디리클레 베타 함수

3. 성질

디리클레 베타 함수는 다음과 같은 성질을 갖는다.

• '''함수 방정식:''' 복소 평면의 왼쪽(Re(''s'') ≤ 0)으로 확장할 수 있다. 1749년 오일러가 추측하고, 1842년 말름스텐이 증명하였다.
• '''오일러 곱:''' 소수에 대한 곱셈 표현인 오일러 곱을 갖는다.

3. 1. 함수 방정식

4. 특별한 값

0 이상의 정수 $k$에 대하여 $\backslash beta(-k)=\; \backslash over\; \{2\}\}$이다. 여기서 $\{E\_\{n\}\}$는 오일러 수를 의미한다.^[2] 오일러 수 $\{E\_\{n\}\}$은 $n$이 홀수일 때 $0$이므로, 음의 홀수 정수에서 함수는 0이다.: $\backslash beta(-2n-1)\backslash ;=\backslash ;0$

모든 홀수 양의 정수 $2n+1$에 대해 다음 방정식이 성립한다.^[2]

:$\backslash beta(2n+1)\backslash ;=\backslash ;\backslash frac\{(-1)^n\; E\_\{2n\}\}\{2(2n)!\}\backslash left(\backslash frac\backslash pi2\backslash right)^\{2n+1\}$

여기서 $E\_n$는 n번째 오일러 수이다.

따라서, 다음이 성립한다.

:$\backslash beta(1)\backslash ;=\backslash ;\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}$

:$\backslash beta(3)\backslash ;=\backslash ;\backslash frac\{\backslash pi^3\}\{32\}$

:$\backslash beta(5)\backslash ;=\backslash ;\backslash frac\{5\backslash pi^5\}\{1536\}$

:$\backslash beta(7)\backslash ;=\backslash ;\backslash frac\{61\backslash pi^7\}\{184320\}$

짝수 양의 정수에서 디리클레 베타 함수의 값에 대해 초등적 닫힌 형식은 알려져 있지 않다. 3보다 큰 홀수 정수에서의 리만 제타 함수와 유사하게, 짝수 베타 값의 산술적 성질을 결정하는 방법도 아직 발견되지 않았다. $\backslash beta(2)=G$는 카탈랑 상수로 알려져 있다.

$\backslash beta(2n)$ 형태의 무한히 많은 수^[3]와 적어도 하나의 수 $\backslash beta(2),\; \backslash beta(4),\; \backslash beta(6),\; ...,\; \backslash beta(12)$가 무리수임이 증명되었다.^[4]

짝수 베타 값은 폴리가마 함수와 베르누이 수로 나타낼 수 있다.^[5]

:$$

\beta(2n)=\frac{\psi^{(2n-1)}(1/4)}{4^{2n-1}(2n)!}n - \frac{\pi^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{2(2n)!}



또한 양의 $n$에 대한 베타 함수를 역탄젠트 적분으로 표현할 수 있다.

:$\backslash beta(n)=\backslash text\{Ti\}\_n(1)$

:$\backslash beta(1)=\backslash arctan(1)$

모든 양의 정수 ''k''에 대해:

:$\backslash beta(2k)=\backslash frac\{1\}\{2(2k-1)!\}\backslash sum\_\{m=0\}^\backslash infty\backslash left(\backslash left(\backslash sum\_\{l=0\}^\{k-1\}\backslash binom\{2k-1\}\{2l\}\backslash frac\{(-1)^\{l\}A\_\{2k-2l-1\}\}\{2l+2m+1\}\backslash right)-\backslash frac\{(-1)^\{k-1\}\}\{2m+2k\}\backslash right)\backslash frac\{A\_\{2m\}\}\{(2m)!\}\{\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)\}^\{2m+2k\},$

여기서 $A\_\{k\}$는 오일러 지그재그 수이다.

디리클레 베타 함수에 정수를 대입한 값을 디리클레 베타 함수의 특수값이라고 한다. 예를 들어,

:$\backslash beta(1)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-1)^n\}\{2n+1\}\; =\; 1\; -\; \backslash frac13\; +\; \backslash frac15\; -\; \backslash frac17\; +\; \backslash cdots\; =\; \backslash frac\backslash pi4$

와 같이 값을 구할 수 있으며, 이는 잘 알려진 라이프니츠 공식과 일치한다.

5. 미분

디리클레 베타 함수의 미분과 관련된 특별한 값들은 다음과 같다.^[2]

• $\backslash beta\text{'}(-1)=\backslash frac\{2G\}\backslash pi$

• $\backslash beta\text{'}(0)=2\backslash ln\backslash Gamma(\backslash tfrac14)-\backslash ln\backslash pi-\backslash tfrac32\backslash ln2$

6. 표

참조

_[1] 블로그 Dirichlet Beta – Hurwitz zeta relation http://engineeringan[...]
_[2] 웹사이트 Dirichlet Beta Function https://mathworld.wo[...] 2024-08-08
_[3] 논문 Diophantine properties of numbers related to Catalan's constant https://link.springe[...] 2003-08-01
_[4] 논문 Arithmetic of Catalan's constant and its relatives https://arxiv.org/ab[...] 2019-05-31
_[5] 논문 The polygamma function ψ(k)(x) for x=14 and x=34 https://www.scienced[...] 1996-11-12
_[6] 논문 Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results https://link.springe[...] 2014-10-01