닫힌 작용소

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1. 개요

닫힌 작용소는 수학에서 위상 벡터 공간 사이의 선형 변환의 한 종류로, 그래프가 닫힌 집합인 작용소를 의미한다. 닫힐 수 있는 작용소는 그래프의 폐포가 연속 선형 변환의 그래프가 되는 작용소를 말하며, 닫힌 작용소는 닫힐 수 있는 작용소의 특수한 경우이다. 힐베르트 공간에서 대칭 작용소는 닫힐 수 있으며, 자기 수반 작용소는 닫힌 작용소이다. 닫힌 그래프 정리는 바나흐 공간 사이의 선형 변환이 닫힌 작용소일 경우 유계 작용소임을 보여준다.

닫힌 작용소

정의	* 좀 더 구체적으로, T: X → Y인 선형 연산자라고 하자. 만약 X 안의 수열 xn이 x로 수렴하고 Txn이 Y 안의 y로 수렴한다면, x는 T의 정의역 안에 있으며 T(x) = y이다.

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참고 문헌

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 닫힌 작용소
- 2.2. 닫힐 수 있는 작용소
3. 성질

2. 정의

$\mathbb K \in \{\mathbb R, \mathbb C\}$ 인 위상 벡터 공간 $E$ 와 하우스도르프 $\mathbb K$ -위상 벡터 공간 $F$ 가 주어졌을 때, $E$ 의 조밀 부분 벡터 공간 $D \subseteq E$ 에서 정의된 $\mathbb K$ -선형 변환 $A \colon D\to F$ 를 생각하자.

$A$ 의 그래프는 $\operatorname{graph}A = \{(x,Ax)\colon x\in D\} \subseteq E\oplus F$ 로 정의된다.

$A$ 의 그래프가 $E \oplus F$ 의 닫힌집합이거나, 임의의 $x \in E$ 와 그물 $(x_i)_{i \in I} \subseteq D$ 에 대해 $\textstyle\lim_{i\to\infty}x_i = x$ 이고 $\lim_{i\to\infty}Ax_i = y \in F$ 일 때 $x \in D$ 이며 $y = Ax$ 이면, $A$ 를 닫힌 작용소라고 한다.

$\operatorname{graph}\bar A = \operatorname{cl}(\operatorname{graph}A)$ 인 연속 선형 변환 $\bar A\colon\bar D\to F$ 가 존재하거나 (여기서 $\bar D = \operatorname{proj}_E \operatorname{graph}\bar A$ ), 임의의 $x\in E$ 와 두 그물 $(x_i)_{i\in I}\subseteq D$ , $(x'_{i'})_{i'\in I'}\subseteq D$ 에 대해 $\textstyle\lim_{i\to\infty}x_i = \lim_{i'\to\infty}x_{i'} = x$ 이고 $\textstyle\lim_{i\to\infty}Ax_i = y$ , \textstyle\lim_{i'\to\infty}x'_{i'} = y'일 때 $y=y'$ 이면, $A$ 를 닫힐 수 있는 작용소라고 한다.

닫힐 수 있는 작용소의 경우, $\operatorname{cl}(\operatorname{graph}A)$ 로 정의되는 작용소를 $\bar A$ 로 표기하며, $A$ 의 폐포(closure^영어)라고 한다.

2.1. 닫힌 작용소

다음이 주어졌다고 하자.

* K^영어∈{ℝ, ℂ}
* K^영어-위상 벡터 공간 E
* 하우스도르프 K^영어-위상 벡터 공간 F
* E의 조밀 K^영어-부분 벡터 공간 D ⊆ E
* K^영어-선형 변환 A : D → F

그렇다면, A의 그래프

: 그래프 A = {(x, Ax) : x ∈ D} ⊆ E ⊕ F

를 생각할 수 있다.

A에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건들이 성립한다면 A를 닫힌 작용소라고 한다.
* A의 그래프가 위상 벡터 공간 E ⊕ F의 닫힌집합이다.
* 임의의 x ∈ E 및 그물 (x_i)_i∈I ⊆ D에 대하여, 만약 lim_i→∞x_i = x이며 lim_i→∞Ax_i = y ∈ F라면, x ∈ D이며 y = Ax이다.

E 및 F가 프레셰 공간이라면, 둘째 조건에서 그물 대신 점렬을 사용해도 된다.

2.2. 닫힐 수 있는 작용소

다음이 주어졌다고 하자.

* K^영어∈{ℝ, ℂ}
* K^영어-위상 벡터 공간 E
* K^영어-위상 벡터 공간 F
* E의 조밀 K^영어-부분 벡터 공간 D ⊆ E
* 연속 K^영어-선형 변환 A : D → F

이 경우, 다음 두 조건은 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 A를 닫힐 수 있는 작용소라고 한다.

* $\operatorname{graph}\bar A = \operatorname{cl}(\operatorname{graph}A)$ 인 연속 선형 변환 $\bar A\colon\bar D\to F$ 가 존재한다. (여기서 $\bar D = \operatorname{proj}_E \operatorname{graph}\bar A$ 이다.)
* 임의의 x∈E 및 두 그물 $(x_i)_{i\in I}\subseteq D$ 및 $(x'_{i'})_{i'\in I'}\subseteq D$ 에 대하여, 만약 $\textstyle\lim_{i\to\infty}x_i = \lim_{i'\to\infty}x_{i'} = x$ 이고 $\textstyle\lim_{i\to\infty}Ax_i = y$ 이며 \textstyle\lim_{i'\to\infty}x'_{i'} = y'이라면, y=y′이다.

다시 말해, 닫힐 수 있는 작용소에서는, 임의의 E의 원소에서 A의 값을 그물 또는 점렬의 극한으로 정의하려고 할 때, 이러한 가능한 정의는 (만약 가능하다면) 유일하다.

이 경우, $\operatorname{cl}(\operatorname{graph}A)$ 로 정의되는 작용소를 $\bar A$ 로 표기하며, A의 폐포(closure^영어)라고 한다.

3. 성질

힐베르트 공간에서, 닫힐 수 있는 작용소와 닫힌 작용소는 다음과 같은 성질을 갖는다.

* 힐베르트 공간 위의 모든 대칭 작용소는 닫힐 수 있는 작용소이다.
* 힐베르트 공간 위의 모든 자기 수반 작용소는 닫힌 작용소이다.

3.1. 에르미트 수반과의 관계

$\mathbb{K}$ -힐베르트 공간 $H$ 의 조밀 부분 집합
: $D \subseteq E$
위의 선형 변환
: $A \colon H \to H$
의 에르미트 수반을 정의하려 한다고 하자. 이 경우, 그 수반의 정의역은
: $\operatorname{dom}A^* = \left\{x\in H\colon \langle x|A \in \mathcal H^* \cong \mathcal H\right\}$
이다. 이것이 조밀 집합일 필요충분조건은 $A$ 가 닫힐 수 있는 작용소인 것이다.

이 경우, $A$ 가 닫힐 수 있는 작용소일 때
: $\bar A = A^{$ }
이다. 즉, 닫힌 작용소의 경우 $A = \bar A = A^{$ }이다.

힐베르트 공간 위의 모든 대칭 작용소는 닫힐 수 있는 작용소이다. 힐베르트 공간 위의 모든 자기 수반 작용소( $A = A^*$ )는 닫힌 작용소이다.

즉, 힐베르트 공간 위에서 다음 포함 관계가 성립한다.

👆

좌우로 밀어서 보기

대칭 작용소	⊂	닫힐 수 있는 작용소
∪		∪
자기 수반 작용소	⊂	닫힌 작용소
		∪
		유계 작용소

3.2. 포함 관계

힐베르트 공간^한국어 위의 모든 대칭 작용소는 닫힐 수 있는 작용소이다. 힐베르트 공간 위의 모든 자기 수반 작용소는 닫힌 작용소이다.

즉, 힐베르트 공간 위에서 다음 포함 관계가 성립한다.

👆

좌우로 밀어서 보기

대칭 작용소	⊂	닫힐 수 있는 작용소
∪		∪
자기 수반 작용소	⊂	닫힌 작용소
		∪
		유계 작용소

3.3. 닫힌 그래프 정리

바나흐 공간에서 선형 변환에 대한 닫힌 그래프 정리(closed graph theorem^영어)에 따르면, 두 바나흐 공간 $E$ , $F$ 사이에서 $E$ 전체에 정의된 선형 변환 $A\colon E\to F$ 가 닫힌 작용소인 것은 유계 작용소인 것과 동치이다.