데데킨트-하세 노름

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1. 개요

데데킨트-하세 노름은 정역 R에서 음이 아닌 정수로 가는 함수 g로, 특정 세 가지 조건을 만족하는 경우에 해당한다. 이 노름은 유클리드 함수의 조건을 일반화한 것이며, 유클리드 함수와 밀접한 관련이 있다. 데데킨트-하세 노름은 정역을 주 아이디얼 정역으로 변환하는 데 필요한 조건이며, 정역이 데데킨트-하세 노름을 갖는 것과 주 아이디얼 정역인 것은 동치이다. 다항식 환 K[X]에서 다항식의 차수를 이용한 함수가 데데킨트-하세 노름의 예시가 될 수 있다.

데데킨트-하세 노름

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환론 - 뇌터 환
뇌터 환은 환론에서 아이디얼의 특정 조건을 만족하는 환을 지칭하며, 가환환의 경우 왼쪽, 오른쪽, 양쪽 뇌터 환의 개념이 일치하지만 비가환환의 경우 구별해야 하고, 힐베르트 기저 정리에 따라 뇌터 환 <math>R</math>에 대해 다항식환 <math>R[X]</math> 역시 뇌터 환이 된다.
환론 - 다항식환
다항식환은 환을 계수로 하는 다항식들의 집합으로, 덧셈과 곱셈 연산에 대해 환을 이루며, 계수환이 체일 경우 유클리드 정역이 되고 대수기하학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 데데킨트-하세 노름의 조건
- 2.2. 유클리드 함수와의 관계
3. 정역과 주 아이디얼 정역
4. 예

2. 정의

$R$ 이 정역이라고 할 때, $g\colon R \rightarrow \Z_{\geq 0}$ 은 $R$ 에서 음이 아닌 정수로 가는 함수이다. $0_R$ 은 $R$ 의 덧셈 항등원을 나타낸다. 함수 $g$ 가 다음 세 가지 조건을 만족하면 $R$ 에 대한 데데킨트-하세 노름이라고 정의한다.

2.1. 데데킨트-하세 노름의 조건

* `g(a) = 0` 만약 그리고 만약에만 `a = 0_R`
* `R`의 0이 아닌 임의의 원소 `a`와 `b`에 대해 다음 중 하나가 성립한다.
* `b`는 `R`에서 `a`를 나눈다.
* `R`의 원소 `x`와 `y`가 존재하여 0 < `g(xa - yb)` < `g(b)`가 성립한다.

세 번째 조건은 유클리드 정역 문서에 정의된 유클리드 함수의 조건 (EF1)을 약간 일반화한 것이다. `x`의 값을 항상 1로 잡을 수 있다면, `g`는 실제로 유클리드 함수가 되고, 따라서 `R`은 유클리드 정역이 된다.

2.2. 유클리드 함수와의 관계

세 번째 조건은 유클리드 정역 문서에 정의된 대로 유클리드 함수의 조건 (EF1)을 약간 일반화한 것이다. x의 값을 항상 1로 취할 수 있다면 g는 유클리드 함수가 되고 R은 따라서 유클리드 정역이 된다.

3. 정역과 주 아이디얼 정역

리하르트 데데킨트와 헬무트 하세는 데데킨트-하세 노름이 정역을 주 이데알 정역으로 만드는 데 필요한 추가 조건임을 알아냈다. 즉, 정역 R이 데데킨트-하세 노름을 가지면 R은 주 아이디얼 정역이며, 이 두 명제는 서로 동치이다.

4. 예

K^영어를 체로 두고 다항식 환 K^영어[X]를 고려한다. 0이 아닌 다항식 p를 2^deg(p)에 사상하는 이 영역의 함수 g (여기서 deg(p)는 p의 차수이고 0 다항식을 0에 사상함)는 K^영어[X]에 대한 데데킨트-하세 노름이다. 처음 두 조건은 g의 정의에 의해 간단하게 충족되며, 세 번째 조건은 다항식 장제법을 사용하여 증명할 수 있다.