심장형

3. 성질

심장형의 주요 성질은 다음과 같다.^[2]

• '''면적''' $A\; =\; 6\backslash pi\; a^2$
• '''호의 길이''' $L\; =\; 16\; a$
• '''곡률 반경''' $\backslash rho(\backslash varphi)\; =\; \backslash tfrac\{8\}\{3\}a\backslash sin\backslash tfrac\{\backslash varphi\}\{2\}\; \backslash ,\; .$

예를 들어, 그래프에 표시된 것처럼 생성 원의 반지름이 a|a^영어 = 일 때, 심장형은 극좌표 표현으로 ''r''(''φ'') = 1 - cos''φ''로 나타낼 수 있다. 이 곡선의 반전 곡선은 ''r''(''φ'') = 1 / (1 - cos''φ'')이며, 이는 데카르트 좌표에서 x|x^영어 = (''y''² - 1)의 방정식을 갖는 포물선이다(극좌표에서의 포물선).

''참고:'' 포물선의 모든 반전 곡선이 심장형인 것은 아니다. 예를 들어, 포물선의 꼭짓점에 중심이 있는 원에 대해 포물선을 반전시키면 디오클레스의 시소이드가 된다.

포물선의 접선을 반전시키면 반전 중심(원점)을 지나는 원의 묶음을 얻을 수 있다. 이 때 원의 중심은 고정된 생성 원의 둘레에 놓인다. (생성 원은 포물선 준선의 역 곡선이다.)

이러한 성질을 이용하여 심장형을 그릴 수 있다.

# 원 $c$와 그 둘레 위의 점 $O$를 선택한다.

# $c$에 중심을 두고 $O$를 포함하는 원을 그린다.

# 이 원들의 외피를 그린다.

L. 크레모나는 ''직선'' 다발을 이용하여 심장형을 그리는 방법을 제시했다.

# 원을 그리고, 그 둘레를 $2N$개의 점으로 동일한 간격으로 나누고 순차적으로 번호를 매긴다.

# 현을 그린다: $(1,2),\; (2,4),\; \backslash dots,\; (n,2n),\; \backslash dots,\; (N,2N),\; (N+1,2),\; (N+2,4),\; \backslash dots$. (즉, 두 번째 점은 두 배의 속도로 이동한다.)

# 이 현들의 ''외피''가 심장형이다.

3. 1. 기하학적 성질

• 심장형의 첨점을 통과하는 현은 길이가 $4a$로 같다.^[1]
• 첨점을 통과하는 현의 중점은 고정된 생성 원의 둘레에 놓인다.^[1]
• 에피사이클로이드의 일종으로 간주할 수 있다. 또한 파스칼의 달팽이형(리마송)의 일종으로 간주할 수도 있다.^[2]
• 반지름 $a$인 원의, 해당 원주상의 점을 족선으로 하는 족선에 해당한다.^[2]
• x축에 대해 선대칭이며, 첨점은 원점 O이다. x축과는 원점 O와 $(2a,\; 0)$에서, y축과는 $(0,\; \backslash pm\; a)$에서 교차한다. x축에서 가장 멀리 떨어진 점의 좌표는 $\backslash left(\backslash frac\{3\}\{4\}a,\; \backslash pm\backslash frac\{3\backslash sqrt\{3\}\}\{4\}a\backslash right)$이다.^[2]
• 곡선으로 둘러싸인 면적 $S$와 곡선의 호의 길이 $l$은 다음과 같다.

:$$\backslash begin\{align\}$$

S&=\frac{3}{2} \pi a^2, \\

l&=8a

\end{align}^[2]

• 매개변수 $\backslash theta$ 지점에서의 곡률반경은 $\backslash frac\{4a\}\{3\}\backslash sin\backslash frac\{\backslash theta\}\{2\}$이다.^[2]
• 첨점을 지나는 현의 길이는 일정값 $2a$가 된다. 해당 임의의 현의 중점은 첨점을 지나 지름 $a$인 원주상에 위치한다.^[2]

3. 2. 첨점을 지나는 현

심장형의 첨점을 통과하는 현은 길이가 4a^영어로 같다.^[1] 현의 중점은 고정된 생성 원의 둘레에 놓인다.^[1]

점 $P:\; p(\backslash varphi),\backslash ;\; Q:\; p(\backslash varphi\; +\; \backslash pi)$는 첨점(=원점)을 지나는 현 위에 있다. 따라서 다음과 같다.

$$\backslash begin\{align\}$$

|PQ| &= r(\varphi) + r(\varphi + \pi) \\

&= 2a (1 - \cos\varphi) + 2a (1 - \cos(\varphi + \pi)) = \cdots = 4a

\end{align}.

복소평면에서의 표현을 증명에 사용하면(위 참조), 점 $$P:\backslash \; p(\backslash varphi)\; =\; a\backslash ,\backslash left(-e^\{i2\backslash varphi\}\; +\; 2e^\{i\backslash varphi\}\; -\; 1\backslash right)$$ 및 $$Q:\backslash \; p(\backslash varphi\; +\; \backslash pi)\; =\; a\backslash ,\backslash left(-e^\{i2(\backslash varphi\; +\; \backslash pi)\}\; +\; 2e^\{i(\backslash varphi\; +\; \backslash pi)\}\; -\; 1\backslash right)\; =\; a\backslash ,\backslash left(-e^\{i2\backslash varphi\}\; -\; 2e^\{i\backslash varphi\}\; -\; 1\backslash right)$$에 대해, 현 $PQ$의 중점은 $$M:\backslash \; \backslash tfrac\{1\}\{2\}(p(\backslash varphi)\; +\; p(\backslash varphi\; +\; \backslash pi))\; =\; \backslash cdots\; =\; -a\; -\; ae^\{i2\backslash varphi\}$$이며, 이는 중점이 $-a$이고 반지름이 $a$인 원의 둘레에 놓인다.^[1]

3. 3. 면적과 호의 길이

위에서 정의된 심장형에 대해 다음 공식이 성립한다.

• ''면적'' $A\; =\; 6\backslash pi\; a^2$
• ''호의 길이'' $L\; =\; 16\; a$

이러한 명제의 증명은 두 경우 모두 심장형의 극좌표 표현을 사용한다. 적절한 공식은 극좌표계 (호의 길이) 및 극좌표계 (면적)를 참조하라.

심장형으로 둘러싸인 면적 ($S$)와 호의 길이($l$)는 다음과 같다.

:$$\backslash begin\{align\}$$

S&=\frac{3}{2} \pi a^2, \\

l&=8a

\end{align}

3. 4. 포물선과의 관계

심장형은 반전 중심에 초점을 둔 포물선의 반전 곡선이다(그래프 참조).

그래프에 표시된 예에서 생성 원의 반지름은 a|a^영어 = 이다. 따라서 심장형은 극좌표 표현을 갖는다.

: ''r''(''φ'') = 1 - cos''φ''

그리고 그 반전 곡선은 다음과 같다.

: ''r''(''φ'') = 1 / (1 - cos''φ'')

이는 데카르트 좌표에서 x|x^영어 = (''y''² - 1)의 방정식을 갖는 포물선이다(극좌표에서의 포물선).

''참고:'' 포물선의 모든 반전 곡선이 심장형인 것은 아니다. 예를 들어, 포물선의 꼭짓점에 중심이 있는 원에 대해 포물선을 반전시키면 결과는 디오클레스의 시소이드가 된다.

3. 5. 원의 묶음 및 직선의 묶음

이전 섹션에서 포물선의 접선을 추가로 반전시키면 반전 중심(원점)을 지나는 원의 묶음을 얻을 수 있다. 자세한 고려를 통해 원의 중심은 고정된 생성 원의 둘레에 놓인다는 사실을 알 수 있다. (생성 원은 포물선의 준선의 역 곡선이다.)

이러한 성질은 심장형을 ''그리는'' 다음과 같은 간단한 방법을 제공한다.

1. 원 $c$와 그 둘레 위의 점 $O$를 선택한다.

2. $c$에 중심을 두고 $O$를 포함하는 원을 그린다.

3. 이 원들의 외피를 그린다.

심장형을 그리는 유사하고 간단한 방법은 ''직선'' 다발을 사용하는 것이다. 이는 L. 크레모나에 의한 것이다.

1. 원을 그리고, 그 둘레를 $2N$개의 점으로 동일한 간격으로 나누고(그림 참조) 순차적으로 번호를 매긴다.

2. 현을 그린다: $(1,2),\; (2,4),\; \backslash dots,\; (n,2n),\; \backslash dots,\; (N,2N),\; (N+1,2),\; (N+2,4),\; \backslash dots$. (즉, 두 번째 점은 두 배의 속도로 이동한다.)

3. 이 현들의 ''외피''는 심장형이다.

3. 6. 페달 곡선

크레모나 방식의 심장형은 다음 방식의 심장형 생성과는 혼동하지 않아야 한다.

원 $k$와 이 원의 둘레에 있는 점 $O$가 있다고 할 때, 점 $O$에서 원 $k$의 접선에 수직으로 내린 발은 심장형의 점이다.

따라서 심장형은 원의 특별한 페달 곡선이다. 데카르트 좌표계에서 원 $k$는 중심 $(2a,0)$과 반지름 $2a$를 가질 수 있다. 원 위의 점 $(2a\; +\; 2a\backslash cos\backslash varphi,\; 2a\backslash sin\; \backslash varphi)$에서의 접선은 다음 방정식을 갖는다.

$$(x\; -\; 2a)\; \backslash cdot\; \backslash cos\backslash varphi\; +\; y\backslash cdot\backslash sin\backslash varphi\; =\; 2a\backslash ,\; .$$

점 $O$에서 접선에 내린 수선의 발은 원점 $O$까지의 아직 알려지지 않은 거리 $r$을 가진 점 $(r\backslash cos\; \backslash varphi,\; r\backslash sin\; \backslash varphi)$이다. 이 점을 접선의 방정식에 대입하면,

$$(r\backslash cos\backslash varphi\; -\; 2a)\backslash cos\backslash varphi\; +\; r\backslash sin^2\backslash varphi\; =\; 2a\; \backslash quad\; \backslash rightarrow\; \backslash quad\; r\; =\; 2a(1\; +\; \backslash cos\; \backslash varphi)$$

이것은 심장형의 극좌표 방정식이다.

''참고:'' 점 $O$가 원 $k$의 둘레에 있지 않으면, 파스칼의 달팽이선을 얻는다.

3. 7. 전개선

곡선의 전개선은 곡률 중심의 자취이다. 심장형의 경우, 그 "전개선"은 원래 심장형의 1/3 크기이고 반대 방향을 향하는 또 다른 심장형이다(그림 참조).

매개변수 표현이 다음과 같은 심장형에 대해

:$x(\backslash varphi)\; =\; 2a\; (1\; -\; \backslash cos\backslash varphi)\backslash cos\backslash varphi\; =\; 4a\; \backslash sin^2\backslash tfrac\{\backslash varphi\}\{2\}\backslash cos\backslash varphi\backslash ,\; ,$

:$y(\backslash varphi)\; =\; 2a\; (1\; -\; \backslash cos\backslash varphi)\backslash sin\backslash varphi\; =\; 4a\; \backslash sin^2\backslash tfrac\{\backslash varphi\}\{2\}\backslash sin\backslash varphi$

단위 법선 벡터는 다음과 같다.

:$\backslash vec\; n(\backslash varphi)\; =\; (-\backslash sin\backslash tfrac\{3\}\{2\}\backslash varphi,\; \backslash cos\backslash tfrac\{3\}\{2\}\backslash varphi)$

그리고 곡률 반경은 다음과 같다.

:$\backslash rho(\backslash varphi)\; =\; \backslash tfrac\{8\}\{3\}a\backslash sin\backslash tfrac\{\backslash varphi\}\{2\}\; \backslash ,\; .$

따라서 전개선의 매개변수 방정식은 다음과 같다.

:$X(\backslash varphi)\; =\; 4a\; \backslash sin^2\backslash tfrac\{\backslash varphi\}\{2\}\backslash cos\backslash varphi-\backslash tfrac\{8\}\{3\}a\backslash sin\backslash tfrac\{\backslash varphi\}\{2\}\backslash cdot\; \backslash sin\backslash tfrac\{3\}\{2\}\; \backslash varphi\; =\; \backslash cdots\; =\; \backslash tfrac\{4\}\{3\}a\backslash cos^2\backslash tfrac\{\backslash varphi\}\{2\}\backslash cos\backslash varphi\; -\; \backslash tfrac\{4\}\{3\}a\; \backslash ,\; ,$

:$Y(\backslash varphi)\; =\; 4a\; \backslash sin^2\backslash tfrac\{\backslash varphi\}\{2\}\; \backslash sin\backslash varphi\; +\; \backslash tfrac\{8\}\{3\}a\; \backslash sin\backslash tfrac\{\backslash varphi\}\{2\}\; \backslash cdot\backslash cos\backslash tfrac\{3\}\{2\}\; \backslash varphi\; =\; \backslash cdots\; =\; \backslash tfrac\{4\}\{3\}a\; \backslash cos^2\backslash tfrac\{\backslash varphi\}\{2\}\; \backslash sin\backslash varphi\; \backslash ,\; .$

이 방정식은 원래 심장형의 1/3 크기로, 180도 회전하고 x축을 따라 $-\backslash tfrac\{4\}\{3\}\; a$만큼 이동된 심장형을 나타낸다.

4. 직교 궤적

5. 다른 위치에서의 심장형

계산을 간단하게 유지하기 위해, 증명은 극좌표로 표현된 심장형 :$r\; =\; 2(1\; \backslash mathbin\{\backslash color\{red\}+\}\; \backslash cos\backslash varphi)$에 대해 제공된다. 좌표계 내에서 심장형의 다른 위치를 선택하면 다른 방정식이 생성된다. 심장형의 4가지 가장 일반적인 위치와 극 방정식은 다음과 같다.

6. 복소해석학에서의 심장형

7. 카우스틱

이전 절에서는 원의 둘레에 광원이 있을 때 원의 고유 곡선이 심장형이라는 것을 보였다. 평면에서 원의 둘레에 있는 점 $Z$에 광원이 있고, 이 광원에서 나온 광선이 반사될 때, 원 내부의 반사 광선은 심장형의 접선이 된다.

''참고:'' 이러한 고찰에서는 일반적으로 원에서의 다중 반사는 무시된다.

특정 카우스틱은 심장 모양을 가질 수 있다. 원의 카타카우스틱은 원 둘레의 한 점을 기준으로 할 때 심장형이 된다. 또한, 생성선과 평행한 광선에 대한 원뿔의 카타카우스틱은 단면이 심장형인 표면이다. 이는 원뿔 모양 컵에 액체를 부분적으로 채우고, 멀리 떨어진 곳에서 원뿔의 각도와 같은 각도로 빛을 비출 때 사진에서 볼 수 있듯이 나타난다.^[6] 원통형 컵 바닥의 곡선 모양은 신장형의 절반으로, 매우 유사하게 보인다.

참조

_[1] MathWorld Parabola Inverse Curve
_[2] 서적 Differential Calculus
_[3] 문서 Lockwood
_[4] 문서 Yates
_[5] 서적 Lines and Curves Birkhäuser
_[6] 웹사이트 Surface Caustique http://www.mathcurve[...]