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최대 최소 정리

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목차

1. 개요

최대·최소 정리는 콤팩트 집합을 정의역으로 하고 실수선을 공역으로 하는 연속 함수는 유계이며 최댓값과 최솟값을 갖는다는 정리이다. 이 정리는 닫힌 구간에 정의된 실숫값 연속 함수에도 적용된다. 최대 최소 정리는 귀류법과 볼차노-바이어슈트라스 정리를 이용하여 증명할 수 있으며, 비표준 해석학을 통해서도 증명할 수 있다. 이 정리는 거리 공간과 위상 공간으로 일반화될 수 있으며, 상반연속 함수와 하반연속 함수에도 적용된다. 함수의 정의역이 닫힌 구간이 아니거나, 함수가 불연속인 경우에는 최대 최소 정리가 성립하지 않을 수 있다.

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최대 최소 정리
개요
종류해석학 정리
분야실해석학
내용
관련 정리중간값 정리
평균값 정리

2. 정의

콤팩트 공간 X\ne\varnothing에서 정의되고 실수선 \mathbb R을 공역으로 갖는 연속 함수 f\colon X\to\mathbb R는 유계 함수이며, 최댓값과 최솟값을 갖는다.[2] 즉, 다음이 성립한다.


  • \sup_{x\in X}f(x)=\max_{x\in X}f(x)
  • \inf_{x\in X}f(x)=\min_{x\in X}f(x)


위를 만족시키는 x,y\in X가 존재하여, 임의의 z\in X에 대하여, f(x)\le f(z)\le f(y) 가 성립한다.

위상 공간론에서, 연속 함수는 콤팩트성을 보존하며, 실수선의 부분 집합이 콤팩트이기 위한 필요충분 조건은 유계 폐구간이 되는 것이다. 따라서 다음과 같은 극값 정리의 일반화가 유도된다.

; 정리: 공집합이 아닌 콤팩트 공간에서 정의된 실숫값 연속 함수는 위로 유계이며, 그 상한을 달성한다.

좀 더 일반적으로, 이 사실은 상반연속 함수에 대해서 성립한다.

2. 1. 닫힌구간에서의 최대 최소 정리

최대·최소 정리에 따르면, 닫힌구간에 정의된 실숫값 연속 함수 f\colon[a,b]\to\mathbb R는 유계 함수이며, 최댓값과 최솟값을 갖는다.

3. 증명

최대 최소 정리의 증명은 귀류법, 볼차노-바이어슈트라스 정리, 실수의 데데킨트 완비성 등을 사용하여 증명할 수 있다.

최댓값 정리의 증명에서는 그 중간 단계로 유계성 정리를 먼저 증명한다. 증명은 기본적으로 다음과 같은 단계를 밟아 진행한다.

# 유계성 정리를 증명한다.

# 상이 f의 상한에 수렴하는 수열을 얻는다.

# 얻어진 수열의 부분 수열로, f의 정의역에 속하는 점으로 수렴하는 것이 있음을 보인다.

# 연속성을 이용하여, 얻어진 부분 수열의 상이 f의 상한으로 수렴함을 보인다.

f의 상한(upper bound)과 최댓값에 대한 증명을 살펴본다. 이 결과를 함수 -f에 적용하면 하한의 존재와 f의 최솟값에 대한 결과가 도출된다. 또한 증명의 모든 과정은 실수(real numbers)의 범위 내에서 이루어진다는 점에 유의한다.[3]

3. 1. 유계성 정리

귀류법을 사용하여, 함수 f\colon X\to\mathbb R가 최댓값을 가지지 않는다고 가정하고, 유계성 정리를 증명한다. f가 연속 함수이므로, 임의의 x\in X에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 근방 U_x\ni x을 취할 수 있다.

:\sup_{y\in U_x}f(y)<\sup_{y\in X}f(y)

그렇다면, \{U_x\}_{x\in X}는 X의 덮개이며, X가 콤팩트 공간이므로 유한 부분 덮개 \{U_{x_1},\dots,U_{x_n}\}를 취할 수 있다. 따라서, 임의의 x\in X에 대하여,

:f(x)\le\max_{1\le k\le n}\sup_{y\in U_{x_k}}f(y)<\sup_{y\in X}f(y)

이며, 이는 상한의 정의와 모순이다. 따라서, f의 상한은 무한대가 아니며, 또한 f는 최댓값을 갖는다.

최대 최소 정리의 증명에서 f의 상한(upper bound)과 최댓값에 대한 증명을 살펴본다. 이 결과를 함수 -f에 적용하면 하한의 존재와 f의 최솟값에 대한 결과가 도출된다. 또한 증명의 모든 과정은 실수(real numbers)의 범위 내에서 이루어진다는 점에 유의한다.

먼저 극값 정리의 증명 단계인 유계성을 증명한다. 극값 정리 증명에 포함된 기본적인 단계는 다음과 같다.

# 유계성 정리를 증명한다.

# 상(Image (mathematics))(image)가 f의 상한(supremum)에 수렴하는 수열을 찾는다.

# 부분 수열(subsequence)이 함수의 정의 구역(domain of a function) 내의 한 점으로 수렴함을 보인다.

# 연속성을 사용하여 부분 수열의 상이 상한에 수렴함을 보인다.

'''유계 정리'''

만약 f(x)가 [a,b]에서 연속이면, [a,b]에서 유계이다.

함수 f가 구간 [a,b]에서 위로 유계가 아니라고 가정하자. 그러면 모든 자연수 n에 대해, f(x_n)>n을 만족하는 x_n \in [a,b]가 존재한다. 이것은 수열 (x_n)_{n \in \mathbb{N}}을 정의한다. [a,b]가 유계이므로, 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 ({x_n})의 수렴하는 부분 수열 (x_{n_k})_{k \in \mathbb{N}}이 존재한다. 그 극한을 x라고 하자. [a,b]는 닫혀있으므로, x를 포함한다. f가 x에서 연속이므로, f(x_{n_k})가 실수 f(x)로 수렴한다는 것을 안다 ( f가 x에서 수열 연속이므로). 하지만 모든 k에 대해 f(x_{n_k}) > n_k \geq k 이므로, f(x_{n_k})는 + \infty 로 발산하며, 이는 모순이다. 따라서, f는 [a,b]에서 위로 유계이다.

'''다른 증명'''

구간 [a,b]에서 f(x)가 [a,p]에서 유계인 점 p들의 집합 B를 고려하자. a는 그러한 점 중 하나인데, f(x)는 f(a) 값에 의해 [a,a]에서 유계이기 때문이다. 만약 e > a가 다른 점이라면, a와 e 사이의 모든 점들도 B에 속한다. 즉, B는 a로 왼쪽 끝이 닫힌 구간이다.

이제 f는 a에서 오른쪽으로 연속이므로, [a,a+\delta]에 있는 모든 x에 대해 |f(x) - f(a)| < 1을 만족하는 \delta>0가 존재한다. 따라서 f는 구간 [a,a+\delta]에서 f(a) - 1과 f(a)+1로 유계이므로, 이러한 모든 점들은 B에 속한다.

지금까지, B가 a로 왼쪽 끝이 닫히고 길이가 0이 아닌 구간임을 알고 있다.

다음으로, B는 b로 위로 유계이다. 따라서 집합 B는 [a,b]에서 상한을 갖는다; 이를 s라고 하자. B의 길이가 0이 아니므로, s > a임을 추론할 수 있다.

만약 s라고 가정하자. 이제 f는 s에서 연속이므로, [s-\delta,s+\delta]에 있는 모든 x에 대해 |f(x) - f(s)| < 1을 만족하는 \delta>0가 존재하므로, f는 이 구간에서 유계이다. 그러나 s의 상한에 의해, B에 속하는 점, 예를 들어 e가 s-\delta/2보다 크다는 것을 알 수 있다. 따라서 f는 [a,e]에서 유계이며, [s-\delta,s+\delta]와 겹치므로 f는 [a,s+\delta]에서 유계이다. 하지만 이것은 s의 상한에 모순된다.

따라서 s=b여야 한다. 이제 f는 s에서 왼쪽으로 연속이므로, [s-\delta,s]에 있는 모든 x에 대해 |f(x) - f(s)| < 1을 만족하는 \delta>0가 존재하므로, f는 이 구간에서 유계이다. 그러나 s의 상한에 의해, B에 속하는 점, 예를 들어 e가 s-\delta/2보다 크다는 것을 알 수 있다. 따라서 f는 [a,e]에서 유계이며, [s-\delta,s]와 겹치므로 f는 [a,s]에서 유계이다.

연속 함수 f가 유계 폐구간 [a, b] 위에서 위로 유계가 아니라고 가정하면, 각 자연수 n에 대해 f(x_n) > n이 되도록 하는 점 x_n \in [a,b]를 잡을 수 있으므로, 수열 \{x_n\}을 만들 수 있다. 구간 [a, b]는 유계이므로, 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 \{x_n\}의 수렴 부분 수열 \{x_{n_k}\}을 취할 수 있고, 여기서 그 수렴점을 x라고 하면 구간 [a, b]가 닫혀 있으므로 x는 이 구간에 속한다. f는 x에서 연속이므로 (f는 x에서 수열 연속) 부분 수열 \{f(x_{n_k})\}는 실수 f(x)로 수렴해야 하지만, f(x_{n_k}) > n_k \ge k가 임의의 k에 대해 성립하므로 \{f(x_{n_k})\}는 양의 무한대 +\infty로 발산하게 되므로, 이는 모순이다. 따라서 f는 유계 폐구간 [a, b]에서 유계이다.

3. 2. 최대 최소 정리 증명

귀류법을 사용하여, 함수 f\colon X\to\mathbb R가 최댓값을 가지지 않는다고 가정하자. f가 연속 함수이므로, 임의의 x\in X에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 근방 U_x\ni x을 취할 수 있다.

:\sup_{y\in U_x}f(y)<\sup_{y\in X}f(y)

\{U_x\}_{x\in X}는 X의 덮개이며, X가 콤팩트 공간이므로 유한 부분 덮개 \{U_{x_1},\dots,U_{x_n}\}를 취할 수 있다. 따라서, 임의의 x\in X에 대하여,

:f(x)\le\max_{1\le k\le n}\sup_{y\in U_{x_k}}f(y)<\sup_{y\in X}f(y)

이며, 이는 상한의 정의와 모순이다. 따라서, f의 상한은 무한대가 아니며, f는 최댓값을 갖는다.

최대 최소 정리의 증명에서 f의 상한(upper bound)과 최댓값에 대한 증명을 살펴본다. 이 결과를 함수 -f에 적용하면 하한의 존재와 f의 최솟값에 대한 결과가 도출된다. 또한 증명의 모든 과정은 실수(real numbers)의 범위 내에서 이루어진다는 점에 유의한다.

극값 정리 증명에 포함된 기본적인 단계는 다음과 같다.

# 유계성 정리를 증명한다.

# 상(Image (mathematics))(image)가 f의 상한(supremum)에 수렴하는 수열을 찾는다.

# 부분 수열(subsequence)이 함수의 정의 구역(domain of a function) 내의 한 점으로 수렴함을 보인다.

# 연속성을 사용하여 부분 수열의 상이 상한에 수렴함을 보인다.

'''유계성 정리의 증명'''

: 연속 함수 f가 유계 폐구간 [a, b] 위에서 위로 유계가 아니라고 가정하면, 각 자연수 n에 대해 점 x_n \in [a,b]를 f(x_n) > n이 되도록 잡을 수 있으므로, 수열 \{x_n\}을 만들 수 있다. 구간 [a, b]는 유계이므로, 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 \{x_n\}의 수렴 부분 수열 \{x_{n_k}\}을 취할 수 있고, 여기서 그 수렴점을 x라고 하면 구간 [a, b]가 닫혀 있으므로 x는 이 구간에 속한다. f는 x에서 연속이므로 (f는 x에서 수열 연속) 부분 수열 \{f(x_{n_k})\}는 실수 f(x)로 수렴해야 하지만, f(x_{n_k}) > n_k \ge k가 임의의 k에 대해 성립하므로 \{f(x_{n_k})\}는 양의 무한대 \infty로 발산하게 되므로, 이는 모순이다. 따라서 f는 유계 폐구간 [a, b]에서 유계이다.

'''최댓값 정리의 증명'''

: 유계성 정리에 의해 f는 위로 유계이므로, 실수의 데데킨트 완비성에 의해 f의 최소 상계(상한) M이 존재하므로, M = f(d)를 만족하는 점 d \in [a, b]를 찾으면 된다. 자연수 n에 대해, M이 최소 상계이면 M - 1/n은 f의 상계가 되지 않으므로, 적절한 d_n \in [a, b]이 존재하여 M - 1/n < f(d_n)이 되도록 할 수 있다. 이를 통해 수열 \{d_n\}을 만들 수 있다. 최소 상계 M은 f의 상계이므로, 임의의 n에 대해 M - 1/n < f(d_n) \le M이 성립하며, 따라서 수열 \{f(d_n)\}은 M으로 수렴한다.

: 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해, 적절한 d로 수렴하는 부분 수열 \{d_{n_k}\}이 존재하고, 구간 [a, b]가 닫혀 있으므로 d는 [a, b]에 속한다. f는 d에서 연속이므로, 수열 \{f(d_{n_k})\}는 f(d)로 수렴하지만, 수열 \{f(d_{n_k})\}은 M으로 수렴하는 수열 \{f(d_n)\}의 부분 수열이므로, M = f(d)이어야 한다. 따라서 f는 d에서 상한 M에 도달한다.

3. 3. 다양한 증명 방법

비표준 해석학에서, ''N''을 무한 초정수라 하고, 구간 [0, 1]의 초실수 확장 [0, 1]*을 고려한다. [0, 1]*을 ''N''개의 무한소 부분 구간으로 나누면, 각 구간의 길이는 1/''N''이고, 분할점은 ''xi'' = ''i'' /''N'' (''i''는 0부터 ''N''까지)이다. 함수 ''f''는 [0, 1]*에서 정의된 함수 ''f''*로 확장된다. 표준 설정(''N''이 유한)에서 함수 ''f''의 최댓값은 ''N''+1개의 점 ''xi'' 중에서 귀납법으로 찾을 수 있다. 전이 원리에 의해, 0 ≤ ''i''0 ≤ ''N''인 초정수 ''i''0''가 존재하여 모든 ''i''에 대해 f^*(x_{i_0})\geq f^*(x_i)를 만족한다.

실수 c = \mathbf{st}(x_{i_0})를 생각하자. ('''st'''는 표준 부분 함수) 임의의 실수 ''x''는 어떤 부분 구간 x\in [x_i,x_{i+1}]에 속하고, '''st'''(''xi'') = ''x''이다. f^*(x_{i_0})\geq f^*(x_i)에 '''st'''를 적용하면, \mathbf{st}(f^*(x_{i_0}))\geq \mathbf{st}(f^*(x_i))이다. ''f''의 연속성에 의해 \mathbf{st}(f^*(x_{i_0}))= f(\mathbf{st}(x_{i_0}))=f(c)이다.

따라서 모든 실수 ''x''에 대해 ''f''(''c'') ≥ ''f''(''x'')이므로, ''c''는 ''f''의 최댓값을 갖는 점이다.[3]

4. 역사

최대 최소 정리는 19세기 베르나르트 볼차노가 처음 증명했고, 이후 카를 바이어슈트라스가 재발견했다.[1] 볼차노는 1830년대 '함수론'에서 이 정리를 증명했지만, 그의 연구는 1930년에야 출판되었다. 볼차노의 증명은 닫힌 구간에서 연속 함수가 유계이며 최댓값과 최솟값을 갖는다는 것을 보였고, 이는 볼차노-바이어슈트라스 정리의 핵심 내용이다. 바이어슈트라스는 1860년에 이 정리를 독자적으로 재발견하여 이 정리는 그의 이름을 따서 불리기도 한다.

4. 1. 베르나르트 볼차노의 초기 연구

베르나르트 볼차노는 1830년대에 '함수론'이라는 연구에서 최대 최소 정리를 증명했지만, 이 연구는 1930년까지 출판되지 않았다.[1] 볼차노의 증명은 닫힌 구간에서 연속 함수가 유계임을 보이고, 그 함수가 최댓값과 최솟값을 갖는다는 것을 보이는 방식으로 구성되었다. 이 두 증명은 모두 오늘날 볼차노-바이어슈트라스 정리로 알려진 내용을 포함한다.

4. 2. 카를 바이어슈트라스의 재발견

카를 바이어슈트라스는 1860년대에 베르나르트 볼차노의 증명을 재발견했다. 볼차노의 증명은 폐구간에서 연속 함수가 유계이면 최댓값과 최솟값을 갖는다는 것을 보인 것이다. 이 증명은 오늘날 볼차노-바이어슈트라스 정리로 알려져 있다.

5. 일반화

실수선을 임의의 위상 공간으로 바꿀 때, 유계 폐구간에 대응하는 것은 콤팩트 공간이다. 위상 공간론에서, 연속 함수가 콤팩트성을 보존하는 것과 실수선의 부분 집합이 콤팩트이기 위한 필요충분 조건이 그것이 유계 폐구간이 되는 것임은 이미 알려져 있다. 따라서 다음과 같은 극값 정리(최대 최소 정리)의 일반화가 유도된다.

; 정리: 공집합이 아닌 콤팩트 공간에서 정의된 실숫값 연속 함수는 위로 유계이며, 그 상한을 달성한다.

좀 더 일반적으로, 이 사실은 상반연속 함수에 대해서도 성립한다.

5. 1. 거리 공간과 콤팩트 집합

수직선(\mathbb{R})에서 거리 공간과 일반적인 위상 공간으로 확장하면서, 닫힌 유계 구간의 적절한 일반화는 콤팩트 집합이다. 집합 K는 다음과 같은 성질을 만족하면 콤팩트하다고 한다. 모든 열린 집합 U_\alpha의 모임에서, \bigcup U_\alpha \supset K가 성립할 때, 유한한 부분 모임 U_{\alpha_1},\ldots,U_{\alpha_n}을 선택하여 \bigcup_{i=1}^n U_{\alpha_i} \supset K를 만족시킬 수 있다. 이는 일반적으로 "모든 K의 열린 덮개는 유한 부분 덮개를 갖는다"라고 간단하게 표현된다. 하이네-보렐 정리는 수직선의 부분 집합이 콤팩트하기 위한 필요충분조건은 닫혀있고 유계인 것이다. 이와 유사하게, 거리 공간은 모든 닫힌 유계 집합이 콤팩트할 때 하이네-보렐 성질을 갖는다고 한다.[2]

연속 함수의 개념 또한 마찬가지로 일반화될 수 있다. 위상 공간 V,\ W가 주어졌을 때, 함수 f:V\to W는 모든 열린 집합 U\subset W에 대해, f^{-1}(U)\subset V가 열린 집합일 경우 연속이라고 한다. 이러한 정의를 통해, 연속 함수는 콤팩트성을 보존한다는 것을 보일 수 있다.

만약 V,\ W가 위상 공간이고, f:V\to W가 연속 함수이며, K\subset V가 콤팩트하면, f(K)\subset W 또한 콤팩트하다.[2]

특히, 만약 W = \mathbb{R}이면, 이 정리는 모든 콤팩트 집합 K에 대해 f(K)가 닫혀있고 유계임을 의미하며, 이는 다시 f가 (공집합이 아닌) 모든 콤팩트 집합 K에서 상한과 하한을 갖는다는 것을 의미한다. 따라서, 우리는 다음과 같은 최대 최소 정리의 일반화를 얻는다.

만약 K가 공집합이 아닌 콤팩트 집합이고, f:K\to \mathbb{R}가 연속 함수라면, f는 유계이며, p,q\in K가 존재하여 f(p)=\sup_{x\in K} f(x) 및 f(q) = \inf_{x\in K} f(x)를 만족한다.[2]

5. 2. 위상 공간과 연속 함수

위상 공간 V,\ W가 주어졌을 때, 함수 f:V\to W는 모든 열린 집합 U\subset W에 대해, f^{-1}(U)\subset V가 열린 집합일 경우 연속이라고 한다. 이러한 정의를 통해, 연속 함수는 콤팩트성을 보존한다는 것을 보일 수 있다.[2]

'''정리'''

:V,\ W가 위상 공간이고, f:V\to W가 연속 함수이며, K\subset V가 콤팩트하면, f(K)\subset W 또한 콤팩트하다.

특히, 만약 W = \mathbb{R}이면, 이 정리는 모든 콤팩트 집합 K에 대해 f(K)가 닫혀있고 유계임을 의미하며, 이는 다시 f가 (공집합이 아닌) 모든 콤팩트 집합 K에서 상한과 하한을 갖는다는 것을 의미한다. 따라서, 우리는 다음과 같은 최대 최소 정리의 일반화를 얻는다.[2]

'''정리'''

:만약 K가 공집합이 아닌 콤팩트 집합이고, f:K\to \mathbb{R}가 연속 함수라면, f는 유계이며, p,q\in K가 존재하여 f(p)=\sup_{x\in K} f(x) 및 f(q) = \inf_{x\in K} f(x)를 만족한다.

좀 더 일반적으로, 이는 위쪽 반연속 함수에도 적용된다. (콤팩트 공간#함수와 콤팩트 공간 참조).

실수선을 임의의 위상 공간으로 바꿀 때, 유계 폐구간에 대응하는 것은 콤팩트 공간이다. 위상 공간론에서, 연속 함수가 콤팩트성을 보존하는 것, 그리고 실수선의 부분 집합이 콤팩트이기 위한 필요충분 조건이 그것이 유계 폐구간이 되는 것임은 이미 알려져 있다. 따라서 다음과 같은 극값 정리의 일반화가 유도된다.

'''정리'''

:공집합이 아닌 콤팩트 공간에서 정의된 실숫값 연속 함수는 위로 유계이며, 그 상한을 달성한다.

좀 더 일반적으로, 이 사실은 상반연속 함수에 대해서 성립한다.

5. 3. 반연속 함수

함수 ''f''의 연속성이 반연속성으로 약화되면, 경계 정리와 최대 최소 정리의 해당 절반이 성립하며, 확장된 실수선에서 -∞ 또는 +∞ 값을 허용할 수 있다.

함수 f : [a, b] \to [-\infty, \infty)가 모든 x \in [a, b]에 대해 다음을 만족하면 ''상반연속''이라고 한다.

:\limsup_{y\to x} f(y) \le f(x)

'''정리'''

: 함수 f : [a, b] \to [-\infty, \infty)가 상반연속이면, ''f''는 위로 유계이며 상한을 달성한다.

'''증명'''

: f(x) = - \infty (모든 ''x'' in [''a'',''b''])이면, 상한도 -\infty이며 정리는 참이다. 다른 모든 경우, 증명은 위에 주어진 증명의 약간의 수정이다. 경계 정리의 증명에서, ''x''에서의 ''f''의 상반연속성은 {''f''(''xnk'')}의 상극한이 ''f''(''x'') < ∞로 위로 유계임을 의미하지만, 이것은 모순을 얻기에 충분하다. 최대 최소 정리의 증명에서, ''d''에서의 ''f''의 상반연속성은 수열 {''f''(''dnk'')}의 상극한이 ''f''(''d'')로 위로 유계임을 의미하지만, 이는 ''f''(''d'') = ''M''임을 결론 내리기에 충분하다. ∎

이 결과를 -''f''에 적용하면 하반연속 함수의 하한에 대한 유사한 결과를 증명한다.

함수 f : [a, b] \to [-\infty, \infty)가 모든 x \in [a, b]에 대해 다음을 만족하면 ''하반연속''이라고 한다.

:\liminf_{y\to x} f(y) \geq f(x)

'''정리'''

: 함수 f : [a, b] \to (-\infty, \infty]가 하반연속이면, ''f''는 아래로 유계이며 하한을 달성한다.

실수 값 함수는 상반연속과 하반연속을 모두 가지면, 일반적인 의미에서 연속이다. 따라서 이 두 정리는 경계 정리와 최대 최소 정리를 함축한다.

6. 적용되지 않는 예시

함수의 정의역이 닫힌구간이 아니거나, 함수가 불연속인 경우 최대·최소 정리가 성립하지 않을 수 있다.[1]


  • 정의역이 닫힌구간이 아닌 경우: 열린 구간이나 반열린 구간에서는 최댓값 또는 최솟값이 존재하지 않을 수 있다.
  • 함수가 불연속인 경우: 함수가 불연속이면 닫힌구간에서도 최댓값 또는 최솟값을 갖지 않을 수 있다.

6. 1. 정의역이 닫힌구간이 아닌 경우

열린 구간이나 반열린 구간에서는 최댓값 또는 최솟값이 존재하지 않을 수 있다. 다음은 그 예시들이다.[1]

함수정의역설명
f(x)=x[0, \infty)위로 유계가 아니다.
f(x)= \frac{x}{1+x}[0, \infty)유계이지만, 최소 상한 1을 갖지 않는다.
f(x)= \frac{1}{x}(0,1]위로 유계가 아니다.
f(x) = 1-x(0,1]유계이지만, 최소 상한 1을 절대 갖지 않는다.



마지막 두 예시에서 f(0)=0으로 정의하면, 최대 최소 정리가 성립하기 위해서는 닫힌 구간에서의 연속성이 요구됨을 보여준다.[1]

6. 2. 함수가 불연속인 경우

최대 최소 정리에 따르면, 함수가 불연속이면 닫힌구간에서도 최댓값 또는 최솟값을 갖지 않을 수 있다. 다음은 그 예시이다.[1]

  • 정의역이 (0, 1]인 함수 f(x) = \frac{1}{x}는 위로 유계가 아니다.
  • 정의역이 (0, 1]인 함수 f(x) = 1 - x는 유계이지만, 상한 값 1을 갖는 점 x가 존재하지 않는다.


위의 예시에서 f(0) = 0으로 정의하면, 최대 최소 정리에서 닫힌 구간에서의 연속성을 요구하는 이유를 알 수 있다.[1]

참조

[1] 논문 Bolzano and Uniform Continuity
[2] 서적 Principles of Mathematical Analysis https://archive.org/[...] McGraw Hill
[3] 서적 Elementary Calculus : An Infinitesimal Approach https://www.math.wis[...] Prindle, Weber & Schmidt


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