꼭짓점 배치

3. 표기법 및 활용

꼭짓점 배치는 콤마(,)나 마침표(.)를 구분 기호로 사용하여, 꼭짓점 주위에 모이는 면의 종류와 순서를 나타낸다. 예를 들어 3.4.3.4 또는 3.5.3.5와 같이 표현한다. 반복되는 면의 배열은 지수 표기법을 사용하여 간단하게 나타낼 수 있다. 예를 들어 (3.5)² 또는 3⁵와 같이 표현한다.

슐레플리 기호 {p, q}는 각 꼭짓점에 q개의 p각형이 모이는 정다면체를 나타내며, 이는 꼭짓점 배치 p^q로 표현할 수 있다. 예를 들어 정십이면체는 {3,5} = 3.3.3.3.3 또는 3⁵로 나타낼 수 있다.

이 표기법은 다면체뿐만 아니라 평면 및 쌍곡면 타일링에도 적용된다. 평면 꼭짓점 배치는 고른 타일링을 나타낸다.

카이랄 형태의 다면체는 동일한 꼭짓점 배치를 가지지만, 거울상 대칭을 이룬다. 예를 들어 다듬은 정육면체는 시계 방향과 반시계 방향 두 가지 형태가 있지만, 모두 꼭짓점 배치는 3.3.3.3.4이다.

4. 별 다각형

꼭짓점 배치는 볼록하지 않은 별 다각형 면에도 적용될 수 있다. 오각성(오각별)은 {5/2} 기호로 표현되는데, 이는 5개의 변이 2번째 점을 이어간다는 의미이다.

별 정다면체의 꼭짓점 배치는 별 다각형을 포함하여 표현된다. 예를 들어 작은 별모양 십이면체 {5/2, 5}는 (5/2)⁵, 큰 별모양 십이면체 {5/2,3}은 (5/2)³, 큰 십이면체 {5,5/2}는 (5⁵)/2, 큰 이십면체 {3,5/2}는 (3⁵)/2로 표현할 수 있다.

5. 뒤집힌 정다각형

일부 고른 다면체는 꼭짓점 도형의 면이 역행하는 반전을 포함한다. 이 경우 꼭짓점 도형은 별 다각형 표기법 ''p/q''를 사용하여 나타내는데, 여기서 ''p''는 변의 개수이고 ''q''는 도는 바퀴 수이며, ''p''<2''q''이다. 예를 들어 "3/2"는 꼭짓점을 두 번 도는 삼각형을 의미하며, 이는 한 번 뒤로 가는 것과 같다. 이와 같이 "5/3"은 뒤집힌 오각별 5/2이다.^[1]

6. 볼록 정다각형의 고른 꼭짓점 배치

반정다면체는 양의 부족 각(각 결손)을 갖는 꼭짓점 배치를 가진다. 부족각이 양의 유리수이면 다면체가 되고, 0°일 경우에는 정다각형 타일링이 된다.

고른 다면체에서 부족각은 꼭짓점의 개수를 계산하는 데 사용된다. 데카르트 정리에 따르면, 위상적 구에서 부족각을 모두 더하면 720°가 된다. 이는 모든 정다각형의 외각의 크기가 360°를 그 꼭짓점의 개수로 나누어 구하는 것과 같다.

고른 다면체는 모든 꼭짓점이 동일하기 때문에, 이 관계를 통해 꼭짓점의 개수를 720/''부족각''으로 계산할 수 있다. 예를 들어 3.8.8의 부족각은 30°이므로, 꼭짓점은 720÷30 = 24개이다.

모든 꼭짓점 배치가 가능한 것은 아니다. 720을 각 내각의 합으로 나누었을 때 나누어 떨어지지 않거나, 면끼리 정확히 맞아떨어지지 않는 경우도 있기 때문이다. 위상적 요구사항은 존재를 제한하는데, 특히 ''p.q.r''은 ''p''각형이 ''q''각형과 ''r''각형으로 교대로 둘러싸여 있다는 것을 의미하므로, ''p''가 짝수이거나 ''q''와 ''r''이 같아야 한다. 따라서 가능한 조합은 3.3.3, 3.4.4, 3.6.6, 3.8.8, 3.10.10, 3.12.12, 4.4.''n'' (''n''>2), 4.6.6, 4.6.8, 4.6.10, 4.6.12, 4.8.8, 5.5.5, 5.6.6, 6.6.6이다.

꼭짓점 배치는 쉼표(,)와 마침표(.) 구분자를 사용하여 표기할 수 있으며, 마침표 연산자는 곱셈과 지수 표기법처럼 보여 유용하다. 예를 들어, 3.5.3.5는 (3.5)²로 쓸 수 있다.

이 표기법은 슐래플리 기호의 확장 형태로, {''p'',''q''}는 각 꼭짓점 주위에 ''q''개의 ''p''각형을 의미한다. 따라서 {''p'',''q''}는 ''p.p.p...''(''q''번) 또는 ''p^q''로 쓸 수 있다. 예를 들어, 정이십면체는 {3,5} = 3.3.3.3.3 또는 3⁵이다.

이 표기법은 다면체뿐만 아니라 다각형 타일링에도 적용된다. 평면 꼭짓점 배치는 비평면 꼭짓점 배치가 균일한 다면체를 나타내는 것처럼 균일한 타일링을 나타낸다.

6. 1. 3개의 면으로 구성된 꼭짓점 배치

꼭짓점은 최소 3개의 면과 각 결함이 필요하다. 0° 각 결함은 유클리드 평면을 정규 타일링으로 채운다. 데카르트 정리에 따르면, 꼭짓점의 수는 720°/''결함''(4π 라디안/''결함'')이다.

이 표기법은 슐래플리 기호의 확장 형태로 볼 수 있다. 슐래플리 기호 {''p'',''q''}는 각 꼭짓점 주위에 ''q''개의 ''p''각형을 의미하며, ''p.p.p...''(''q''번) 또는 ''p^q''로 쓸 수 있다. 예를 들어, 정이십면체는 {3,5} = 3.3.3.3.3 또는 3⁵이다.

이 표기법은 다면체뿐만 아니라 다각형 타일링에도 적용된다. 평면 꼭짓점 배치는 비평면 꼭짓점 배치가 균일한 다면체를 나타내는 것처럼 균일한 타일링을 나타낸다.

6. 2. 4개의 면으로 구성된 꼭짓점 배치

꼭짓점 배치는 슐래플리 기호의 확장으로 볼 수 있다. 슐래플리 기호 {p, q}는 각 꼭짓점에 q개의 p각형이 모이는 것을 의미하며, 이는 p.p.p...(q번) 또는 p^q로 나타낼 수 있다. 예를 들어 정팔면체는 {3, 4} = 3.3.3.3 = 3⁴로 표현할 수 있다.

6. 3. 5개의 면으로 구성된 꼭짓점 배치

7. 면 배치

균일한 쌍대 다면체 또는 카탈랑 다면체, 쌍각뿔, 사다리꼴 다면체는 ''수직 정규''(면-추이)이며, '''면 배치'''라고 불리는 유사한 표기법으로 식별될 수 있다.^[3] Cundy와 Rollett은 이러한 쌍대 기호 앞에 ''V''를 붙였다.

이 표기법은 각 꼭짓점 주변의 각 면에 존재하는 면의 수를 순차적으로 나타낸다.^[19] 예를 들어 V3.4.3.4 또는 V(3.4)²는 면-추이인 마름모 십이면체를 나타내며, 모든 면은 마름모이고, 마름모의 교차하는 꼭짓점은 각각 3개 또는 4개의 면을 포함한다.

참조

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