르베그 미분가능성 정리

\int_{B}f \, \mathrm{d}\lambda
여기서 B는 x를 중심으로 하는 구이고, |B|는 구 B의 르베그 측도(즉, 부피)를 나타낸다. B → x는 구 B의 지름이 0으로 수렴하는 극한을 의미한다.

\int_{B}f \, \mathrm{d}\lambda
여기서 |B|는 x를 중심으로 하는 구 B의 부피(르베그 측도)를 나타내며, B → x는 구 B의 지름이 0으로 수렴하는 것을 의미한다.

르베그 미분 정리는 거의 모든 점 x ∈ Rⁿ에서 위 극한값이 존재하며, 그 값은 원래 함수값 f(x)와 같다는 것을 말한다. 실제로는 이보다 약간 더 강한 주장도 참이며, 이와 관련된 개념으로 르베그 점이 있다. 또한, 미분을 정의할 때 사용된 구 B를 특정 조건을 만족하는 다른 종류의 집합족으로 대체하는 일반화도 가능하다.

특히 1차원(실수선)의 경우, 적분 가능한 함수 f에 대해 함수
$$F(x)\; =\; \backslash int\_\{(-\backslash infty,x]\}\; f(t)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\; t$$
는 거의 모든 곳에서 미분 가능하며, 그 도함수는 $F\text{'}(x)\; =\; f(x)$를 만족한다. 이는 미적분학의 기본 정리와 유사한 형태이지만, 리만 적분 대신 르베그 적분을 사용해도 성립함을 보여준다. 이 1차원 경우는 앙리 르베그가 1904년에 먼저 증명하였다.

3.1. 르베그 점

르베그 적분가능한 함수 f에 대해, x에서의 적분 평균과 f(x)의 차이를 나타내는 다음 부등식을 고려할 수 있다.
$$\backslash left|\backslash frac\{1\}$$

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📌 열 고정 해제

\int_{B}f(y) \, \mathrm{d}\lambda(y) - f(x)\right| = \left|\frac{1} \int_{B}(f(y) - f(x))\, \mathrm{d}\lambda(y)\right| \le \frac{1} \int_{B}|f(y) -f(x)|\, \mathrm{d}\lambda(y).
여기서 B는 x를 중심으로 하는 구이고, |B|는 그 르베그 측도이며, λ는 n차원 르베그 측도이다.

르베그 미분가능성 정리는 위 부등식의 가장 왼쪽 항이 거의 모든 x에서 0으로 수렴함을 의미한다. 더 나아가, 위 부등식의 가장 오른쪽 항, 즉
$$\backslash frac\{1\}$$ \int_{B}|f(y) -f(x)|\, \mathrm{d}\lambda(y)
역시 거의 모든 점 x에서 0으로 수렴한다는 더 강력한 주장이 성립한다. 이 조건이 성립하는 점 x를 함수 f의 르베그 점(Lebesgue point)이라고 한다. 즉, 르베그 점에서는 함수값과 주변 평균값의 차이뿐만 아니라, 함수값과 주변값들 자체의 차이의 평균도 0으로 수렴한다.

3.2. 일반화

르베그 미분 정리는 더 일반적인 상황에서도 성립한다. 정리의 기본 명제에서 사용된 구 B의 족 대신, 유계 편심(bounded eccentricity)이라는 성질을 만족하는 집합족 $\backslash mathcal\{V\}$를 사용해도 동일한 결과가 성립한다.

여기서 집합족 $\backslash mathcal\{V\}$가 유계 편심이라는 것은 다음 조건을 만족함을 의미한다:
어떤 고정된 상수 c > 0가 존재하여, $\backslash mathcal\{V\}$에 속하는 모든 집합 U에 대해, U를 포함하면서 부피(르베그 측도) 관계 $|U|\; \backslash ge\; c\; \backslash ,\; |B|$를 만족하는 구 B가 항상 존재해야 한다.

또한, 추가적으로 다음 조건이 필요하다:
Rⁿ 안의 모든 점 x는 $\backslash mathcal\{V\}$에 속하는 집합들 중 측도가 임의로 작은 집합에 포함될 수 있어야 한다. 즉, 점 x를 포함하면서 얼마든지 작아질 수 있는 $\backslash mathcal\{V\}$의 원소들이 존재해야 한다.

위 두 조건이 만족되면, $\backslash mathcal\{V\}$에 속하는 집합 U가 점 x로 수축할 때 (즉, U의 지름이 0으로 갈 때), 거의 모든 점 x ∈ Rⁿ에 대해 다음 등식이 성립한다:
$$f(x)\; =\; \backslash lim\_\{U\; \backslash rightarrow\; x,\; \backslash ,\; U\; \backslash in\; \backslash mathcal\{V\}\}\; \backslash frac\{1\}$$

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📌 열 고정 해제

\int_U f \, \mathrm{d}\lambda

유계 편심 조건을 만족하는 집합족 $\backslash mathcal\{V\}$의 예시는 다음과 같다.
* Rⁿ에서 모든 정육면체(cube)의 집합.
* R²에서, 어떤 고정된 상수 m ≥ 1에 대해, 변들의 비율이 m⁻¹과 m 사이에 있는 모든 직사각형의 집합 $\backslash mathcal\{V\}$(m).
* Rⁿ에 주어진 임의의 노름(norm)에 대해, 그 노름으로부터 유도되는 거리 함수에 대한 모든 구(ball)들의 집합.

\bigg|\int_B f(y) -f(x)\, \mathrm{d}y\bigg| > 2\alpha \Bigr\}
의 측도가 모든 α > 0에 대해 0임을 증명하는 것으로 충분하다.

ε > 0이 주어졌다고 하자. L¹(Rⁿ)에서 콤팩트지지 집합을 가진 연속 함수들이 조밀하다는 성질을 이용하여, 다음을 만족하는 함수 g를 찾을 수 있다.
:
그런 다음 주요 차이를 다음과 같이 세 부분으로 나누어 생각하는 것이 유용하다.
:$\backslash frac\{1\}$ \int_B f(y) \, \mathrm{d}y - f(x) = \Bigl(\frac{1} \int_B \bigl(f(y) - g(y)\bigr) \, \mathrm{d}y \Bigr) + \Bigl(\frac{1}\int_B g(y) \, \mathrm{d}y - g(x) \Bigr)+ \bigl(g(x) - f(x)\bigr).
첫 번째 항의 절댓값은 f − g에 대한 하디-리틀우드 최대 함수의 x에서의 값, 즉 $(f-g)^*(x)$로 상계를 가진다.
:$\backslash frac\{1\}$ \int_B |f(y) - g(y)| \, \mathrm{d}y \leq \sup_{r>0} \frac{1}\int_{B_r(x)} |f(y)-g(y)| \, \mathrm{d}y = (f-g)^*(x).
두 번째 항은 g가 연속 함수이므로 공 B의 크기가 0으로 갈 때 극한에서 사라진다. 세 번째 항의 절댓값은 |f(x) − g(x)|로 상계를 가진다.

원래 차이의 절댓값의 상극한이 2α보다 크려면, 첫 번째 항 또는 세 번째 항 중 적어도 하나의 절댓값이 α보다 커야 한다. 그러나 하디-리틀우드 최대 함수에 대한 추정치에 따르면, 차원 n에만 의존하는 어떤 상수 A_n에 대해 다음이 성립한다.
:
또한 마르코프 부등식 (체비셰프 부등식이라고도 함)에 따르면 다음이 성립한다.
:
따라서 E_α의 측도는 다음과 같이 상계를 가진다.
:$|E\_\backslash alpha|\; \backslash leq\; \backslash frac\{A\_n+1\}\{\backslash alpha\}\; \backslash ,\; \backslash varepsilon.$
여기서 ε은 임의의 양수였으므로, 얼마든지 작게 만들 수 있다. 따라서 E_α의 측도는 0이어야 하며, 이것으로 정리가 증명된다.

\int_{B}f(y) \, \mathrm{d}y = f(x)

증명의 핵심 아이디어는 위 식이 성립하지 않는 점들의 집합, 즉 특정 양수 α > 0에 대해
:$E\_\backslash alpha\; =\; \backslash Bigl\backslash \{\; x\; \backslash in\; \backslash mathbf\{R\}^n\; :\backslash limsup\_\{|B|\backslash rightarrow\; 0,\; \backslash ,\; x\; \backslash in\; B\}\; \backslash frac\{1\}$ \bigg|\int_B f(y) -f(x)\, \mathrm{d}y\bigg| > 2\alpha \Bigr\}
와 같이 정의된 집합의 측도가 0임을 보이는 것이다. 모든 양수 α에 대해 이것이 성립하면, 극한값이 f(x)와 다른 점들의 전체 집합 역시 측도가 0이 되기 때문이다.

이를 보이기 위해, L¹(Rⁿ) 공간의 성질, 특히 콤팩트 지지를 가지는 연속 함수들이 조밀하다는 성질을 이용하여 함수 f를 연속 함수 g로 근사한다. 즉, 임의의 ε > 0에 대해 f와 g의 차이의 L¹ 노름 을 만족하는 연속 함수 g를 찾을 수 있다.

그 다음, 증명하고자 하는 식의 좌변 항 $\backslash frac\{1\}$ \int_B f(y) \, \mathrm{d}y - f(x)을 f와 g를 이용하여 세 부분으로 분해한다.
:$\backslash Bigl(\backslash frac\{1\}$ \int_B \bigl(f(y) - g(y)\bigr) \, \mathrm{d}y \Bigr) + \Bigl(\frac{1}\int_B g(y) \, \mathrm{d}y - g(x) \Bigr)+ \bigl(g(x) - f(x)\bigr)

여기서 두 번째 항은 g가 연속 함수이므로 극한($|B|\; \backslash rightarrow\; 0$)에서 0이 된다. 따라서 원래 식의 극한값이 2α보다 크려면, 첫 번째 항 또는 세 번째 항의 절댓값이 α보다 커야 한다.

첫 번째 항의 절댓값은 하디-리틀우드 최대 함수 $(f-g)^*(x)$를 이용하여 다음과 같이 상계를 잡을 수 있다.
:$\backslash frac\{1\}$ \int_B |f(y) - g(y)| \, \mathrm{d}y \leq (f-g)^*(x)
세 번째 항은 단순히 $|g(x)\; -\; f(x)|$이다.

하디-리틀우드 최대 함수에 대한 약-L¹ 평가식은 차원 n에만 의존하는 상수 A_n에 대해 다음 부등식을 제공한다.
:
또한 마르코프 부등식에 의해 다음이 성립한다.
:

따라서, 첫 번째 항 또는 세 번째 항의 절댓값이 α보다 커지는 점들의 집합 $E\_\backslash alpha$의 측도는 다음과 같이 제한된다.
:$|E\_\backslash alpha|\; \backslash leq\; \backslash frac\{A\_n+1\}\{\backslash alpha\}\; \backslash ,\; \backslash varepsilon$
ε은 임의의 양수이므로 얼마든지 작게 만들 수 있다. 이는 결국 집합 $E\_\backslash alpha$의 측도가 0임을 의미하며, 르베그 미분가능성 정리가 증명된다.

이 전체 증명 과정에서 하디-리틀우드 최대 함수에 대한 평가식이 결정적인 역할을 하는데, 이 평가식을 증명하는 데 비탈리 덮개 보조정리가 핵심적으로 사용된다. 따라서 비탈리 덮개 보조정리는 르베그 미분가능성 정리 증명의 근간을 이루는 매우 중요한 정리라고 할 수 있다.

7. 관련 정리 및 확장

르베그 미분가능성 정리는 미적분학의 기본 정리와 밀접한 관련이 있으며, 이를 일반화한 것으로 이해할 수 있다. 미적분학의 기본 정리는 리만 적분 가능한 함수가 그 (부정) 적분의 도함수와 같다는 것을 보여준다. 반대로, 미분 가능한 함수는 그 도함수의 적분과 같다고 할 수 있는데, 모든 도함수를 적분 가능하게 하려면 헨스톡-쿠르츠바일 적분을 고려해야 할 수도 있다.

또한, 르베그 미분가능성 정리는 푸비니의 미분 정리를 증명하는 데 사용될 수 있다. 이 정리의 증명에는 비탈리의 보조정리를 이용하는 방법 등이 있다.

7.1. 르베그 밀도 정리

르베그 미분가능성 정리의 특수한 경우로 르베그 밀도 정리가 있다. 이는 가측 집합의 지시 함수에 르베그 미분가능성 정리를 적용한 것과 동일하다. 르베그 밀도 정리는 보통 더 간단한 방법으로 증명하는 것이 일반적이다.

7.2. 보렐 측도에 대한 확장

르베그 미분가능성 정리는 르베그 측도뿐만 아니라, Rⁿ 위의 모든 유한 보렐 측도에 대해서도 성립한다. 이는 예를 들어 Ledrappier와 Young (1985)에서 증명되었다.

더 나아가, 다음 조건 중 하나 이상을 만족하는 가분 거리 공간 위의 모든 유한 보렐 측도에 대해서도 성립한다.
* 거리 공간이 리만 다양체이다.
* 거리 공간이 국소 컴팩트 초거리 공간이다.
* 측도가 두 배가 되는 측도(doubling measure)이다.

이러한 결과의 증명은 Federer (1969)의 2.8–2.9절에 제시되어 있다.

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