베이불 분포

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 표준 매개변수화
- 2.2. 다양한 매개변수화
3. 성질
4. 매개변수 추정
5. 응용 분야
6. 관련 분포
참조

1. 개요

베이불 분포는 고장률이 시간의 거듭제곱에 비례하는 확률 분포로, 재료 과학, 신뢰성 공학, 생존 분석 등 다양한 분야에서 활용된다. 모양 모수(k)와 척도 모수(λ)를 사용하여 정의되며, k 값에 따라 고장률의 증가, 감소 또는 일정함을 나타낸다. 최소 제곱법, 적률법, 최우추정법 등의 방법으로 매개변수를 추정하며, 와이블 플롯을 통해 데이터 적합도를 시각적으로 평가할 수 있다. 지수 분포, 레일리 분포 등 다른 분포와 관련이 있으며, 극치 이론, 풍력 발전, 통신 시스템 등 다양한 응용 분야에서 사용된다.

2. 정의

2. 1. 표준 매개변수화

와이블 확률 밀도 함수는 다음과 같다.^[3]^[4]

:

f(x;\lambda,k) =\begin{cases}\frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^{k}}, & x\geq0 ,\\0, & x<0,\end{cases}

여기서 ''k'' > 0는 분포의 ''모양 모수''이고, λ > 0는 ''척도 모수''이다. 이의 여사 누적 분포 함수는 늘어난 지수 함수이다. 와이블 분포는 지수 분포 (''k'' = 1)와 레일리 분포 (''k'' = 2 및

\lambda = \sqrt{2}\sigma

) 사이를 보간한다.^[5]

''x''가 "고장 시간"일 경우, 와이블 분포는 고장률이 시간의 거듭제곱에 비례하는 분포를 제공한다. ''모양'' 모수, ''k''는 그 거듭제곱에 1을 더한 값이며, 다음과 같이 해석할 수 있다.^[6]

`k < 1`의 값은 고장률이 시간이 지남에 따라 감소함을 나타낸다.
`k = 1`의 값은 고장률이 시간에 따라 일정함을 나타내며, 와이블 분포는 지수 분포로 축소된다.
`k > 1`의 값은 고장률이 시간이 지남에 따라 증가함을 나타낸다.

재료 과학 분야에서, 강도 분포의 모양 모수 ''k''는 웨이불 계수로 알려져 있다.

2. 2. 다양한 매개변수화

의료 통계학 및 계량 경제학의 응용 분야에서는 종종 다른 매개변수화를 채택한다.^[8]^[9] 모양 매개변수 ''k''는 위와 동일하며, 척도 매개변수는

b = \lambda^{-k}

이다. 이 경우, ''x'' ≥ 0에 대해 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

:

f(x;k,b) = bkx^{k-1}e^{-bx^k},

누적 분포 함수, 분위 함수, 위험 함수는 다음과 같다.

:

F(x;k,b) = 1 - e^{-bx^k},

:

Q(p;k,b) = \left(-\frac{1}{b}\ln(1-p) \right)^{\frac{1}{k}},

:

h(x;k,b) = bkx^{k-1},

그리고 평균은 다음과 같다.

:

b^{-1/k}\Gamma(1+1/k).

두 번째 대안적 파라미터화도 찾을 수 있다.^[10]^[11] 형상 모수 ''k''는 표준 경우와 동일하며, 척도 모수 ''λ''는 비율 모수 ''β'' = 1/''λ''로 대체된다. 그러면 ''x'' ≥ 0에 대해 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

:

f(x;k,\beta) = \beta k({\beta x})^{k-1} e^{-(\beta x)^k}

누적 분포 함수, 분위수 함수, 위험 함수는 다음과 같다.

:

F(x;k,\beta) = 1 - e^{-(\beta x)^k},

:

Q(p;k,\beta) = \frac{1}{\beta}(-\ln(1-p))^\frac{1}{k},

:

h(x;k,\beta) = \beta k({\beta x})^{k-1}.

세 가지 파라미터화 모두에서 위험률은 k < 1일 때 감소하고, k > 1일 때 증가하며, k = 1일 때 일정하며, 이 경우 베이불 분포는 지수 분포로 축소된다.

3. 성질

3. 1. 밀도 함수

베이불 분포의 밀도 함수 형태는 ''k'' 값에 따라 크게 달라진다. 0 < ''k'' < 1인 경우, 밀도 함수는 ''x''가 0보다 큰 쪽에서 접근할 때 ∞로 향하고 엄격하게 감소한다. ''k'' = 1인 경우, 밀도 함수는 ''x''가 0보다 큰 쪽에서 접근할 때 1/''λ''로 향하고 엄격하게 감소한다. ''k'' > 1인 경우, 밀도 함수는 ''x''가 0보다 큰 쪽에서 접근할 때 0으로 향하고, 최빈값까지 증가한 후 감소한다. 밀도 함수는 0 < ''k'' < 1일 때 ''x'' = 0에서 무한대 음의 기울기를 가지며, 1 < ''k'' < 2일 때 ''x'' = 0에서 무한대 양의 기울기를 가지며, ''k'' > 2일 때 ''x'' = 0에서 0의 기울기를 가진다. ''k'' = 1인 경우 밀도는 ''x'' = 0에서 유한한 음의 기울기를 가진다. ''k'' = 2인 경우 밀도는 ''x'' = 0에서 유한한 양의 기울기를 가진다. ''k''가 무한대로 갈수록 베이불 분포는 ''x'' = λ에 중심을 둔 디랙 델타 함수로 수렴한다. 또한, 왜도와 변동 계수는 형상 모수에만 의존한다. 베이불 분포의 일반화는 제III형 과탄성 분포이다.

3. 2. 누적 분포 함수

베이불 분포의 누적 분포 함수는 다음과 같다.

:F(x;k,λ) = 1 - e^{-(x/λ)^k}

x ≥ 0일 때, F(x; k; λ) = 0 (x < 0).

만약 x = λ 이면, 모든 k 값에 대해 F(x; k; λ) = 1 − e⁻¹ ≈ 0.632 이다. 반대로, F(x; k; λ) = 0.632 일 때 x의 값은 ≈ λ 이다.

베이불 분포의 분위수 함수(역 누적 분포 함수)는 다음과 같다.

:Q(p;k,λ) = λ(-ln(1-p))^1/k

(0 ≤ p < 1).

3. 3. 적률

베이불 분포를 따르는 확률 변수의 로그에 대한 적률생성함수는 다음과 같다.^[12]

:

\operatorname E\left[e^{t\log X}\right] = \lambda^t\Gamma\left(\frac{t}{k}+1\right)

여기서 는 감마 함수이다. 로그 ''X''의 특성 함수는 다음과 같다.

:

\operatorname E\left[e^{it\log X}\right] = \lambda^{it}\Gamma\left(\frac{it}{k}+1\right).

''X''의 ''n''차 원점 적률은 다음과 같다.

:

m_n = \lambda^n \Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right).

베이불 확률 변수의 평균과 분산은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\operatorname{E}(X) = \lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,

:

\operatorname{var}(X) = \lambda^2\left[\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \left(\Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\right)^2\right]\,.

왜도는 다음과 같다.

:

\gamma_1=\frac{2\Gamma_1^3-3\Gamma_1\Gamma_2+ \Gamma_3 }{[\Gamma_2-\Gamma_1^2]^{3/2}}

여기서

\Gamma_i=\Gamma(1+i/k)

이며, 이는 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:

\gamma_1=\frac{\Gamma\left(1+\frac{3}{k}\right)\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}

여기서 평균은 로, 표준 편차는 로 표시된다.

초과 첨도는 다음과 같다.

:

\gamma_2=\frac{-6\Gamma_1^4+12\Gamma_1^2\Gamma_2-3\Gamma_2^2-4\Gamma_1 \Gamma_3 +\Gamma_4}{[\Gamma_2-\Gamma_1^2]^2}

여기서

\Gamma_i=\Gamma(1+i/k)

이다. 첨도 초과도는 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:

\gamma_2=\frac{\lambda^4\Gamma(1+\frac{4}{k})-4\gamma_1\sigma^3\mu-6\mu^2\sigma^2-\mu^4}{\sigma^4}-3.

''X'' 자체의 적률생성함수에는 다양한 표현식이 있다. 거듭제곱 급수로서, 원적률은 이미 알려져 있으므로 다음을 얻을 수 있다.

:

\operatorname E\left[e^{tX}\right] = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n\lambda^n}{n!} \Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right).

파라미터 ''k''가 정수 ''p''와 ''q''로 표현되는 유리수 ''k'' = ''p''/''q''라고 가정하면, 다음 적분을 해석적으로 계산할 수 있다.^[13]

:

\operatorname E\left[e^{-tX}\right] = \frac1{ \lambda^k\, t^k} \, \frac{ p^k \, \sqrt{q/p}} {(\sqrt{2 \pi})^{q+p-2}} \, G_{p,q}^{\,q,p} \!\left( \left. \begin{matrix} \frac{1-k}{p}, \frac{2-k}{p}, \dots, \frac{p-k}{p} \\ \frac{0}{q}, \frac{1}{q}, \dots, \frac{q-1}{q} \end{matrix} \; \right| \, \frac {p^p} {\left( q \, \lambda^k \, t^k \right)^q} \right)

여기서 ''G''는 메이어 G-함수이다.

3. 4. 극값

X_1, X_2, \ldots, X_n

을 척도 모수

\lambda

와 형상 모수

k

를 갖는 독립적이고 동일하게 분포된 베이불 분포 확률 변수라고 하자. 이

n

개의 확률 변수들의 최솟값이

Z = \min(X_1, X_2, \ldots, X_n)

라면,

Z

의 누적 확률 분포는 다음과 같다.

:

F(z) = 1 - e^{-n(z/\lambda)^k}.

즉,

Z

는 척도 모수

n^{-1/k} \lambda

와 형상 모수

k

를 갖는 베이불 분포를 따른다. 여러 개의 독립적인 와이블 분포 확률 변수들의 최솟값은 또 다른 와이블 분포를 따른다.

3. 5. 정보 엔트로피

정보 엔트로피는 다음과 같이 주어진다.^[15]

:

H(\lambda,k) = \gamma\left(1 - \frac{1}{k}\right) + \ln\left(\frac{\lambda}{k}\right) + 1

여기서

\gamma

는 오일러-마스케로니 상수이다. 베이불 분포는 ''x''^''k''의 고정된 기댓값이 ''λ''^''k''와 같고 ln(''x''^''k'')의 고정된 기댓값이 ln(''λ''^''k'') −

\gamma

와 같은, 음이 아닌 실수 확률 변수에 대한 최대 엔트로피 분포이다.

3. 6. 쿨백-라이블러 발산

두 개의 베이불 분포 간의 쿨백-라이블러 발산은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[16]

:

D_\text{KL}( \mathrm{Weib}_1 \parallel \mathrm{Weib}_2) = \log \frac{k_1}{\lambda_1^{k_1}} - \log \frac{k_2}{\lambda_2^{k_2}} + (k_1 - k_2) \left[ \log \lambda_1 - \frac{\gamma}{k_1} \right] + \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^{k_2} \Gamma \left(\frac{k_2}{k_1} + 1 \right) - 1

4. 매개변수 추정

4. 1. 최소 제곱법 (와이블 플롯)

와이불 플롯은 와이블 분포의 데이터 적합도를 시각적으로 평가하는 방법이다.^[17] 와이블 플롯은 Q-Q 플롯의 일종으로, 특수 축에 데이터의 경험적 누적 분포 함수

\widehat F(x)

를 나타낸다. 축은

\ln(-\ln(1-\widehat F(x)))

대

\ln(x)

이다. 이러한 변수 변경은 누적 분포 함수를 선형화하기 위함이다.

:

\begin{align}F(x) &= 1-e^{-(x/\lambda)^k}\\[4pt]

\ln(1-F(x)) &= (x/\lambda)^k\\[4pt]

\underbrace{\ln(-\ln(1-F(x)))}_{\textrm{'y'}} &= \underbrace{k\ln x}_{\textrm{'mx'}} - \underbrace{k\ln \lambda}_{\textrm{'c'}}\end{align}

이는 직선의 표준 형태이며, 데이터가 와이블 분포에서 나왔다면 와이블 플롯에서 직선이 예상된다.

데이터에서 경험적 분포 함수를 얻는 방법에는 여러 가지가 있다. 한 가지 방법은 각 점에 대한 수직 좌표를 다음과 같이 얻는 것이다.

:

\widehat F = \frac{i-0.3}{n+0.4}

여기서

i

는 데이터 점의 순위이고

n

은 데이터 점의 수이다.^[18]^[19] 또 다른 일반적인 추정량^[20]은 다음과 같다.

:

\widehat F = \frac{i-0.5}{n}

선형 회귀는 적합도와 와이블 분포의 매개변수를 수치적으로 평가하는 데에도 사용할 수 있다. 기울기는 형상 매개변수

k

에 대해 직접 알려주고, 척도 매개변수

\lambda

도 추론할 수 있다.

예를 들어, 제품의 신뢰성 시험 결과를 와이블 분포로 근사하려는 경우, 와이블 플롯을 사용하여 시간과 불신뢰도의 관계를 직선 근사로 시각화할 수 있다. 불신뢰도의 식을 다음과 같이 변형한다.

:

\ln \left\{ \ln \frac{1}{1-F(t)} \right\} =m\ln t - m\ln \eta

여기서

Y=\ln \left( \ln \frac{1}{1-F(t)} \right)

,

X=\ln t

로 하면 다음 식이 된다.

:

Y=mX - m\ln \eta

즉,

\ln t

에 대해

\ln \left( \ln \frac{1}{1-F(t)} \right)

를 플롯하면 직선이 되며, 그 기울기로부터 와이블 계수 을 구할 수 있다.

4. 2. 적률법

베이불 분포의 변동 계수는 형상 모수에만 의존한다.^[21]

:

CV^2 = \frac{\sigma^2}{\mu^2}= \frac{\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \left(\Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\right)^2}{\left(\Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\right)^2}.

표본량

s^2/\bar{x}^2

을

\sigma^2/\mu^2

와 같게 하여, 형상 모수

k

의 적률 추정은

CV^2

대

k

의 찾아보기 표나 그래프에서 읽을 수 있다. 더 정확한

\hat{k}

추정은 다음 방정식을 풀기 위해 근 찾기 알고리즘을 사용하여 찾을 수 있다.

:

\frac{\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \left(\Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\right)^2}{\left(\Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\right)^2} = \frac{s^2}{\bar{x}^2}.

그런 다음 척도 모수의 적률 추정은 첫 번째 적률 방정식을 사용하여 찾을 수 있다.

:

\hat{\lambda} = \frac{\bar{x}}{\Gamma\left(1 + \frac{1}{\hat{k}}\right)}.

4. 3. 최우추정법

주어진 데이터를 바탕으로 우도 함수를 최대화하는 매개변수 값을 찾는다.^[21]^[22] 일반적으로 수치적 방법을 통해 해를 구한다.

k

가 주어졌을 때

\lambda

매개변수에 대한 최대 우도 추정량은 다음과 같다.

:

\widehat \lambda = \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^k \right)^\frac{1}{k}

k

에 대한 최대 우도 추정량은 다음 방정식의 ''k''에 대한 해이다.

:

0 =  \frac{\sum_{i=1}^n x_i^k \ln x_i }{\sum_{i=1}^n x_i^k }

\frac{1}{k} - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln x_i

이 방정식은

\widehat k

를 암시적으로만 정의하므로 일반적으로 수치적 방법을 통해

k

를 구한다.

x_1 > x_2 > \cdots > x_N

이

N

개 이상의 표본 데이터 집합에서 관측된 가장 큰

N

개 표본인 경우,

k

가 주어졌을 때

\lambda

매개변수에 대한 최대 우도 추정량은 다음과 같다.

:

\widehat \lambda^k = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i^k - x_N^k)

또한 해당 조건이 주어지면,

k

에 대한 최대 우도 추정량은 다음과 같다.

:

0 = \frac{\sum_{i=1}^N (x_i^k \ln x_i -  x_N^k \ln x_N)}{\sum_{i=1}^N (x_i^k - x_N^k)}

\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \ln x_i

이는 암시적 함수이므로 일반적으로 수치적 방법을 통해

k

를 구한다.

5. 응용 분야

베이불 분포는 다양한 분야에서 활용된다.^[23]^[24]^[25]^[26]^[27]^[28]^[29]^[30]^[31]^[32] 특히, 부품의 수명 추정, 신뢰성 공학 및 고장 분석, 산업 공학에서 제조 및 배송 시간 예측 등에 사용된다.

CumFreq를 사용하여 최대 일일 강수량에 적합한 누적 베이불 분포, 분포 적합도 참조

생존 분석에 활용된다.
신뢰성 공학 및 고장 분석에 사용된다.
전기 공학에서 전기 시스템에서 발생하는 과전압을 나타내는 데 사용된다.
극치 이론에서 활용된다.
일기 예보 및 풍력 발전 산업에서 풍속 분포를 설명하는 데 사용된다.
통신 시스템 공학 분야에서 활용된다.
레이더 시스템에서 특정 유형의 잡음에 의해 생성된 수신 신호 레벨의 분산을 모델링한다.
무선 통신의 페이딩 채널을 모델링한다.
정보 검색에서 웹 페이지의 체류 시간을 모델링한다.
일반 보험에서 재보험 청구 규모와 석면 폐증 손실의 누적 발생을 모델링한다.
기술 변화 예측(샤리프-이슬람 모델)에 활용된다.
수문학에서 연간 최대 일일 강수량 및 하천 유출과 같은 극단적인 사건에 적용된다.
감소 곡선 분석에서 셰일 오일 유정의 석유 생산율 곡선을 모델링한다.
입자의 크기를 설명하는 데 사용되며, 분쇄, 분쇄 및 분쇄기 작업에서 생성되는 경우, 2-모수 베이불 분포가 사용된다. (로신-람러 분포)
임의 점 구름(이상 기체의 입자 위치 등)을 설명하는 경우에 활용된다.
우주선 탑재 장비의 방사선 유도 단일 이벤트 효과의 속도를 계산하는 데 사용된다.

물체의 취성 파괴에 대한 강도를 통계적으로 기술하는 경우 등에 널리 이용되고 있다. 와이블 계수 m는 물체를 구성하는 재료의 종류에 따라 결정된다. 일반적으로 m이 큰 재료는 강도의 편차가 작아 설계에서 안전성을 확보하기가 용이해진다.

부품에 응력, 전압, 온도 등의 부하가 지속적으로 가해지는 경우의 고장 현상에 대해서도 응용할 수 있다. 최약 링크 모델의 응력을 시간에 대입하면 부품에서 수명이 가장 짧은 부분이 고장남으로써 부품 전체가 고장났다고 보는 모델이 된다. 1960년대 이후, 부품의 열화 현상이나 수명을 통계적으로 기술하기 위해 널리 이용되게 되었다.

시간 t에 대한 고장률은 다음과 같이 나타낸다.

:

\lambda(t)=\frac{m}{\eta^m} t^{m-1}

고장 현상은 와이블 계수 m에 의해 다음 3가지 종류로 분류된다.

m < 1일 때, 시간과 함께 고장률이 작아지는 성질, 즉 초기적인 고장.
m = 1일 때, 시간에 대해 고장률이 일정한 성질, 즉 우발적인 고장.
m > 1일 때, 시간과 함께 고장률이 커지는 성질, 즉 마모적인 고장.

신뢰도(고장나지 않을 확률)는 다음 식으로 나타낸다.

:

R(t)=\exp \left\{ -\left( \frac{t}{\eta} \right)^m \right\}

불신뢰도(누적 고장률에 상당)는 다음 식으로 나타낸다.

:

F(t)=1-R(t)=1-\exp \left\{ -\left( \frac{t}{\eta} \right)^m \right\}

6. 관련 분포

와이블 분포는 다양한 분포와 관련이 있다.

$W \sim \mathrm{Weibull}(\lambda, k)$ 이면, 변수 $G = \log W$ 는 위치 모수 $\mu = \log \lambda$ 와 척도 모수 $\beta = 1/k$ 를 갖는 굼벨 분포(최소값) 분포를 따른다. 즉, $G \sim \mathrm{Gumbel}_{\min}(\log \lambda, 1/k)$ 이다.
와이블 분포는 모양 모수 둘 다가 ''k''와 같은 일반화 감마 분포이다.
이동된 와이블 분포(또는 3-모수 와이불)는 추가적인 모수를 포함한다.^[12] 이는 다음의 확률 밀도 함수를 갖는다.
$f(x;k,\lambda, \theta)={k \over \lambda} \left({x - \theta \over \lambda}\right)^{k-1} e^{-\left({x-\theta \over \lambda}\right)^k}\,$
$x \geq \theta$ 일 때와 $x < \theta$ 일 때 $f(x; k, \lambda, \theta) = 0$ 인데, 여기서 $k > 0$ 는 모양 모수, $\lambda > 0$ 는 척도 모수, $\theta$ 는 분포의 위치 모수이다. $\theta$ 값은 일반적인 와이불 과정이 시작되기 전 초기 무고장 시간을 설정한다. $\theta = 0$ 일 때, 이는 2-모수 분포로 축소된다.
와이블 분포는 확률 변수 $W$ 에 대해, 확률 변수
$X = \left(\frac{W}{\lambda}\right)^k$
가 강도 1인 표준 지수 분포인 분포로 특징지을 수 있다.^[12]
만약 $U$ 가 $(0,1)$ 에서 균등 분포(연속) 된다면, 확률 변수 $W = \lambda(-\ln(U))^{1/k}\,$ 는 매개변수 $k$ 와 $\lambda$ 를 갖는 와이불 분포를 따른다. 여기서 $-\ln(U)$ 는 바로 위의 $X$ 와 동일하다. 이것은 와이불 분포를 시뮬레이션하기 위한 쉽게 구현할 수 있는 수치적 방식을 이끈다.
와이블 분포는 $k = 1$ 일 때 강도 $1/\lambda$ 의 지수 분포와 $k = 2$ 일 때 모드 $\sigma = \lambda/\sqrt{2}$ 의 레일리 분포 사이를 보간한다.
와이블 분포(일반적으로 신뢰성 공학에서 충분함)는 추가적인 지수가 1과 같은 세 모수 지수화 와이불 분포의 특별한 경우이다. 지수화 와이불 분포는 단봉 함수, 욕조 곡선^[33] 및 단조 함수 고장률을 수용한다.
와이블 분포는 일반화 극단값 분포의 특수한 경우이다. 이와 관련하여 이 분포는 1927년 모리스 프레셰에 의해 처음으로 식별되었다.^[34] 이 연구에서 이름을 딴, 밀접하게 관련된 프레셰 분포는 다음의 확률 밀도 함수를 갖는다.
$f_{\rm{Frechet}}(x;k,\lambda)=\frac{k}{\lambda} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{-1-k} e^{-(x/\lambda)^{-k}} = f_{\rm{Weibull}}(x;-k,\lambda).$
각각 다른 와이불 분포를 갖는 여러 확률 변수들의 최소값으로 정의되는 확률 변수의 분포는 다중 와이불 분포이다.
와이블 분포는 로진/Rosin^영어과 람러}}가 1933년에 입자 크기 분포를 설명하기 위해 처음 적용되었다.^[35] 이는 광물 처리에서 파쇄 과정의 입도 분포를 설명하기 위해 널리 사용된다. 이 맥락에서 누적 분포는 다음과 같이 주어진다.
$f(x;P_{\rm{80}},m) = \begin{cases}$

1-e^{\ln\left(0.2\right)\left(\frac{x}{P_{\rm{80}}}\right)^m} & x\geq0 ,\\0 & x<0 ,\end{cases} 여기서

* $x$ 는 입자 크기이다.
* $P_{\rm{80}}$ 은 입도 분포의 80번째 백분위수이다.
* $m$ 은 분포의 확산을 설명하는 매개변수이다.
스프레드시트에서 사용할 수 있기 때문에, 근본적인 동작이 실제로 얼랑 분포에 의해 더 잘 모델링되는 경우에도 사용된다.^[35]
만약 $X \sim \mathrm{Weibull}(\lambda,\frac{1}{2})$ 이면 $\sqrt{X} \sim \mathrm{Exponential}(\frac{1}{\sqrt{\lambda/Rammler$ ^de) (지수 분포)이다.
동일한 k 값에 대해, 감마 분포는 유사한 모양을 갖지만, 와이불 분포는 더 플라티쿠르틱하다.
안정 카운트 분포의 관점에서, $k$ 는 레비의 안정성 매개변수로 간주될 수 있다. 와이불 분포는 커널이 라플라스 분포 $F(x;1,\lambda)$ 또는 레일리 분포 $F(x;2,\lambda)$ 인 커널 밀도의 적분으로 분해될 수 있다.

F(x;k,\lambda) =\begin{cases}\displaystyle\int_0^\infty \frac{1}{\nu} \, F(x;1,\lambda\nu)\left( \Gamma \left( \frac{1}{k}+1 \right) \mathfrak{N}_k(\nu) \right) \, d\nu ,& 1 \geq k > 0; \text{or } \\\displaystyle\int_0^\infty \frac{1}{s} \, F(x;2,\sqrt{2} \lambda s)\left( \sqrt{\frac{2}{\pi}} \, \Gamma \left( \frac{1}{k}+1 \right) V_k(s) \right) \, ds ,& 2 \geq k > 0;\end{cases} 여기서

\mathfrak{N}_k(\nu)

는 안정 카운트 분포이고,

V_k(s)

는 안정 볼 분포이다.

참조

_[1] 간행물 The Statistical Theory of the Strength of Materials Generalstabens Litografiska Anstalts Förlag 1939
_[2] 서적 Actuarial Mathematics Society of Actuaries 1997
_[3] 서적 Probability, Random Variables, and Stochastic Processes McGraw-Hill
_[4] 논문 The Weibull distribution
_[5] 웹사이트 Rayleigh Distribution – MATLAB & Simulink – MathWorks Australia http://www.mathworks[...]
_[6] 논문 A study of Weibull shape parameter: Properties and significance
_[7] 논문 Lindy's Law 2017-11
_[8] 서적 Modelling survival data in medical research Chapman and Hall / CRC
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