실수의 완비성

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1. 개요

실수의 완비성은 다양한 공리 및 정리로 표현될 수 있으며, 실수의 중요한 성질 중 하나이다. 실수의 완비성은 여러 형태로 나타나며, 서로 동치 관계를 가진다. 주요 표현으로는 상한 공리, 데데킨트 완비성, 단조 수렴 정리, 축소 구간 정리, 하이네-보렐 정리, 극한점 성질, 볼차노-바이어슈트라스 정리, 코시 성질 등이 있다. 이러한 완비성들은 실수의 정의, 연속성, 극한, 미분가능성 등 수학적 분석의 핵심 개념과 밀접하게 연관되어 있으며, 중간값 정리, 최대·최소값 정리, 롤의 정리, 평균값 정리 등과 같은 다른 정리들과도 연결된다. 실수의 완비성은 리하르트 데데킨트, 카를 바이어슈트라스, 오귀스탱 루이 코시 등 여러 수학자들의 연구를 통해 발전되었으며, 한국 수학계에서도 함수의 성질, 방정식의 해, 극한 등에 대한 연구에 기여하고 있다.

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실수의 완비성
실수 완비성
주제	수학, 실수
관련 항목	수학적 해석학 완비성 (거리 공간) 데데킨트 절단 코시 열 최소 상계 공리
실수 완비성의 성질
데데킨트 완비성	실수의 모든 데데킨트 절단은 실수에 의해 채워진다.
최소 상계 성질	비어 있지 않고 위로 유계인 실수의 모든 부분집합은 실수인 최소 상계를 갖는다.
코시 완비성	모든 코시 수열의 실수는 실수로 수렴한다.
중첩 구간 정리	닫힌 구간의 중첩되지 않는 시퀀스가 주어지면 구간의 교집합은 비어 있지 않다.
단조 수렴 정리	유계 단조 수열은 수렴한다.
볼차노-바이어슈트라스 정리	실수의 모든 유계 수열은 수렴하는 부분 수열을 갖는다.
중간값 정리	실수에 대한 연속 함수는 중간값을 취한다.
참고
같이 보기	실수 수학적 해석학 완비성 (거리 공간)

2. 정의

실수의 완비성은 다양한 공리와 정리로 표현될 수 있으며, 이들은 서로 동치이거나 특정 조건 하에서 동치가 된다.

'''상한 공리'''(최소 상계 성질): 공집합이 아닌, 상계를 갖는 실수 부분 집합은 항상 상한을 갖는다.
'''하한 공리'''(최대 하계 성질): 공집합이 아닌, 하계를 갖는 실수 부분 집합은 항상 하한을 갖는다.
'''단조 수렴 정리''': 위로 유계인 단조 증가 실수 수열은 수렴 수열이다. 마찬가지로, 아래로 유계인 단조 감소 수열은 수렴한다.
'''축소 구간 정리''': 닫힌구간의 열 $(I_n=[a_n,b_n])_{n\in\mathbb N}$ ( $a_n\le b_n$ )이 다음 두 조건을 만족하면, $\textstyle\bigcap_{n\in\mathbb N}I_n=\{c\}$ 인 $c\in\mathbb R$ 이 존재한다.
$I_1\supset I_2\supset I_3\supset\cdots$
$|I_n|\to0\qquad(n\to\infty)$
'''하이네-보렐 정리''': 실수 유계 닫힌구간의 열린 구간 덮개는 항상 유한 부분 덮개를 갖는다.
'''극한점 성질''': 실수 유계 무한 집합은 극한점을 갖는다.
'''볼차노-바이어슈트라스 정리''': 유계 수열은 수렴하는 부분 수열을 갖는다.
'''코시 성질''': 실수 코시 수열은 수렴한다.
'''열린 귀납법 원리''': 구간 $[a,b]$ 의 비어 있지 않은 열린 부분 집합 $S$ 에 대해, 임의의 $r \in [a,b]$ 에 대해 $[a,r) \subset S$ 이면 $[a,r] \subset S$ 가 성립하는 경우, $S$ 는 전체 구간과 같다.

순서체 공리 아래, 다음 공리들은 서로 동치이다.

상한 공리
단조 수렴 정리
축소 구간 정리
하이네-보렐 정리
극한점 성질
볼차노-바이어슈트라스 정리
코시 성질 + 아르키메데스 성질
약한 축소 구간 정리 + 아르키메데스 성질

또한, 코시 성질과 약한 축소 구간 정리는 나머지 공리들보다 약한 공리이며, 아르키메데스 성질을 추가하면 나머지 공리들과 동치이다.

2. 1. 상한 공리 (최소 상계 성질)

공집합이 아니고 위로 유계인 실수의 부분집합은 항상 상한(최소 상계)을 갖는다. 공집합이 아니고 아래로 유계인 실수의 부분집합은 항상 하한(최대 하계)을 갖는다.

이 공리는 해석학의 기초를 이루며, 극한, 연속성, 미분, 적분 등의 개념을 정의하는 데 필수적으로 사용된다.

예를 들어 유리수 집합 '''Q'''는 최소 상계 성질을 갖지 않는다. 유리수의 부분집합

:

S = \{ x\in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2\}.

은 상계를 갖지만, '''Q'''에서 최소 상계를 갖지 않는다. 실수의 부분집합으로서의 최소 상계는

\sqrt{2}

가 되지만, 이는 '''Q'''에 존재하지 않는다.

실수의 완비성과 동치인 명제는 다음과 같다.

명칭	설명
상한 성질	공집합이 아닌, 상계를 갖는 실수 부분 집합은 항상 상한을 갖는다.
하한 성질	공집합이 아닌, 하계를 갖는 실수 부분 집합은 항상 하한을 갖는다.

바이어슈트라스의 공리를 만족한다고도 한다.

2. 2. 데데킨트 완비성

실수는 데데킨트 절단에 의해 구성될 수 있는데, 실수의 모든 데데킨트 절단은 실수에 의해 생성된다는 성질을 갖는다. 이를 데데킨트 완비성이라고 한다. 리하르트 데데킨트는 이 개념을 통해 실수를 구성하고 완비성을 증명했다.

유리수 집합 '''Q'''는 데데킨트 완비성을 갖지 않는다. 예를 들어 다음과 같은 데데킨트 절단을 생각할 수 있다.

:

L = \{ x \in \Q \mid x^2 \le 2 \vee x < 0\}.

:

R = \{ x \in \Q \mid x^2 \ge 2 \wedge x > 0 \}.

이 절단에서 ''L''은 최댓값을 가지지 않고, ''R''은 최솟값을 가지지 않으므로, 이 컷은 유리수에 의해 생성되지 않는다. 하지만, 실수 구성에서 이 컷은

\sqrt{2}

를 정의한다.

실수는 이미 데데킨트 완비성을 가지므로, 데데킨트 컷을 이용하여 실수를 구성하는 과정을 반복해도 추가적인 수를 얻지 못한다.

실수의 완비성과 동치인 명제는 다음과 같다.

데데킨트의 공리
상한 성질
유계단조 수열의 수렴 정리
아르키메데스 성질과 구간 축소법의 원리
볼차노-바이어슈트라스 정리
아르키메데스 성질과 코시 수열의 수렴
중간값 정리
최대값 정리
롤의 정리
라그랑주의 평균값 정리
코시의 평균값 정리
하이네-보렐 정리

아카세츠야의 『실수론 강의』에는 이러한 명제를 포함하여 22개의 동치인 명제와 그 증명이 기록되어 있다.

2. 3. 단조 수렴 정리

위로 유계인 단조 증가 실수 수열은 수렴 수열이다. 마찬가지로, 아래로 유계인 단조 감소 수열은 수렴한다. 실수의 단조 수렴 정리(Körner에 의해 '해석학의 기본 공리'로 묘사됨)는 실수로 이루어진 증가하고 유계인 모든 수열은 수렴한다는 것을 말한다. 이는 최소 상계 성질의 특별한 경우로 볼 수 있지만, 실수의 코시 완비성을 증명하는 데에도 직접적으로 사용될 수 있다.

2. 4. 축소 구간 정리

닫힌구간의 열

(I_n=[a_n,b_n])_{n\in\mathbb N}\qquad(a_n\le b_n\forall n\in\mathbb N)

이 다음 두 조건을 만족한다고 가정한다.

$I_1\supset I_2\supset I_3\supset\cdots$
$|I_n|\to0\qquad(n\to\infty)$

이때, '''축소 구간 정리'''에 따르면,

\textstyle\bigcap_{n\in\mathbb N}I_n=\{c\}

를 만족하는 실수

c\in\mathbb R

이 존재한다.

두 번째 조건을 제거했을때,

\textstyle\bigcap_{n\in\mathbb N}I_n=[a,b]\qquad(a\le b)

를 만족하는 실수

a,b\in\mathbb R

이 존재한다.

축소 구간 정리는 실수의 완비성을 나타내는 한 가지 형태이며, 아르키메데스 성질과 함께 사용하면 다른 형태의 완비성과 동등하다. 유리수는 축소 구간 정리를 만족하지 않는다. 예를 들어, 다음과 같은 닫힌 구간들의 수열을 생각할 수 있다.

:

[3,4] \;\supset\; [3.1,3.2] \;\supset\; [3.14,3.15] \;\supset\; [3.141,3.142] \;\supset\; \cdots

이 수열의 교집합은 무리수인 π를 포함하는데, π는 유리수가 아니므로 유리수 집합에서는 교집합이 공집합이다.

2. 5. 하이네-보렐 정리

'''하이네-보렐 정리'''에 따르면, 실수에서 유계 닫힌구간의 열린 구간 덮개는 항상 유한 부분 덮개를 갖는다. 풀어 말해, 실수 유계 닫힌구간을 어떤 열린 구간들로 '덮을' 수 있다면, 그들 중 유한 개의 열린 구간만을 골라서도 '덮을' 수 있다는 의미이다. 즉, 실수 유계 닫힌집합은 항상 콤팩트 집합이다.

실수의 완비성과 동치인 명제는 여러가지가 존재한다. 하이네-보렐 정리는 순서체(순서 위상을 사용)에서 실수의 공리 중 하나와 동치이다.

2. 6. 극한점 성질

실수 유계 무한 집합은 극한점을 갖는다. 즉, 실수 유계 닫힌집합은 극한점 콤팩트 공간이다.

'''볼차노-바이어슈트라스 정리'''는 모든 유계 수열은 수렴하는 부분 수열을 갖는다고 말한다. 이 정리는 위에 주어진 완비성의 다른 형태들과 동치이다.

2. 7. 볼차노-바이어슈트라스 정리

'''볼차노-바이어슈트라스 정리'''에 따르면, 유계 수열은 수렴하는 부분 수열을 갖는다. 즉, 실수 유계 닫힌집합은 점렬 콤팩트 공간이다. 이 정리는 위에 주어진 완비성의 다른 형태들과 동치이다.

실수의 완비성과 동치인 명제는 다음을 포함하여 다수 존재한다.

명제
데데킨트의 공리
상한 성질
단조 수렴 정리
아르키메데스 성질과 구간 축소법
볼차노-바이어슈트라스 정리
다음의 두 조건을 만족	* 아르키메데스 성질	* 코시 수열의 수렴
중간값 정리
최대·최소 정리
롤의 정리
라그랑주 평균값 정리
코시의 평균값 정리
하이네-보렐 정리

2. 8. 코시 성질

실수 코시 수열은 임의의 양수

\epsilon

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수

N

이 존재하는 실수 수열

(a_n)_{n\in\mathbb N}

이다.

임의의 자연수 $n,m$ 에 대하여, $n,m>N$ 이면 $|a_n-a_m|<\epsilon$

'''코시 완비성'''은 모든 코시 수열이 실수로 수렴한다는 명제이다. 코시 성질에 따르면, 실수 코시 수열은 수렴 수열이다. 즉, 실수 집합은 완비 거리 공간이다.

유리수 집합 '''Q'''는 코시 완비성을 만족하지 않는다. 다음 유리수 수열이 그 예시이다.

:

3,\quad 3.1,\quad 3.14,\quad 3.142,\quad 3.1416,\quad \ldots

여기서 수열의 ''n''번째 항은 π의 ''n''번째 소수 근사값이다. 이는 유리수의 코시 수열이지만, 어떤 유리수에도 수렴하지 않는다. (이 실수선에서는 이 수열이 π에 수렴한다.)

코시 완비성은 코시 수열을 사용하여 실수를 구성하는 것과 관련이 있다. 본질적으로, 이 방법은 실수를 유리수 코시 수열의 극한으로 정의한다.

수학적 분석에서, 코시 완비성은 모든 거리 공간에 대한 완비성의 개념으로 일반화될 수 있다. 완비 거리 공간을 참조하라.

순서체의 경우, 코시 완비성은 이 페이지의 다른 형태의 완비성보다 약하다. 그러나 코시 완비성과 아르키메데스 성질을 함께 고려하면 다른 것들과 동등하다.

실수의 완비성과 동치인 명제 중 하나는 아르키메데스 성질을 가지면서 코시 수열이 수렴한다는 조건을 만족하는 것이다.

2. 9. 열린 귀납법 원리

열린 귀납법 원리는 구간

[a,b]

의 비어 있지 않은 열린 부분 집합

S

에 대해, 임의의

r \in [a,b]

에 대해

[a,r) \subset S

이면

[a,r] \subset S

가 성립하는 경우,

S

는 전체 구간과 같아야 한다는 원리이다.

이 원리는 순서 위상에 따라 임의의 순서 집합에 대한 데데킨트 완비성과 모순에 의한 증명을 사용하여 동치임을 보일 수 있다. 배중률이 성립하지 않는 구성적 해석학과 같이 더 약한 기초에서는 데데킨트 실수에 대해 최소 상계 성질의 전체 형태가 실패하지만, 열린 귀납법 성질은 대부분의 모델에서 참으로 유지되며(브라우어의 막대 정리로부터 유도됨) 주요 정리의 짧은 증명을 제공할 만큼 강력하다.

3. 성질

실수의 완비성은 순서체의 성질이다. 완비성을 만족시키는 아르키메데스 순서체는 (동형사상을 무시하면) 실수의 순서체 $\mathbb R$ 밖에 없다.

3. 1. 함의 관계

순서체 공리 아래에서, 다음 공리들은 서로 동치이다.

상한 공리
단조 수렴 정리
축소 구간 정리
하이네-보렐 정리
극한점 성질
볼차노-바이어슈트라스 정리
코시 성질 + 아르키메데스 성질
약한 축소 구간 정리 + 아르키메데스 성질

또한, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

상한 공리 ⇍ 코시 성질 ⇒ 약한 축소 구간 정리

즉, 코시 성질과 약한 축소 구간 정리는 나머지 공리들보다 약한 공리이며, 아르키메데스 성질을 추가하면 나머지 공리들과 동치가 된다.

3. 2. 아르키메데스 순서체와 실수체

유리수 순서체

\mathbb Q

는 아르키메데스 순서체이지만, 완비성을 만족하지는 못한다. 예를 들어, 유리수 상계

2\in\mathbb Q

를 갖는 유리수 부분 집합

:

\{x\in\mathbb Q\colon x^2<2\}

는 실수 부분 집합으로서는 상한

\sqrt 2\in\mathbb R

을 갖지만, 유리수 상한은 갖지 못한다. 또한, 유리수 코시 수열

:

(3,3.14,3.141,3.1415,\ldots)

는 실수 수열로서는 원주율

\pi\in\mathbb R

로 수렴하지만, 유리수에는 수렴하지 못한다.

4. 다른 정리와의 관계

실수의 완비성은 중간값 정리, 최대·최소값 정리, 롤의 정리, 평균값 정리 등과 같은 해석학의 주요 정리들과 밀접하게 관련되어 있다.

4. 1. 중간값 정리

중간값 정리는 음수와 양수 값을 모두 갖는 모든 연속 함수는 근을 갖는다고 명시한다. 이는 최소 상계 성질의 결과이지만, 공리로 취급하면 최소 상계 성질을 증명하는 데에도 사용할 수 있다. (연속성의 정의는 어떤 형태의 완비성에도 의존하지 않으므로 순환성은 없다. 즉, 중간값 정리와 최소 상계 성질은 동치 명제이다.)

4. 2. 최대·최소값 정리

최대값 정리는 닫힌 구간에서 정의된 연속함수는 항상 최댓값과 최솟값을 갖는다는 정리이다. 이 정리는 함수의 극한과 연속성의 결과이며, 최적화 문제 등 다양한 분야에서 활용된다.

4. 3. 롤의 정리

미분 가능한 함수가 닫힌 구간의 양 끝점에서 같은 값을 가지면, 그 사이에 도함수가 0이 되는 점이 적어도 하나 존재한다. 이 정리는 평균값 정리의 특수한 경우이며, 함수의 증감, 극값 등을 분석하는 데 사용된다.

4. 4. 평균값 정리

라그랑주의 평균값 정리 및 코시의 평균값 정리는 미분 가능한 함수에 대해, 닫힌 구간의 양 끝점을 잇는 직선의 기울기와 같은 기울기를 갖는 접선이 적어도 하나 존재한다는 내용을 담고 있다. 이 정리는 함수의 변화율을 분석하고 근사하는 데 사용되며, 테일러 정리 등 다양한 정리의 기초가 된다.

5. 관련 인물

실수의 완비성과 관련된 주요 인물로는 리하르트 데데킨트와 카를 바이어슈트라스가 있다. 데데킨트는 데데킨트 절단을 제시했으며, 바이어슈트라스는 상한 성질을 공리로 제시하였다.

5. 1. 리하르트 데데킨트 (Richard Dedekind)

리하르트 데데킨트는 데데킨트 절단을 제시했다.

5. 2. 카를 바이어슈트라스 (Karl Weierstrass)

바이어슈트라스의 공리를 만족한다는 것은, 실수 집합(

\mathbb{R}

)이 상한 성질(least upper bound property)을 가진다는 것을 의미한다. 즉, 실수 집합의 공집합이 아니고 위로 유계인 부분 집합은 상한을 가진다. 이는 쌍대성의 원리에 따라 하한 성질(greatest lower bound property)과 동치이다. 하한 성질이란 실수 집합의 공집합이 아니고 아래로 유계인 부분 집합은 하한을 가진다는 것이다.

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