마요라나 페르미온

1. 개요

마요라나 페르미온은 1937년 에토레 마요라나가 제안한 입자로, 전하를 띠지 않고 스핀이 1/2인 페르미온이다. 이 입자는 자신의 반입자와 동일하며, 중성미자가 마요라나 페르미온일 가능성이 제기된다. 마요라나 페르미온은 초대칭성 이론과 응집 물질 물리학에서 중요한 역할을 하며, 특히 초전도체 내에서 마요라나 결합 상태(마요라나 영 모드)를 형성할 수 있다. 이러한 마요라나 결합 상태는 위상 양자 컴퓨터의 구성 요소로 활용될 수 있으며, 다양한 실험을 통해 그 존재가 탐구되고 있다. 최근에는 양자 오류 정정 코드에 사용될 수 있다는 점이 주목받고 있다.

2. 이론

마요라나 페르미온은 실수 값을 갖는 상대론적 파동 방정식(마요라나 방정식)으로 기술되며, 입자와 반입자의 파동 함수는 복소 켤레 관계를 갖는다. 2차 양자화에서 생성 및 소멸 연산자를 통해 디랙 페르미온과 마요라나 페르미온의 차이를 수학적으로 표현할 수 있다. 디랙 페르미온의 경우 생성 연산자($\backslash gamma^\{\backslash dagger\}\_j$)와 소멸 연산자($\backslash gamma\_j$)가 다르지만, 마요라나 페르미온의 경우 이 둘은 동일하다.

일반적인 페르미온 소멸 및 생성 연산자 $f$와 $f^\{\backslash dagger\}$는 두 개의 마요라나 연산자 $\backslash gamma\_1$과 $\backslash gamma\_2$로 표현할 수 있다.
:$f\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\; (\backslash gamma\_1+i\backslash gamma\_2),$
:$f^\{\backslash dagger\}\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\}\}\; (\backslash gamma\_1-i\backslash gamma\_2)\; ~.$

다른 일반적인 관례는 다음과 같다.
:$f\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; (\backslash gamma\_1\; +\; i\backslash gamma\_2),$
:$f^\backslash dagger\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}\; (\backslash gamma\_1\; -\; i\backslash gamma\_2),$

이를 통해 마요라나 페르미온 연산자를 다음과 같이 얻을 수 있다.
:$\backslash gamma\_1\; =\; f^\backslash dagger\; +\; f,$
:$\backslash gamma\_2\; =\; i\; (f^\{\backslash dagger\}\; -\; f).$

이때, $\backslash gamma\_i=\backslash gamma\_i^\backslash dagger$가 성립한다. 이 관례에서 마요라나 연산자는 항등원으로 제곱되며, 즉 $\backslash gamma\_i^2=(\backslash gamma\_i^\backslash dagger)^2=1$이다.

$2n$개의 마요라나 페르미온($n$개의 일반 페르미온) 집합 $\backslash gamma\_i$($i=1,2,..,2n$)은 다음과 같은 반교환 관계를 따른다.
: $\backslash \{\backslash gamma\_i,\backslash gamma\_j\backslash \}\; =\; 2\; \backslash delta\_\{ij\}$
: $\backslash sum\_\{ijkl\}\; [\backslash gamma\_i\; A\_\{ij\}\; \backslash gamma\_j,\; \backslash gamma\_k\; B\_\{kl\}\; \backslash gamma\_l]\; =\; 4\; \backslash sum\_\{ij\}\; \backslash gamma\_i\; [A,B]\_\{ij\}\; \backslash gamma\_j$
여기서 $A$와 $B$는 반대칭 행렬이다. 이는 $n$차원의 실수 클리퍼드 대수에 대한 교환 관계와 동일하다.

스핀 1/2의 소립자인 페르미 입자는 디랙 방정식을 따르며, 디랙 스피너로 나타낸다. 페르미 입자의 손지기성에는 왼쪽과 오른쪽이 있으며, 디랙 방정식에서 왼쪽과 오른쪽 성분은 두 종류의 바일 스피너(2성분 스피너)로 나뉜다. 전자와 양전자처럼 입자와 반입자가 전하 켤레 변환으로 연결된 경우, 전자의 왼쪽 바일 스피너와 양전자의 오른쪽 바일 스피너, 전자의 오른쪽 바일 스피너와 양전자의 왼쪽 바일 스피너가 각각 관련된다. 마요라나 입자는 바일 스피너가 한 종류이며, 입자와 반입자가 동일하다. 이러한 마요라나 조건은 중성 페르미 입자에 한정되며, 하전 페르미 입자는 마요라나 입자가 될 수 없다.

중성미자가 마요라나 입자인지 확인하기 위한 실험이 가무란도에서 진행 중이다.

초대칭성 모델에서 뉴트랄리노(게이지 보손과 힉스 보손의 초파트너)는 마요라나 페르미온이다. 초대칭 이론에서 중성 게이지장에 속하는 벡터 초다중항의 초대칭 파트너는 마요라나 입자이다. 예를 들어, 포티노나 지노와 같은 뉴트랄리노는 마요라나 입자이다.

3. 소립자

입자와 반입자는 반대되는 보존 전하를 가지기 때문에, 마요라나 페르미온은 전하가 0이다. 표준 모형의 왼손 중성미자와 오른손 반중성미자조차 0이 아닌 약한 아이소스핀을 가진다.

마요라나 페르미온은 고유 전기 쌍극자 모멘트 또는 자기 모멘트를 가질 수 없으며, 오직 토로이드 모멘트만 가질 수 있다. 전자기장과의 이러한 최소 상호작용은 차가운 암흑 물질의 잠재적 후보로 만든다.

스핀 1/2의 소립자인 페르미 입자는 운동 방정식이 디랙 방정식에 따르며, 4성분의 스피너(디랙 스피너)로 나타낸다. 페르미 입자의 손지기성에는 왼쪽 돌림과 오른쪽 돌림이 있으며, 디랙 방정식의 감마 행렬을 바일 표현으로 나타내면, 왼쪽 돌림 성분과 오른쪽 돌림 성분은 2종류의 바일 스피너(2성분 스피너)로 분해할 수 있다. 전자와 양전자처럼 입자와 반입자가 전하 켤레 변환으로 연결되어 있을 때, 전자의 왼쪽 돌림 바일 스피너와 양전자의 오른쪽 돌림 바일 스피너, 전자의 오른쪽 돌림 바일 스피너와 양전자의 왼쪽 돌림 바일 스피너가 각각 관련된다. 마요라나 입자는 바일 스피너가 1종류만으로 구성되며, 입자와 반입자가 동일하다. 이러한 조건(마요라나 조건)이 충족되는 것은 중성 페르미 입자에 한정되며, 하전 페르미 입자는 마요라나 입자가 될 수 없다.

3.1. 표준 모형

표준 모형에서 마요라나 페르미온이 될 수 있는 유일한 후보는 중성미자이다. 표준 모형의 다른 모든 기본 페르미온은 게이지 전하를 가지므로 마요라나 질량을 가질 수 없다. 중성미자 진동 현상은 중성미자가 질량을 가짐을 보여주며, 시소 메커니즘은 중성미자가 마요라나 페르미온일 가능성을 시사한다.

만약 중성미자가 마요라나 페르미온이라면, 렙톤 수 보존 법칙이 위배될 수 있다. 중성미자 없는 이중 베타 붕괴 실험은 중성미자가 마요라나 페르미온인지 확인하는 중요한 실험이다. 이 실험은 아직 관측되지 않았지만, 만약 존재한다면 중성미자가 자신의 반입자임을 증명하는 것이다.

3.2. 초대칭성 이론

초대칭성 모델에서 뉴트랄리노(게이지 보손과 힉스 보손의 초파트너)는 마요라나 페르미온이다. 초대칭 이론인 게이지 이론은 왼쪽 나선(카이랄) 및 오른쪽 나선(반 카이랄)의 스칼라 초다중항(스칼라 입자, 페르미 입자, 보조장)과 게이지 변환을 담당하는 벡터 초다중항(보조장, 페르미 입자, 게이지 입자)으로 기술된다. 스칼라 초다중항은 예를 들어 스전자-L과 전자의 왼쪽 나선 성분, 보조장이며, 벡터 초다중항은 예를 들어 보조장, 포티노와 광자이다. 중성 게이지장은 실수로 표시되며, 입자와 반입자가 동일하므로, 중성 게이지장에 속하는 벡터 초다중항에 속하는 초대칭 파트너는 마요라나 입자가 된다. 예를 들어, 포티노나 지노와 같은 뉴트랄리노는 마요라나 입자이다.

4. 응집물질물리학

응집물질물리학 분야에서, 특정 물질 속 전자계의 여기 상태는 마요라나 입자로 묘사될 수 있다는 이론이 제시되었다. 여러 연구 기관에서 이에 대한 실험적 검증을 시도하고 있다. 물질 내 마요라나 입자는 2차원 또는 1차원에 갇혀 있으며, 일반적인 페르미온이나 보손과는 다른 성질을 갖는 애니온이 된다. 애니온은 비가환 통계를 따르며, 입자 교환에 의해 상태 전이가 일어난다고 여겨진다. 입자의 위치를 제어하는 것만으로 점유 상태가 안정적으로 유지되므로, 위상 양자 컴퓨터에 활용될 수 있다고 생각된다.

4.1. 개요

초전도체에서 준입자는 마요라나 페르미온(비-기본 입자)으로 나타날 수 있는데, 이는 응집 물질 물리학에서 더 일반적으로 보골리보프 준입자라고 불린다. 초전도체 내의 준입자가 자기 자신의 반입자이기 때문에 이러한 현상이 가능하다.

수학적으로, 초전도체는 준입자 여기(excitation)에 전자 정공 "대칭성"을 부과하여, 특정 에너지에서의 생성 연산자를 반대 에너지에서의 소멸 연산자와 관련시킨다. 마요라나 페르미온은 0 에너지에서 결함에 묶일 수 있으며, 이 결합된 개체는 마요라나 결합 상태 또는 마요라나 영 모드라고 불린다. 이 개체의 통계는 더 이상 페르미온이 아니기 때문에, 마요라나 결합 상태라는 명칭이 더 적절하다(문헌에서 항상 구별되지는 않지만). 대신, 마요라나 결합 상태는 비가환 아욘의 한 예이다. 이를 상호 교환하면, 교환이 수행된 순서에만 의존하는 방식으로 시스템의 상태가 변경된다. 마요라나 결합 상태가 가지는 비가환 통계는 이를 위상 양자 컴퓨터의 구성 요소로 사용할 수 있게 해준다.

특정 초전도체 또는 초유체 내의 양자 와동은 중간 간극 상태를 가둘 수 있으며, 이는 마요라나 결합 상태의 한 가지 원천이다. 초전도 와이어 또는 선형 결함의 끝점에서의 쇼클리 상태는 또 다른, 순수하게 전기적인 원천이다. 완전히 다른 원천은 초전도체를 대체하는 분수 양자 홀 효과를 사용한다.

어떤 종류의 물질 속 전자계의 여기 상태가 마요라나 입자로 묘사될 수 있다는 이론이 제시되었으며, 이에 대한 실험적 검증이 여러 연구 기관에서 시도되고 있다. 물질 내 마요라나 입자는 2차원 또는 1차원에 갇혀 있으며, 일반적인 페르미온이나 보손과는 다른 성질을 갖는 애니온이 된다. 애니온은 비가환 통계를 따르며, 입자 교환에 의해 상태 전이가 일어난다고 여겨진다. 입자의 위치를 제어하는 것만으로 점유 상태가 안정적으로 유지되므로, 양자 컴퓨터에 활용될 수 있다고 생각된다(토폴로지 양자 컴퓨터).

4.2. 마요라나 결합 상태

초전도체에서 준입자는 응집 물질 물리학에서 보골리보프 준입자라고 불리는 마요라나 페르미온(비-기본 입자)으로 나타날 수 있다. 초전도체 내의 준입자가 자기 자신의 반입자이기 때문에 이러한 현상이 가능하다.

수학적으로 초전도체는 준입자 여기(excitation)에 전자 정공 "대칭성"을 부과한다. 에너지 $E$에서의 생성 연산자 $\backslash gamma(E)$는 에너지 $-E$에서의 소멸 연산자 $\{\backslash gamma^\{\backslash dagger\}(-E)\}$와 관련된다. 마요라나 페르미온은 0 에너지에서 결함에 묶일 수 있으며, 이렇게 결합된 개체를 마요라나 결합 상태 또는 마요라나 영 모드라고 부른다. 이 개체의 통계는 더 이상 페르미온이 아니기 때문에, 마요라나 페르미온보다 마요라나 결합 상태라는 명칭이 더 적절하다(문헌에서는 항상 구별되지는 않지만). 마요라나 결합 상태는 비가환 아욘의 한 예이다. 이를 상호 교환하면, 교환이 수행된 순서에만 의존하는 방식으로 시스템의 상태가 변경된다. 마요라나 결합 상태가 가지는 비가환 통계는 이를 위상 양자 컴퓨터의 구성 요소로 사용할 수 있게 해준다.

특정 초전도체 또는 초유체 내의 양자 와동은 중간 간극 상태를 가둘 수 있으며, 이는 마요라나 결합 상태의 한 가지 원천이다. 초전도 와이어 또는 선형 결함의 끝점에서의 쇼클리 상태는 또 다른, 순수하게 전기적인 원천이다. 완전히 다른 원천은 초전도체를 대체하는 분수 양자 홀 효과를 사용한다.

어떤 종류의 물질 속 전자계의 여기 상태가 마요라나 입자로 묘사될 수 있다는 이론이 제시되었고, 이에 대한 실험적 검증이 여러 연구 기관에서 시도되고 있다. 물질 내 마요라나 입자는 2차원 또는 1차원에 갇혀 있으며, 일반적인 페르미온이나 보손과는 다른 성질을 갖는 애니온이 된다. 애니온은 비가환 통계를 따르며, 입자 교환에 의해 상태 전이가 일어난다고 여겨진다. 입자의 위치를 제어하는 것만으로 점유 상태가 안정적으로 유지되므로, 양자 컴퓨터에 활용될 수 있다고 생각된다(토폴로지 양자 컴퓨터).

4.3. 실험적 검증

2008년, 푸와 케인은 위상 절연체와 초전도체의 경계면에서 마요라나 결합 상태가 나타날 수 있음을 이론적으로 예측했다. 2012년 델프트 공과대학교 연구팀은 안티몬화 인듐 나노와이어를 이용한 실험에서 마요라나 결합 상태의 증거를 발견했다. 같은 시기, 퍼듀 대학교와 노트르담 대학교 연구팀은 분수 조셉슨 효과를 통해 마요라나 결합 상태를 관찰했다.

2014년 프린스턴 대학교 연구팀은 주사 터널링 현미경을 사용하여 마요라나 결합 상태의 증거를 관찰했다. 2016년 오크리지 국립 연구소 연구팀은 양자 스핀 액체에서 마요라나 페르미온을 관찰했다.

2018년 중국과학원 연구팀은 철 기반 초전도체에서 마요라나 결합 상태의 증거를 보고했다. 같은 해 교토 대학교, 도쿄 대학교, 도쿄 공업대학교 연구팀은 염화 루테늄(III)을 이용한 실험에서 마요라나 입자의 존재를 실증하는 데 성공했다고 Nature에 발표했다.

2023년 연구에서는 초전도 나노와이어 내의 두 양자점으로 구성된 키타예프 체인에서 마요라나 경계 상태를 구현했다.

4.4. 양자 오류 정정

마요라나 경계 상태(Bound State)가 주목받는 이유 중 하나는 양자 오류 정정 코드에 사용될 수 있기 때문이다. 이 과정은 토릭 코드와 같은 코드에서 '꼬임 결함'을 생성함으로써 수행되며, 이 결함은 짝을 이루지 않은 마요라나 모드를 갖는다. 마요라나는 2차원 시트 또는 나노와이어 네트워크에서 서로 물리적으로 움직여 "꼬아진다". 이 꼬임 과정은 브레이드 그룹의 사영 표현을 형성한다.

이러한 마요라나의 실현은 마요라나가 양자 정보를 양자 계산 내에서 저장하고 처리하는 데 사용될 수 있도록 한다. 비록 코드가 일반적으로 오류 억제를 제공하는 해밀토니안을 갖지 않더라도, 내재된 양자 오류 정정 코드가 결함 허용성을 제공할 것이다.