맨위로가기

리마송

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

리마송은 극좌표 방정식 `r = b + a cos θ`로 표현되는 곡선으로, 블레즈 파스칼의 아버지인 에티엔 파스칼이 처음 연구한 것으로 알려져 있다. 알브레히트 뒤러가 리마송에 대한 연구를 먼저 수행했으며, 질 드 로베르발이 접선을 찾는 예시로 사용하면서 리마송이라는 이름이 붙었다. 리마송은 극좌표, 데카르트 좌표, 매개변수 방정식 등 다양한 형태로 표현 가능하며, `a`와 `b` 값의 관계에 따라 심장형, 삼등분선, 단순 폐곡선 등 다양한 형태를 갖는다. 또한 리마송은 면적과 둘레를 계산할 수 있으며, 원의 족선, 반전, 조개 곡선, 데카르트의 난형선 등 다른 곡선과의 관계를 갖는다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 대수 곡선 - 원뿔 곡선
    원뿔 곡선은 평면과 이중 원뿔의 교차로 생기는 타원, 포물선, 쌍곡선 세 종류의 곡선이며, 이차 방정식으로 표현되고 천체의 궤도나 광학 기기 설계 등에 응용된다.
  • 대수 곡선 - 클라인 4차 곡선
    클라인 4차 곡선은 2차원 복소수 사영 공간에서 정의되는 4차 동차 다항식으로 표현되는 복소 사영 대수 곡선이며, 종수 3의 콤팩트 리만 곡면이고, 크기가 168인 PSL(2;F7)과 동형인 방향 보존 리만 곡면 자기 동형군을 갖는다.
리마송
개요
리마송
일반적인 리마송 형태
종류룰렛
수학적 정의극좌표계에서 다음과 같은 방정식으로 표현됨: r = b + a cos θ
매개변수a, b (상수)
방정식
극좌표r = b + a cos θ 또는 r = b + a sin θ
데카르트 좌표(x² + y² - 2ax)² = b²(x² + y²)
매개변수 방정식x = (b + a cos θ) cos θ, y = (b + a cos θ) sin θ
특징
특이점b = a 일 때 첨점(cusp)을 가짐
내점b < a 일 때 내부 루프를 가짐
오목-볼록b > 2a 일 때 볼록
특별한 경우b = a: 심장형
b = 2a: 트리섹트릭스
a = 0: 원
명칭
어원프랑스어 'limaçon' (달팽이)
다른 이름파스칼의 달팽이, 리마콘
추가 정보
관련 개념룰렛, 원뿔 곡선

2. 역사

리마송에 대한 최초의 공식적인 연구는 블레즈 파스칼의 아버지인 에티엔 파스칼이 한 것으로 알려져 있다. 그러나 독일의 르네상스 예술가인 알브레히트 뒤러가 이보다 앞서 연구를 수행하였다. 뒤러의 저서 《측량법 (Underweysung der Messung)》에는 리마송을 생성하기 위한 구체적인 기하학적 방법이 담겨 있다. 질 드 로베르발은 이 곡선을 접선을 찾는 예시로 사용하면서 이름을 붙였다.

2. 1. 초기 연구

블레즈 파스칼의 아버지인 에티엔 파스칼이 리마송에 대한 최초의 공식적인 연구를 한 것으로 알려져 있다. 그러나 이보다 앞서 독일의 르네상스 예술가인 알브레히트 뒤러가 리마송에 대한 연구를 수행하였다. 뒤러의 저서 《측량법 (Underweysung der Messung)》에는 리마송을 생성하기 위한 구체적인 기하학적 방법이 담겨 있다. 이 곡선은 질 드 로베르발이 접선을 찾는 예시로 사용하면서 이름을 붙였다.

2. 2. 명칭 유래

리마콩에 대한 최초의 공식적인 연구는 일반적으로 블레즈 파스칼의 아버지인 에티엔 파스칼에게서 비롯된 것으로 여겨진다. 그러나 이보다 앞서 독일의 르네상스 예술가인 알브레히트 뒤러가 리마콩에 대한 통찰력 있는 연구를 수행하였다. 뒤러의 저서 《측량법 (Underweysung der Messung)》에는 리마콩을 생성하기 위한 구체적인 기하학적 방법이 담겨 있다. 이 곡선은 질 드 로베르발이 접선을 찾는 예시로 사용하면서 이름을 붙였다.

3. 방정식과 형태

리마송은 극좌표 방정식, 데카르트 좌표 방정식, 매개변수 방정식, 복소 평면 표현 등 다양한 형태로 나타낼 수 있다.[1][2]

형태방정식
극좌표 방정식\(r = b + a \cos \theta\).
데카르트 좌표 방정식\(\left(x^2 + y^2 - ax\right)^2 = b^2\left(x^2 + y^2\right)\).
매개변수 방정식\(x = (b + a\cos \theta)\cos \theta = {a\over 2} + b \cos \theta + {a\over 2} \cos 2 \theta\),
복소 평면 표현\(z = {a \over 2} + b e^{i\theta} + {a\over 2} e^{2i\theta}\)



\(a\)와 \(b\)의 값에 따라 리마송의 형태가 달라진다.


  • \(a = b\)일 때, 심장형이 된다.
  • \(a = 2b\)일 때, 삼등분선이 된다.
  • \(b > a\)일 때, 단순 폐곡선이 된다.
  • \(b > 2a\)일 때, 볼록한 형태가 된다.
  • \(a < b < 2a\)일 때, 두 개의 변곡점을 갖는 들여쓰기가 생긴다.
  • \(0 < b < a\)일 때, 내부 루프가 생기고 원점에서 교차한다.
  • \(b\)가 0에 가까워지면, 루프는 외부 곡선을 채우며 두 번 횡단하는 원이 된다.

3. 1. 극좌표 방정식

극좌표에서 리마송의 방정식은 평행이동과 회전을 제외하고 다음과 같은 형태를 갖는다.

:r = b + a \cos \theta.

이것은 ''r''을 곱하여 데카르트 좌표로 변환할 수 있으며(일부 경우 원점이 추가됨), r^2 = x^2+y^2 및 r \cos \theta = x를 대입하면 다음을 얻는다.[1]

:\left(x^2 + y^2 - ax\right)^2 = b^2\left(x^2 + y^2\right).

극좌표를 데카르트 좌표로 변환하는 매개변수 형태를 적용하면 다음을 얻는다.[2]

:x = (b + a\cos \theta)\cos \theta = {a\over 2} + b \cos \theta + {a\over 2} \cos 2 \theta,

:y = (b + a\cos \theta)\sin \theta = b \sin \theta + {a\over 2} \sin 2 \theta;

다음을 설정하면,

:z = x + i y = ( b + a \cos \theta )( \cos \theta + i \sin \theta )

이 매개변수화는 복소 평면에서 곡선으로 나타난다.

:z = {a \over 2} + b e^{i\theta} + {a\over 2} e^{2i\theta}.

만약 수평으로 -\frac{1}{2}a만큼 이동하면, 즉,

:z = b e^{it} + {a \over 2} e^{2it},

원점의 위치를 변경하여 중심 트로코이드의 일반적인 방정식 형태로 변환할 수 있다. 이 시점에서 독립 변수를 변경하여 더 이상 기본 극좌표 매개변수화 \theta = \arg z를 사용하지 않음을 명확히 한다.

3. 2. 데카르트 좌표 방정식

극좌표에서 리마송의 방정식은 (평행이동 및 회전 제외) 다음과 같은 형태를 갖는다.

:r = b + a \cos \theta.

''r''을 곱하여 데카르트 좌표로 변환하면(일부 경우 원점에 불필요한 점을 도입), r^2 = x^2+y^2 및 r \cos \theta = x를 대입하여 다음을 얻는다.[1]

:\left(x^2 + y^2 - ax\right)^2 = b^2\left(x^2 + y^2\right).

3. 3. 매개변수 방정식

극좌표에서 리마송의 방정식은 (평행이동과 회전을 제외하고) 다음과 같은 형태를 갖는다.[1]

:r = b + a \cos \theta.

양변에 ''r''을 곱하면 데카르트 좌표로 변환할 수 있다(일부 경우 원점에 불필요한 점이 추가됨). r^2 = x^2+y^2 및 r \cos \theta = x를 대입하면 다음을 얻는다.[1]

:\left(x^2 + y^2 - ax\right)^2 = b^2\left(x^2 + y^2\right).

극좌표를 데카르트 좌표로 변환하는 매개변수 형태를 적용하면 다음을 얻는다.[2]

:x = (b + a\cos \theta)\cos \theta = {a\over 2} + b \cos \theta + {a\over 2} \cos 2 \theta,

:y = (b + a\cos \theta)\sin \theta = b \sin \theta + {a\over 2} \sin 2 \theta;

z = x + i y = ( b + a \cos \theta )( \cos \theta + i \sin \theta ) 로 설정하면, 이 매개변수화는 복소 평면에서 곡선으로 나타난다.

:z = {a \over 2} + b e^{i\theta} + {a\over 2} e^{2i\theta}.

만약 수평으로 -\frac{1}{2}a만큼 이동하면, 즉,

:z = b e^{it} + {a \over 2} e^{2it}

원점의 위치를 변경하여 중심 트로코이드의 일반적인 방정식 형태로 변환할 수 있다. 이 시점에서 독립 변수를 변경하여 더 이상 기본 극좌표 매개변수화 \theta = \arg z를 사용하지 않음을 명확히 한다.

3. 4. 복소 평면 표현

리마송의 방정식은 극좌표에서 다음과 같은 형태를 갖는다.

:r = b + a \cos \theta.

극좌표를 데카르트 좌표로 변환하는 매개변수 형태를 적용하면 다음을 얻는다.[2]

:x = (b + a\cos \theta)\cos \theta = {a\over 2} + b \cos \theta + {a\over 2} \cos 2 \theta,

:y = (b + a\cos \theta)\sin \theta = b \sin \theta + {a\over 2} \sin 2 \theta;

다음과 같이 설정하면

:z = x + i y = ( b + a \cos \theta )( \cos \theta + i \sin \theta )

이 매개변수화는 복소 평면에서 곡선으로 나타난다.

:z = {a \over 2} + b e^{i\theta} + {a\over 2} e^{2i\theta}.

만약 수평으로 -\frac{1}{2}a만큼 이동하면, 즉,

:z = b e^{it} + {a \over 2} e^{2it}

원점의 위치를 변경하여 중심 트로코이드의 일반적인 방정식 형태로 변환할 수 있다. 이 시점에서 독립 변수를 변경하여 더 이상 기본 극좌표 매개변수화 \theta = \arg z를 사용하지 않음을 명확히 한다.

3. 5. 특수한 경우

a = b인 경우 극좌표 방정식은 다음과 같다.

:r = b(1 + \cos \theta) = 2b\cos^2 \frac{\theta}{2}

또는

:r^{1 \over 2} = (2b)^{1 \over 2} \cos \frac{\theta}{2},

위 방정식은 정현 나선 곡선군의 일원이며, 심장형이다.

a = 2b인 경우 방정식의 중심 트로코이드 형태는 다음과 같다.

:z = b \left(e^{it} + e^{2it}\right) = b e^{3it\over 2} \left(e^{it\over 2} + e^{-it\over 2}\right) = 2b e^{3it\over 2} \cos{t \over 2},

또는 극좌표에서,

:r = 2b\cos{\theta \over 3}

위 방정식은 장미 곡선 곡선군의 일원이며, 삼등분선이다. 때로는 리마콩 삼등분선이라고도 불린다.

3. 6. 형태 변화

a = b인 특수한 경우, 극좌표 방정식은 다음과 같다.

:r = b(1 + \cos \theta) = 2b\cos^2 \frac{\theta}{2}

또는

:r^{1 \over 2} = (2b)^{1 \over 2} \cos \frac{\theta}{2}

이 방정식은 정현 나선 곡선군의 일원이며, 심장형이다.

a = 2b인 특수한 경우, 방정식의 중심 트로코이드 형태는 다음과 같다.

:z = b \left(e^{it} + e^{2it}\right) = b e^{3it\over 2} \left(e^{it\over 2} + e^{-it\over 2}\right) = 2b e^{3it\over 2} \cos{t \over 2}

또는 극좌표에서,

:r = 2b\cos{\theta \over 3}

이 방정식은 장미 곡선 곡선군의 일원이며, 삼등분선이다. 때로는 리마콩 삼등분선이라고도 불린다.

b > a일 때, 리마송은 단순 폐곡선이다. 그러나 원점은 위에 주어진 데카르트 방정식에 부합하므로 이 방정식의 그래프는 고립점을 갖는다.

b > 2a일 때, 곡선으로 둘러싸인 면적은 볼록하며, a < b < 2a일 때, 곡선은 두 개의 변곡점으로 둘러싸인 들여쓰기를 갖는다. b = 2a일 때, 점 (-a, 0)은 곡률이 0인 점이다.

b가 a에 비해 감소함에 따라, 들여쓰기는 b = a일 때까지 더욱 두드러지게 나타나며, 이때 곡선은 심장형이 되고, 들여쓰기는 첨점이 된다. 0 < b < a일 경우, 첨점은 내부 루프로 확장되며, 곡선은 원점에서 서로 교차한다. b가 0에 가까워짐에 따라, 루프는 외부 곡선을 채우고, 극한에서 리마송은 두 번 횡단하는 원이 된다.

4. 면적과 둘레

r = b + a \cos \theta로 정의되는 리마송의 둘레는 제2종 완전 타원 적분으로 주어진다.[1]

: 4(a + b)E\left( \over a + b}\right).

면적에 관한 식은 하위 문단에서 자세하게 다룬다.

4. 1. 면적

r = b + a \cos \theta로 둘러싸인 면적은 \left(b^2 + {{a^2} \over 2}\right)\pi이다. b < a일 때, 이는 내부 루프에 의해 둘러싸인 면적을 두 번 계산한다. 이 경우 곡선은 각도 \pi \pm \arccos {b \over a}에서 원점을 지나며, 내부 루프에 의해 둘러싸인 면적은 다음과 같다.

: \left (b^2 + {{a^2}\over 2} \right )\arccos {b \over a} - {3\over 2} b \sqrt{a^2 - b^2},

외부 루프에 의해 둘러싸인 면적은 다음과 같다.

: \left(b^2 + {{a^2}\over 2} \right ) \left (\pi - \arccos {b \over a} \right ) + {3\over 2} b \sqrt{a^2 -b^2},

그리고 루프 사이의 면적은 다음과 같다.

: \left (b^2 + {{a^2}\over 2} \right ) \left (\pi - 2\arccos {b \over a} \right ) + 3b \sqrt{a^2 -b^2}.[1]

4. 2. 둘레

리마송 r = b + a \cos \theta의 둘레는 제2종 완전 타원 적분으로 주어진다.[1]

: 4(a + b)E\left( \over a + b}\right).

5. 다른 곡선과의 관계


  • 점 *P*와 중심이 *P*가 아닌 원 *C*가 주어졌을 때, 중심이 *C* 위에 있고 *P*를 지나는 원들의 포락선은 리마송이다.

리마송 — 원의 족선

  • 족선은 리마송이다. 실제로, 반지름이 *b*이고 중심이 (a, 0)인 원의 원점에 대한 족선은 극 방정식 r = b + a \cos \theta를 갖는다.

  • r = b + a \cos \theta의 단위 원에 대한 반전은 다음과 같다.


::r = {1 \over {b + a \cos \theta}}

:이것은 이심률이 \tfrac{a}{b}이고 초점이 원점인 원뿔 곡선의 방정식이다. 따라서 리마송은 반전 중심이 초점 중 하나인 원뿔 곡선의 역수로 정의될 수 있다. 원뿔 곡선이 포물선이면, 역수는 심장형이고, 원뿔 곡선이 쌍곡선이면, 해당 리마송은 내부 루프를 가지며, 원뿔 곡선이 타원이면, 해당 리마송은 루프가 없다.

  • 원 위의 점에 대한 원의 조개 곡선은 리마송이다.

  • 데카르트의 난형선의 특별한 경우는 리마송이다.[3]

참조

[1] 서적 A catalog of special plane curves https://archive.org/[...] Dover Publications
[2] 웹사이트 "Limaçon." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wol[...]
[3] 웹사이트 Cartesian Oval
[4] 서적 岩波数学公式I


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com