유클리드 정역

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1. 개요

유클리드 정역은 유클리드 함수를 갖는 정역으로, 유클리드 함수는 정역의 원소와 음이 아닌 정수를 연결하는 함수이며, 나눗셈 정리를 만족한다. 모든 체는 유클리드 정역이며, 모든 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역, 유일 인수분해 정역, 뇌터 환이다. 유클리드 정역의 예시로는 정수환, 다항식환, 가우스 정수환 등이 있다. 노름-유클리드 체는 체 노름의 절대값으로 정의되는 정규 노름 함수를 가지는 대수적 수체이며, 이차 체는 완전히 분류되어 있다.

유클리드 정역

수학적 정보

유형	정역
정의	유클리드 나눗셈을 갖는 정역
추가 속성	주 아이디얼 정역 유일 인수 분해 정역

예시

대표적인 예시	정수환 다항식환 (체 위에서)
기타 예시	가우스 정수환 아이젠슈타인 정수환 체

성질

아이디얼	모든 아이디얼은 주 아이디얼이다.
인수 분해	모든 원소는 유일하게 기약원소의 곱으로 표현된다.
나눗셈 알고리즘	유클리드 나눗셈이 가능하다.

상위 개념	정역
하위 개념	체
관련 개념	유클리드 나눗셈 주 아이디얼 정역 유일 인수 분해 정역

2. 정의

정역 $R$ 위의 유클리드 함수(Euclidean function^영어) $f\colon R \setminus \{0\} \to \mathbb N$ 는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.

* 임의의 $a\in R$ 및 $b\in R\setminus\{0\}$ 에 대하여, $a=bq+r$ 이며 $r=0$ 또는 $f(r) 인 q,r\in R 가 존재한다.$

유클리드 정역은 유클리드 함수가 적어도 하나 존재하는 정역이다.

이 맥락에서, $q$ 와 $r$ 은 각각 $a$ 를 $b$ 로 나눈(또는 유클리드 나눗셈) 몫과 나머지라고 불린다. 정수와 다항식의 경우와는 달리, 몫은 일반적으로 유일하게 정의되지 않지만, 몫이 선택되면 나머지는 유일하게 정의된다.

2.1. 정의에 대한 참고 사항

정역 $R$ 위의 유클리드 함수(Euclidean function^영어)는 다음 성질을 만족시키는 함수 $f\colon R \setminus \{0\} \to \mathbb N$ 이다.

* 임의의 $a\in R$ 및 $b\in R\setminus\{0\}$ 에 대하여, $a=bq+r$ 이며 $r=0$ 또는 $f(r) 인 q,r\in R 가 존재한다.$

유클리드 정역은 유클리드 함수가 적어도 하나 존재하는 정역이다. 유클리드 정역의 정의에는 특정 유클리드 함수가 포함되지 않는데, 일반적으로 유클리드 정역은 여러 다른 유클리드 함수를 가질 수 있기 때문이다.

대부분의 대수학 교재에서는 유클리드 함수가 다음의 추가적인 성질을 갖도록 요구한다.

*(EF2) $R$ 의 모든 0이 아닌 $a$ 와 $b$ 에 대해, $f(a)\le f(ab)$ .

하지만 (EF1)만으로 유클리드 정역을 정의하기에 충분하다. 만약 정역 $R$ 에 (EF1)을 만족하는 함수 $g$ 가 주어진다면, $R$ 은 (EF1)과 (EF2)를 동시에 만족하는 함수를 가질 수도 있다. 실제로, $R \setminus \{0\}$ 에 속하는 $a$ 에 대해, $f(a)$ 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $f(a) = \min_{x \in R \setminus \{0\}} g(xa)$

즉, $f(a)$ 를 $a$ 에 의해 생성된 주 아이디얼의 모든 0이 아닌 원소 집합에서 $g$ 가 갖는 최솟값으로 정의할 수 있다.

"유클리드 함수" 대신 "차수 함수", "평가 함수", "게이지 함수" 또는 "노름 함수"와 같은 다른 용어를 사용하기도 한다.

3. 성질

모든 체는 자명하게 유클리드 정역을 이루며, 모든 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역이다. 일반적으로, 다음 포함 관계가 성립한다.

:가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체

R을 정역, f를 R 상의 유클리드 함수라고 할 때, 다음이 성립한다.

* R은 주 아이디얼 정역(PID)이다. I가 R의 영이 아닌 아이디얼이면, f(a)의 값이 최소인 I \ {0}의 모든 원소 a는 I의 생성원이다. 결과적으로 R은 유일 인수분해 정역이며 뇌터 환이다.
* f가 전역 최소값을 갖는 R의 모든 원소는 R에서 가역원이다. (EF2)를 만족하는 f를 선택하면, 역도 성립하며, f는 가역원에서 정확히 최소값을 갖는다.
* 유클리드 나눗셈이 알고리즘적, 즉 몫과 나머지를 계산하기 위한 알고리즘이 있다면, 확장 유클리드 알고리즘은 정수의 경우와 정확히 동일하게 정의할 수 있다.
* 유클리드 정역이 체가 아니라면, 다음 속성을 가진 원소 a가 있다: a로 나누어 떨어지지 않는 모든 원소 x는, 어떤 단위 u와 어떤 원소 y에 대해 x = ay + u로 쓸 수 있다.

모든 PID가 유클리드 정역은 아니다. 예를 들어, d = −19, −43, −67, −163의 경우 $\mathbf{Q}(\sqrt{d}\,)$ 의 정수환은 유클리드 정역이 아니지만 PID이다. 하지만, 확장된 리만 가설을 가정하면, K가 Q의 유한 확장이고 K의 정수환이 무한히 많은 단위원을 갖는 PID이면, 정수환은 유클리드 정역이다.

4. 예

정수환은 절댓값을 유클리드 함수로 갖는 유클리드 정역이다. 체 $K$ 위의 다항식환 $K[x]$ 는 다항식의 차수를 유클리드 함수로 갖는 유클리드 정역이다. 체 $K$ 위의 형식적 거듭제곱 급수의 환 $Kx$ 역시 유클리드 정역이며, 이 경우 유클리드 함수는 형식적 거듭제곱 급의 차수이다.

가우스 정수 환은 가우스 정수의 노름을 유클리드 함수로 갖는다. 아이젠슈타인 정수 환 (원시 (비-실수) 3차 단위근)은 아이젠슈타인 정수의 노름을 유클리드 함수로 갖는다.

이 외에도 모든 체(모든 0이 아닌 원소 x에 대해 f(x) = 1), 모든 이산 값매김 환(f(x)를 x를 포함하는 극대 아이디얼의 가장 높은 차수) 등이 유클리드 정역의 예시이다.

반면, 주 아이디얼 정역이 아닌 정역 (예: 체 위의 둘 이상의 미지수를 갖는 다항식 환, 정수 계수를 갖는 일변수 다항식 환)이나 $\mathbb{Q}(\sqrt{-19})$ 의 정수환은 유클리드 정역이 아니다.

4.1. 다항식환의 유클리드 함수

다항식환 $K[x]$ 에서 차수 $\deg$ 는 유클리드 함수를 이룬다. $f, g \in K[x]$ 이고 $g \ne 0$ 일 때, 다음을 만족하는 $q, r \in K[x]$ 가 존재함을 보이면 된다.

: $f = gq + r$ ( $\deg r < \deg g$ )

집합 $S \subset K[x]$ 를 다음과 같이 정의한다.

: $S = \{f - gh \colon h \in K[x]\}$

$S$ 는 공집합이 아니며, $r$ 을 $S$ 의 원소 중 차수가 가장 작은 다항식이라고 하면, 다음이 성립한다.

: $f = gq + r$ ( $q \in K[x]$ )

이제 $\deg r < \deg g$ 이거나 $\deg r \ge \deg g$ 이다. 귀류법을 사용하여 $\deg r \ge \deg g$ 라고 가정하자.

: $r = ax^{\deg r} + \cdots$
: $g = bx^{\deg g} + \cdots$

라면,

: $\tilde r = r - (a/b)x^{\deg r - \deg g}g \in S$

이지만

: $\deg \tilde r < \deg r$

이므로 모순이다. 따라서 $\deg r < \deg g$ 이다.

다항식 환 $K[X]$ ( $K$ 는 체)에서 0이 아닌 다항식 $P$ 에 대해, $f(P)$ 를 $P$ 의 차수로 정의하면, $f$ 는 유클리드 함수가 된다.

4.2. 유클리드 정역을 이루는 대수적 정수환

허수 이차 수체 $\mathbb Q(\sqrt{-d})$ 의 대수적 정수환 $\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt{-d})}$ 가 유클리드 정역을 이루는 경우는 $d=1,2,3,7,11$ 일 때이다. 이때 체 노름 $f(a+b\sqrt{-d})=a^2+b^2d$ 은 $\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt{-d})}$ 의 유클리드 함수가 된다.

실수 이차 수체 $\mathbb Q(\sqrt d)$ 의 대수적 정수환 $\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt d)}$ 에 대하여, 체 노름의 절댓값 $f(a+b\sqrt d)=|a^2-b^2d|$ 이 $\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt d)}$ 의 유클리드 함수가 되는 경우는 $d=2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73$ 일 때이다. 만약 $d=14$ 일 경우, $\mathcal O_{\mathbb Q(\sqrt{14})}$ 는 체 노름이 아닌 다른 유클리드 함수를 갖는다.

가우스 정수의 환은 유클리드 정역의 한 예시이며, 유클리드 함수는 $f(a + bi) = a^2 + b^2$ , 즉 가우스 정수 $a + bi$ 의 노름으로 정의한다.

아이젠슈타인 정수의 환 $($ Z[ω]^독일어) (여기서 $\omega$ 는 원시 (비-실수 ) 3차 단위근)도 유클리드 정역의 예시이며, 유클리드 함수는 $f(a + b\omega) = a^2 - ab + b^2$ , 즉 아이젠슈타인 정수 $a + b\omega$ 의 노름으로 정의한다.

$\mathbf{Q}(\sqrt{-19}\,)$ 의 정수환은 유클리드 정역이 아닌 주 아이디얼 정역의 예시이다.

5. 노름-유클리드 체

대수적 수체 K에는 체 노름 N의 절대값으로 정의되는 표준 노름 함수가 존재한다. 이 함수는 대수적 원소 α를 α의 모든 켤레의 곱으로 변환한다. 이 노름은 수체 K의 정수환 O_K를 음이 아닌 유리 정수로 매핑하므로, 이 환에 대한 유클리드 노름이 될 수 있다. 이 노름이 유클리드 함수의 공리를 만족하면 수체 K는 노름-유클리드 또는 간단히 유클리드라고 한다. 엄밀히 말하면 체는 자명하게 유클리드 정역이므로 정수환이 유클리드적이지만, 이 용어는 표준적으로 사용된다.

체가 노름-유클리드가 아니라고 해서 정수환이 유클리드적이 아니라는 의미는 아니며, 체 노름이 유클리드 함수의 공리를 만족하지 않는다는 의미일 뿐이다. 실제로 수체의 정수환은 여러 클래스로 나눌 수 있다.

* 주 아이디얼 정역이 아니므로 유클리드적이지 않은 것, 예를 들어 $\mathbf{Q}(\sqrt{-5}\,)$ 의 정수환
* 주 아이디얼 정역이지만 유클리드적이지 않은 것, 예를 들어 $\mathbf{Q}(\sqrt{-19}\,)$ 의 정수환
* 유클리드적이지만 노름-유클리드적이지 않은 것, 예를 들어 $\mathbf{Q}(\sqrt{69}\,)$ 의 정수환
* 노름-유클리드적인 것, 예를 들어 가우스 정수 ( $\mathbf{Q}(\sqrt{-1}\,)$ 의 정수환)

노름-유클리드 이차 체는 완전히 분류되었으며, 이는 $d$ 가 다음 값을 갖는 $\mathbf{Q}(\sqrt{d}\,)$ 이다.

: −11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73

모든 유클리드 허수 이차 체는 노름-유클리드적이며, 앞 목록의 처음 다섯 개의 체 중 하나이다.

6. 유클리드 정역의 응용

* R은 주 아이디얼 정역(PID)이다. I가 R의 영이 아닌 아이디얼이면, f(a)의 값이 최소인 I \ {0}의 모든 원소 a는 I의 생성원이다. 따라서 R은 유일 인수분해 정역이며 뇌터 환이다. 인수분해의 존재는 유클리드 정역에서 쉽게 증명할 수 있다. (EF2)를 만족하는 유클리드 함수 f를 선택하면, x는 f(x) 이상의 비단위 인수로 분해될 수 없으므로, x에서 시작하여 약분 가능한 인수를 반복적으로 분해하면 기약원으로의 인수분해가 생성된다.
* f가 전역 최소값을 갖는 R의 모든 원소는 R에서 가역원이다. (EF2)를 만족하는 f를 선택하면, 역도 성립하며, f는 가역원에서 정확히 최소값을 갖는다.
* 유클리드 나눗셈이 알고리즘적이면, 확장 유클리드 알고리즘을 정의할 수 있다.
* 유클리드 정역이 체가 아니라면, 다음 속성을 가진 원소 a가 존재한다: a로 나누어 떨어지지 않는 모든 원소 x는, 어떤 단위 u와 어떤 원소 y에 대해 x = ay + u로 쓸 수 있다. 이는 f(a)가 가능한 한 작은 비단위를 a로 취함으로써 따른다. 이 속성은 일부 주 아이디얼 정역이 유클리드 정역이 아님을 보이는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, d = −19, −43, −67, −163의 경우 $\mathbf{Q}(\sqrt{d}\,)$ 의 정수환은 유클리드 정역이 아니지만 PID이며, d = −1, −2, −3, −7, −11인 경우는 유클리드 정역이다.

확장된 리만 가설을 가정하면, K가 Q의 유한 확장이고 K의 정수환이 무한히 많은 단위원을 갖는 PID이면, 정수환은 유클리드 정역이다. 특히 이것은 완전 실 이차 수체의 경우에 적용된다. 또한 (ERH를 가정하지 않고), 체 K가 Q의 갈루아 확장이고, 단위 순위가 3보다 크면, 정수환은 유클리드 정역이다.