샤우데르 기저
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1. 개요
샤우데르 기저는 위상 벡터 공간의 원소를 무한 급수의 형태로 나타내는 데 사용되는 원소들의 수열이다. 위상체 K 위의 위상 벡터 공간 V의 샤우데르 기저 {ei}i=1N은 임의의 원소 v∈V에 대해 v=∑i=1N aiei를 만족하는 수열 {ai}i=1N⊂K가 유일하게 존재해야 하며, 급수의 수렴은 V의 위상으로 정의된다. 샤우데르 기저의 순서는 무한 차원인 경우에 중요하며, 유한 차원에서는 일반적인 기저와 동일하다. 샤우데르 기저는 정규 샤우데르 기저, 무조건 샤우데르 기저, 기본열, 무조건 기본열 등으로 분류될 수 있으며, 바나흐 공간의 성질과 밀접한 관련이 있다. 특히, 샤우데르 기저가 있는 바나흐 공간은 가분 공간이며, 균등 유계성, 분해 가능 공간과의 관계, 기본열, 푸리에 급수와의 관계, 연산자 공간의 기저, 쌍대성 등 다양한 성질을 갖는다.
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샤우데르 기저 | |
---|---|
샤우데르 기저 | |
유형 | 수학적 개념 |
분야 | 함수해석학 |
정의 | 바나흐 공간의 모든 원소를 기저의 선형 결합으로 유일하게 표현할 수 있는 기저 |
역사 | 정의자: 줄리우시 샤우데르 정의 연도: 1927년 |
참고 문헌 | Schauder, Juliusz (1928) 조총만 (2000). 바나흐공간론. 아카넷. |
2. 정의
위상체 위의 위상 벡터 공간 가 주어졌을 때, 샤우데르 기저는 의 원소들로 구성된 수열이다. 이 수열은 안의 모든 원소를 유일한 무한 급수로 표현할 수 있게 해준다.
샤우데르 기저에서 기저를 이루는 원소들의 순서는 중요하다. 급수의 수렴이 절대 수렴이 아닐 수 있기 때문에, 무한 차원의 샤우데르 기저에서는 순서가 바뀌면 급수의 수렴 여부나 수렴값이 달라질 수 있다. 반면, 유한 차원의 샤우데르 기저는 순서에 영향을 받지 않으며, 이 경우 벡터 공간의 일반적인 기저 개념과 일치한다.
일부 저자는 샤우데르 기저를 가산으로 정의하지만, 다른 저자는 비가산 기저를 포함하는 용어로 사용하기도 한다. 비가산 샤우데르 기저는 수열이 아닌 선형 순서 집합이며, 각 합은 이 선형 순서로부터 항의 순서를 상속받는다. 예를 들어, 가분 힐베르트 공간은 가산 샤우데르 기저만 가질 수 있지만, 비가산 힐베르트 공간은 비가산 기저를 가질 수 있다.
샤우데르 기저가 바나흐 공간 ''V''에서 모든 기저 벡터의 노름이 1일 때 '''정규화'''되었다고 한다.
''V''의 수열 {''x''''n''}''n'' ≥ 0는 자신의 닫힌 선형 덮개의 샤우데르 기저이면 '''기본 수열'''이다.
''V''의 샤우데르 기저 {''b''''n''}와 ''W''의 샤우데르 기저 {''c''''n''}는 모든 자연수 ''N'' ≥ 0과 모든 스칼라 수열 {α''n''}에 대해,
:
을 만족하는 두 상수 ''c'' > 0와 ''C''가 존재하면 '''동등'''하다고 한다.
''V''의 벡터 집합은 그 선형 덮개(유한 선형 결합의 집합)가 ''V''에서 조밀하면 '''전체'''라고 한다. ''V''가 힐베르트 공간인 경우, '''직교 기저'''는 ''B''의 원소가 0이 아니고 쌍별로 직교하는 ''V''의 ''전체'' 부분 집합 ''B''이다. 또한, ''B''의 각 원소가 노름 1을 가지면, ''B''는 ''V''의 '''정규 직교 기저'''이다.
2. 1. 샤우데르 기저
라고 하자. 위상체 위의 위상 벡터 공간 위의 '''샤우데르 기저''' 는 다음 조건을 만족시키는 원소들의 열이다.일 경우, 샤우데르 기저의 순서가 중요한데, 이는 위 급수의 수렴이 절대 수렴이 아닐 수 있기 때문이다. 반면, 일 경우 샤우데르 기저의 순서는 중요하지 않으며, 이 경우 벡터 공간의 일반적 기저의 개념과 일치한다.
바나흐 공간 위의 샤우데르 기저 가 다음 조건을 만족시킨다면, '''정규 샤우데르 기저'''(正規Schauder基底, normalized Schauder basis영어)라고 한다.
- 모든 에 대하여,
''V''를 위상 벡터 공간으로, 체 ''F'' 위에서 정의하자. '''샤우데르 기저'''는 ''V''의 원소로 이루어진 수열 {''b''''n''}이며, 모든 원소 ''v'' ∈ ''V''에 대해,
:
이 성립하는 ''유일한'' 스칼라 수열 {α''n''}이 존재한다. 무한 합의 수렴은 암묵적으로 주변 위상의 수렴, 즉
:
이지만, 노름 공간 (예: 바나흐 공간)에서 약한 수렴으로 줄일 수 있다.[4] 하멜 기저와 달리, 기저의 원소는 순서를 가져야 하는데, 이는 급수가 무조건 수렴하지 않을 수 있기 때문이다.
2. 2. 정규 샤우데르 기저
바나흐 공간 위의 샤우데르 기저 가 다음 조건을 만족시킨다면, '''정규 샤우데르 기저'''(正規Schauder基底, normalized Schauder basis영어)라고 한다.- 모든 에 대하여,
2. 3. 무조건 샤우데르 기저
위상 벡터 공간 위의 샤우데르 기저 가 다음 조건을 만족시킨다면, '''무조건 샤우데르 기저'''(unconditional Schauder basis영어)라고 한다.- 임의의 및 의 임의의 순열 에 대하여, 라고 하면, 역시 수렴한다.
무조건 샤우데르 기저는 전순서를 무시할 수 있다. 인 샤우데르 기저는 무조건 샤우데르 기저이다.
샤우데르 기저 {''b''''n''}는 수열 이 수렴할 때 무조건 수렴하면 '''무조건적'''이다. 샤우데르 기저 {''b''''n''}에 대해, 다음 부등식을 만족하는 상수 ''C''가 존재한다.
:
위 부등식은 모든 자연수 ''n'', 모든 스칼라 계수 {α''k''}, 모든 부호 에 대해 성립한다. 무조건성은 합의 순서를 무시할 수 있게 해주기 때문에 중요한 속성이다.
수열 공간 ''c''0 및 ℓ''p'' (1 ≤ ''p'' < ∞)의 표준 기저뿐만 아니라 힐베르트 공간의 모든 정규 직교 기저는 무조건적이다.
삼각 함수 시스템은 ''p'' = 2를 제외하고는 ''Lp''에서 무조건 기저가 아니다.
하르 시스템은 1 < ''p'' < ∞인 모든 ''p''에 대해 ''Lp''에서 무조건 기저이다. 공간 ''L''1([0, 1])은 무조건 기저가 없다.[20]
모든 무한 차원 바나흐 공간이 무조건 기저를 가진 무한 차원 부분 공간을 갖는지에 대한 질문이 있었으나, 1992년 티모시 고워스와 베르나르 마우레이에 의해 부정적으로 해결되었다.[21]
3. 성질
Banach space|바나흐 공간영어 '''F''' ('''R'''영어 또는 '''C'''영어) 상의 샤우데르 기저 {''bn''}이 주어졌을 때, 열린 사상 정리에 의해 다음과 같이 정의된 선형 사상 {''Pn''}은 어떤 상수 ''C''에 의해 균등하게 제한된다.[5]
:
여기서 일 때, 이 기저를 '''단조 기저'''라고 한다. 사상 {''Pn''}는 '''기저 사영'''이다.
{''b*n''}을 '''좌표 범함수'''라고 표시하며, 여기서 ''b*n''은 위의 전개에서 ''V''의 모든 벡터 ''v''에 좌표 α''n''을 할당한다. 각 ''b*n''은 ''V''에서 유계 선형 범함수이다. 실제로, ''V''의 모든 벡터 ''v''에 대해 다음이 성립한다.
:
이러한 범함수 {''b*n''}은 기저 {''b''''n''}에 연관된 '''쌍직교 범함수'''라고 불린다. 기저 {''b''''n''}이 정규화되면, 좌표 범함수 {''b*n''}은 ''V''의 연속 쌍대에서 노름 ≤ 2''C''를 갖는다.[5]
샤우데르 기저가 있는 바나흐 공간은 가분이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 샤우데르 기저가 있는 바나흐 공간 ''V''의 모든 벡터 ''v''는 유한 차원이며 균등하게 유계인 ''Pn''(''v'')의 극한이므로, 이러한 공간 ''V''는 유계 근사 성질을 만족한다.
마주르의 정리에 따르면, 모든 무한 차원 바나흐 공간 ''V''는 기본 수열을 포함한다. 즉, 샤우데르 기저를 갖는 ''V''의 무한 차원 부분 공간이 존재한다. 모든 가분 바나흐 공간이 샤우데르 기저를 갖는지에 대한 질문인 '''기저 문제'''는 페르 엔플로에 의해 부정적으로 해결되었는데, 그는 근사 성질을 갖지 않는 가분 바나흐 공간을 구성하여 샤우데르 기저가 없는 공간을 제시하였다.[7]
샤우데르 기저 {''b''''n''}에서 수열 이 무조건 수렴하면, 이 기저를 '''무조건적'''이라고 한다. 이는 상수 ''C''가 존재하여 다음 부등식이 성립하는 것과 동치이다.
:
여기서 ''n''은 자연수, {α''k''}는 스칼라 계수, ε''k''는 ±1의 부호이다. 무조건성은 합의 순서를 무시할 수 있게 해주므로 중요한 속성이다. 샤우데르 기저가 무조건적이고 모든 순열과 균등하게 동등하면 '''대칭적'''이다. 즉, 상수 ''C''가 존재하여 다음 부등식이 성립한다.
:
여기서 ''n''은 자연수, π는 집합 {0, 1, ..., ''n''}의 순열, {α''k''}는 스칼라 계수, {ε''k''}는 ±1의 부호이다.
수열 공간 ''c''0 및 ℓ''p'' (1 ≤ ''p'' < ∞)의 표준 기저뿐만 아니라 힐베르트 공간의 모든 정규 직교 기저는 무조건적이며, 이 기저들은 또한 대칭적이다.
삼각 함수 시스템은 ''p'' = 2를 제외하고는 ''Lp''에서 무조건 기저가 아니다.
하르 시스템은 1 < ''p'' < ∞인 모든 ''p''에 대해 ''Lp''에서 무조건 기저이다. 공간 ''L''1([0, 1])은 무조건 기저가 없다.[20]
모든 무한 차원 바나흐 공간이 무조건 기저를 가진 무한 차원 부분 공간을 갖는지에 대한 질문은 티모시 고워스와 베르나르 마우레이에 의해 부정적으로 해결되었다.[21]
3. 1. 균등 유계성
Banach space영어 공간 의 샤우데르 기저 가 주어졌을 때, 각 기저 벡터에 대응하는 계수를 추출하는 작용소:
는 모두 유계 작용소이다. 만약 가 정규 샤우데르 기저라면, 균등 유계성 원리에 따라
:
이다. 여기서 는 작용소 노름이다.[5]
을 의 샤우데르 기저라고 하면, 다음과 같이 정의된 선형 사상 은 어떤 상수 에 의해 균등하게 제한된다.
:
이때 상수 이라면, 이 기저는 단조 기저라고 불린다. 은 기저 사영이다.
을 좌표 범함수라고 표시하며, 은 위의 전개에서 의 모든 벡터 에 좌표 을 할당한다. 각 은 에서 유계 선형 범함수이다. 실제로, 의 모든 벡터 에 대해,
:
이러한 범함수 은 기저 에 연관된 쌍직교 범함수라고 불린다. 기저 이 정규화되면, 좌표 범함수 은 의 연속 쌍대에서 노름 를 갖는다.[5]
3. 2. 분해 가능 공간과의 관계
바나흐 공간이 샤우데르 기저를 가지면 항상 분해 가능 공간이다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다.이고, -바나흐 공간 의 샤우데르 기저 이 주어졌다고 하자. ()
:
를 정의하고,
:
를 생각하자. 는 가산 집합이므로, 가 조밀 집합임을 보이면 된다.
임의의 원소
:
및 임의의 양의 실수 가 주어졌다고 하자. 인 를 찾으면 된다.
의 조밀성으로 인하여,
:
인 를 고를 수 있다. 그렇다면
:
로 놓으면, 삼각 부등식으로 인하여
:
이다.
하지만, 샤우데르 기저를 갖지 않는 분해 가능한 바나흐 공간이 존재한다.[28]
3. 3. 기본열
바나흐 공간 의 원소의 열 가 다음 선형 생성의 폐포의 샤우데르 기저를 이룬다면, 이를 '''기본열'''(basic sequence영어)이라고 한다.:
만약 기본열이 그 선형 생성의 폐포의 무조건 샤우데르 기저를 이룬다면, 이를 '''무조건 기본열'''(unconditional basic sequence영어)이라고 한다.
모든 무한 차원 바나흐 공간은 기본열을 가진다. 그러나 무조건 기본열을 갖지 않는 무한 차원 바나흐 공간이 존재한다.[29]
4. 예
분해 가능 힐베르트 공간의 정규 직교 기저는 항상 무조건 샤우데르 기저이다.
L''p'' 공간 에서 표준 기저
:
는 에 대하여 샤우데르 기저를 이룬다.
''c''0와 1 ≤ ''p'' < ∞에 대한 ℓ''p''의 표준 단위 벡터 기저는 단조 샤우데르 기저이다. 여기서 단위 벡터 기저 {''bn''}는 각 좌표 ''bn, j''가 0이고 ''n''번째 좌표만 1인 스칼라 수열이다.
:
여기서 δ''n, j''는 크로네커 델타이다.
분리 가능한 힐베르트 공간의 모든 정규 직교 기저는 샤우데르 기저이다.
하르 시스템은 1 ≤ ''p'' < ∞일 때 ''L''''p''([0, 1])의 기저의 한 예이다.[2]
Faber–Schauder영어 시스템은 상한 노름을 가지는 바나흐 공간 ''C''([0, 1])에서 가장 일반적으로 사용되는 샤우데르 기저이다.[3][8]
디스크 대수 ''A''(''D'')가 샤우데르 기저를 가지는지에 대한 문제는 1974년 보카레프가 프랭클린 시스템에서 구성된 기저가 ''A''(''D'')에 존재함을 보일 때까지 40년 이상 해결되지 않았다.[9]
프랭클린 시스템은 ''C''([0, 1])의 또 다른 샤우데르 기저이며,[12] 일 때 ''L''''p''([0, 1])의 샤우데르 기저이다.[13]
실수 경우, {''x''''n''}를 다음과 같은 함수열인 삼각 시스템이라고 하자.
:
이 삼각 시스템은 인 모든 ''p''에 대해 ''L''''p''([0, 2''π'']) 공간에 대한 샤우데르 기저이다.
5. 역사
율리우시 샤우데르가 1927년에 샤우데르 기저를 도입하였다.[30]
스타니스와프 마주르는 1936년 11월 6일에 모든 분해 가능 바나흐 공간이 샤우데르 기저를 가지는지에 대한 문제를 제기하였고, 이 문제를 증명하는 사람에게 살아있는 거위를 상으로 주겠다고 하였다. 1973년에 스웨덴의 페르 엔플로가 이 문제에 대한 반례를 제시하여,[28] 마주르는 엔플로에게 살아있는 거위를 선물하였다. 이 사건은 폴란드 전역에 텔레비전으로 중계되었다.
6. 푸리에 급수와의 관계
다음과 같은 삼각 시스템
:
또는
:
은 인 모든 ''p''에 대해 ''L''''p''([0, 2''π'']) 공간에서 샤우데르 기저를 이룬다.[16] ''p'' = 2인 경우는 리스-피셔 정리의 내용이며, ''p'' ≠ 2인 경우는 원 위의 힐베르트 변환이 ''L''''p''([0, 2''π'']) 공간에서 유계하다는 결과이다.
이 유계성으로부터 다음과 같이 정의된 사영 ''P''''N''이
:
일 때, ''L''''p''([0, 2''π''])에서 균일하게 유계이다. 이 사상족 {''P''''N''}는 등연속이며, 삼각 다항식으로 구성된 조밀한 부분 집합에서 항등 사상으로 수렴한다. 따라서 모든 에 대해 ''P''''N''''f''는 ''L''''p''-노름에서 ''f''로 수렴한다. 즉, {''x''''n''}은 ''L''''p''([0, 2''π''])의 샤우데르 기저이다.[16]
하지만, {''xn''}은 ''L''1([0, 2''π''])에 대한 샤우데르 기저가 아니다. 이는 푸리에 급수가 ''L''1 노름에서 수렴하지 않는 ''L''1의 함수가 존재한다는 것을 의미하며, 이는 사영 ''P''''N''이 ''L''1-노름에서 균일하게 유계가 아니라는 것과 같다. 또한, 집합 {''xn''}은 ''C''([0, 2''π''])에 대한 샤우데르 기저가 아니다.
7. 연산자 공간의 기저
힐베르트 공간 ℓ2 상의 콤팩트 연산자들의 공간 ''K''(ℓ2)는 샤우데르 기저를 갖는다.[17] ℓ2의 모든 ''x'', ''y''에 대해, ''x'' ⊗ ''y''는 랭크 1 연산자 ''v'' ∈ ℓ2 → <''v'', ''x'' > ''y''를 나타낸다. 만약 {''e''''n''}''n'' ≥ 1이 ℓ2의 표준 정규 직교 기저라면, ''K''(ℓ2)의 기저는 다음 수열로 주어진다.[17]
: e1 ⊗ e1, e1 ⊗ e2, e2 ⊗ e2, e2 ⊗ e1, ...
: e1 ⊗ en, e2 ⊗ en, ..., en ⊗ en, en ⊗ en-1, ..., en ⊗ e1, ...
모든 ''n''에 대해, 이 기저의 처음 ''n''2개의 벡터로 구성된 수열은 1 ≤ ''j'', ''k'' ≤ ''n''에 대해 {''e''''j'' ⊗ ''e''''k''}의 적절한 순서이다.
앞선 결과는 일반화될 수 있다. 기저를 가진 바나흐 공간 ''X''는 근사 성질을 가지므로, ''X'' 상의 콤팩트 연산자 공간 ''K''(''X'')는 주입적 텐서 곱과 등거리적으로 동형이다.[18]
: X' ⊗ε X ≃ K(X)
만약 ''X''가 쌍대 직교 범함수가 쌍대 공간의 기저(즉, 수축 기저)인 샤우데르 기저 {''e''''n''}''n'' ≥ 1를 가진 바나흐 공간이라면, 공간 ''K''(''X'')는 이전과 같은 순서로 ''e''*''j'' ⊗ ''e''''k'' : ''v'' → ''e''*''j''(''v'') ''e''''k''와 같은 랭크 1 연산자로 형성된 기저를 갖는다.[17] 이는 특히 샤우데르 기저를 가진 모든 반사 공간 ''X''에 적용된다.
반면에, 공간 ''B''(ℓ2)는 분리 가능하지 않으므로 기저가 없다. 또한, ''B''(ℓ2)는 근사 성질을 갖지 않는다.[19]
8. 쌍대성
로버트 C. 제임스(Robert C. James)는 바나흐 공간의 반사성을 기저를 통해 특징지었다. 샤우데르 기저를 갖는 공간 ''X''가 반사 공간이 되려면, 기저가 수축하고 유계 완전해야 한다.[24] 제임스는 또한 무조건부 기저를 갖는 공간이 ''c''0 또는 ℓ1과 동형인 부분 공간을 포함하는 경우에만 비반사적임을 증명했다.[25]
8. 1. 유계 완전 기저
바나흐 공간 ''X''의 기저 는 부분 합:
이 ''X''에서 유계인 모든 스칼라 수열 에 대해 수열 이 ''X''에서 수렴하면 '''유계 완전'''이라고 한다. ℓ''p''영어 (1 ≤ ''p'' < ∞)의 단위 벡터 기저는 유계 완전하다. 그러나 단위 벡터 기저는 ''c''0에서 유계 완전하지 않다. 실제로, 모든 ''n''에 대해 ''an'' = 1영어이면
:
이 모든 ''n''에 대해 성립하지만, 수열 {''Vn''영어}은 ''c''0에서 수렴하지 않는다. 왜냐하면 모든 ''n''에 대해 ||''V''''n''+1 − ''V''''n''|| = 1이기 때문이다.
유계 완전 기저 를 갖는 공간 ''X''는 쌍대 공간과 동형인데, 즉 공간 ''X''는 기저 {''en''영어}와 연관된 쌍직교 범함수의 쌍대 공간의 닫힌 선형 덮개의 쌍대 공간과 동형이다.[22]
8. 2. 수축 기저
Banach영어 공간 ''X''의 기저는 ''X''상의 모든 유계 선형 범함수 ''f''에 대해 비음수 수의 수열:
참조
[1]
문서
[2]
저널
Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems
[3]
문서
Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar
http://www-gdz.sub.u[...]
[4]
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Bases in Banach spaces
https://projecteucli[...]
1948-12
[5]
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저널
A counterexample to the approximation problem in Banach spaces
1973-07
[8]
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[9]
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[10]
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[11]
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저널
A set of continuous orthogonal functions
[13]
문서
[14]
저널
[15]
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[16]
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[18]
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The unconditional basic sequence problem
1992-05-06
[22]
문서
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문서
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[26]
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A short course on Banach space theory
Cambridge University Press
[27]
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바나하공간론
http://www.acanet.co[...]
아카넷
2017-01-01
[28]
저널
A counterexample to the approximation problem in Banach spaces
http://www.cnd.mcgil[...]
2016-06-06
[29]
저널
The unconditional basic sequence problem
1993-10
[30]
저널
Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalraumen
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