데데킨트 절단

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 조건
3. 표현
4. 절단의 목적
5. 절단의 순서
6. 실수의 구성
7. 구간 산술과의 관계
8. 일반화
참조

1. 개요

데데킨트 절단은 유리수 집합을 두 부분 집합으로 나누는 방법으로, 이를 통해 실수를 구성하고 무리수를 표현할 수 있다. 데데킨트 절단은 아래로 닫힌 집합인 A와 B로 구성되며, A에는 최대 원소가 없어야 한다. 절단을 통해 완비되지 않은 수 집합을 다룰 수 있으며, 원래 집합에 없는 수를 나타낼 수 있다. 데데킨트 절단은 순서 집합의 완비성을 논하는 데 사용되며, 실수의 완비성을 보장하는 데 중요한 역할을 한다. 또한, 임의의 선형 순서 집합, 초현실수, 부분 순서 집합 등에서도 데데킨트 절단과 유사한 개념이 사용된다.

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데데킨트 절단
데데킨트 절단
분야	해석학, 실수
발명가	리하르트 데데킨트
발명 년도	1872년
이전 개념	유리수
다음 개념	실수

2. 정의

유리수 집합 $\mathbb{Q}$ 를 두 부분집합 ''A''와 ''B''로 분할하고, 이 분할이 특정 조건을 만족하면 '''데데킨트 절단'''이라고 한다. 데데킨트 절단을 통해 확장된 실수 체계를 얻을 수 있다.

2. 1. 조건

다음 조건을 만족하는 두 부분집합 ''A'' 와 ''B'' 로의 유리수

\mathbb{Q}

의 분할 (A, B)를 '''데데킨트 절단'''이라고 한다.

#

A

는 공집합이 아니다.

#

A \neq \mathbb{Q}

(동등하게,

B

는 공집합이 아니다).

#

x, y \in \mathbb{Q}

,

x < y

,

y \in A

이면,

x \in A

이다. (

A

는 아래로 닫혀있다.)

#

x \in A

이면,

y > x

인

y \in A

가 존재한다. (

A

는 최대 원소를 포함하지 않는다.)

처음 두 조건을 완화하면 확장된 실수 체계를 얻을 수 있다.

3. 표현

(''A'', ''B'') 표기법은 대칭적이지만, ''A''와 ''B''는 서로를 결정한다. 따라서, 아래쪽 집합 ''A'' (최대 원소가 없는 아래로 닫힌 집합)만으로 데데킨트 절단을 나타낼 수 있다. 순서 집합 ''S''가 완비되어 있다면, ''S''의 모든 데데킨트 절단 (''A'', ''B'')에 대해, 집합 ''B''는 최소 원소 ''b''를 갖는다. 이 경우, ''A''는 구간 (−∞, ''b'')가 되며, ''B''는 구간 [''b'', +∞)가 되고, ''b''는 절단 (''A'', ''B'')에 의해 ''표현된다''고 한다.

4. 절단의 목적

데데킨트 절단의 중요한 목적은 완비되지 않은 숫자 집합(예: 유리수)을 다루는 것이다. 절단은 원래 집합에 없는 숫자(무리수)를 나타낼 수 있다. 예를 들어, ''A''와 ''B''가 유리수만 포함하더라도, $\sqrt{2}$ 를 나타내는 데데킨트 절단을 구성할 수 있다. (자세한 내용은 '실수의 구성' 참고)

''A''에는 모든 음의 유리수와 제곱이 2보다 작은 음이 아닌 유리수를 넣고, ''B''에는 제곱이 2보다 크거나 같은 모든 양의 유리수를 넣으면, 이 분할 자체가 무리수를 나타낸다.

5. 절단의 순서

두 데데킨트 절단 (''A'', ''B'')와 (''C'', ''D'')에 대해, ''A''가 ''C''의 진부분집합이면 (''A'', ''B'')가 (''C'', ''D'')보다 작다고 정의한다. 이러한 방식으로 집합 포함 관계를 사용하여 숫자의 순서를 나타낼 수 있으며, '보다 큼', '작거나 같음', '같음' 등의 모든 관계도 집합 관계로부터 유사하게 생성할 수 있다.

모든 데데킨트 절단의 집합은 그 자체로 선형 순서 집합이다. 더욱이, 데데킨트 절단의 집합은 최소 상한 성질을 갖는다. 즉, 상계를 갖는 모든 비어 있지 않은 부분 집합은 최소 상한을 갖는다. 따라서 데데킨트 절단을 이용하면, 최소 상한 성질을 갖지 않을 수 있는 집합을 이 성질을 갖는 더 큰 선형 순서 집합에 포함시킬 수 있다.

6. 실수의 구성

유리수 $\mathbb{Q}$ 의 전형적인 데데킨트 절단은 다음과 같은 분할 $(A,B)$ 로 주어진다.^[4]

: $A = \{ a\in\mathbb{Q} : a^2 < 2 \text{ 또는 } a < 0 \},$

: $B = \{ b\in\mathbb{Q} : b^2 \ge 2 \text{ 그리고 } b \ge 0 \}.$

이 절단은 데데킨트의 구성에서 무리수 $\sqrt{2}$ 를 나타낸다. $A$ 는 제곱이 2보다 작은 모든 유리수와 모든 음의 유리수를 포함하고, $B$ 는 제곱이 2보다 크거나 같은 모든 양의 유리수를 포함한다. 이와 같이 유리수 집합을 분할함으로써, $\sqrt{2}$ 라는 무리수를 표현할 수 있다.

$A$ 가 실제로 절단이고 $A \times A = 2$ 임을 증명함으로써 데데킨트 절단을 통해 실수를 구성할 수 있다. (자세한 증명 과정은 생략한다.)

의 등식은 $\sqrt{2}$ 가 유리수가 아니기 때문에 성립할 수 없다.

일반적으로 전순서 집합의 절단에는 네 가지 경우가 생각된다.

# 아래 묶음의 최댓값과 위 묶음의 최솟값이 있다.

# 아래 묶음에 최댓값이 있지만, 위 묶음에 최솟값이 없다.

# 위 묶음에 최솟값이 있지만, 아래 묶음에 최댓값이 없다.

# 아래 묶음의 최댓값, 위 묶음의 최솟값이 모두 없다.

유리수의 경우, 조밀성으로부터 임의의 두 유리수 사이에 무수한 유리수가 존재하므로, 1번 경우는 불가능하다. 2번 및 3번 경우는 각각 아래 묶음의 최댓값, 위 묶음의 최솟값에 해당하는 유리수에 대응하며, 4번 경우는 무리수에 대응한다.

위의 방법에 의한 실수의 정의는 실수의 완비성과 동치이다.

7. 구간 산술과의 관계

데데킨트 절단은 실수 $r$ 을 나타내기 위해 유리수를 $(A, B)$ 로 분할하는 방식을 사용한다. 여기서 $A$ 에 속하는 유리수는 $r$ 보다 작고, $B$ 에 속하는 유리수는 $r$ 보다 크다. 이는 $a \in A$ 및 $b \in B$ 인 쌍 $(a, b)$ 의 집합으로 동등하게 나타낼 수 있으며, 하위 절단과 상위 절단은 투영을 통해 주어진다. 이는 $r$ 을 근사하는 구간의 집합과 정확히 일치한다.

이를 통해 실수의 기본적인 산술 연산을 구간 산술의 관점에서 정의할 수 있다. 이 속성과 $A$ 와 $B$ 만으로 주어진 실수와의 관계는 구성적 해석학과 같은 약한 기초에서 특히 중요하다.

8. 일반화

데데킨트 절단은 다음과 같이 일반화될 수 있다.

임의의 선형 순서 집합으로 확장될 수 있다.
초현실수 구성에 사용되는 쿠에스타-두타리 절단과 유사한 구조가 있다.
부분 순서 집합의 완비화에 활용된다.

8. 1. 임의의 선형 순서 집합

임의의 선형 순서 집합 ''X''에서, '''절단'''은

A \cup B = X

이고

a \in A

,

b \in B

이면

a < b

를 만족하는 순서쌍

(A,B)

이다. 일부 저자는 ''A''와 ''B''가 모두 공집합이 아니어야 한다는 조건을 추가하기도 한다.^[5]

''A''에 최댓값이 없고, ''B''에 최솟값이 없으면, 그 절단을 '''갭'''이라고 부른다. 순서 위상을 부여받은 선형 순서 집합은 갭이 없는 경우에만 콤팩트하다.^[6]

8. 2. 초현실수

데데킨트 절단과 유사한 구조는 초현실수 구성에 사용된다. 이 경우 관련 개념은 쿠에스타-두타리 절단이다.^[7]

8. 3. 부분 순서 집합

더 일반적으로, ''S''가 부분 순서 집합일 경우, ''S''의 ''완비화''는 ''S''를 ''L''로 순서-임베딩하는 완비 격자 ''L''을 의미한다. 완비 격자의 개념은 실수의 최소 상계 속성을 일반화한다.

''S''의 한 가지 완비화는 포함에 의해 정렬된 ''아래로 닫힌'' 부분 집합의 집합이다. ''S''의 기존 상한 및 하한을 모두 보존하는 관련 완비화는 다음과 같은 구성을 통해 얻어진다. ''S''의 각 부분 집합 ''A''에 대해, ''A''^u는 ''A''의 상계 집합을 나타내고, ''A''^l는 ''A''의 하계 집합을 나타낸다. (이러한 연산자는 갈루아 연결을 형성한다.) 그러면 ''S''의 데데킨트–맥네일 완비화는 (''A''^u)^l = ''A''인 모든 부분 집합 ''A''로 구성되며, 포함 관계에 의해 정렬된다. 데데킨트–맥네일 완비화는 ''S''가 임베딩된 가장 작은 완비 격자이다.

참조

_[1] 서적 Traité d'Arithmétique https://gallica.bnf.[...]
_[2] 서적 Eine kurze Geschichte der Analysis Springer
_[3] 서적 Continuity and Irrational Numbers http://www.math.ubc.[...]
_[4] 문서
_[5] 문서
_[6] 문서
_[7] 서적 Foundations of Analysis over Surreal Number Fields North-Holland

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