편 사상 $(A_1, u_1)$ 이 존재하고, $X_2$ 에 대해 보편 사상 $(A_2, u_2)$ 가 존재한다고 가정하자.

보편 사상의 보편성에 의해, 임의의 사상 $h\colon X_1\to X_2$ 가 주어지면 다음 그림이 가환하도록 하는 유일한 사상 $g\colon A_1\to A_2$ 가 존재한다.^[6]

보편 사상은 적절한 조건 하에서 함자 간의 자연 변환처럼 동작할 수 있다.

만약

\mathcal{D}

의 ''모든'' 객체

X_i

가

F

로의 보편 사상을 허용한다면,

X_i \mapsto A_i

및

h \mapsto g

는 함자

G\colon \mathcal{D} \to \mathcal{C}

를 정의한다. 그러면 사상

u_i

는

1_\mathcal{D}

(

\mathcal{D}

에 대한 항등 함자)에서

F\circ G

로의 자연 변환을 정의한다. 그러면 함자

(F, G)

는 수반 함자 쌍이며,

G

는

F

의 왼쪽 수반이고

F

는

G

의 오른쪽 수반이다.^[2]

터미널 사상에서

F

로의 이중 상황에도 유사한 진술이 적용된다.

\mathcal{C}

의 모든

X

에 대해 그러한 사상이 존재하면,

F

의 오른쪽 수반인 함자

G\colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}

를 얻게 된다(따라서

F

는

G

의 왼쪽 수반이다).

실제로, 모든 수반 함자 쌍은 이러한 방식으로 보편적 구성을 통해 발생한다.

F

와

G

를 단위

\eta

와 공단위

\epsilon

를 갖는 수반 함자 쌍이라고 하자

(수반 함자에 대한 정의는 해당 문서를 참조). 그런 다음

\mathcal{C}

및

\mathcal{D}

의 각 객체에 대한 보편 사상이 있다.

$\mathcal{C}$ 의 각 객체 $X$ 에 대해 $(F(X), \eta_X)$ 는 $X$ 에서 $G$ 로의 보편 사상이다. 즉, 모든 $f\colon X \to G(Y)$ 에 대해 다음 그림이 가환이 되도록 하는 유일한 $g\colon F(X) \to Y$ 가 존재한다.
$\mathcal{D}$ 의 각 객체 $Y$ 에 대해 $(G(Y), \epsilon_Y)$ 는 $F$ 에서 $Y$ 로의 보편 사상이다. 즉, 모든 $g\colon F(X) \to Y$ 에 대해 다음 그림이 가환이 되도록 하는 유일한 $f\colon X \to G(Y)$ 가 존재한다.

함자의 자연 변환인 수반의 단위 및 공단위는 보편 사상의 중요한 예이다.

보편적 구성은 수반 함자 쌍보다 더 일반적이다. 보편적 구성은 최적화 문제와 같다. 이 문제는

\mathcal{C}

의 모든 객체(또는

\mathcal{D}

의 모든 객체)에 대해 해를 갖는 경우에만 수반 쌍을 발생시킨다.

7. 역사

보편 성질의 개념은 1948년 피에르 사무엘에 의해 처음 제시되었으며, 이후 부르바키 그룹에 의해 널리 사용되었다.^[1] 수반 함자의 개념은 1958년 대니얼 칸에 의해 독립적으로 소개되었다.^[2]

참조

_[1] 서적 2009
_[2] 서적 2002
_[3] arXiv Seven Sketches in Compositionality: An Invitation to Applied Category Theory 2018-10-12
_[4] 학술지 On universal mappings and free topological groups https://www.ams.org/[...]
_[5] 서적 1998
_[6] 서적 1998
_[7] 서적 1998
_[8] 서적 1998

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