팔각형

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1. 개요
2. 성질
- 2.1. 정팔각형
3. 넓이
4. 작도
5. 대칭
6. 엇팔각형
7. 한국 전통 문화 속 팔각형
8. 현대 사회 속 팔각형
9. 팔각형에서 파생된 도형
10. 기타
참조

1. 개요

팔각형은 8개의 변과 8개의 꼭짓점을 가진 다각형이다. 모든 팔각형의 내각의 합은 1080°이며, 외각의 합은 360°이다. 특히 모든 변의 길이가 같고 내각의 크기가 같은 정팔각형은 8개의 대칭선과 8차 회전 대칭을 가지며, 슐래플리 기호 {8}로 나타낸다. 정팔각형의 넓이는 변의 길이, 외접원 또는 내접원의 반지름을 통해 계산할 수 있으며, 자와 컴퍼스를 사용하여 작도할 수 있다. 팔각형은 다양한 건축물, 표지판, 상품 디자인 등에서 활용되며, 종합격투기 링인 옥타곤, 정지 표지판, 장기 말 등 실생활에서도 찾아볼 수 있다.

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팔각형
개요
팔각형
정의	여덟 개의 변과 여덟 개의 각을 가진 다각형
종류별 팔각형
볼록 팔각형	모든 내각이 180°보다 작은 팔각형
오목 팔각형	적어도 하나의 내각이 180°보다 큰 팔각형
정팔각형	여덟 개의 변의 길이가 모두 같고, 여덟 개의 각의 크기가 모두 같은 팔각형
정팔각형의 성질
내각의 크기	135°
외각의 크기	45°
대칭성	Dih8 (order 16)
넓이
공식 (변의 길이 'a'일 때)	2(1 + √2)a^2 ≈ 4.828 a^2
활용
건축	팔각형 건물, 팔각형 방 등
디자인	로고, 장식 등
격투기	UFC 경기장 (별칭: 옥타곤)
어원
어원	그리스어 ὀκτάγωνον (oktágōnon, "여덟 각")

2. 성질

모든 팔각형의 내각의 합은 1080°이고, 외각의 합은 360°이다.

팔각형의 변에 정사각형을 모두 내부 또는 모두 외부에 구성하면, 반대쪽 정사각형의 중심을 연결하는 선분의 중점은 등대각 사각형이자 직교대각 사각형인 사각형을 형성한다.^[2] 즉, 대각선의 길이가 같고 서로 직각을 이룬다.

참조 팔각형의 중점 다각형은 참조 팔각형 변의 중점에 8개의 꼭짓점을 가진다. 중점 팔각형의 변에 정사각형을 모두 내부 또는 모두 외부에 구성하면 반대쪽 정사각형의 중심을 연결하는 선분의 중점 자체가 정사각형의 꼭짓점을 형성한다.^[2]

2. 1. 정팔각형

정팔각형은 모든 변의 길이가 같고, 모든 내각의 크기가 같은 팔각형이다. 정팔각형의 한 내각의 크기는 135°이고, 외각과 중심각은 45°이다. 정팔각형은 8개의 반사 대칭선과 8차 회전 대칭을 갖는다. 슐래플리 기호로는 {8}로 표시된다.

정팔각형에서 하나의 외각과 중심각은 45°이며, 내각은 135°이다. 한 변의 길이를 a|에이^영어라고 하면, 둘레는 8''a''이며, 면적 A|에이^영어는 다음과 같다.

:

은 유리수와 제곱근으로 나타낼 수 있다.

:

3. 넓이

한 변의 길이가 $a$ 인 정팔각형의 넓이는 다음과 같다.

: $A = 2a^2 \cot \frac{\pi}{8} = (2+2\sqrt{2})a^2 \approx 4.828a^2$

외접원의 반지름이 $R$ 일 때 정팔각형의 넓이는 다음과 같다.

: $A = 4R^2 \sin \frac{\pi}{4} = 2\sqrt{2}R^2 \approx 2.828R^2$

내접원의 반지름이 $r$ 일 때 정팔각형의 넓이는 다음과 같다.

: $A = 8 \tan \frac{\pi}{8} r^2 = 8(\sqrt{2}-1)r^2 \approx 3.314r^2$

정팔각형의 넓이는 길이(두 번째로 짧은 대각선) ''S''를 사용하여 다음과 같이 표현될 수 있다.

: $A=S^2-a^2$

길이 ''S''와 변의 길이 ''a''는 다음과 같은 관계를 갖는다.

: $S=\frac{a}{\sqrt{2}}+a+\frac{a}{\sqrt{2}}=(1+\sqrt{2})a \approx 2.414a$

4. 작도

정팔각형은 8 = 2³, 즉 2의 거듭제곱이므로 자와 컴퍼스를 사용하여 작도할 수 있다.

주어진 외접원에 내접하는 정팔각형은 다음과 같이 작도할 수 있다.

순서	설명
1	원을 그리고 지름 AOE를 그린다. 여기서 O는 중심이고 A, E는 외접원 위의 점이다.
2	AOE에 수직인 다른 지름 GOC를 그린다. (참고로 A, C, E, G는 정사각형의 꼭짓점이다.)
3	GOA와 EOG의 직각 이등분선을 그려 두 개의 지름 HOD와 FOB를 만든다.
4	A, B, C, D, E, F, G, H는 팔각형의 꼭짓점이다.

정팔각형은 메카노 바를 사용하여 작도할 수도 있다. 크기 4의 바 12개, 크기 5의 바 3개, 크기 6의 바 2개가 필요하다.

5. 대칭

정팔각형은 Dih₈ 대칭, 차수 16을 갖는다. 3개의 이면군: Dih₄, Dih₂, Dih₁ 및 4개의 순환군: Z₈, Z₄, Z₂, Z₁이 있다.

정팔각형의 열한 가지 대칭. 반사선은 꼭짓점을 통과하는 파란색, 변을 통과하는 보라색이며, 회전 차수는 중앙에 표시됩니다. 꼭짓점은 대칭 위치에 따라 색상이 지정됩니다.

정팔각형에는 열한 가지의 뚜렷한 대칭이 있다. 존 콘웨이는 완전 대칭을 '''r16'''로 표기한다.^[6] 이면 대칭은 꼭짓점을 통과하는지(대각선: '''d''') 또는 변을 통과하는지(수직: '''p''')에 따라 나뉜다. 중간 열의 순환 대칭은 중심 회전 차수에 따라 '''g'''로 표시된다. 정규 형태의 완전 대칭은 '''r16'''이며, 대칭이 없는 것은 '''a1'''로 표시된다.

가장 일반적인 고대칭 팔각형은 등각 팔각형 '''p8'''과 등각 팔각형 '''d8'''이다. 이 두 형태는 서로의 쌍대 다각형이며 정팔각형의 대칭 차수의 절반을 갖는다.

대칭에 따른 팔각형의 예
r16
d8	g8	p8
d4	g4	p4
d2	g2	p2
a1

6. 엇팔각형

엇팔각형은 동일 평면에 존재하지 않는 8개의 꼭짓점과 모서리를 가진 엇각 다각형이다. 이러한 엇팔각형의 내부는 일반적으로 정의되지 않는다. ''엇각 지그재그 팔각형''은 두 개의 평행 평면 사이에서 꼭짓점이 번갈아 나타난다.

'''정규 엇각형'''은 꼭짓점-추이적이며, 모서리 길이가 같다. 3차원 공간에서 지그재그 엇팔각형이며, 정사각 기둥 반대기둥의 꼭짓점과 측면 모서리에서 볼 수 있다.

정규 엇각형이 정사각 기둥 반대기둥의 모서리로 보이며, 대칭 D_4d, [2⁺,8], (2*4), 차수 16.

7. 한국 전통 문화 속 팔각형

고대 한국에서는 8을 길한 숫자로 여겨 모든 방위와 확장을 나타내는 수로 선호하였다. 일본 불교에서 하늘에서 본 모양이 팔각형인 당우는 팔각당이라는 이름으로 불리는 경우가 많다. 호류지 꿈전은 팔각당의 대표적인 예로 널리 알려져 있다.

8. 현대 사회 속 팔각형

UFC 등 종합격투기에서 팔각형 링(케이지)을 "옥타곤"이라고 부른다. 정지 표지판은 세계 여러 나라에서 빨간색 팔각형 모양으로 사용된다. 볶음밥을 담는 접시가 팔각형인 경우가 많다. 장기는 팔각형 말을 사용한다. 일본의 복권 기계는 종종 팔각형 모양을 가지고 있다. 바르셀로나의 에이샴플레 지구의 거리 및 블록 배치는 비정규 팔각형을 기반으로 한다. 닌텐도 64 컨트롤러, 게임큐브 컨트롤러 등의 아날로그 스틱은 팔각형 프레임으로 제한되어 있다.

9. 팔각형에서 파생된 도형

잘린 정사각형 타일링은 각 꼭짓점마다 2개의 팔각형을 갖는다. 팔각 기둥과 팔각 엇각기둥은 두 개의 팔각형 면을 포함한다. 잘린 깎은 정육면체는 6개의 팔각형 면을 포함한다. 전절단 정육면체 벌집도 팔각형 면을 갖는다.

10. 기타

코세터는 모든 조노곤(마주보는 변이 평행하고 길이가 같은 2''m''-각형)이 ''m''(''m''-1)/2개의 평행사변형으로 분할될 수 있다고 설명한다.^[5] 특히, 이는 짝수 개의 변을 가진 정다각형에 적용되며, 이 경우 평행사변형은 모두 마름모가 된다. 정팔각형의 경우, ''m''=4이므로 6개의 마름모로 나눌 수 있다. 이 분할은 테서랙트의 페트리 다각형 투영 평면에서 24개의 면 중 6개로 볼 수 있다.

정팔각형 분할
테서랙트	4개의 마름모와 2개의 정사각형

참조

_[1] 서적 Polyhedron Models https://books.google[...] Cambridge University Press
_[2] 간행물 Equilateral triangles and Kiepert perspectors in complex numbers http://forumgeom.fau[...] 2015-07-05
_[3] 웹사이트 Octagon http://mathworld.wol[...]
_[4] 서적 A Panoply of Polygons https://books.google[...] American Mathematical Society
_[5] 서적 Mathematical recreations and Essays
_[6] 서적 The Symmetries of Things
_[7] 웹사이트 はっかく‐けい【八角形】 https://dictionary.g[...] NTTレゾナント 2019-11-25
_[8] 웹사이트 八角形 https://kotobank.jp/[...] コトバンク 2019-11-25
_[9] 웹사이트 八辺形 https://ejje.weblio.[...] weblio 2019-11-25
_[10] 웹사이트 octagon https://eow.alc.co.j[...] アルク 2019-11-25
_[11] 웹사이트 octagon https://ejje.weblio.[...] weblio 2019-11-25
_[12] 웹사이트 オクタゴン https://kotobank.jp/[...] コトバンク 2019-11-25
_[13] 웹사이트 オクタゴン【octagon】 https://dictionary.g[...] NTTレゾナント 2019-11-25
_[14] 문서 板垣退助の家紋としても知られる。

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