전하 (물리학)

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1. 개요
2. 형식적 정의
- 2.1. 리 군과 전하 양자화
3. 전하의 예시
4. 전하 켤레
참조

1. 개요

전하(물리학)는 물리 시스템의 연속 대칭을 생성하는 모든 것을 추상적으로 정의하며, 뇌터 정리에 의해 보존 전류의 존재를 의미한다. 전하는 대칭의 생성자이자 생성자의 보존된 양자수를 모두 나타내는 동의어로 사용되며, 전자기학의 전하, 색전하, 약 아이소스핀 등 다양한 예시가 있다. 또한, 자기 전하, 초전하와 같은 가설상의 전하도 존재하며, 에너지-운동량 텐서의 고유값은 중력에서 질량에 해당한다. 입자 이론에서 전하는 전하 켤레 연산자를 통해 반전될 수 있으며, 로렌츠 군과 SU(3)를 포함한 다양한 예시가 존재한다.

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전하 (물리학)
개요
분야	물리학
관련 개념	대칭 (물리학) 뇌터 정리 보존 법칙 전하 보존 법칙
상세 정보
정의	물리계의 대칭과 관련된 물리량
특징	뇌터 정리에 따라 보존량과 관련됨 물리 법칙의 불변성을 나타냄
예시	전하 (전기) 색전하 아이소 스핀 약한 초전하
전하 보존 법칙	전하의 총량은 시간이 지나도 변하지 않음.
참고
관련 항목	전자기학 양자역학 입자물리학 장론

2. 형식적 정의

추상적으로, 전하는 연구 대상인 물리 시스템의 연속 대칭을 생성하는 모든 것이다. 물리 시스템이 어떤 종류의 대칭을 가지면, 뇌터 정리는 보존 전류의 존재를 의미한다. 전류에서 "흐르는" 것은 "전하"이며, 전하는 (국소) 대칭군의 생성자이다. 이 전하는 때때로 '''뇌터 전하'''라고 불린다.^[1]

예를 들어, 전하는 전자기학의 U(1) 대칭의 생성자이며, 보존 전류는 전류이다.^[1]

국소적이고 동역학적인 대칭의 경우, 모든 전하와 관련된 게이지장이 있으며, 양자화되면 게이지장은 게이지 보손이 된다. 이론의 전하는 게이지장을 "방출"한다. 예를 들어, 전자기학의 게이지장은 전자기장이고 게이지 보손은 광자이다.^[1]

"전하"라는 단어는 대칭의 생성자와 생성자의 보존된 양자수(고유값)를 모두 나타내는 동의어로 자주 사용된다. 대문자 $\ Q\$ 를 생성자를 나타내는 데 사용하면, 생성자는 해밀토니안 $\ \left[\ Q, H\ \right] = 0 ~.$ 과 교환하며, 이는 고유값(소문자) $\ q\$ 가 시간에 불변임을 의미한다: $\ \tfrac{~\! \operatorname d q ~}{~\! \operatorname d t ~} = 0 ~.$ ^[1]

2. 1. 리 군과 전하 양자화

리 군인 대칭군의 경우, 전하 연산자는 리 대수의 근계의 단순 근에 해당한다. 근계의 이산성은 전하의 양자화를 설명한다. 단순 근은 다른 모든 근이 이들의 선형 조합으로 얻을 수 있기 때문에 사용된다. 일반적인 근은 종종 올림 및 내림 연산자 또는 래더 연산자라고 불린다. 전하 양자수는 주어진 표현의 최고 무게 모듈의 무게에 해당한다. 대칭군이 리 군일 때, 그 전하는 리 군의 루트계에 일치하는 것으로 이해할 수 있으며, 루트계의 이산성에 의해 전하의 양자화를 설명할 수 있다.

3. 전하의 예시

입자 물리학 이론에 의해 다양한 전하 양자수가 도입되었다. 여기에는 표준 모형의 전하, 근사 대칭의 전하, 표준 모형을 확장하는 가설상의 전하 등이 포함된다.^[1]

표준 모형의 전하에는 색전하, 약한 아이소스핀, 전하가 있다. 근사 대칭의 전하에는 강한 아이소스핀과 기묘도, 매력과 같은 쿼크-향미 전하 등이 있다. 표준 모형 확장 가설 전하에는 자기 전하, X 전하, 초전하 등이 있다.

등각장론의 비라소로 대수의 중심 전하나 중력에서 에너지-운동량 텐서의 고유값인 물리적 질량도 전하의 예시에 포함된다.^[1]

3. 1. 표준 모형의 전하

입자 물리학의 표준 모형에서 다루는 전하는 다음과 같다.

색전하: 쿼크의 색전하는 양자 색역학의 SU(3) 색 대칭성을 생성한다.
약한 아이소스핀: 전약 상호작용의 약한 아이소스핀 양자수. 이는 전약 SU(2) × U(1) 대칭의 SU(2) 부분을 생성한다. 약한 아이소스핀은 국소 대칭이며, 그 게이지 보존은 W 보손과 Z 보손이다.
전하: 전자기 상호작용에 대한 전하.

3. 2. 근사 대칭의 전하

강한 아이소스핀의 대칭군은 SU(2) 향미 대칭이며, 게이지 보존은 파이온이다. 파이온은 기본 입자가 아니며, 대칭은 근사적일 뿐이다. 이는 향미 대칭의 특수한 경우이다. 쿼크-향미 전하에는 기묘도 또는 매력과 같은 것이 있다.^[1]

3. 3. 표준 모형 확장 가설 전하

가설 자기 전하는 전자기 이론의 또 다른 전하이다. 자기 전하는 실험실 실험에서 실험적으로 관찰되지 않지만, 자기 홀극을 포함하는 이론에 존재한다.^[1]
X 전하: 대통일 이론(GUT)에서 U(1)X 대칭성에 상당하는 뇌터 전하.
초전하는 초대칭성에서 페르미온을 보손으로, 그 반대로 변환하는 생성자를 의미한다.^[1]

3. 4. 기타 전하

등각장론에서:

비라소로 대수의 중심 전하는 '등각 중심 전하' 또는 등각 이상 현상이라고도 불린다. 여기서 '중심'이라는 용어는 군론의 중심의 의미로 사용되는데, 이는 대수의 다른 모든 연산자와 교환하는 연산자를 의미한다. 중심 전하는 대수의 중심 생성자의 고유값이며, 2차원 등각장론의 에너지-운동량 텐서이다.^[1]

중력에서:

에너지-운동량 텐서의 고유값은 물리적 질량에 해당한다.

4. 전하 켤레

입자 이론의 형식론에서 전하와 유사한 양자수는 전하 켤레 연산자 C를 사용하여 반전될 수 있다. 전하 켤레는 주어진 대칭군이 두 개의 비동치(하지만 여전히 동형인) 군 표현으로 나타나는 것을 의미한다. 일반적으로 두 전하 켤레 표현은 복소 켤레 기본 표현이다. 이들의 곱은 그룹의 수반 표현을 형성한다.

입자물리학 이론에는 다양한 전하의 양자수가 도입되었다. 여기에는 표준 모형의 전하들이 포함된다.

색전하: 쿼크가 가지는 전하로, 양자색역학의 색 SU(3) 대칭성을 생성한다.
약 아이소스핀: 약전하라고도 하며, 전약 상호작용의 양자수이다. 전약 SU(2) × U(1) 대칭성의 SU(2) 부분을 생성하며, 게이지 입자는 W 보손과 Z 보손이다.
전하: 전자기 상호작용의 전하이다.

근사적인 대칭성을 갖는 전하들도 있다.

아이소스핀: 대칭군은 SU(2)맛깔 대칭이며, 게이지 입자는 파이 중간자이다. 파이 중간자는 기본 입자가 아니며, 그 대칭성은 근사적이다.
맛깔 양자수: 기묘도나 매력과 같은 입자의 전하로 양자수이기도 하다. SU(6) 맛깔 대칭성을 생성하지만, 무거운 쿼크의 질량 때문에 이 대칭성은 크게 깨진다.

표준 모형을 확장하는 가설상의 전하도 존재한다.

자기하: 전자기학 이론의 새로운 전하로, 실험적으로 관측되지 않았지만 자기 홀극 등의 이론에 나타난다.
X 전하: 대통일 이론 (GUT)에서 U(1)X 대칭성에 해당하는 뇌터 전하이다. GUT의 붕괴에 의해 바리온 수와 렙톤 수가 생긴다.

4. 1. 전하 켤레의 예: 로렌츠 군

SL(2,C)(스피너)의 두 전하 켤레 기본 표현의 곱은 로렌츠 군 SO(3,1)의 수반 표현을 형성한다. 추상적으로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

2\otimes\overline{2}=3\oplus 1.\

즉, 두 개의 (로렌츠) 스피너의 곱은 (로렌츠) 벡터와 (로렌츠) 스칼라이다. 복소 Lie 대수 sl(2,C)는 콤팩트 실수 형태 su(2)를 가지는데, 모든 Lie 대수는 고유한 콤팩트 실수 형태를 갖는다. 콤팩트 형태에도 동일한 분해가 적용된다. 즉, su(2)의 두 스피너의 곱은 회전군 O(3)의 벡터와 싱글렛이다. 이 분해는 클레브슈-고르단 계수를 통해 구할 수 있다.

4. 2. 전하 켤레의 예: SU(3)

콤팩트 군 SU(3)에는 두 개의 전하 켤레, 하지만 비동치인 기본 표현

3

과

\overline{3}

이 있으며, 숫자 3은 표현의 차원을 나타내고 쿼크는

3

에서 변환하고 반쿼크는

\overline{3}

에서 변환한다. 이 둘의 크로네커 곱은 다음과 같다.

:

3\otimes\overline{3}=8\oplus 1.\

즉, 팔중도의 팔중항인 8차원 표현과 싱글렛이다.

4. 3. 일반적인 리 대수에서의 표현 분해

표현의 곱을 기약 표현의 직합으로 분해하는 것은 일반적으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\Lambda \otimes \Lambda' = \bigoplus_i \mathcal{L}_i \Lambda_i

여기서

\Lambda

는 표현을 나타낸다. 표현의 차원은 "차원 합 규칙"을 따른다.

:

d_\Lambda \cdot d_{\Lambda'} = \sum_i \mathcal{L}_i d_{\Lambda_i}.

여기서

d_\Lambda

는 표현

\Lambda

의 차원이며, 정수

\mathcal{L}

는 리틀우드-리처드슨 계수이다. 표현의 분해는 일반적인 Lie-대수 설정에서 클레브슈-고르단 계수에 의해 주어진다.

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