뉴턴의 요람

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1. 개요
2. 작동 원리
3. 에너지 감쇠
4. 구조
5. 역사
6. 문화적 영향 및 활용
참조

1. 개요

뉴턴의 요람은 줄에 매달린 여러 개의 쇠구슬을 이용하여 운동량 보존과 에너지 보존의 원리를 시각적으로 보여주는 장치이다. 한쪽 끝의 구슬을 들어 올렸다가 놓으면 반대쪽 끝의 구슬이 같은 높이로 올라가며, 이 과정이 반복된다. 이러한 작동 원리는 17세기 프랑스 물리학자 에드메 마리옷의 연구를 바탕으로 하며, 현대적인 형태는 1960년대에 등장하여 사무실 장식이나 교육용 도구로 널리 사용된다.

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뉴턴의 요람
개요
뉴턴의 요람 애니메이션
다른 이름	뉴턴 크래들, 뉴턴 진자
유형	시연 장치
작동 원리	운동량 보존, 에너지 보존
발명가	정확한 발명가 불명, 아이작 뉴턴과는 관련 없음
대중화	배우 사이먼 프레블 (1967)
작동 원리
기본 원리	운동량 보존 법칙과 에너지 보존 법칙
이상적인 경우	에너지 손실 없는 완전 탄성 충돌 가정
실제	마찰력, 소리 발생 등으로 에너지 손실 발생 진동 에너지, 열 에너지로의 전환
추가 고려 사항	구의 개수 구의 재질 초기 운동 에너지
제작 및 디자인
일반적인 형태	일렬로 늘어선 동일한 크기의 쇠구슬
지지대	일반적으로 금속 프레임
줄	각 구를 지지하는 두 개의 줄
소재	구: 강철 프레임: 금속 줄: 나일론 또는 강철
활용
교육	물리 법칙 시연 및 교육용
장식	책상 장식품, 사무실 용품
참고 사항
오해	아이작 뉴턴이 발명했다는 오해가 있지만, 실제로는 그렇지 않음

2. 작동 원리

뉴턴의 요람은 쇠공이 완전탄성체에 가깝게 작동하여 에너지 손실이 거의 없이 운동량이 전달되는 원리를 이용한다. 맨 바깥쪽 쇠공을 당겼다 놓으면 진자 운동을 하며 다른 공과 충돌하고, 이 충격은 중간의 공들을 통해 전달되어 반대편 쇠공이 튀어 오르게 된다. 튀어 오른 쇠공은 처음 당겨진 쇠공과 거의 같은 높이까지 올라갔다가 다시 내려와 충돌을 반복한다.^[21]

이러한 움직임은 처음 보았을 때 직관에 반하는 것처럼 보일 수 있다. 예를 들어, 사람들이 줄을 서 있을 때 뒤에서 충돌하면 줄 전체가 움직일 것이라고 예상하는 것과 달리, 뉴턴의 요람에서는 중간의 쇠공들은 정지한 채로 운동량을 전달하는 것처럼 보이기 때문이다.

실제로, 처음 공의 충돌은 충격파를 발생시키고, 이 충격파는 쇠와 같은 단단한 물질 속을 음속으로 빠르게 전파된다. 쇠 속에서의 음속(약 4699 m/s)은 공기 중(약 343 m/s)보다 훨씬 빨라, 몇 cm 정도의 짧은 거리를 전달하는 시간은 인간이 인지하기 어려울 정도로 짧다.

이상적인 조건에서는 이 움직임이 영원히 지속되어야 하지만, 현실에서는 충격력을 100% 전달할 수 없다. 쇠공의 에너지는 매달린 끈의 마찰, 공기 저항, 그리고 쇠공끼리 부딪히며 나는 소리(운동 에너지가 음향 에너지로 손실됨) 등의 형태로 손실된다. 따라서 시간이 지날수록 진동은 점차 줄어들고, 결국에는 중간의 쇠공들도 약간씩 흔들리며 멈추게 된다.^[21]

여러 개의 공을 움직일 때 더 흥미로운 현상이 나타난다. 5개의 공을 가진 요람에서 2개의 공을 당겨 시작하면, 반대쪽의 2개의 공이 대칭으로 튀어 올라 왕복 운동을 한다. 이는 운동량 보존 법칙과 에너지 보존 법칙을 모두 만족하는 유일한 경우이기 때문이다.

충돌 전 움직임	충돌 후 움직임
하나의 공을 잡아당겨 놓으면, 그 공은 다른 정지해 있는 공을 향해 충돌하고 정지한다. 이 순간, 금속구가 부딪힌 반대쪽의 공은, 처음 금속구와 같은 속도로 호를 그리며 날아간다. 그리고, 반대쪽 공이 늘어선 공으로 되돌아와 부딪히면, 또 같은 현상이 일어난다.	이 움직임을 처음 봤을 때는 직관에 반하는 것처럼 보여 재미있다고 느낄 수 있다. 예를 들어, 사람의 줄에 뒤에서 충돌했을 때, 줄의 맨 앞 사람이 운동 에너지를 얻어 튀어나가는 것보다, 줄 전체가 움직일 것이라고 예상할 수 있다.
중간의 금속구는 정지한 채로 보인다. 실제로 중간의 공을 손가락으로 끼워 잡고 있어도, 이 장치는 계속 움직인다. 이것 또한 직관에 반하는 것처럼 보인다. 멈춘 채로 움직임을 전달하기 때문이다.	실제로는, 처음 공의 충돌이 충격을 발생시키고, 그 충격이 중간의 공을 통해 전달되는 것이다. 버스에 줄을 선 사람들과 달리, 쇠와 같은 단단한 물질은 충격력 전달에 뛰어나다.
이 충격파는 물질 속을 음속으로 전파된다. 쇠 속에서의 음속(약 4699 m/s)은 공기 중(약 343 m/s)보다 훨씬 빠르며, 몇 cm 정도의 짧은 거리를 전달하는 시간은 인간이 인지할 수 없을 정도로 짧다. 이는 금속구 속을 물리적인 왜곡으로 전달되는 충격파에도 해당된다.	이상적인 세상에서는 이 움직임이 영원히 지속되지만, 현실에서는 충격력을 100% 전달할 수 없다. 따라서, 금속구의 에너지는 매달린 끈, 공기 저항 또는 소리 형태로 손실된다(금속구의 찰칵거리는 소리는 운동 에너지가 음향 에너지로 손실되고 있다는 증거). 진동이 끝나갈 즈음에는, 중간의 공도 약간 흔들린다.
더 흥미로운 것은, 여러 개의 공을 처음 충돌시킬 때 일어난다. 5개의 공을 가진 요람으로 생각해보자. 2개의 공으로 시작하면, 반대쪽의 2개의 공이 대칭으로 튀어 올라 왕복한다. 운동량 보존 법칙을 만족하더라도, 반대쪽의 하나의 공이 2배의 속도로 튀어 오른다거나, 4개의 공이 절반의 속도로 올라가는 일은 일어나지 않는다. 이는 대칭적인 움직임만이 운동량과 운동 에너지 모두를 동일하게 만들기 때문이다.	절반 이상의 공을 처음 충돌시켰을 때(예를 들어 5개 중 3개를 부딪혔을 때)에는, 가운데 공은 진동의 중단이나 재개 없이 그대로 움직인다.

이러한 뉴턴의 요람의 원리는 17세기 프랑스 물리학자 에드메 마리옷에 의해 증명되었으며,^[15]^[16] 뉴턴은 자신의 저서 《프린키피아》에서 마리옷의 공적에 감사를 표했다.

2. 1. 운동량 및 에너지 보존

줄에 매달려 있는 쇠공은 완전탄성체처럼 작동한다. 즉, 충돌로 인한 에너지 손실이 거의 없이 에너지가 전달된다. 맨 밖의 쇠공 하나를 당겼다가 놓으면 진자 운동을 하다 다른 공과 충돌하여 에너지를 전달한다. 에너지를 전달하여 더 이상 에너지를 가지고 있지 않은 공은 그 자리에 멈추고, 연이어 닿아있는 쇠공들을 통해 에너지가 전달된 뒤 반대편의 쇠공이 튀어 나간다. 튀어 나간 쇠공은 맨 처음 당겨졌던 쇠공이 갖고 있던 위치 에너지에 해당하는 높이까지 올라갔다가 다시 진자 운동에 의해 내려와 다른 쇠공과 충돌한다. 이후 다시 에너지 전달이 이루어지고 원래의 쇠공이 튀어 오른다. 이 과정에서 에너지 손실이 없다면 뉴턴의 요람은 무한히 흔들리겠지만, 실제로는 줄이 움직이며 발생하는 마찰과 쇠공 사이에서 일어나는 비탄성 충돌과 같은 에너지 손실 때문에 시간이 지날수록 쇠공의 진자 운동은 감쇄하며 결국 멈추게 된다.^[21]

쇠공을 두 개 이상 당겼다 놓으면 올려졌던 쇠공의 수만큼 에너지가 늘어난다. 쇠공이 연이어 닿아있고 탄성 충돌을 하기 때문에 충돌 후 쇠공들은 하나의 물체처럼 작동한다. 즉, 두 개의 쇠공을 들었다 놓으면 튀어나가는 공의 수도 두 개가 되고, 세 개의 공을 들었다 놓으면 튀어나가는 공의 수도 세 개가 된다. 뉴턴의 요람엔 보통 다섯 개의 쇠공이 달려 있기 때문에 세 개의 공을 당겨 놓으면 두 개의 공이 정지하고 세 번째 공은 튀어나가는 공들과 함께 움직인다.

한쪽 끝의 공("첫 번째") 중 하나를 옆으로 당기면 연결된 끈이 위쪽 호를 따라 움직인다. 놓으면 두 번째 공을 치고 거의 완전히 멈춘다. 다음 공은 첫 번째 공의 대부분의 속도를 얻어 감소된 운동량을 전달한다. 결국 마지막 공은 처음의 에너지와 운동량의 연속적으로 감소된 부분을 받아서 반대 방향으로 과정을 다시 시작한다. 각 충격은 중간 공의 매체를 통해 전달되는 음파를 생성한다. 각 단계에서 효율적인 기계적 에너지가 손실된다. 뉴턴의 요람은 영구 기관이 아니다. 이는 진공과 같이 공기 저항이 없는 경우에도 마찬가지다.

초기 충격 후 모든 공에서 약간의 움직임이 있지만, 마지막 공은 첫 번째 공의 충격으로부터 초기 에너지의 대부분을 받는다. 두 개(또는 세 개)의 공을 떨어뜨리면 반대쪽의 두 개(또는 세 개)의 공이 밖으로 흔들린다. 어떤 사람들은 이러한 동작이 탄성 충돌에서 운동량과 운동 에너지의 보존을 보여준다고 말한다. 그러나 충돌하는 공이 충돌 전후에 동일한 질량을 가진 동일한 속도로 동작하는 경우, 질량과 속도의 모든 함수는 이러한 이벤트에서 보존된다.^[3] 따라서 이 설명은 사실이지만, 움직임에 대한 완전한 설명은 아니다.

뉴턴의 요람 시뮬레이션 (질량이 같은 두 개의 공). 완벽한 탄성을 가정하여 충돌 시 에너지 손실이 없음을 의미한다.

이상적인 뉴턴의 요람 (5개의 공) (에너지 손실이 없고 한 쌍이 충돌할 때를 제외하고 공 사이에 항상 작은 간격이 있는 경우)

뉴턴의 요람 (5개의 공 시스템에서 3개의 공이 흔들리는 모습). 중앙의 공은 눈에 띄는 방해 없이 흔들린다.

뉴턴의 요람은 공이 항상 쌍으로 충돌한다는 가정하에 간단한 수학 방정식으로 비교적 정확하게 모델링할 수 있다. 만약 하나의 공이 이미 접촉하고 있는 4개의 고정된 공을 치면, 이러한 간단한 방정식으로는 5개의 모든 공에서 발생하는 운동을 설명할 수 없는데, 이는 마찰 손실 때문이 아니다. 예를 들어, 실제 뉴턴의 요람에서는 네 번째 공에 약간의 움직임이 있고, 첫 번째 공에는 약간의 반대 운동이 있다. 이 문서의 모든 애니메이션은 공이 처음에는 접촉하지 않고 쌍으로만 충돌하는 경우에만 발생하는 이상적인 동작을 보여준다.

운동량과 운동 에너지의 보존 법칙을 사용하면 두 개의 완벽하게 탄성적인 물체가 충돌할 때의 결과 속도를 구할 수 있다. 이 두 방정식은 두 물체의 결과 속도를 결정하는 데 사용된다. 요람에서 끈으로 직선 경로에 묶여 있는 두 개의 공의 경우, 속도는 3차원 공간의 3D 벡터가 아닌 단일 숫자이므로, 수학은 두 개의 미지수를 풀기 위해 두 개의 방정식만 필요로 한다. 두 물체의 질량이 같을 경우, 해는 간단하다. 즉, 움직이는 물체는 정지한 물체에 대해 정지하고, 정지한 물체는 다른 물체의 초기 속도를 모두 얻는다. 이는 완벽하게 탄성적인 물체를 가정하므로 열과 소리 에너지 손실을 고려할 필요가 없다.

강철은 많이 압축되지 않지만 탄성이 매우 효율적이어서 폐열을 많이 발생시키지 않는다. 동일한 질량의 효율적으로 탄성적인 두 물체가 직선 경로에서 충돌하는 간단한 효과는 요람에서 볼 수 있는 효과의 기초이며, 모든 활동에 대한 근사적인 해를 제공한다.

직선 경로에 묶여 있는 동일한 질량의 탄성 물체들의 시퀀스에서, 그 효과는 각 연속적인 물체로 이어진다. 예를 들어, 두 개의 공을 떨어뜨려 요람에 있는 세 개의 정지된 공을 치게 되면, 두 개의 떨어진 공 사이에는 눈에 띄지 않지만 중요한 작은 거리가 존재하며, 다음과 같은 작용이 일어난다. 첫 번째 움직이는 공이 첫 번째 정지된 공(세 번째 공을 치는 두 번째 공)을 치면, 모든 운동량을 세 번째 공으로 전달하고 멈춘다. 그런 다음 세 번째 공은 운동량을 네 번째 공으로 전달하고 멈추고, 네 번째 공은 다섯 번째 공으로 전달한다.

이 시퀀스의 바로 뒤에서, 두 번째 움직이는 공은 방금 멈춘 첫 번째 움직이는 공으로 운동량을 전달하고, 그 시퀀스는 첫 번째 시퀀스의 바로 뒤에서 즉시 그리고 감지할 수 없게 반복되어, 처음 두 개의 충돌하는 공 사이에 있었던 것과 동일한 작은 간격으로 다섯 번째 공 바로 뒤에서 네 번째 공을 배출한다. 만약 그들이 세 번째 공을 칠 때 단순히 접촉하고 있다면, 정밀도 유지를 위해 더 완전한 해가 필요하다.

마지막 공이 첫 번째 공과 거의 같은 속도로 튀어나오는 효과는, 테이블 위에 동전을 일렬로 놓인 동일한 동전들에 밀어 넣을 때, 치는 동전과 목표 동전이 일직선 상에 있는 한 관찰할 수 있다. 이 효과는 당구에서도 유사하게 나타난다. 또한 날카롭고 강한 압력파가 밀도가 높은 균질 물질을 밀도가 낮은 매질에 담근 상태에서 충돌할 때에도 관찰할 수 있다. 만약 밀도가 높은 균질 물질의 동일한 원자, 분자, 또는 더 큰 규모의 하위 부피가 정전기력에 의해 서로 적어도 부분적으로 탄성적으로 연결되어 있다면, 이는 일련의 충돌하는 동일한 탄성 공의 역할을 할 수 있다.

압력파를 경험하는 주변의 원자, 분자 또는 하위 부피들은 요람의 공들이 일직선으로 묶여 있는 것처럼 서로를 억제하는 역할을 한다. 의료적 예시로, 쇄석술의 충격파는 신장 결석을 파괴하기 위해 피부와 조직에 해를 가하지 않고 보낼 수 있다. 결석의 압력파가 들어오는 반대쪽 면이 파열되며, 초기 충격을 받는 면이 파열되는 것이 아니다. 인도의 게임인 캐럼에서는 스트라이커가 정지해 있는 게임 조각을 친 후 멈추면서, 모든 운동량을 맞은 조각으로 전달한다.

정확한 예측을 위해 간단한 해법을 적용하려면, 충돌 중인 어떤 쌍도 세 번째 공에 닿아서는 안 된다. 세 번째 공이 있으면 타격된 공의 질량이 커지는 효과가 있기 때문이다. 두 개의 보존 방정식을 적용하여 한 번의 충돌에서 세 개 이상의 공의 최종 속도를 계산하면 많은 가능한 해가 나오므로, 이 두 원칙만으로는 결과적인 작용을 결정하기에 충분하지 않다.

심지어 작은 초기 간격이 있더라도, 초기 간격이 충분히 크지 않으면 세 번째 공이 충돌에 관여할 수 있다. 이런 경우, 완전한 해결 방법을 사용해야 한다.

작은 강철 공이 효과적인데, 이는 강한 타격에도 열 손실이 적어 탄성이 효율적으로 유지되고 압축이 크지 않기 때문이다 (작은 뉴턴의 요람에서 약 30μm까지). 작고 단단한 압축은 빠르게, 200마이크로초 미만으로 일어나므로, 강철 공은 근처의 세 번째 공에 닿기 전에 충돌을 완료할 가능성이 더 높다. 더 부드러운 탄성 공은 쌍별 충돌의 효과를 극대화하기 위해 더 큰 간격이 필요하다.

세 개의 공을 떨어뜨렸을 때 공이 서로 닿지 않고 운동량이 전달되는 뉴턴의 요람 (2개의 공)

뉴턴의 요람의 가장 단순한 해법을 따르는 요람은 한 공이 압축되는 양의 적어도 두 배 이상의 초기 간격을 가져야 하지만, 대부분은 그렇지 않다. 여기에서는 초기 간격이 충분하지 않은 경우와 초기 간격이 있더라도 두 개 이상의 공이 관련된 후속 충돌에서 발생하는 작용에 대해 설명한다. 이 해법은 충돌 시 두 개의 공만 접촉할 때 단순한 해법으로 단순화된다. 이는 마찰로 인해 에너지 손실이 없고 강철, 유리, 플라스틱, 고무와 같은 재료로 근사할 수 있는 모든 완전 탄성 동일 공에 적용된다.

두 개의 공이 충돌하는 경우, 두 개의 미지수 속도를 풀기 위해 운동량과 에너지 보존에 대한 두 개의 방정식만 필요하다. 세 개 이상의 탄성 공이 동시에 충돌하는 경우, 충돌하는 표면의 상대적 압축성이 결과를 결정하는 추가 변수이다. 예를 들어, 다섯 개의 공은 네 개의 충돌점을 가지고 있으며, 그 중 세 개를 네 번째로 스케일링(나누기)하면 다섯 개의 충돌 후 모든 속도를 풀기 위해 필요한 세 개의 추가 변수가 제공된다.

고전역학을 수학적으로 표현하는 다양한 방법으로는 뉴턴 역학, 라그랑지 역학, 해밀턴 역학, 그리고 고정 작용이 있다. 이들은 동일한 물리를 설명하지만 다른 방법으로 풀어야 한다. 모두 에너지와 운동량 보존을 적용한다. 뉴턴의 법칙은 연구 논문에 사용되어 왔다. 각 공에 적용되며, 힘의 합은 0과 같다. 따라서 각 공에 대해 하나의 방정식, 즉 다섯 개의 방정식이 있고, 각 속도에 대해 하나의 미지수, 즉 다섯 개의 미지수가 있다. 공이 동일하다면 표면의 절대 압축성은 무관해지는데, 이는 다섯 개의 방정식의 양쪽에서 나눌 수 있어 0이 되기 때문이다.

처음에 접촉하는 네 개의 공을 한 공이 칠 경우의 속도^[4]^[5]^[6]는 공을 충돌면에 비전통적인 스프링이 있는 무게로 모델링하여 결정된다. 강철과 같이 효율적으로 탄성이 있는 대부분의 재료는 스프링에 대한 후크의 법칙에 근사하게 따르지만, 구의 접촉 면적은 힘이 증가함에 따라 증가하므로, 충돌하는 탄성 공은 후크의 법칙에 대한 헤르츠의 보정을 따른다. 이것과 운동에 대한 뉴턴의 법칙이 각 공에 적용되어, 다섯 개의 간단하지만 상호 의존적인 미분 방정식이 생성되며, 이는 수치적으로 풀 수 있다.

다섯 번째 공이 가속되기 시작하면, 압축된 표면의 스프링 작용을 통해 세 번째와 네 번째 공으로부터 운동량과 에너지를 받는다. 처음에 접촉하는 공이 있는 모든 유형의 동일한 탄성 공의 경우, 충돌을 완료하는 시간이 더 부드러운 재료에서 증가한다는 점을 제외하고는, 첫 번째 타격에 대한 작용은 동일하다. 단일 공 타격에서 초기 공의 운동 에너지의 40~50%는 대부분의 충돌 과정 동안 표면 내에 위치 에너지로 저장된다. 초기 속도의 13%는 네 번째 공에 전달되고(다섯 번째 공이 25도 움직이면 3.3도 움직이는 것으로 볼 수 있다) 첫 번째 세 개의 공에서 약간의 역속도가 발생하며, 첫 번째 공이 초기 속도의 -7%로 가장 크다. 이는 공을 분리하지만, 다섯 번째 공이 돌아오기 직전에 다시 함께 모인다. 이는 작은 각도 교란이 거의 동일한 시간에 중심으로 돌아오는 진자 현상 때문이다.

헤르츠 미분 방정식은 두 개의 공이 세 개의 공을 치는 경우, 다섯 번째와 네 번째 공이 초기 속도의 1.14배와 0.80배의 속도로 떠날 것이라고 예측한다.^[7] 이는 다섯 번째 공에 네 번째 공보다 2.03배 더 많은 운동 에너지가 있다는 것을 의미하며, 이는 다섯 번째 공이 수직 방향으로 네 번째 공보다 두 배 더 높이 흔들릴 것이라는 것을 의미한다. 그러나 실제 뉴턴의 요람에서는 네 번째 공이 다섯 번째 공만큼 멀리 흔들린다. 이론과 실험의 차이를 설명하기 위해 두 개의 충돌하는 공은 최소 ≈ 10 μm 간격을 가져야 한다(강철, 100g, 1m/s 기준). 이는 강철 공의 일반적인 경우에 눈에 띄지 않는 간격이 중요할 수 있으며, 헤르츠 미분 방정식에 포함되어야 함을 보여주며, 그렇지 않으면 단순한 해법이 더 정확한 결과를 제공한다.

충돌 전 움직임	충돌 후 움직임
하나의 공을 잡아당겨 놓으면, 그 공은 다른 정지해 있는 공을 향해 충돌하고 정지한다. 이 순간, 금속구가 부딪힌 반대쪽의 공은, 처음 금속구와 같은 속도로 호를 그리며 날아간다. 그리고, 반대쪽 공이 늘어선 공으로 되돌아와 부딪히면, 또 같은 현상이 일어난다.	이 움직임을 처음 봤을 때는 직관에 반하는 것처럼 보여 재미있다고 느낄 수 있다. 예를 들어, 사람의 줄에 뒤에서 충돌했을 때, 줄의 맨 앞 사람이 운동 에너지를 얻어 튀어나가는 것보다, 줄 전체가 움직일 것이라고 예상할 수 있다.
중간의 금속구는 정지한 채로 보인다. 실제로 중간의 공을 손가락으로 끼워 잡고 있어도, 이 장치는 계속 움직인다. 이것 또한 직관에 반하는 것처럼 보인다. 멈춘 채로 움직임을 전달하기 때문이다.	실제로는, 처음 공의 충돌이 충격을 발생시키고, 그 충격이 중간의 공을 통해 전달되는 것이다. 버스에 줄을 선 사람들과 달리, 쇠와 같은 단단한 물질은 충격력 전달에 뛰어나다.
이 충격파는 물질 속을 음속으로 전파된다. 쇠 속에서의 음속(약 4699m/s)은 공기 중(약 343m/s)보다 훨씬 빠르며, 몇 cm 정도의 짧은 거리를 전달하는 시간은 인간이 인지할 수 없을 정도로 짧다. 이는 금속구 속을 물리적인 왜곡으로 전달되는 충격파에도 해당된다.	이상적인 세상에서는 이 움직임이 영원히 지속되지만, 현실에서는 충격력을 100% 전달할 수 없다. 따라서, 금속구의 에너지는 매달린 끈, 공기 저항 또는 소리 형태로 손실된다(금속구의 찰칵거리는 소리는 운동 에너지가 음향 에너지로 손실되고 있다는 증거). 진동이 끝나갈 즈음에는, 중간의 공도 약간 흔들린다.
더 흥미로운 것은, 여러 개의 공을 처음 충돌시킬 때 일어난다. 5개의 공을 가진 요람으로 생각해보자. 2개의 공으로 시작하면, 반대쪽의 2개의 공이 대칭으로 튀어 올라 왕복한다. 운동량 보존 법칙을 만족하더라도, 반대쪽의 하나의 공이 2배의 속도로 튀어 오른다거나, 4개의 공이 절반의 속도로 올라가는 일은 일어나지 않는다. 이는 대칭적인 움직임만이 운동량과 운동 에너지 모두를 동일하게 만들기 때문이다.	더 많은, 절반 이상의 공을 처음 충돌시켰을 때(예를 들어 5개 중 3개를 부딪혔을 때)에는, 가운데 공은 진동의 중단이나 재개 없이 그대로 움직인다.

운동량 보존 법칙과 역학적 에너지 보존 법칙으로부터 금속구의 운동이 구해지는 것은 금속구가 2개인 경우뿐이다. 만약 금속구가 r개 있다면, 초기 상태에서 산출되어야 할 미지의 속도도 당연히 r개 있을 것이기 때문이다. 게다가 관측 결과에는 충격파가 끈을 따라 사라지는 일 없이 옆 구슬로 전달되어야 한다는 조건도 추가된다.

2. 2. 충격파 전달

줄에 매달려 있는 쇠공은 거의 완전탄성체로서 작동한다. 즉, 충돌로 인한 손실이 거의 없이 에너지가 전달된다. 맨 밖의 쇠공 하나를 당겼다가 놓으면 진자 운동을 하다 다른 공과 충돌하여 에너지를 전달한다. 에너지를 전달하여 더 이상 에너지를 가지고 있지 않은 공은 그 자리에 멈추게 되고 연닿아 있는 쇠공들을 통하여 에너지가 전달 된 뒤 반대편의 쇠공이 튀어 나가게 된다. 이렇게 튀어 나간 쇠공은 맨 처음 당겨졌던 쇠공이 갖고 있던 위치에너지에 해당하는 높이까지 올라갔다가 다시 진자 운동에 의해 내려와 다른 쇠공과 충돌한다. 이후 다시 에너지 전달이 이루어지고 원래의 쇠공이 튀어 오른다. 이 과정에서 에너지 손실이 아예 없다면 뉴턴의 요람은 무한히 흔들리게 되겠지만, 실제로는 줄이 움직이며 발생하는 마찰과 쇠공 사이에 일어나는 비탄성 충돌과 같은 에너지 손실 때문에 시간이 지날수록 쇠공의 진자 운동은 감쇄하며 결국 멈추게 된다.^[21]

한편, 쇠공을 두 개 이상 당겼다 놓으면 올려졌던 쇠공의 수만큼 에너지가 늘어나게 된다. 쇠공이 연이어 닿아있고 탄성 충돌을 하기 때문에 충돌 후 쇠공들은 하나의 물체와 같이 작동한다. 즉, 두 개의 쇠공을 들었다 놓으면 튀어나가는 공의 수도 두 개가 되고 세 개의 공을 들었다 놓으면 튀어나가는 공의 수도 세 개가 된다. 뉴턴의 요람엔 보통 다섯 개의 쇠공이 달려 있기 때문에 세 개의 공을 당겨 넣으면 두 개의 공이 정지하고 세 번째 공은 튀어나가는 공들과 함께 움직이게 된다.

한쪽 끝의 공("첫 번째") 중 하나를 옆으로 당기면, 연결된 끈이 위쪽 호를 따라 구속한다. 놓으면 두 번째 공을 치고 거의 완전히 멈춘다. 다음 공은 첫 번째 공의 대부분의 속도를 얻어 감소된 운동량을 전달한다. 결국 마지막 공은 처음의 에너지와 운동량의 연속적으로 감소된 부분을 받아서 반대 방향으로 과정을 다시 시작한다. 각 충격은 중간 공의 매체를 통해 전달되는 음파를 생성한다. 강철과 같이 효율적으로 탄성이 있는 재료는 운동 에너지가 열로 손실되기보다는 재료의 압축에서 위치 에너지로 일시적으로 저장되는 한 충분하다.

초기 충격 후 모든 공에서 약간의 움직임이 있지만, 마지막 공은 첫 번째 공의 충격으로부터 초기 에너지의 대부분을 받는다. 두 개(또는 세 개)의 공을 떨어뜨리면 반대쪽의 두 개(또는 세 개)의 공이 밖으로 흔들린다. 어떤 사람들은 이러한 동작이 탄성 충돌에서 운동량과 운동 에너지의 보존을 보여준다고 말한다. 그러나 충돌하는 공이 충돌 전후에 동일한 질량을 가진 동일한 속도로 동작하는 경우, 질량과 속도의 모든 함수는 이러한 이벤트에서 보존된다.^[3] 따라서 이 설명은 사실이지만, 움직임에 대한 완전한 설명은 아니다.

마지막 공이 첫 번째 공과 거의 같은 속도로 튀어나오는 효과는, 테이블 위에 동전을 일렬로 놓인 동일한 동전들에 밀어 넣을 때, 치는 동전과 목표 동전이 일직선 상에 있는 한 관찰할 수 있다. 이 효과는 당구에서도 유사하게 나타난다. 또한 날카롭고 강한 압력파가 밀도가 높은 균질 물질을 밀도가 낮은 매질에 담근 상태에서 충돌할 때에도 관찰할 수 있다. 만약 밀도가 높은 균질 물질의 동일한 원자, 분자, 또는 더 큰 규모의 하위 부피가 정전기력에 의해 서로 적어도 부분적으로 탄성적으로 연결되어 있다면, 이는 일련의 충돌하는 동일한 탄성 공의 역할을 할 수 있다.

압력파를 경험하는 주변의 원자, 분자 또는 하위 부피들은 요람의 공들이 일직선으로 묶여 있는 것처럼 서로를 억제하는 역할을 한다. 의료적 예시로, 쇄석술의 충격파는 신장 결석을 파괴하기 위해 피부와 조직에 해를 가하지 않고 보낼 수 있다. 결석의 압력파가 들어오는 반대쪽 면이 파열되며, 초기 충격을 받는 면이 파열되는 것이 아니다. 인도의 게임인 캐럼에서는 스트라이커가 정지해 있는 게임 조각을 친 후 멈추면서, 모든 운동량을 맞은 조각으로 전달한다.

뉴턴의 요람의 가장 단순한 해법을 따르는 요람은 한 공이 압축되는 양의 적어도 두 배 이상의 초기 간격을 가져야 하지만, 대부분은 그렇지 않다. 초기 간격이 충분하지 않은 경우와 초기 간격이 있더라도 두 개 이상의 공이 관련된 후속 충돌에서 발생하는 작용에 대해 설명한다. 이 해법은 충돌 시 두 개의 공만 접촉할 때 단순한 해법으로 단순화된다. 이는 마찰로 인해 에너지 손실이 없고 강철, 유리, 플라스틱, 고무와 같은 재료로 근사할 수 있는 모든 완전 탄성 동일 공에 적용된다.

두 개의 공이 충돌하는 경우, 두 개의 미지수 속도를 풀기 위해 운동량과 에너지 보존에 대한 두 개의 방정식만 필요하다. 세 개 이상의 탄성 공이 동시에 충돌하는 경우, 충돌하는 표면의 상대적 압축성이 결과를 결정하는 추가 변수이다. 예를 들어, 다섯 개의 공은 네 개의 충돌점을 가지고 있으며, 그중 세 개를 네 번째로 스케일링(나누기)하면 다섯 개의 충돌 후 모든 속도를 풀기 위해 필요한 세 개의 추가 변수가 제공된다.

고전역학을 수학적으로 표현하는 다양한 방법으로는 뉴턴 역학, 라그랑지 역학, 해밀턴 역학, 그리고 고정 작용이 있다. 이들은 동일한 물리를 설명하지만 다른 방법으로 풀어야 한다. 모두 에너지와 운동량 보존을 적용한다. 뉴턴의 법칙은 연구 논문에 사용되어 왔다. 각 공에 적용되며, 힘의 합은 0과 같다. 따라서 각 공에 대해 하나의 방정식, 즉 다섯 개의 방정식이 있고, 각 속도에 대해 하나의 미지수, 즉 다섯 개의 미지수가 있다. 공이 동일하다면 표면의 절대 압축성은 무관해지는데, 이는 다섯 개의 방정식의 양쪽에서 나눌 수 있어 0이 되기 때문이다.

처음에 접촉하는 네 개의 공을 한 공이 칠 경우의 속도^[4]^[5]^[6]는 공을 충돌면에 비전통적인 스프링이 있는 무게로 모델링하여 결정된다. 강철과 같이 효율적으로 탄성이 있는 대부분의 재료는 스프링에 대한 후크의 법칙 (

F = k \cdot x

)에 근사하게 따르지만, 구의 접촉 면적은 힘이 증가함에 따라 증가하므로, 충돌하는 탄성 공은 후크의 법칙에 대한 헤르츠의 보정 (

F = k \cdot x^{1.5}

)을 따른다. 이것과 운동에 대한 뉴턴의 법칙(

F = m \cdot a

)이 각 공에 적용되어, 다섯 개의 간단하지만 상호 의존적인 미분 방정식이 생성되며, 이는 수치적으로 풀 수 있다.

다섯 번째 공이 가속되기 시작하면, 압축된 표면의 스프링 작용을 통해 세 번째와 네 번째 공으로부터 운동량과 에너지를 받는다. 처음에 접촉하는 공이 있는 모든 유형의 동일한 탄성 공의 경우, 충돌을 완료하는 시간이 더 부드러운 재료에서 증가한다는 점을 제외하고는, 첫 번째 타격에 대한 작용은 동일하다. 단일 공 타격에서 초기 공의 운동 에너지의 40~50%는 대부분의 충돌 과정 동안 표면 내에 위치 에너지로 저장된다. 초기 속도의 13%는 네 번째 공에 전달되고(다섯 번째 공이 25도 움직이면 3.3도 움직이는 것으로 볼 수 있다) 첫 번째 세 개의 공에서 약간의 역속도가 발생하며, 첫 번째 공이 초기 속도의 -7%로 가장 크다. 이는 공을 분리하지만, 다섯 번째 공이 돌아오기 직전에 다시 함께 모인다. 이는 작은 각도 교란이 거의 동일한 시간에 중심으로 돌아오는 진자 현상 때문이다.

헤르츠 미분 방정식은 두 개의 공이 세 개의 공을 치는 경우, 다섯 번째와 네 번째 공이 초기 속도의 1.14배와 0.80배의 속도로 떠날 것이라고 예측한다.^[7] 이는 다섯 번째 공에 네 번째 공보다 2.03배 더 많은 운동 에너지가 있다는 것을 의미하며, 이는 다섯 번째 공이 수직 방향으로 네 번째 공보다 두 배 더 높이 흔들릴 것이라는 것을 의미한다. 그러나 실제 뉴턴의 요람에서는 네 번째 공이 다섯 번째 공만큼 멀리 흔들린다. 이론과 실험의 차이를 설명하기 위해 두 개의 충돌하는 공은 최소 ≈ 10 μm 간격을 가져야 한다(강철, 100 g, 1 m/s 기준). 이는 강철 공의 일반적인 경우에 눈에 띄지 않는 간격이 중요할 수 있으며, 헤르츠 미분 방정식에 포함되어야 함을 보여주며, 그렇지 않으면 단순한 해법이 더 정확한 결과를 제공한다.

앞서 언급한 헤르츠 해의 힘은 공 내부에서 즉시 전달되는 것으로 가정했지만, 실제로는 그렇지 않다. 물질을 구성하는 원자 간의 힘의 갑작스러운 변화는 압력파를 형성한다. 강철 내의 압력파(음파)는 10 마이크로초 만에 약 5cm를 이동하는데, 이는 첫 번째 공이 부딪히고 마지막 공이 튀어나오는 시간보다 약 10배 빠르다. 압력파는 5개의 공 전체를 약 10번 왕복하며 반사되지만, 반사가 더 많이 일어나면서 파면은 줄어든다. 이는 헤르츠 해가 공을 통한 힘의 전파 지연을 조정하기 위해 실질적인 수정을 필요로 하지 않을 정도로 충분히 빠르다. 고무와 같이 덜 단단하지만 여전히 매우 탄성이 있는 공에서는 전파 속도가 느리지만 충돌 지속 시간이 더 길기 때문에 헤르츠 해가 여전히 적용된다. 힘의 전파 속도 제한으로 인해 발생하는 오차는 헤르츠 해를 단순한 해로 편향시키는데, 이는 충돌이 더 멀리 있는 공의 관성에 의해 크게 영향을 받지 않기 때문이다.

모양이 동일한 공은 압력파가 마지막 공의 접촉점에 수렴하도록 돕는다. 초기 충돌 지점에서 하나의 압력파는 다른 공으로 전진하고 다른 하나는 뒤로 가서 첫 번째 공의 반대쪽에서 반사된 다음 첫 번째 파동을 따라 정확히 공 하나의 지름만큼 뒤에 있게 된다. 두 파동은 마지막 접촉점에서 만나는데, 이는 첫 번째 파동이 마지막 공의 반대쪽에서 반사되어 두 번째 파동과 마지막 접촉점에서 만나기 때문이다. 그런 다음 첫 번째 공이 두 번째 공과 연결을 멈출 때까지 약 10번 왕복하여 진동한다. 그런 다음 진동은 두 번째와 세 번째 공 사이의 접촉점에서 반사되지만, 마지막 공이 튀어나올 때까지 마지막 접촉점에서 계속 수렴하며, 이는 각 반사마다 파면이 감소하는 것이다.

충돌 전 움직임	충돌 후 움직임

뉴턴의 요람의 움직임은 공의 개수에 따라 달라진다.

하나의 공을 잡아당겨 놓으면, 그 공은 다른 정지해 있는 공을 향해 충돌하고 정지한다. 이 순간, 금속구가 부딪힌 반대쪽의 공은, 처음 금속구와 같은 속도로 호를 그리며 날아간다. 그리고, 반대쪽 공이 늘어선 공으로 되돌아와 부딪히면, 또 같은 현상이 일어난다.

이 움직임을 처음 봤을 때는 직관에 반하는 것처럼 보여 재미있다고 느낄 수 있다. 예를 들어, 사람의 줄에 뒤에서 충돌했을 때, 줄의 맨 앞 사람이 운동 에너지를 얻어 튀어나가는 것보다, 줄 전체가 움직일 것이라고 예상할 수 있다.

그러나, 중간의 금속구는 정지한 채로 보인다. 실제로 중간의 공을 손가락으로 끼워 잡고 있어도, 이 장치는 계속 움직인다. 이것 또한 직관에 반하는 것처럼 보인다. 멈춘 채로 움직임을 전달하기 때문이다.

실제로는, 처음 공의 충돌이 충격을 발생시키고, 그 충격이 중간의 공을 통해 전달되는 것이다. 버스에 줄을 선 사람들과 달리, 쇠와 같은 단단한 물질은 충격력 전달에 뛰어나다.

이 충격파는 물질 속을 음속으로 전파된다. 쇠 속에서의 음속(약 4699m/s)은 공기 중(약 343m/s)보다 훨씬 빠르며, 몇 cm 정도의 짧은 거리를 전달하는 시간은 인간이 인지할 수 없을 정도로 짧다. 이는 금속구 속을 물리적인 왜곡으로 전달되는 충격파에도 해당된다.

이상적인 세상에서는 이 움직임이 영원히 지속되지만, 현실에서는 충격력을 100% 전달할 수 없다. 따라서, 금속구의 에너지는 매달린 끈, 공기 저항 또는 소리 형태로 손실된다(금속구의 찰칵거리는 소리는 운동 에너지가 음향 에너지로 손실되고 있다는 증거). 진동이 끝나갈 즈음에는, 중간의 공도 약간 흔들린다.

더 흥미로운 것은, 여러 개의 공을 처음 충돌시킬 때 일어난다. 5개의 공을 가진 요람으로 생각해보자. 2개의 공으로 시작하면, 반대쪽의 2개의 공이 대칭으로 튀어 올라 왕복한다. 운동량 보존 법칙을 만족하더라도, 반대쪽의 하나의 공이 2배의 속도로 튀어 오른다거나, 4개의 공이 절반의 속도로 올라가는 일은 일어나지 않는다. 이는 대칭적인 움직임만이 운동량과 운동 에너지 모두를 동일하게 만들기 때문이다.

더 많은, 절반 이상의 공을 처음 충돌시켰을 때(예를 들어 5개 중 3개를 부딪혔을 때)에는, 가운데 공은 진동의 중단이나 재개 없이 그대로 움직인다.

2. 3. 다중 충돌

쇠공은 완전탄성체에 가깝게 작동하여 충돌 시 에너지 손실이 거의 없이 전달된다. 맨 바깥쪽 쇠공을 당겼다 놓으면 진자 운동을 하며 다른 공과 충돌하고, 에너지를 전달받지 못한 공은 멈춘다. 에너지는 연닿은 쇠공들을 통해 전달되어 반대편 쇠공이 튀어 오르게 된다. 튀어 오른 쇠공은 처음 당겨진 쇠공의 위치에너지에 해당하는 높이까지 올라갔다가 다시 진자 운동으로 내려와 충돌한다. 이 과정이 반복되지만, 실제로는 줄의 마찰, 쇠공 간 비탄성 충돌 등으로 에너지 손실이 발생하여 진자 운동은 점차 감쇄하며 결국 멈춘다.^[21]

두 개 이상의 쇠공을 당겼다 놓으면, 올려졌던 쇠공의 수만큼 에너지가 증가한다. 쇠공들이 연이어 닿아있고 탄성 충돌을 하므로, 충돌 후 쇠공들은 하나의 물체처럼 작동한다. 즉, 두 개의 쇠공을 들었다 놓으면 튀어나가는 공도 두 개가 되고, 세 개의 공을 들었다 놓으면 튀어나가는 공도 세 개가 된다. 뉴턴의 요람은 보통 다섯 개의 쇠공이 달려 있어, 세 개의 공을 당겨 놓으면 두 개의 공은 정지하고 세 번째 공은 튀어나가는 공들과 함께 움직인다.

뉴턴의 요람은 공이 항상 쌍으로 충돌한다는 가정하에 간단한 수학 방정식으로 모델링할 수 있다. 그러나 하나의 공이 이미 접촉하고 있는 여러 개의 공을 치면, 마찰 손실 때문이 아니라, 간단한 방정식으로는 모든 공의 운동을 설명할 수 없다. 실제 뉴턴의 요람에서는 네 번째 공에 약간의 움직임이 있고, 첫 번째 공에는 약간의 반대 운동이 있다.

정확한 예측을 위해 간단한 해법을 적용하려면, 충돌 중인 어떤 쌍도 세 번째 공에 닿아서는 안 된다. 세 번째 공이 있으면 타격된 공의 질량이 커지는 효과가 있기 때문이다. 두 개의 보존 방정식을 적용하여 한 번의 충돌에서 세 개 이상의 공의 최종 속도를 계산하면 많은 가능한 해가 나오므로, 이 두 원칙만으로는 결과적인 작용을 결정하기에 충분하지 않다.

작은 강철 공이 효과적인 이유는 강한 타격에도 열 손실이 적어 탄성이 효율적으로 유지되고 압축이 크지 않기 때문이다. 작고 단단한 압축은 빠르게 일어나므로, 강철 공은 근처의 세 번째 공에 닿기 전에 충돌을 완료할 가능성이 더 높다.

뉴턴의 요람의 가장 단순한 해법을 따르는 요람은 한 공이 압축되는 양의 적어도 두 배 이상의 초기 간격을 가져야 하지만, 대부분은 그렇지 않다. 초기 간격이 충분하지 않은 경우와 초기 간격이 있더라도 두 개 이상의 공이 관련된 후속 충돌에서 발생하는 작용은 더 복잡하다. 이 해법은 충돌 시 두 개의 공만 접촉할 때 단순한 해법으로 단순화된다. 이는 마찰로 인해 에너지 손실이 없고 강철, 유리, 플라스틱, 고무와 같은 재료로 근사할 수 있는 모든 완전 탄성 동일 공에 적용된다.

두 개의 공이 충돌하는 경우, 두 개의 미지수 속도를 풀기 위해 운동량과 에너지 보존에 대한 두 개의 방정식만 필요하다. 세 개 이상의 탄성 공이 동시에 충돌하는 경우, 충돌하는 표면의 상대적 압축성이 결과를 결정하는 추가 변수이다.

고전역학을 수학적으로 표현하는 다양한 방법으로는 뉴턴 역학, 라그랑지 역학, 해밀턴 역학, 그리고 고정 작용이 있다. 이들은 동일한 물리를 설명하지만 다른 방법으로 풀어야 한다. 모두 에너지와 운동량 보존을 적용한다. 각 공에 뉴턴의 법칙을 적용하면, 힘의 합은 0과 같다. 따라서 각 공에 대해 하나의 방정식, 즉 다섯 개의 방정식이 있고, 각 속도에 대해 하나의 미지수, 즉 다섯 개의 미지수가 있다. 공이 동일하다면 표면의 절대 압축성은 무관해진다.

처음에 접촉하는 네 개의 공을 한 공이 칠 경우의 속도^[4]^[5]^[6]는 공을 충돌면에 비전통적인 스프링이 있는 무게로 모델링하여 결정된다. 강철과 같이 효율적으로 탄성이 있는 대부분의 재료는 스프링에 대한 후크의 법칙에 근사하게 따르지만, 구의 접촉 면적은 힘이 증가함에 따라 증가하므로, 충돌하는 탄성 공은 후크의 법칙에 대한 헤르츠의 보정을 따른다. 이것과 운동에 대한 뉴턴의 법칙이 각 공에 적용되어, 다섯 개의 간단하지만 상호 의존적인 미분 방정식이 생성되며, 이는 수치적으로 풀 수 있다.

다섯 번째 공이 가속되기 시작하면, 압축된 표면의 스프링 작용을 통해 세 번째와 네 번째 공으로부터 운동량과 에너지를 받는다. 단일 공 타격에서 초기 공의 운동 에너지의 40~50%는 대부분의 충돌 과정 동안 표면 내에 위치 에너지로 저장된다. 초기 속도의 13%는 네 번째 공에 전달되고 첫 번째 세 개의 공에서 약간의 역속도가 발생하며, 첫 번째 공이 초기 속도의 -7%로 가장 크다.

헤르츠 미분 방정식은 두 개의 공이 세 개의 공을 치는 경우, 다섯 번째와 네 번째 공이 초기 속도의 1.14배와 0.80배의 속도로 떠날 것이라고 예측한다.^[7] 그러나 실제 뉴턴의 요람에서는 네 번째 공이 다섯 번째 공만큼 멀리 흔들린다. 이론과 실험의 차이를 설명하기 위해 두 개의 충돌하는 공은 최소 ≈10 μm 간격을 가져야 한다.

충돌 전 움직임	충돌 후 움직임

뉴턴의 요람의 움직임은 공의 개수에 따라 달라진다. 하나의 공을 잡아당겨 놓으면, 그 공은 다른 정지해 있는 공을 향해 충돌하고 정지한다. 이 순간, 금속구가 부딪힌 반대쪽의 공은, 처음 금속구와 같은 속도로 호를 그리며 날아간다.

이 움직임은 직관에 반하는 것처럼 보여 재미있다고 느낄 수 있다.

실제로는, 처음 공의 충돌이 충격을 발생시키고, 그 충격이 중간의 공을 통해 전달되는 것이다. 쇠와 같은 단단한 물질은 충격력 전달에 뛰어나다.

이 충격파는 물질 속을 음속으로 전파된다. 쇠 속에서의 음속(약 4699 m/s)은 공기 중(약 343 m/s)보다 훨씬 빠르며, 몇 cm 정도의 짧은 거리를 전달하는 시간은 인간이 인지할 수 없을 정도로 짧다.

이상적인 세상에서는 이 움직임이 영원히 지속되지만, 현실에서는 충격력을 100% 전달할 수 없다. 따라서, 금속구의 에너지는 매달린 끈, 공기 저항 또는 소리 형태로 손실된다.

더 흥미로운 것은, 여러 개의 공을 처음 충돌시킬 때 일어난다. 5개의 공을 가진 요람으로 생각해보자. 2개의 공으로 시작하면, 반대쪽의 2개의 공이 대칭으로 튀어 올라 왕복한다. 운동량 보존 법칙을 만족하더라도, 반대쪽의 하나의 공이 2배의 속도로 튀어 오른다거나, 4개의 공이 절반의 속도로 올라가는 일은 일어나지 않는다. 이는 대칭적인 움직임만이 운동량과 운동 에너지 모두를 동일하게 만들기 때문이다.

더 많은, 절반 이상의 공을 처음 충돌시켰을 때(예를 들어 5개 중 3개를 부딪혔을 때)에는, 가운데 공은 진동의 중단이나 재개 없이 그대로 움직인다.

3. 에너지 감쇠

실제 뉴턴의 요람은 여러 가지 감쇄 요인을 갖기 때문에 영원히 움직일 수는 없다. 쇠공은 서로 충돌할 때 탄성 계수에 의한 변형이 일어난다. 두 공 사이의 충돌은 양자역학적인 꿰뚫기부터 시작되며 이 충돌 간격은 대략 수 ~ 수십 Å이다. 이어서 이루어지는 충돌에 의해 쇠공은 수 마이크로미터 정도의 탄성 변형을 겪어 구면이 움푹 들어갔다가 펴지게 된다. 이 과정을 통해 쇠공은 자체적인 진동에너지를 갖게 된다.^[20] 쇠공이 부딪히면 딱하는 소리가 발생하고 충돌에너지 가운데 일부가 소리에너지로 전환된다. 쇠공 사이의 충돌에 의해 발생하는 소리에너지의 크기는 전체 에너지의 10^-5 정도로 에너지 감쇄에서 차지하는 비중은 작다.^[20]

각 과정에서 효율적인 기계적 에너지가 손실된다. 뉴턴의 요람은 영구 기관이 아니다. 이는 진공과 같이 공기 저항이 없는 경우에도 마찬가지이다. 쇠와 같은 단단한 물질은 충격력 전달에 뛰어나다. 이 충격파는 물질 속을 음속으로 전파된다. 쇠 속에서의 음속(약 4699m/s)은 공기 중(약 343m/s)보다 훨씬 빠르며, 몇 cm 정도의 짧은 거리를 전달하는 시간은 인간이 인지할 수 없을 정도로 짧다. 이는 금속구 속을 물리적인 왜곡으로 전달되는 충격파에도 해당된다. 이상적인 세상에서는 이 움직임이 영원히 지속되지만, 현실에서는 충격력을 100% 전달할 수 없다. 따라서, 금속구의 에너지는 매달린 끈, 공기 저항 또는 소리 형태로 손실된다(금속구의 찰칵거리는 소리는 운동 에너지가 음향 에너지로 손실되고 있다는 증거). 진동이 끝나갈 즈음에는, 중간의 공도 약간 흔들린다.

4. 구조

뉴턴의 요람의 기본적인 구성은 동일한 크기의 금속 구슬 몇 개를 틀에 끈으로 매달아 놓은 형태이다. 각 구슬은 두 개의 끈으로 V자 모양을 이루며 매달려 있어, 모든 구슬이 동일 평면 상에서 움직이도록 되어 있다. 정지 상태에서는 구슬 사이에 미세한 틈이 있다.

뉴턴의 요람은 공들이 항상 쌍으로 충돌한다는 가정 하에 간단한 수학 방정식으로 비교적 정확하게 모델링할 수 있다. 그러나 하나의 공이 이미 접촉하고 있는 4개의 고정된 공을 치는 경우, 이 간단한 방정식으로는 5개 공 모두에서 발생하는 운동을 설명하기 어렵다. 이는 마찰 손실 때문이 아니다. 실제 뉴턴의 요람에서는 네 번째 공에 약간의 움직임이 있고, 첫 번째 공에는 약간의 반대 운동이 나타난다. 이 문서의 모든 애니메이션은 공들이 처음에 접촉하지 않고 쌍으로만 충돌하는 이상적인 경우에만 나타나는 동작(단순 해법)을 보여준다.

재질이 달라도 탄성이 좋다면 작동 방식은 변하지 않는다. 구의 크기는 무게가 재료의 탄성 한계를 넘지 않으면 결과에 영향을 주지 않는다. 고체 구가 너무 커지면 탄성 한계는 반경의 1.5제곱에 비례해 증가하지만, 흡수 및 방출해야 하는 에너지는 반경의 세제곱에 비례해 증가하여 열 손실이 발생한다. 접촉면을 더 평평하게 하면 압축을 더 많은 재료에 분산시켜 이를 어느 정도 극복할 수 있지만, 정렬 문제가 생길 수 있다. 강철은 대부분의 재료보다 우수하다. 강철은 첫 충돌 후에도 단순 해법을 적용하기 좋고, 무게 대비 에너지 저장 탄성 범위가 우수하며, 높은 무게는 공기 저항의 영향을 줄여준다.

5. 역사

이 장치가 시연하는 원리인 물체 간의 충돌 법칙은 17세기에 프랑스 물리학자 아베 마리오트에 의해 처음 시연되었다.^[1] 이 주제에 대한 그의 연구는 1671년 프랑스 과학 아카데미에 처음 발표되었으며, 1673년에는 ''Traité de la percussion ou choc des corps''("물체의 타격 또는 충격에 관한 논문")로 출판되었다.^[9] 뉴턴은 자신의 저서 ''자연철학의 수학적 원리''에서 크리스토퍼 렌, 존 월리스, 호이겐스와 함께 마리오트의 연구를 진자와 구의 충돌에 대한 실험의 선구자로 인정했다.

호이겐스는 진자를 사용하여 충돌을 연구했다. 사후에 1703년에 출판된 그의 저서 ''De Motu Corporum ex Percussione''(충돌에 의한 물체의 운동에 관하여)는 뉴턴의 제1법칙의 한 버전을 포함하고 있으며, 움직이는 물체의 운동이 정지된 물체로 전달되는 질량이 같은 두 물체를 포함한, 매달린 물체의 충돌에 대해 논의한다.

현대적인 뉴턴의 요람의 기원에 대해서는 많은 혼란이 있다. 1967년 초, 영국 배우 사이먼 프레블은 그의 회사인 Scientific Demonstrations Ltd.에서 제조한 나무 버전에 "뉴턴의 요람"이라는 이름을 처음으로 사용했다.^[10] 소매업체들의 초기 반대에도 불구하고, 런던의 해로즈에서 처음 판매되었고, 이는 임원용 장난감 시장의 시작을 알렸다. 이후 조각가이자 미래의 영화 감독인 리처드 론크레인은 카나비 스트리트 매장 Gear를 위해 매우 성공적인 크롬 디자인을 만들었다.

세계에서 가장 큰 요람 장치는 ''MythBusters''에 의해 설계되었으며, 5개의 1톤 콘크리트 및 강철 철근으로 채워진 부표가 강철 트러스에 매달려 있었다. 부표는 또한 에너지 전달을 위한 "접촉점" 역할을 하기 위해 두 반쪽 사이에 강철판이 삽입되었다. 이 요람 장치는 콘크리트가 탄성이 없어 대부분의 에너지가 콘크리트의 열 발생으로 손실되었기 때문에 제대로 작동하지 않았다. 그들이 제작한 소규모 버전은 각각 약 14.97kg (15kg)의 무게가 나가는 5개의 약 15.24cm (15cm) 크롬 강철 볼 베어링으로 구성되어 있으며, 데스크톱 모델만큼 효율적이다.

가장 큰 직경의 충돌 볼을 가진 요람 장치는 위스콘신주 밀워키에 있는 소매점 American Science and Surplus에서 1년 이상 전시되었다(사진 참조). 각 볼은 직경 약 66.04cm의 공기를 주입한 운동용 볼(강철 링으로 덮여 있음)이었으며, 매우 강력한 자석을 사용하여 천장에 매달려 있었다. 유지 보수 문제로 인해 2010년 8월 초에 해체되었다.

:en:American Science and Surplus에 있는 거대한 뉴턴의 진자

6. 문화적 영향 및 활용

뉴턴의 요람은 초등학교에서 기초 과학 실험 도구로 사용되며, 사무실 장난감으로도 판매된다.^[22] 영화 속에서도 흔히 등장한다.^[23] 가장 일반적인 용도는 책상 위 임원 장난감이며, 운동량 보존과 에너지 보존을 보여주는 교육용 물리 시연에도 사용된다.

뉴턴의 요람은 여러 영화에서 장치로 사용되었다. 예를 들어 폴 뉴먼이 출연한 ''허드서커 대리인'', ''엑스맨''의 매그니토, ''슈퍼맨 2''의 크립톤인 등 주요 악당의 책상 위에 놓여 있기도 하다. ''컨커션''에서는 NFL이 머리 부상에 대해 굽히지 않는 입장을 나타내는 데 사용되었다.^[11] 헨리 윙클러가 출연한 ''야간 근무'', 더스틴 호프만이 출연한 ''짚으로 만든 개'', 기네스 팰트로가 출연한 ''아이언맨 2''에서는 지적이고 불안하며 예민한 성격의 주인공이 긴장을 푸는 용도로 사용되었다. ''로젠크란츠와 길덴스턴은 죽었다''에서는 찰흙 항아리로, ''게이머''에서는 1968년형 에에로 아르니오 버블 체어에 옷을 거의 입지 않은 여성들이 앉아 있는 모습으로 묘사되었다.^[12] ''아기배달부 스토크''에서는 코너스토어 CEO 헌터가 공 대신 작은 새들이 있는 뉴턴의 요람을 가지고 있다. 닌텐도의 ''동물의 숲'' 시리즈에서는 "임원 장난감"이라는 아이템으로 등장한다.^[13]

2017년 팟캐스트 ''Omnibus'' 에피소드에서는 ''제퍼디!'' 챔피언 켄 제닝스와 음악가 존 로데릭이 뉴턴의 요람 역사에 대해 다루었다.^[14] ''웨스트 윙''에서는 백악관 부 통신국장 샘 시본의 책상 위에, ''퓨처라마'' 에피소드 "지구가 멍청해지는 날"에서는 휴버트 판스워스 교수가 뉴턴의 요람에 머리를 넣고 자신이 천재라고 말하는 모습으로 등장한다.

드림 시어터는 2005년 앨범 ''옥타바리움'' 앨범 아트에 뉴턴의 요람 이미지를 사용했다. 제퍼슨 에어플레인은 1968년 앨범 ''크라운 오브 크리에이션''에서 뉴턴의 요람을 리듬 장치로 사용하여 기악 트랙에서 폴리리듬을 만들었다.

뉴턴의 요람은 주로 물리 실험 등 교육 용도로 사용되지만, 인테리어 소품으로도 활용된다.

참조

_[1] 웹사이트 Newton's Cradle https://sciencedemon[...] Harvard University 2019-02-27
_[2] 뉴스 How Does Newton's Cradle Work? 2013-08-28
_[3] 간행물 Newton's Cradle in Physics Education 2006-08
_[4] 간행물 How does the ball-chain work? http://www.physikdid[...] 2011-07-01
_[5] 간행물 Collisions between elastic bodies: Newton's cradle
_[6] 간행물 Rocking Newton's Cradle http://www.maths.tcd[...]
_[7] 뉴스 The fragmentation of a line of balls by an impact http://www.damtp.cam[...]
_[8] 위키 Catholic Encyclopedia (1913)/Edme Mariotte
_[9] 문서 Traité de la percussion ou choc des corps https://gallica.bnf.[...]
_[10] 웹사이트 How Newton's Cradles Work https://science.hows[...] 2019-02-27
_[11] 웹사이트 Concussion – Cinemaniac Reviews https://cinemaniacre[...]
_[12] 웹사이트 13 Icons of Modern Design in Movies http://www.stylessen[...] 2017-02-10
_[13] 서적 Animal Crossing Official Game Guide by Nintendo Power Nintendo
_[14] 팟캐스트 "Omnibus': Newton's Cradle (Entry 835.1C1311)" https://www.omnibusp[...]
_[15] 웹사이트 "Newton's Cradle | Harvard Natural Sciences Lecture Demonstrations" http://sciencedemons[...] 2017-04-07
_[16] 웹사이트 Catholic Encyclopedia: Edme Mariotte http://en.wikisource[...] 2007-10-07
_[17] 웹사이트 Geek's Dream Lab Could Create Jobs In Michigan https://www.npr.org/[...] NPR 2024-08-02
_[18] 웹사이트 Because the Geek Shall Inherit the Earth https://www.rapidgro[...] Rapid Growth Media 2024-08-02
_[19] 웹사이트 뉴턴의 진자 http://javalab.org/n[...]
_[20] 문서 뉴턴의요람 - 그 속의 비밀 http://webzine.kps.o[...]
_[21] 서적 대학물리학 I 북스힐 2009
_[22] 문서 각종 인터넷 포털에서 뉴턴의 요람 또는 뉴턴의 진자로 검색하여 판매되는 상품을 확인할 수 있다.
_[23] 웹사이트 Most Popular "Newton's Cradle" Titles - IMDb https://www.imdb.com[...]

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