라그랑주 정리 (군론)

3. 증명

임의의 군 $G$ 및 부분군 $H\backslash le\; G$가 주어졌다고 하자. 라그랑주 정리에 따르면, 다음이 성립한다.^[1]

:$|G|=|G:H||H|$

여기서 $|G:H|$는 $H$의 왼쪽 잉여류들의 집합의 크기이며, $|G:H|$와 $|H|$ 사이의 곱셈은 기수의 곱셈이다.

임의의 $g\backslash in\; G$에 대하여, $|gH|=|H|$이다. 이는 함수

:$H\backslash to\; gH$

:$h\backslash mapsto\; gh\backslash qquad(h\backslash in\; H)$

가 전단사 함수이기 때문이다.

$H$의 왼쪽 잉여류들의 집합 $G/H$는 $G$의 분할을 이룬다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 임의의 $g,g\text{'}\backslash in\; G$에 대하여, 만약 $gH\backslash cap\; g\text{'}H\backslash ne\backslash varnothing$이라면, $g\text{'}\text{'}\backslash in\; gH\backslash cap\; g\text{'}H$인 $g\text{'}\text{'}\backslash in\; G$가 존재한다.

:$g\text{'}\text{'}=gh=g\text{'}h\text{'}$

인 $h,h\text{'}\backslash in\; H$를 취하면

:$gH=ghH=g\text{'}\text{'}H=g\text{'}h\text{'}H=g\text{'}H$

이다. 이에 따라, $G$는 $G/H$ 속 서로 다른 왼쪽 잉여류들의 분리 합집합이다.

선택 공리에 의하여, 임의의 왼쪽 잉여류 $A\backslash in\; G/H$에 대하여, $g\_A\backslash in\; A$인 군의 원소 $g\_A\backslash in\; G$를 취하는 함수 $g\_\backslash bullet\backslash colon\; G/H\backslash to\; G$가 존재하며, 이 경우 임의의 $A\backslash in\; G/H$에 대하여 $A=g\_AH$이다. ($G$가 유한군일 경우 이러한 함수의 존재는 수학적 귀납법에 의하여 증명할 수 있으므로 선택 공리가 필요하지 않다.) 따라서,

:$|G|=\backslash sum\_\{A\backslash in\; G/H\}|A|=\backslash sum\_\{A\backslash in\; G/H\}|g\_AH|=\backslash sum\_\{A\backslash in\; G/H\}|H|=|G:H||H|$

가 성립한다.

만약 $G$가 유한군이라면, 위 등식의 $|G|$, $|G:H|$, $|H|$는 모두 양의 정수이므로, $|H|$는 $|G|$의 약수가 된다.

$G$에서의 $H$의 왼쪽 잉여류는 $G$에 대한 특정 동치 관계의 동치류이다. 구체적으로, $G$의 $x$와 $y$가 $x\; =\; yh$를 만족하는 $H$의 $h$가 존재한다면, $x$와 $y$는 동치라고 부른다. 따라서 왼쪽 잉여류의 집합은 $G$의 분할을 형성한다. 각 왼쪽 잉여류 $aH$는 $x\; \backslash mapsto\; ax$가 $H\; \backslash to\; aH$의 전단사 함수를 정의하기 때문에 (역함수는 $y\; \backslash mapsto\; a^\{-1\}y$) $H$와 동일한 기수를 갖는다. 왼쪽 잉여류의 개수는 지수 $[G\; :\; H]$이다. 앞의 세 문장에 의해,

:$\backslash left|G\backslash right|\; =\; \backslash left[G\; :\; H\backslash right]\; \backslash cdot\; \backslash left|H\backslash right|.$

부분군 $H$에서 잉여류 $aH$로의 사상 $\backslash varphi\_a\; :\; H\; \backslash rightarrow\; aH$를 $\backslash varphi\_a(h)\; =\; ah$로 정의하면, $\backslash varphi\_a(h\_1)\; =\; \backslash varphi\_a(h\_2)$일 때, $ah\_1\; =\; ah\_2$가 되므로, 왼쪽에 $a^\{-1\}$을 곱하면 $h\_1\; =\; h\_2$가 되어 사상 $\backslash varphi\_a$는 단사이다. 사상 $\backslash varphi\_a$에 의한 부분군 $H$의 상이 $aH$이므로 사상 $\backslash varphi\_a$는 전사이며, 전단사가 된다. 따라서 사상 $\backslash varphi\_a$의 역 사상 $\backslash varphi\_\{a^\{-1\}\}:\; aH\; \backslash rightarrow\; H$는 $\backslash varphi\_\{a^\{-1\}\}(x)\; =\; a^\{-1\}x$가 된다. 이로부터 잉여류 $aH$에서 잉여류 $bH$로의 사상 $f\; :\; aH\; \backslash rightarrow\; bH$를 $f(x)\; =\; (\backslash varphi\_b\; \backslash circ\; \backslash varphi\_\{a^\{-1\}\})(x)\; =\; \backslash varphi\_b(\backslash varphi\_\{a^\{-1\}\}(x))\; =\; ba^\{-1\}x$로 정의하면 사상 $f$는 전단사가 된다. 따라서 임의의 두 잉여류 $aH$와 $bH$는 동형이며, $|aH|\; =\; |bH|\; =\; |H|$가 된다.

$G/H$의 원소의 개수(농도)인 $|G/H|$를 $G$에서의 $H$의 '''지수''' (index of a subgroup $H$ in a group $G$)라고 부르며, $[G\; :\; H]$ 또는 $|G\; :\; H|$ 또는 $(G\; :\; H)$로 표기한다.

$G/H$가 유한 집합인 경우, $G/H\; =\; \backslash \{a\_1H,\; a\_2H,\; a\_3H,\; \backslash dots,\; a\_kH\backslash \}$로 나타낼 수 있으며, $[G\; :\; H]\; =\; |G/H|\; =\; k$가 된다.

$G$가 유한군인 경우, 다음과 같이 쓸 수 있다.

이때, $|H|\; =\; |a\_1H|\; =\; |a\_2H|\; =\; |a\_3H|\; =\; \backslash dots\; =\; |a\_kH|\; =\; m$이므로, $|G|\; =\; km$이 된다. $k\; =\; |G/H|\; =\; [G\; :\; H],\; m\; =\; |H|$이므로,

:$|G|\; =\; [G\; :\; H]\; \backslash cdot|H|.$

Q.E.D.

4. 확장

라그랑주 정리는 군 ''G''의 세 부분군 ''K'' ≤ ''H'' ≤ ''G'' 사이의 지수에 대한 방정식으로 확장될 수 있다.^[1]
라그랑주 정리의 확장만약 ''H''가 ''G''의 부분군이고 ''K''가 ''H''의 부분군이면,

:[G:K] = [G:H] [H:K].

''S''를 ''H''에서 ''K''의 잉여류 대표 집합이라고 하자. 그러면 $H\; =\; \backslash bigsqcup\_\{s\; \backslash in\; S\}\; sK$ (상호 배타적 합집합)이고, |''S''|=[H:K]이다. 임의의 $a\; \backslash in\; G$에 대해, 왼쪽 곱셈-by-''a''는 $G\; \backslash to\; G$의 전단사 함수이므로, $aH\; =\; \backslash bigsqcup\_\{s\; \backslash in\; S\}\; asK$이다. 따라서 ''H''의 각 왼쪽 잉여류는 [H:K]개의 ''K''의 왼쪽 잉여류로 분해된다. ''G''가 [G:H]개의 ''H''의 왼쪽 잉여류로 분해되고, 각각은 [H:K]개의 ''K''의 왼쪽 잉여류로 분해되므로, ''G''에서 ''K''의 왼쪽 잉여류의 총 개수 [G:K]는 [G:H][H:K]이다.

만약 ''K'' = {''e''} (''e''는 ''G''의 항등원)라고 하면, [''G'' : {''e''}] = !''G''! 이고, [''H'' : {''e''}] = !''H''!이다. 따라서 원래 방정식 !''G''! = [''G'' : ''H''] !''H''!를 다시 얻을 수 있다.

이 내용을 다르게 표현하면 다음과 같다.^[10][11]

• ''H''가 군 ''G''의 부분군일 때, ''H'' ≤ ''G'' 또는 ''G'' ≥ ''H''로 표기한다.
• ''H''가 군 ''G''의 부분군이고, ''K''가 군 ''H''의 부분군일 때, ''K'' ≤ ''H'' ≤ ''G'' 또는 ''G'' ≥ ''H'' ≥ ''K''로 표기한다.

5. 응용

라그랑주 정리는 다양한 분야에 응용된다. 페르마 소정리와 그 일반화인 오일러 정리를 증명하는 데 사용될 수 있는데, 이 특수한 경우들은 일반적인 정리가 증명되기 오래 전에 알려져 있었다.^[2]

또한 이 정리는 소수 차수를 갖는 모든 군이 순환군이자 단순군임을 보여준다. 항등원이 아닌 임의의 원소로 생성된 부분군은 그 군 자체가 되어야 하기 때문이다.^[2]

라그랑주 정리는 메르센 소수를 통해 무한히 많은 소수가 존재함을 증명하는 데에도 응용될 수 있다.^[2]

5. 1. 따름정리