디리클레 베타 함수

1. 개요

디리클레 베타 함수는 다음과 같은 무한 급수로 정의되는 특수한 수학 함수이다. 이 함수는 복소 평면에서 정의되며, 여러 가지 적분 표현, 허비츠 제타 함수, 레르히 초월 함수, 폴리로그 함수, 폴리감마 함수를 사용하여 나타낼 수 있다. 디리클레 베타 함수는 함수 방정식과 오일러 곱과 같은 성질을 가지며, 특정 정수 값에서 특별한 값을 갖는다. 예를 들어, 홀수 양의 정수 값에서는 오일러 수를 사용하여 표현할 수 있으며, 짝수 양의 정수 값은 초등적인 닫힌 형태로 알려져 있지 않다. 또한, 디리클레 베타 함수의 미분과 관련된 특별한 값도 존재한다.

2. 정의

디리클레 베타 함수는 복소수 $s$에 대해, 다음과 같은 무한 급수로 정의된다.

:$\backslash beta(s)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-1)^n\}\{(2n+1)^s\}\; =\; 1\; -\; \backslash frac\{1\}\{3^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{5^s\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{7^s\}\; +\; \backslash cdots$

이 급수는 $s$의 실수부가 0보다 클 때 (Re(s) > 0) 수렴하지만, 해석적 연속을 통해 모든 복소수에서 유효한 값을 갖는 정칙 함수인 유형 함수가 된다.

감마 함수 $\backslash Gamma$를 사용하여 다음과 같이 적분 형태로 표현할 수도 있다.

:$\backslash beta(s)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash Gamma(s)\}\backslash int\_0^\{\backslash infty\}\backslash frac\{x^\{s-1\}e^\{-x\}\}\{1\; +\; e^\{-2x\}\}\backslash ,dx$

허위츠 제타 함수를 사용하여 다음과 같이 정의할 수도 있다. 이는 모든 복소수 $s$에 대해 유효하다.

:$\backslash beta(s)\; =\; 4^\{-s\}\; \backslash left(\; \backslash zeta\backslash left(s,\{1\; \backslash over\; 4\}\backslash right)-\backslash zeta\backslash left(\; s,\; \{3\; \backslash over\; 4\}\backslash right)\; \backslash right).$

레르히 초월 함수를 사용한 정의는 다음과 같으며, 모든 복소수 $s$ 값에 대해 유효하다.

:$\backslash beta(s)\; =\; 2^\{-s\}\; \backslash Phi\backslash left(-1,s,\backslash right).$

폴리로그 함수를 사용하여 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:$\backslash beta(s)\; =\; \backslash frac\{i\}\{2\}\; \backslash left(\backslash text\{Li\}\_s(-i)-\backslash text\{Li\}\_s(i)\backslash right).$

폴리감마 함수를 사용하면 다음과 같다.

:$\backslash beta(s)\; =\backslash frac\{1\}\{2^s\}\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{(-1)^\{n\}\}\{\backslash left(n+\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)^\{s\}\}=\backslash frac1\{(-4)^s(s-1)!\}\backslash left[\backslash psi^\{(s-1)\}\backslash left(\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash right)-\backslash psi^\{(s-1)\}\backslash left(\backslash frac\{3\}\{4\}\backslash right)\backslash right]$

그러나 이 공식은 $s$가 양의 정수일 때만 유효하다.

3. 성질

디리클레 베타 함수는 다음과 같은 성질을 갖는다.

* 함수 방정식: 복소 평면의 왼쪽(Re(s) ≤ 0)으로 확장할 수 있다. 1749년 오일러가 추측하고, 1842년 말름스텐이 증명하였다.
* 오일러 곱: 소수에 대한 곱셈 표현인 오일러 곱을 갖는다.

3.1. 함수 방정식

함수 방정식은 베타 함수를 복소 평면의 왼쪽(Re(s) ≤ 0)으로 확장한다. 이는 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash beta(1-s)=\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)^\{-s\}\backslash sin\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}s\backslash right)\backslash Gamma(s)\backslash beta(s)$

여기서 Γ(s)는 감마 함수이다. 이는 1749년 오일러에 의해 추측되었고, 1842년 말름스텐에 의해 증명되었다.

디리클레 베타 함수는 임의의 복소수 s에 대해 다음과 같은 함수 방정식이 존재한다.

:$\backslash beta(1-s)\; =\; \backslash biggl(\; \backslash frac2\backslash pi\; \backslash biggr)^\{\backslash !s\}\; \backslash sin\; \backslash frac\{\backslash pi\; s\}\{2\}\; \backslash ,\; \backslash varGamma(s)\; \backslash ,\; \backslash beta(s)$

단, 여기서 Γ는 감마 함수이다. 이것에 의해 디리클레 베타 함수는 복소수 전체로 해석적 연속이 이루어져, 모든 복소수에 대한 논의가 가능하게 된다.

3.2. 오일러 곱

디리클레 베타 함수는 소수에 대한 곱셈 표현인 오일러 곱을 갖는다.

:$\backslash beta(s)\; =\; \backslash prod\_\{p\; \backslash equiv\; 1\; \backslash \; \backslash mathrm\{mod\}\; \backslash \; 4\}\; \backslash frac\{1\}\{1\; -\; p^\{-s\}\}\; \backslash prod\_\{p\; \backslash equiv\; 3\; \backslash \; \backslash mathrm\{mod\}\; \backslash \; 4\}\; \backslash frac\{1\}\{1\; +\; p^\{-s\}\}$

여기서 $p\; \backslash equiv\; 1\; \backslash \; \backslash mathrm\{mod\}\; \backslash \; 4$는 $4n+1$ 형태의 소수(5, 13, 17, ...)이고, $p\; \backslash equiv\; 3\; \backslash \; \backslash mathrm\{mod\}\; \backslash \; 4$는 $4n+3$ 형태의 소수(3, 7, 11, ...)이다. 이는 다음과 같이 간결하게 쓸 수 있다.

:$\backslash beta(s)\; =\; \backslash prod\_\{p>2\backslash atop\; p\; \backslash text\{\; prime\}\}\; \backslash frac\{1\}\{1\; -\backslash ,\; \backslash scriptstyle(-1)^\{\backslash frac\{p-1\}\{2\}\}\; \backslash textstyle\; p^\{-s\}\}.$

4. 특별한 값

0 이상의 정수 $k$에 대하여 $\backslash beta(-k)=\; \backslash over\; \{2\}\}$이다. 여기서 $\{E\_\{n\}\}$는 오일러 수를 의미한다. 오일러 수 $\{E\_\{n\}\}$은 $n$이 홀수일 때 $0$이므로, 음의 홀수 정수에서 함수는 0이다.: $\backslash beta(-2n-1)\backslash ;=\backslash ;0$

모든 홀수 양의 정수 $2n+1$에 대해 다음 방정식이 성립한다.
:$\backslash beta(2n+1)\backslash ;=\backslash ;\backslash frac\{(-1)^n\; E\_\{2n\}\}\{2(2n)!\}\backslash left(\backslash frac\backslash pi2\backslash right)^\{2n+1\}$
여기서 $E\_n$는 n번째 오일러 수이다.

따라서, 다음이 성립한다.
:$\backslash beta(1)\backslash ;=\backslash ;\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}$
:$\backslash beta(3)\backslash ;=\backslash ;\backslash frac\{\backslash pi^3\}\{32\}$
:$\backslash beta(5)\backslash ;=\backslash ;\backslash frac\{5\backslash pi^5\}\{1536\}$
:$\backslash beta(7)\backslash ;=\backslash ;\backslash frac\{61\backslash pi^7\}\{184320\}$

짝수 양의 정수에서 디리클레 베타 함수의 값에 대해 초등적 닫힌 형식은 알려져 있지 않다. 3보다 큰 홀수 정수에서의 리만 제타 함수와 유사하게, 짝수 베타 값의 산술적 성질을 결정하는 방법도 아직 발견되지 않았다. $\backslash beta(2)=G$는 카탈랑 상수로 알려져 있다.

$\backslash beta(2n)$ 형태의 무한히 많은 수와 적어도 하나의 수 $\backslash beta(2),\; \backslash beta(4),\; \backslash beta(6),\; ...,\; \backslash beta(12)$가 무리수임이 증명되었다.

짝수 베타 값은 폴리가마 함수와 베르누이 수로 나타낼 수 있다.

:$$
\beta(2n)=\frac{\psi^{(2n-1)}(1/4)}{4^{2n-1}(2n)!}n - \frac{\pi^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{2(2n)!}


또한 양의 $n$에 대한 베타 함수를 역탄젠트 적분으로 표현할 수 있다.
:$\backslash beta(n)=\backslash text\{Ti\}\_n(1)$
:$\backslash beta(1)=\backslash arctan(1)$

모든 양의 정수 k에 대해:
:$\backslash beta(2k)=\backslash frac\{1\}\{2(2k-1)!\}\backslash sum\_\{m=0\}^\backslash infty\backslash left(\backslash left(\backslash sum\_\{l=0\}^\{k-1\}\backslash binom\{2k-1\}\{2l\}\backslash frac\{(-1)^\{l\}A\_\{2k-2l-1\}\}\{2l+2m+1\}\backslash right)-\backslash frac\{(-1)^\{k-1\}\}\{2m+2k\}\backslash right)\backslash frac\{A\_\{2m\}\}\{(2m)!\}\{\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)\}^\{2m+2k\},$
여기서 $A\_\{k\}$는 오일러 지그재그 수이다.

디리클레 베타 함수에 정수를 대입한 값을 디리클레 베타 함수의 특수값이라고 한다. 예를 들어,

:$\backslash beta(1)\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-1)^n\}\{2n+1\}\; =\; 1\; -\; \backslash frac13\; +\; \backslash frac15\; -\; \backslash frac17\; +\; \backslash cdots\; =\; \backslash frac\backslash pi4$

와 같이 값을 구할 수 있으며, 이는 잘 알려진 라이프니츠 공식과 일치한다.

5. 미분

디리클레 베타 함수의 미분과 관련된 특별한 값들은 다음과 같다.

*$\backslash beta\text{'}(-1)=\backslash frac\{2G\}\backslash pi$

*$\backslash beta\text{'}(0)=2\backslash ln\backslash Gamma(\backslash tfrac14)-\backslash ln\backslash pi-\backslash tfrac32\backslash ln2$

*$$
\beta'(1)=\tfrac\pi4(\gamma+2\ln2+3\ln\pi-4\ln\Gamma(\tfrac14))


여기서 $\backslash gamma$는 오일러-마스케로니 상수이고 $G$는 카탈랑 상수이다. 마지막 항등식은 1842년 말름스텐에 의해 유도되었다.

6. 표