코시 정리 (군론)

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1. 개요

코시 정리 (군론)는 유한군 G의 위수 |G|의 소인수 p가 존재하면, G는 위수가 p인 원소를 갖는다는 정리이다. 이 정리는 1845년에 증명되었으며, 군의 위수의 소인수 분해와 부분군에 소수 위수의 순환군이 존재함의 관계를 보여준다. 코시 정리는 아벨 군의 경우와 일반적인 경우에 대한 두 가지 증명 방법이 있으며, 군 작용을 이용한 증명도 존재한다. 이 정리는 기본 아벨 군의 분류, 쉴로브 정리의 증명 등 군론의 여러 분야에 응용된다.

코시 정리 (군론)

분야	군론
설명	유한군의 크기가 어떤 소수로 나누어 떨어지면 그 소수를 차수로 가지는 원소가 존재한다.
증명 방법	귀납법
관련 항목	시로 정리

역사적 정보

명명	오귀스탱 루이 코시
발표년도	1845년

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1. 개요
2. 정의
3. 역사
4. 증명
- 4.1. 증명 1 (귀납법, 켤레류 방정식)
  - 4.1.1. 아벨 군의 경우
  - 4.1.2. 일반적인 군의 경우
- 4.2. 증명 2 (군 작용)
5. 응용
6. 같이 보기

2. 정의

소수 $p$ 가 유한군 $G$ 의 위수 $|G|$ 의 소인수라면, $G$ 는 위수가 $p$ 인 원소를 갖는다.

3. 역사

프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시의 이름이 붙어 있다. 1845년에 코시가 이 정리를 증명하였다. 1872년에는 쉴로브(Sylow)가 이 정리를 소수 p의 멱으로 확장한 쉴로브 정리를 증명하였다.

4. 증명

코시 정리의 증명은 여러 가지 방법이 존재한다.

강한 귀납법과 켤레류 방정식을 사용하거나, 군 작용을 사용하여 증명할 수 있다.

군 작용을 이용한 증명 방법은 다음과 같다.

$p$ 차 대칭군 $\operatorname{Sym}(p)$ 속의 순환 $\sigma=(1~2~\cdots~p)$ 로 생성된, 크기 $p$ 의 순환군은 다음 집합 위에 자연스럽게 작용한다.

: $X=\{(g_1,\dots,g_p)\in G^p\colon g_1\cdots g_p=1\}$

이 작용은 다음과 같다.

: $\sigma\cdot(g_1,\dots,g_p)=(g_{\sigma(1)},\dots,g_{\sigma(p)})=(g_2,\dots,g_p,g_1)$

궤도-안정자군 정리에 따라 이 군의 작용의 각 궤도의 크기는 1 또는 $p$ 이다. 크기 1의 궤도의 수는 $g^p=1$ 인 원소 $g\in G$ 의 수와 같다. 즉, $p$ 차 원소의 수와 1차 원소(항등원 $1\in G$ )의 수의 합이며, 특히 이는 양의 정수이다.

$X$ 의 각 원소는 그 앞의 $p-1$ 개의 성분으로 유일하게 결정되므로, $|X|=|G|^{p-1}$ 이며, 이는 $p$ 의 배수이다. 또한, 궤도들은 $X$ 를 분할하므로, 크기 $p$ 의 궤도들의 수의 $p$ 배와 크기 1의 궤도들의 수의 합은 $|X|=|G|^{p-1}$ 이다. 따라서 크기 1의 궤도의 수 역시 $p$ 의 배수이며, 특히 $p$ 이상이다. 즉, 적어도 $p-1$ 개의 $p$ 차 원소가 존재한다.

귀납법 및 켤레류 방정식을 이용한 증명은 하위 섹션을 참고한다.

4.1. 증명 1 (귀납법, 켤레류 방정식)

코시 정리의 증명은 강한 귀납법과 켤레류 방정식을 사용하여 이루어진다. 먼저 주어진 군 $G$ 가 아벨 군인 경우를 증명하고, 이를 바탕으로 일반적인 유한군으로 확장한다.

4.1.1. 아벨 군의 경우

소수 $p$ 가 유한군 $G$ 의 크기 $|G|$ 의 소인수일 때, $G$ 가 아벨 군이면 위수가 $p$ 인 원소가 존재한다. 이를 증명하기 위해 귀류법을 사용하여 $G$ 가 $p$ 차 원소를 가지지 않는다고 가정하고, 이러한 $G$ 가 최소 크기의 반례라고 가정한다.

$G$ 는 순환군일 수 없다. 만약 $G$ 가 $g\in G$ 로 생성된 순환군이라면, $g^$

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=k^{ap}\in H
이며, 이는 모순이다. 즉,

k^

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의 위수는

p

이다.

4.1.2. 일반적인 군의 경우

소수 $p$ 가 유한군 $G$ 의 크기 $|G|$ 의 소인수일 때, $G$ 의 중심 $\operatorname Z(G)$ 를 이용하여 증명한다. $\operatorname Z(G)$ 는 $G$ 의 아벨 부분군이다.

* $p$ 가 $|{\operatorname Z(G)}|$ 를 나누는 경우:
* $G$ 가 아벨 군인 경우의 증명에 의해 $\operatorname Z(G)$ 는 위수가 $p$ 인 원소를 갖는다.

* $p$ 가 $|{\operatorname Z(G)}|$ 를 나누지 않는 경우:
* 켤레류 방정식
: $|G|=|{\operatorname Z(G)}|+\sum_{g\in S}\frac$

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을 이용한다. 여기서

S\subseteq G\setminus\operatorname Z(G)

는 크기가 1이 아닌 켤레류들의 대표 원소들의 집합이며,

\operatorname C_G(g)

는

g

에 대한

G

의 중심화 부분군이다.
*

p\mid|G|

이고

p\nmid|{\operatorname Z(G)}|

이므로,

p\mid|{\operatorname C_G(g)}|

인

g\in S

가 존재한다.
*

|{\operatorname C_G(g)}|<|G|

이므로, 귀납적 가설에 의해

\operatorname C_G(g)

는

p

차 원소를 갖는다.

어느 경우이든

G

는 위수가

p

인 원소를 가지므로, 코시 정리가 성립한다.

4.2. 증명 2 (군 작용)

$p$ 차 대칭군 $\operatorname{Sym}(p)$ 속의 순환 $\sigma=(1~2~\cdots~p)$ 로 생성된, 크기 $p$ 의 순환군은 다음 집합 위에 자연스럽게 작용한다.

: $X=\{(g_1,\dots,g_p)\in G^p\colon g_1\cdots g_p=1\}$

이 작용은 다음과 같다.

: $\sigma\cdot(g_1,\dots,g_p)=(g_{\sigma(1)},\dots,g_{\sigma(p)})=(g_2,\dots,g_p,g_1)$

궤도-안정자군 정리에 따라 이 군의 작용의 각 궤도의 크기는 1 또는 $p$ 이다. 크기 1의 궤도의 수는 $g^p=1$ 인 원소 $g\in G$ 의 수와 같다. 즉, $p$ 차 원소의 수와 1차 원소(항등원 $1\in G$ )의 수의 합이며, 특히 이는 양의 정수이다. $X$ 의 각 원소는 그 앞의 $p-1$ 개의 성분으로 유일하게 결정되므로, $|X|=|G|^{p-1}$ 이며, 이는 $p$ 의 배수이다. 또한, 궤도들은 $X$ 를 분할하므로, 크기 $p$ 의 궤도들의 수의 $p$ 배와 크기 1의 궤도들의 수의 합은 $|X|=|G|^{p-1}$ 이다. 따라서 크기 1의 궤도의 수 역시 $p$ 의 배수이며, 특히 $p$ 이상이다. 즉, 적어도 $p-1$ 개의 $p$ 차 원소가 존재한다.

5. 응용

코시 정리는 모든 기본 아벨 군(비항등원의 모든 원소가 동일하고 유한한 차수를 갖는 군)의 대략적인 분류를 함축한다. 만약 $G$ 가 그러한 군이고, $x \in G$ 의 차수가 $p$ 라면, $p$ 는 소수여야 한다. 그렇지 않으면 $x$ 에 의해 생성된 (유한한) 부분군에 적용된 코시 정리는 $p$ 보다 작은 차수의 원소를 생성하기 때문이다. 게다가, $G$ 의 모든 유한 부분군은 $p$ 의 거듭제곱의 차수를 갖는다(만약 $G$ 가 유한하다면 $G$ 자체도 포함). 이 논증은 모든 원소의 차수가 $p$ 의 거듭제곱인 -군에도 동일하게 적용된다(하지만 모든 차수가 반드시 같을 필요는 없다).

코시 정리의 아벨 군의 경우를, 위 첫 번째 증명과 유사하게, Sylow의 정리 중 첫 번째 정리의 귀납적 증명에 사용할 수 있다. 비록 이 특수한 경우를 별도로 처리하지 않는 증명도 존재하지만.

라그랑주의 정리에 따르면 부분군의 위수는 반드시 원래 군의 위수를 나눈다. 따라서 소수 위수의 군은 자명한 부분군 이외의 부분군을 갖지 않게 되며, 군의 기본적인 성질로부터 이는 소수 위수의 군이 반드시 단독의 생성원으로 생성되는 순환군임을 의미한다.

이로부터 군의 위수의 소인수 분해와 부분군에 소수 위수의 순환군이 존재하는 것의 관련성을 쉽게 예상할 수 있는데, 이를 1845년에 증명한 것이 코시의 정리이다 .

코시의 정리가 처음 증명된 후 27년 뒤인 1872년에 이를 소수의 멱으로 확장한 시로우의 정리가 증명되었다.

6. 같이 보기

* 라그랑주의 정리
* 쉴로브 정리
* 군론

분야	군론
설명	유한군의 크기가 어떤 소수로 나누어 떨어지면 그 소수를 차수로 가지는 원소가 존재한다.
증명 방법	귀납법
관련 항목	시로 정리

역사적 정보

명명	오귀스탱 루이 코시
발표년도	1845년