약한 아이소스핀

1. 개요

약한 아이소스핀은 약한 초전하와 관련된 개념으로, 입자의 맛깔 양자수와 초전하의 관계를 모방하여 이름 붙여졌다. 주로 T로 표기하며, 그 세 번째 성분은 T₃로 나타낸다. 전하 Q, T₃, 약 초전하 Y_W 사이에는 Q = T₃ + Y_W 관계가 성립하며, 셸던 글래쇼는 이 관계를 겔만-니시지마 공식에 비유했다. 약한 아이소스핀은 약한 상호작용을 통해 보존되며, 힉스장과의 상호작용에서는 보존되지 않는다. 음의 카이랄성을 가진 페르미온은 T = 1/2를 가지며, 약한 상호작용 하에서 이중항을 형성한다. 약한 아이소스핀 대칭성은 SU(2)이며, W 보손을 필요로 한다. 약한 아이소스핀은 베타 붕괴와 같은 약한 상호작용 현상을 설명하는 데 중요한 역할을 하며, 렙톤과 쿼크의 성질을 이해하는 데 기여한다.

2. 어원

약한 아이소스핀은 약한 초전하와 관계가 있다. 그 관계가 입자의 맛깔 양자수인 (강한) 아이소스핀과 (강한) 초전하와 흡사하기 때문에 "약한 아이소스핀"이라는 이름이 붙었다. 그러나 아이소스핀은 쿼크의 근사적인 맛깔 대칭을 나타내는 온곳 대칭인 반면, 약한 아이소스핀은 자연계의 근본적인 전약력 대칭군을 나타내는 게이지 대칭이므로, 표면적인 유사성을 제외하고는 전혀 다른 종류의 양자수다.

3. 표기법

약한 아이소스핀은 주로 T로 표기하며, 그 세 번째 성분(투영)은 T₃으로 표기한다. 일반적인 (강한 상호작용) 아이소스핀은 I로 표기하며, 혼동을 피해야 한다.

4. 겔만-니시지마 공식

약한 초전하 $Y\_W$와 약한 아이소스핀의 세 번째 성분 $T\_3$이 주어지면, 전하 $Q$는 다음과 같이 계산할 수 있다.

:$Q\; =\; T\_3\; +\; \backslash frac12Y\_W$

이 공식은 (강한) 아이소스핀과 (강한) 초전하를 관계짓는 공식과 유사하여 겔만-니시지마 공식(Gell-Mann–Nishijima formula^영어)이라고 불린다. 1961년 셸던 글래쇼는 이 공식을 아이소스핀에 대한 전하에 비유하여 제안했다.

약한 아이소스핀 보존 법칙에 따라, 약한 상호작용은 $T\_3$을 보존한다. $T\_3$은 전자기력 및 강한 상호작용에 의해서도 보존되지만, 힉스장과의 상호작용에서는 보존되지 않는다. 힉스장 진공 기댓값이 0이 아니므로, 입자는 진공에서도 항상 이 장과 상호작용하여 약한 아이소스핀(그리고 약한 초전하)을 변화시킨다.

5. 보존 법칙

약한 아이소스핀 보존 법칙은 약한 상호작용에서 보존된다. 이는 전자기력 및 강한 상호작용에서도 보존된다. 그러나 힉스장과의 상호작용은 $T\_3$를 보존하지 않는다. 이는 힉스 결합을 통해 질량을 얻는 페르미온에서 직접적으로 관찰된다. 힉스장 진공 기댓값이 0이 아니므로, 입자는 진공에서도 항상 이 장과 상호작용한다. 힉스장과의 상호작용은 입자의 약한 아이소스핀(그리고 약한 하이퍼차지)을 변화시킨다. 오직 전기적 전하의 특정 조합만이 보존된다.

전기적 전하 $Q$는 약한 아이소스핀 $T\_3$와 약한 하이퍼차지 $Y\_\backslash mathrm\{W\}$와 다음과 같은 관계를 갖는다.

:$Q\; =\; T\_3\; +\backslash tfrac\{1\}\{2\}Y\_\backslash mathrm\{W\}$

1961년 셸던 글래쇼는 겔만-니시지마 공식을 아이소스핀에 대한 전하에 비유하여 이 관계를 제안했다. 약한 아이소스핀은 강한 상호작용에서의 아이소스핀과 짝을 이루는 개념이다. 약한 아이소스핀을 나타내는 기호는 일반적으로 T 또는 I이며, 그 세 번째 성분은 $T\_z$, $T\_3$, $I\_z$ 또는 $I\_3$로 표기된다. 약한 아이소스핀은 전자기 상호작용 및 약한 상호작용을 통합하는 약 초전하의 성분이다.

약한 아이소스핀 보존 법칙에 따라 모든 약한 상호작용은 $T\_3$을 보존해야 한다. 이 값은 또한 다른 기본 상호작용에 의해서도 보존되는 일반적인 보존량이다. 이 때문에, $T\_3$는 T보다 중요하며, "약한 아이소스핀"은 종종 "약한 아이소스핀의 세 번째 성분"만을 의미한다.

전하 Q, 약한 아이소스핀의 세 번째 성분 $T\_3$, 및 약 초전하 $Y\_W$ 사이에는 다음 관계가 성립한다.

:$Q\; =\; T\_3\; +\; Y\_\backslash text\{w\}$

6. 손지기 (카이랄성)와의 관계

음의 손지기(왼손잡이) 페르미온은 $T\; =\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}$를 가지며, 약한 상호작용 하에서 동일하게 작용하는 $T\_3\; =\; \backslash pm\; \backslash tfrac\{1\}\{2\}$인 이중항으로 묶인다. 관례적으로, 전하를 띤 페르미온은 전하와 같은 부호로 $T\_3$가 할당된다.

예를 들어, 위쪽 유형의 쿼크(u, c, t)는 $T\_3\; =\; +\backslash tfrac\{1\}\{2\}$를 가지며 항상 아래쪽 유형의 쿼크(d, s, b) ($T\_3\; =\; -\backslash tfrac\{1\}\{2\}$)로 변환되고, 그 반대도 마찬가지이다. 반면에 쿼크는 동일한 $T\_3$의 쿼크로 약하게 붕괴되지 않는다.

비슷한 현상이 왼손잡이 렙톤에서도 발생하는데, 전하를 띤 렙톤(e^-영어, μ^-영어, τ^-영어)은 $T\_3\; =\; -\backslash tfrac\{1\}\{2\}$를, 중성미자(ν_e^영어, ν_μ^영어, ν_τ^영어)는 $T\_3\; =\; +\backslash tfrac\{1\}\{2\}$를 가지는 이중항으로 존재한다. 모든 경우에 해당 반-페르미온은 반대 손지기(오른손잡이 반페르미온)와 반대 부호 $T\_3$를 갖는다.

양의 손지기(오른손잡이) 페르미온과 음의 손지기(왼손잡이) 반-페르미온은 $T\; =\; T\_3\; =\; 0$을 가지며, 전하를 띤 약한 상호작용을 겪지 않는 단일항을 형성한다. $T\_3\; =\; 0$인 입자는 W^±영어 보존과 상호작용하지 않지만, 모두 Z^0영어 보존과는 상호작용한다.

약한 상호작용에서 상호 전환하는 두 개의 소립자는 같은 소립자의 전하와 질량이 다른 상태로 간주할 수 있다. 아이소스핀에서 양성자와 중성자가 같은 소립자의 전하만 다른 상태라고 생각한 것과 마찬가지로, 약한 상호작용에서는 이 상태 간의 전환이 일어난다고 생각할 수 있다. 이 상태를 나타내는 매개변수로 약 아이소스핀이 도입된다.

하지만 이 약 아이소스핀 이중항을 만드는 두 상태는 일반적으로 질량이 다르며, 이 둘을 서로 바꾸는 변환(게이지 변환)에 대해 물리 현상은 불변하지 않은 것으로 보인다. 이는 힉스 입자와의 결합에 의해 대칭성이 자발적으로 깨져 있기 때문이다.

약 아이소스핀의 커런트에는 양의 전하 커런트와 음의 전하 커런트, 그리고 중성 커런트가 존재하며, 각각 W^±, W⁰과 결합한다. W⁰는 초전하 게이지 보손 B와 혼합되어 Z 보손이 된다.

약 아이소스핀은 스핀, 아이소스핀과 마찬가지로 파울리 행렬을 통해 수학적으로 기술할 수 있다. 약한 상호작용에서 상호 전환하는 두 소립자는 약 아이소스핀 1/2을 가지며, 그 z성분은 1/2, -1/2의 두 값을 갖는다. 일반적으로 이 z성분이 약 아이소스핀 양자수라고 불린다.

쿼크의 경우, 다운 쿼크뿐만 아니라 스트레인지 쿼크가 업 쿼크로 전환되는 현상도 알려져 있다. 따라서 업 쿼크와 짝을 이루는 것은 다운 쿼크와 스트레인지 쿼크가 혼합된 입자이다. 이 입자의 혼합 현상을 카비보 혼합이라고 한다. 고바야시 마코토와 마스카와 도시히데는 이 아이디어를 발전시켜, 혼합되는 입자가 3세대가 존재할 경우 약한 상호작용에서 CP 대칭성 깨짐이 일어날 수 있음을 보였다. (고바야시-마스카와 이론)

베타 붕괴로 생성되는 반전자 중성미자는 모두 헬리시티가 1/2 (오른손잡이)이다. 따라서 약한 상호작용은 헬리시티 1/2의 반입자, 혹은 헬리시티 -1/2(왼손잡이)의 입자에만 작용하며, 약 아이소스핀을 갖는 것도 마찬가지로 생각된다.

6.1. 중성미자

전하가 없는 중성미자와 반중성미자는 해당 전하를 띤 렙톤과 반대되는 $T\_3$를 갖는다. 왼손잡이 중성미자는 $T\_3\; =\; +\backslash tfrac\{1\}\{2\}$를 가지며, 오른손잡이 반중성미자는 $T\_3\; =\; -\backslash tfrac\{1\}\{2\}$를 갖는다. 이는 왼손잡이 중성미자($T\_3\; =\; +\backslash tfrac\{1\}\{2\}$)와 오른손잡이 반중성미자($T\_3\; =\; -\backslash tfrac\{1\}\{2\}$) 사이의 입자-반입자 전하 및 패리티 반전에 따른다.

예를 들어, 전자 중성미자, 뮤온 중성미자, 타우 중성미자는 모두 $T\_3\; =\; +\backslash tfrac\{1\}\{2\}$를 갖는다.

베타 붕괴는 약한 상호작용에 의해 일어나는 대표적인 현상으로, 다음과 같이 나타낼 수 있다.
:$d\; \backslash longrightarrow\; u\; +\; e\; +\; \backslash overline\{\backslash nu\_e\}$
(u:업 쿼크, d:다운 쿼크, e:전자, ν_e:전자 중성미자이며, 오버라인은 반입자를 나타낸다.)

어떤 입자는 그 반입자가 시간을 거슬러 가는 모습으로 해석할 수 있으므로, 위 식은 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있다.
:$d\; +\; \backslash nu\_e\; \backslash longrightarrow\; u\; +\; e$
즉, 다운 쿼크가 전자 중성미자와 충돌하여 약한 상호작용에 의해 다운 쿼크가 업 쿼크로, 전자 중성미자가 전자로 전환되었다고 생각할 수 있다.

렙톤에 대해서는, 전자-전자 중성미자, 뮤온-뮤온 중성미자, 타우 입자-타우 중성미자가 약 아이소스핀 쌍을 이루고 있으며, 쌍 안에서만 전환이 일어난다.

7. 약한 아이소스핀과 W 보손

약한 아이소스핀 대칭성은 SU(2)이며, $\backslash ,\; T\; =\; 1\; \backslash ,$을 가진 게이지 보손인 , , 을 필요로 한다. 이들은 반정수 약한 아이소스핀 전하를 가진 페르미온 사이의 변환을 매개한다. $\backslash \; T\; =\; 1\backslash$은 보손이 세 가지 다른 $\backslash \; T\_3\; \backslash$ 값을 갖는다는 것을 의미한다.

* 보손 $(\backslash ,T\_3\; =\; +1\backslash ,)$은 $\backslash left(\backslash ,T\_3\; =\; +\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash ,\backslash right)$ → $\backslash left(\backslash ,T\_3\; =\; -\backslash tfrac\{1\}\{2\}\backslash ,\backslash right)~.$ 변환에서 방출된다.
* 보손 $(\backslash ,\; T\_3\; =\backslash ,\; 0\; \backslash ,)$은 중성미자 산란과 같이 $\backslash ,\; T\_3\; \backslash ,$가 변하지 않는 약한 상호 작용에서 방출된다.
* 보손 $(\backslash ,\; T\_3\; =\; -1\; \backslash ,)$은 $\backslash left(\backslash ,\; T\_3\; =\; -\backslash tfrac\{1\}\{2\}\; \backslash ,\backslash right)$ → $\backslash left(\backslash ,\; T\_3\; =\; +\backslash tfrac\{1\}\{2\}\; \backslash ,\backslash right)$ 변환에서 방출된다.

전자기-약력 통일에 따르면, 보손은 약한 하이퍼전하 게이지 보손 와 혼합되며, 둘 다 약한 아이소스핀이 0이다. 이로 인해 관찰된 보손과 양자 전기역학의 광자가 발생하며, 결과적으로 와 또한 약한 아이소스핀이 0이다.

8. 성질

약한 상호작용의 대표적인 현상인 베타 붕괴는 다운 쿼크가 업 쿼크, 전자, 반전자 중성미자로 변환되는 과정이다. 약한 상호작용에서 상호 전환하는 두 소립자는 같은 소립자의 전하와 질량이 다른 상태로 간주될 수 있다. 아이소스핀에서 양성자와 중성자가 같은 소립자의 전하만 다른 상태라고 생각한 것과 마찬가지이다. 약 아이소스핀은 이 상태를 나타내는 매개변수이다.

약 아이소스핀 이중항을 만드는 두 상태는 일반적으로 질량이 다르며, 이는 힉스 입자와의 결합에 의한 대칭성 깨짐 때문이다. 약 아이소스핀의 커런트에는 양의 전하 커런트, 음의 전하 커런트, 중성 커런트가 있으며, 각각 W^±, W⁰과 결합한다. W⁰는 초전하 게이지 보손 B와 혼합되어 Z 보손이 된다.

약 아이소스핀은 스핀, 아이소스핀과 마찬가지로 파울리 행렬로 기술될 수 있다. 약한 상호작용에서 상호 전환하는 두 소립자는 약 아이소스핀 1/2을 가지며, 그 z성분은 1/2, -1/2의 두 값을 갖는다. 일반적으로 이 z성분이 약 아이소스핀 양자수라고 불린다. 예를 들어 전자는 약 아이소스핀 양자수 1/2, 전자 중성미자는 약 아이소스핀 양자수 -1/2을 갖는다.

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약한 아이소스핀 보존 법칙은 $\backslash \; T\_3\backslash \; ;$의 보존과 관련이 있으며, 약한 상호작용은 $\backslash \; T\_3\backslash \; ;$을 보존한다. 또한 전자기력 및 강한 상호작용에 의해서도 보존된다. 그러나 힉스장과의 상호작용은 $\backslash \; T\_3\backslash \; ;$을 보존하지 않는다. 이는 힉스 결합을 통해 질량 항으로 자신의 손지기를 섞는 페르미온의 전파에서 직접적으로 관찰된다. 힉스장 진공 기댓값이 0이 아니므로, 입자는 진공에서도 항상 이 장과 상호작용한다. 힉스장과의 상호작용은 입자의 약한 아이소스핀(그리고 약한 하이퍼차지)을 변화시킨다. 오직 전기적 전하의 특정 조합만이 보존된다.

전기적 전하, $\backslash \; Q\backslash \; ,$는 약한 아이소스핀, $\backslash \; T\_3\backslash \; ,$ 그리고 약한 하이퍼차지, $\backslash \; Y\_\backslash mathrm\{W\}\backslash \; ,$와 다음 관계를 갖는다.

:$Q\; =\; T\_3\; +\backslash tfrac\{1\}\{2\}Y\_\backslash mathrm\{W\}\; ~.$

1961년 셸던 글래쇼는 겔만-니시지마 공식을 아이소스핀에 대한 전하에 비유하여 이 관계를 제안했다.

8.1. 렙톤과 쿼크

렙톤의 경우, 전자-전자 중성미자, 뮤 입자-뮤 중성미자, 타우 입자-타우 중성미자가 쌍을 이루며, 이 쌍 안에서만 전환이 일어난다. 반면 쿼크의 경우, 다운 쿼크뿐만 아니라 스트레인지 쿼크도 업 쿼크로 전환될 수 있다. 따라서 업 쿼크와 짝을 이루는 것은 다운 쿼크와 스트레인지 쿼크가 혼합된 입자이다. 이 입자들의 혼합 현상을 카비보 혼합이라고 한다.

고바야시 마코토와 마스카와 도시히데는 이 아이디어를 발전시켜, 혼합되는 입자가 3세대일 경우 약한 상호작용에서 CP 대칭성 깨짐이 일어날 수 있음을 보였다. (고바야시-마스카와 이론)

8.2. 헬리시티 (손지기)

약한 상호작용은 헬리시티 -1/2 (왼손잡이) 입자 또는 헬리시티 1/2 (오른손잡이) 반입자에만 작용하며, 약 아이소스핀을 갖는 것도 이들이다. 베타 붕괴로 생성되는 반전자 중성미자는 모두 오른손잡이이다.