등축 투영법

3. 수학적 원리

등각 투영은 3차원 물체를 2차원 평면에 나타내는 방법 중 하나로, "같은 척도"를 의미하는 그리스어에서 유래되었다. 이는 투영되는 모든 축의 척도가 동일하다는 것을 의미한다.

등각 투영을 얻기 위해서는 먼저 물체를 정면에서 바라본 후, 수직축을 중심으로 ±45° 회전하고, 수평축을 중심으로 약 35.264° (정확히는 arcsin(1/) 또는 arctan(), 마법의 각도와 관련 있음) 회전한다. 예를 들어, 정육면체의 경우 이러한 과정을 거치면 모든 변의 길이가 같고, 모든 면의 면적이 같은 정육각형으로 나타난다.

3D 장면에서 등각 투영을 얻는 과정은 카메라를 바닥과 평행하게 정렬하고 좌표축에 맞춘 후, 수평으로(수직축을 중심으로) ±45° 회전한 다음 수평축을 중심으로 35.264° 회전하는 것이다.

등각 투영을 시각화하는 또 다른 방법은 방의 위쪽 모서리에서 반대쪽 아래쪽 모서리를 바라보는 것을 상상하는 것이다. 이때 ''x''축은 대각선 아래 및 오른쪽, ''y''축은 대각선 아래 및 왼쪽, ''z''축은 위쪽으로 뻗어나가며, 이미지의 높이는 깊이를 나타낸다. 축을 따라 그려진 선들은 서로 120° 각도를 이룬다.

등각 투영에서 사용되는 두 번째 각도(약 35.264°)는 직관적으로 이해하기 어려울 수 있다. 이를 이해하기 위해 중심이 원점에 있고 모든 면이 원점으로부터 1만큼 떨어진, 길이가 2인 정육면체를 생각해 보자. 피타고라스 정리를 이용하면 중심에서 모서리 중간점까지의 거리는 이다. 정육면체를 x축으로 45° 회전하면 (1, 1, 1) 점은 (1, 0, )가 된다. 두 번째 회전은 이 점을 양의 z축으로 가져오는 것이므로, 의 아크탄젠트와 같은 값, 즉 약 35.264°의 회전이 필요하다.

보는 사람의 시점에 따라 8가지 다른 방향의 등각 투영이 가능하다. 3차원 공간의 점 ''a''를 2차원 공간의 점 ''b''로 변환하는 등각 변환은 회전 행렬을 사용하여 다음과 같이 수학적으로 표현할 수 있다.

$$$$

\begin{bmatrix}

\mathbf{c}_x \\

\mathbf{c}_y \\

\mathbf{c}_z \\

\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & {\cos\alpha} & {\sin\alpha} \\

0 & { - \sin\alpha} & {\cos\alpha} \\

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

{\cos\beta } & 0 & { - \sin\beta } \\

0 & 1 & 0 \\

{\sin\beta } & 0 & {\cos\beta } \\

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

\mathbf{a}_x \\

\mathbf{a}_y \\

\mathbf{a}_z \\

\end{bmatrix}=\frac{1}{\sqrt{6}}\begin{bmatrix}

\sqrt{3} & 0 & -\sqrt{3} \\

1 & 2 & 1 \\

\sqrt{2} & -\sqrt{2} & \sqrt{2} \\

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

\mathbf{a}_x \\

\mathbf{a}_y \\

\mathbf{a}_z \\

\end{bmatrix}



여기서 ''α'' = arcsin(tan 30°) ≈ 35.264° 이고 ''β'' = 45°이다. 이는 수직축(''y'')을 중심으로 ''β''만큼 회전한 후 수평축(''x'')을 중심으로 ''α''만큼 회전하는 것을 의미한다. 이후 ''xy''-평면에 정사영을 한다.

$$$$

\begin{bmatrix}

\mathbf{b}_x \\

\mathbf{b}_y \\

0 \\

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\

0 & 1 & 0 \\

0 & 0 & 0 \\

\end{bmatrix}\begin{bmatrix}

\mathbf{c}_x \\

\mathbf{c}_y \\

\mathbf{c}_z \\

\end{bmatrix}



나머지 7가지 경우는 반대 방향으로 회전하거나, 뷰 방향을 반전시키거나 하여 얻을 수 있다.^[1]

4. 특징 및 한계

등각 투영법은 "같은 척도"를 의미하는 그리스어에서 유래되었으며, 투영의 각 축을 따라 척도가 동일하다는 것을 의미한다.^[2] ''x'', ''y'', ''z'' 좌표축의 투영 사이 각도가 모두 120°가 되도록 시야 방향을 선택하여 등각 투영도를 얻을 수 있다. 예를 들어 정육면체는 한 면을 똑바로 쳐다본 후, 수직축을 중심으로 ±45° 회전하고 수평축을 중심으로 약 35.264° 회전하면 등각 투영도가 되며, 이때 2D 도면의 둘레는 정육각형이 된다.^[3][4]

방의 위쪽 모서리에서 반대쪽 아래 모서리를 바라보는 것처럼 시각화할 수도 있다. 이때 ''x''축은 대각선 아래 및 오른쪽, ''y''축은 대각선 아래 및 왼쪽, ''z''축은 위쪽으로 뻗어 있으며, 축을 따라 그려진 선은 서로 120°를 이룬다.

등각 투영법은 원근 투영법과 달리 인간 시각이나 사진처럼 작동하지 않아 지각 왜곡이 발생할 수 있다는 특징과 한계를 갖는다.

4. 1. 착시 효과

5. 활용

등축 투영법은 기술 도면 및 건축 설계, 비디오 게임, 픽셀 아트 등 다양한 분야에서 활용되고 있다.

5. 1. 기술 도면 및 건축 설계

5. 2. 비디오 게임

5. 3. 픽셀 아트

6. 같이 보기

• 투영법
• 축측 투영법
• 원근법

참조

_[1] 간행물 Planar Geometric Projections and Viewing Transformations 1978-12
_[2] 문서 On Isometrical Perspective Cambridge Philosophical Transactions 1822
_[3] 서적 Protecting historic architecture and museum collections from natural disasters University of Michigan 1986
_[4] 서적 Visual messages: graphic communication for senior students 1974
_[5] 웹사이트 A Chinese perspective for cyberspace? http://www.iias.nl/i[...] International Institute for Asian Studies Newsletter 1996
_[6] 간행물 Axonometry: a matter of perspective Computer Graphics and Applications, IEEE 2000-07
_[7] 웹사이트 Retronauts: The Continued Relevance of Isometric Games http://www.usgamer.n[...] Gamer Network 2014-12-19
_[8] 웹사이트 The Best-Looking Isometric Games http://kotaku.com/59[...] Gizmodo Media Group 2013-03-18
_[9] 문서 On Isometrical Perspective Cambridge Philosophical Transactions 1822
_[10] 서적 Protecting historic architecture and museum collections from natural disasters University of Michigan 1986
_[11] 서적 Visual messages: graphic communication for senior students 1974
_[12] 웹사이트 IIASN9-Chinese Perspective https://www.iias.asi[...] IIAS 2019-11-30
_[13] 웹사이트 Retronauts: The Continued Relevance of Isometric Games https://www.usgamer.[...] USgamer 2014-12-19